Yokohama C drive

STEROWANIE NAPĘDEM PRĄDU STAŁEGO
Z POŁĄCZENIEM SPRĘŻYSTYM
I Wstęp teoretyczny
1. Wprowadzenie
W układach napędowych, elementy mechaniczne przenoszenia momentu posiadają
skończoną sztywność. Podlegają one w czasie pracy odkształceniom sprężystym i
plastycznym. W większości przypadków, w napędzie elektrycznym pomija się elastyczność
połączenia wału z silnikiem. Istnieje jednak grupa napędów, w której nieuwzględnienie
skończonej sztywności wału może prowadzić do powstania drgań mechanicznych, a w
konsekwencji do znaczących oscylacji zmiennych elektromagnetycznych. Może to
spowodować pogorszenie przebiegu procesu technologicznego, skrócenie żywotności napędu
itp. Przykładową grupą są napędy walcarek, taśmociągów, napędy robotów przemysłowych
[1]-[12].
Aby poprawić właściwości dynamiczne takich napędów i ograniczyć oscylacje
prędkości i momentu silnika, powszechnie stosuje się zmodyfikowane struktury sterowania.
Wykorzystują one dodatkowe sprzężenia zwrotne od wybranych dodatkowych zmiennych
stanów i/lub wektora zakłócenia. Zmienne te mogą pochodzić z czujników pomiarowych bądź
ze specjalnych układów odtwarzających.
2. Model matematyczny obiektu badań
Przedmiotem badań jest układ z połączeniem sprężystym przedstawiony
schematycznie na rys. 1. Składa się on mas skupionych silnika i obciążenia rozmieszczonych
na końcach sprężystego bezinercyjnego wału.
me ( t )
T1
ω1 ( t )
Tc
ms ( t )
T2
mo ( t )
ω2 (t )
Rys. 1. Schemat napędu z połączeniem sprężystym
W referacie przyjęto model układu mechanicznego z bezinercyjnym połączeniem sprężystym
[5]. Elementem napędowym jest silnik bocznikowy prądu stałego. Badany obiekt opisany jest
następującym równaniem stanu (w jednostkach względnych):
 1
− T
e
 i t ( t )   ψ w


d ω1 ( t )   T1
=
dt ω2 ( t )   0


ms ( t )  

 0

−
K tψ w
Te
0
0
0
0
0
1
Tc
−
1
Tc

0 
 Kt 

 0 
1   it (t )   
 0 
−
Te


T1   ω1 ( t )   0 


+   [ ut ] +  1  [ m o ]

