dynamika - woroniaq

1
DYNAMIKA
1. WSTĘP.
Dynamika zajmuje się badaniem związków zachodzących między ruchem ciała a siłami
działającymi na ciało, będącymi przyczyną tego ruchu.
Na podstawie praw Newtona można stwierdzid, że w dynamice bezwzględnym układem
odniesienia jest układ, mający zawsze przyspieszenie równe zeru. Układ taki poruszający
się jednostajnie i prostoliniowo, jest równoważny układowi pozostającemu stale w
spoczynku.
Podstawowe prawa dynamiki słuszne w tym układzie, na ogół nie są słuszne w innym
układzie, gdyż zmiana układu odniesienia powoduje zmianę zależności między siłą a
ruchem.
Układy odniesienia poruszające się ruchem jednostajnym prostoliniowym
względem absolutnie nieruchomego układu odniesienia, w którym słuszne są
podstawowe prawa dynamiki, nazywa się układami Galileusza (inercjalnymi,
bezwładnościowymi)
Za absolutny układ odniesienia Galileusz przyjmował Ziemię (układ geocentryczny),
Kopernik Słooce (układ heliocentryczny). W zagadnieniach technicznych przyjmuje się za
układ odniesienia Ziemię, czasem Słooce – chod ruch tych ciał niebieskich w układzie
gwiezdnym nie jest ani ruchem jednostajnym ani prostoliniowym względem układu
gwiezdnego to jednak w opisie większości ruchów występujących w technice układy
związane z Ziemią i Słoocem można uznad za inercjalne.
2
2. PIERWSZA ZASADA DYNAMIKI
Galileusz 1638r.
Każde ciało trwa w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym, jeżeli nie
działa nao żadna siła lub jeżeli siły działające wzajemnie się równoważą.
W praktyce na każde ciało rzeczywiste działa jakaś siła – siła przyciągania