−
1 

−  ω 2 ( t )   0 
 T2 
T2   ms ( t )   
 0 
 0 

0 

(1)
gdzie: it – prąd twornika silnika napędowego (moment elektromagnetyczny), ω1 – prędkość
silnika, ω2 – prędkość maszyny obciążającej, ms – moment skrętny, mo – moment obciążenia,
T1 – mechaniczna stała czasowa silnika, T2 – mechaniczna stała czasowa maszyny
obciążającej, TC – stała czasowa elementu sprężystego, Kt – współczynnik wzmocnienia
obwodu twornika, ψw – strumień wzbudzenia silnika prądu stałego.
Rozważa się kaskadową strukturę regulacji prędkości przedstawioną na rysunku 2.
ut ( t )
ω z (t )
Filtr
Regulator
prędkości
Regulator
prądu
Układ
z połączeniem
sprężystym
ω2 (t )
ω1 (t )
Przekszta łtnik
it ( t )
mo ( t )
Rys 2. Schemat kaskadowej struktury sterowania napędu prądu stałego
Wewnętrzny obwód regulacji prądu twornika zawiera: regulator prądu, przekształtnik
energoelektroniczny, obwód twornika silnika prądu stałego oraz układ pomiaru prądu.
Regulator prądu stroi się w sposób umożliwiający szybką kontrolę momentu
elektromagnetycznego (zwykle za pomocą kryterium modułu). Tak zoptymalizowany obwód
regulacji posiada transmitancję operatorową członu inercyjnego. Ze względu na niewielką
inercję układu wytwarzania momentu, w porównaniu do mechanicznych stałych czasowych
układu napędowego, zoptymalizowaną pętlę regulacji prądu twornika (momentu
elektromagnetycznego) można zastąpić członem o transmitancji operatorowej równej 1 [11].
Zewnętrzna, nadrzędna pętla sterowania obejmuje: regulator prędkości, zoptymalizowany
obwód kształtowania momentu, część mechaniczną układu napędowego (część mechaniczna
silnika, element sprężysty, część mechaniczna maszyny roboczej) oraz układ pomiaru
prędkości. Parametry regulatora prędkości dobiera się zazwyczaj za pomocą kryterium
symetrii. Jednak tak zoptymalizowany układ sterowania nie zapewnia tłumienia drgań
prędkości mechanizmu roboczego i niezbędna staje się modyfikacja struktury sterowania
prędkości przy wykorzystaniu dodatkowych sprzężeń zwrotnych.
3. Analiza struktur sterowania
Rozważa się układ sterowania napędu z połączeniem sprężystym z dodatkowymi
sprzężeniami zwrotnymi, przedstawiony na rysunku 3. W strukturze tej można zastosować
następujące sprzężenia zwrotne: od wartości momentu skrętnego (k1), pochodnej momentu
skrętnego (k2), różnicy prędkości obciążenia i silnika (k3).
Układ dwumasowy
mo
ωz
T1
me
Tc
ω1
ms
T2
ω2
Gr
k1
sk2
k3
Rys 3. Schemat układu napędowego z dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi
Zmiany prędkości obciążenia takiego układu opisują następujące transmitancje:
- transmitancja przewodnia prędkości obciążenia G pω 2 ( s ) :
Gpω 2 ( s ) =
∆ω2 ( s )
Gr
= 3
,
2
∆ω z ( s ) s T1T2Tc + s T2Tc Gr (1 + k 3 ) + s( T1 + T2 (1 + k1 + sk 2 ) ) + Gr
(2)
- transmitancja zakłóceniowa prędkości obciążenia Gzω2 ( s ) :
Gzω 2 ( s ) =
(
)
∆ ω2 ( s )
− s 2T1T2 + sTcGr (1 + k3 ) + (1 + k1 + sk 2 )
= 3
,
∆mo ( s ) s T1T2Tc + s 2 T2TcG r ( 1 + k3 ) + s ( T1 + T2 (1 + k1 + sk2 ) ) + Gr
(3)
KI
+ KP
s
gdzie:
– transmitancja regulatora prędkości.
W przypadku braku dodatkowych sprzężeń zwrotnych układ posiada współczynnik tłumienia
drgań ξ i pulsacje rezonansową ω0 zależną od parametrów układu mechanicznego, określone
następująco:
1
ω0 =
,
(4)
T2 Tc
Gr =
1 T2
.
(5)
2 T1
Parametry regulatora prędkości typu PI dobiera się w sposób zapewniający istnienie biegunów
podwójnych w równaniu charakterystycznym układu. Przy takim założeniu projektowym
współczynniki części proporcjonalnej i całkującej oblicza się według następujących
zależności:
T
Kp = 2 1 ,
(6)
Tc
ξ=
T1
.
(7)
T2Tc
Układ charakteryzuje się współczynnikiem tłumienia drgań zależnym od stosunku stałych
czasowych: mechanizmu do silnika. W przypadku jego małej wartości, w przebiegu prędkości
KI =
mechanizmu występują słabo tłumione drgania o dużej amplitudzie. Aby poprawić
właściwości dynamiczne rozważanego układu napędowego należy zastosować dodatkowe
sprzężenie zwrotne od wybranej zmiennej stanu.
W przypadku dodatkowego sprzężenia zwrotnego od momentu skrętnego (k1),
współczynnik tłumienia drgań i pulsacja rezonansowa są wyrażone następującymi wzorami:
1 T 2 (1 + k 1 )
ξ k1 =
,
(8)
2
T1
1
.
(9)
T 2 Tc
Parametry regulatora prędkości, przy takim samym założeniu, co do biegunów równania
charakterystycznego można wyznaczyć za pomocą następujących wzorów:
ω0 1 =
k
Kp
=2
k1
T1 (1 + k 1 )
,
Tc
(10)
T1
.
(11)
T2Tc
Analizując wzory (8)-(9) zauważa się, że wprowadzenie dodatkowego sprzężenia zwrotnego
pociąga za sobą wzrost współczynnika tłumienia układu, przy braku zmiany pulsacji
rezonansowej. Oznacza to zmniejszenie przeregulowań prędkości obciążenia (do zadanej
wartości) przy zachowanej dynamice układu napędowego.
W przypadku zastosowania dodatkowego sprzężenia zwrotnego od pochodnej
momentu skrętnego (k2) współczynnik tłumienia drgań i pulsacja rezonansowa są wyrażone
następującymi wzorami:
KI
k1
=
ξ k2 =
ω0
k2
=
T2Tc + xT2
T2Tc
1
( T1 + T2 ) +
− ,
4T1T2 Tc
4( T2 Tc + xT2 ) 2
(12)
1
.
T2 Tc + xT2
(13)
Parametry regulatora PI dla takiego układu można wyznaczyć za pomocą następujących
wyrażeń:
4ξω0 T1Tc
k
Kp 2 =
,
(14)
Tc + x
k
K I 2 = ω 04T1T2Tc .
(15)
Współczynnik pętli dodatkowego sprzężenia zwrotnego wyznacza się za pomocą
następującego wyrażenia:
k 2 = xK p
(16)
Jak wynika z analizy wzoru (12), w tym przypadku istnieją dwie różne wartości parametru x
zapewniające osiągnięcie wymaganego współczynnika tłumienia drgań. W zależności od ich
znaku, w układzie z rozpatrywanym dodatkowym sprzężeniem zwrotnym następuje wzrost
bądź zmniejszenie wartości pulsacji rezonansowej.
W przypadku zastosowania dodatkowego sprzężenia zwrotnego od różnicy prędkości
silnika i obciążenia (k3) współczynnik tłumienia drgań ξ i pulsacja rezonansowa ω0 są
wyrażone następującymi wzorami:
ξ k3 =
ω0
k3
1 T1k 3 + T2 (1 + k 3 )
2
T1
=
(17)
1
(1 + k 3 ) T 2 T c
(18)
Parametry regulatora PI dla układu z tym sprzężeniem zwrotnym można wyznaczyć za
pomocą następujących zależności:
Kp
k3
=
KI
k3
=
4ξω 0 T1
,
1 + k3
(19)
T1
(1 + k 3 ) 2 T2 Tc
.
(20)
Jak wynika z wzorów (17) i (18), wprowadzenie dodatkowego sprzężenia zwrotnego od
różnicy prędkości silnika i obciążenia przy wzroście współczynnika tłumienia układu pociąga
ze sobą zmniejszenie pulsacji rezonansowej układu. Wraz ze zmniejszeniem przeregulowań
układ staje się wolniejszy.
Na rysunku 3 przedstawiono porównanie przebiegów prędkości obciążenia wszystkich
omawianych układów, a na rysunku 4 rozmieszczenie biegunów równania
charakterystycznego analizowanych układów. Położenie biegunów potwierdza wyniki
uzyskane na podstawie badań symulacyjnych.
0.35
uklad bez dodatkowych sprzezen
0.3
ω 2 [ j.w. ]
0.25 -k
2
k
1
k +k
3
2
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
t[s]
0.4
0.5
0.6
0.7
Rys 4. Odpowiedź prędkości obciążenia na wymuszenie skokowe k1- układ z dodatkowym
sprzężeniem zwrotnym od momentu skrętnego, k2 – układ z dodatkowym sprzężeniem zwrotnym od
pochodnej momentu skrętnego, k3 – układ z dodatkowym sprzężeniem zwrotnym od różnicy prędkości
Pole-Zero Map
60
uklad
podstawowy
k
40
1
k
k
3
2
Imag Axis
20
k
0
2
-20
-40
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Real Axis
Rys 5. Wpływ dodatkowych sprzężeń zwrotnych na położenie biegunów równania
charakterystycznego, k1- układ z dodatkowym sprzężeniem zwrotnym od momentu skrętnego, k2 –
układ z dodatkowym sprzężeniem zwrotnym od pochodnej momentu skrętnego, k3 – układ z
dodatkowym sprzężeniem zwrotnym od różnicy prędkości
Układ bez podstawowych sprzężeń zwrotnych ma bieguny posiadające duży stosunek części
urojonej do rzeczywistej. Z tego powodu w układzie występuje duże, wolno tłumione
przeregulowanie. Układy z dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi zostały zaprojektowane w
taki sposób, aby współczynnik tłumienia drgań był równy ξ = 0,7. Skutkiem tego jest
rozmieszczenie biegunów tych układów na prostej. Układ z dodatkowym ujemnym
sprzężeniem zwrotnym od pochodnej momentu skrętnego posiada bieguny przesunięte
najdalej w kierunku lewej strony, charakteryzuje się on najszybszą odpowiedzią spośród
wszystkich badanych układów. Układ z dodatkowym dodatnim sprzężeniem zwrotnym od
pochodnej momentu skrętnego jest układem najwolniejszym, jego bieguny leżą najbliżej
początku układu współrzędnych.
II Program ćwiczenia
1. Wykonanie modeli symulacyjnych obiektów jedno- i dwu-masowego wraz z odpowiednimi
strukturami sterowania.
2. Badanie struktury sterowania silnika prądu stałego z obiektem jedno- i dwu-masowym.
Analiza wpływu uproszczenia struktury sterowania na przebiegi dynamiczne układu (badania
przeprowadzone dla różnych parametrów układu).
3. Badanie kaskadowej struktury sterowania układu dwumasowego z różnymi dodatkowymi
sprzężeniami zwrotnymi. Analiza wpływu typu dodatkowego sprzężenia zwrotnego na
przebiegi dynamiczne układu napędowego.
4. Analiza pracy układu w przypadku ograniczenia wielkości sterujących.
5. Zapoznanie się ze stanowiskiem laboratoryjnym.
6. Powtórzenie wybranych badań symulacyjnych w układzie rzeczywistym
Literatura
[1] Kosmal J., Serwonapędy obrabiarek sterowanych numerycznie, WNT, 1998.
[2] Ji J. K., Sul S. K., DSP-Based Self Tuning IP Speed Controller with Load Torque
Compensation for Rolling Mill DC Drive, IEEE Transaction on Industrial Electronics, pp
382-386, vol. 42, no. 4, 1995.
[3] Tondos M., Odtwarzanie momentu obciążenia w napędach hutniczych, Zeszyty Naukowe
AGH, seria Elektrotechnika, nr 17, Kraków, 1990.
[4] Hofmeyer D., Hofmann W., Applying Fuzzy Control on Electrical Systems, Proc. on
IPEC-Yokohama, pp. 64-69, 1995.
[5] Ji J., K., Sul S., K., Kalman Filter and LQ Based Speed Controller for Torsional Vibration
Suppression in a 2-Mass Motor Drive System, IEEE Transaction on Industrial Electronic,
pp 564-571, vol. 42, no.6 , 1995.
[6] Beineke S., Schütte F., Grotstollen H., Comparison of Methods for State Estimation and
On-Line Identification in Speed and Position Control Loops, Proc. on EPE’97, pp 3.3643.369, 1997.
[7] Korondi P., Hashimoto H., Utkin V., Direct Torsion Control of Flexible Shaft in an
Observer-Based Discrete-Time Sliding Mode, IEEE Transaction on Industrial Electronic,
pp 291-296, vol. 45, no.2 , 1998.
[8] Gierlotka K., Układy sterowania napędów elektrycznych z elementami sprężystymi,
Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Nr 1181, Gliwice, 1992.
[9] Zaleśny P., Układy napędowe z połączeniami sprężystymi o ulepszonych właściwościach
dynamicznych, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 1998.
[10]Gierlotka K., Zaleśny P., Hyla M., Additional Feedback Loops In the Drives with Elastic
Joints, Proc. of EDPE’96, Stara Lesna,Slovak Republik, pp 558-563, 1996.
[11]Tondos M., Mysinski W., Microsomputer-based contrl system for drives with resilient
couplings, Proc. of EPE’01, Graz, Austria, pp P1-P9, 2001.
[12]Mysiński W., Mikroprocesorowe sterowanie napędu z połączeniami sprężystymi,
Rozprawa doktorska, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków, 1998.
[13]Sugiura K., Hori Y., Vibration Suppression in 2- and 3- Mass System Based on the
Feedback of Imperfect Derivative of the Estimated Torsional Torque , IEEE Transaction
on Industrial Electronics, pp 56-64, vol. 43, no.1 , 1996.
[14]Zhang G., Furusho J., Speed Control of Two-Inertia System by PI/PID Control, IEEE
Transaction on Industrial Electronics, pp 603-609, vol. 47, no.3 , 2000.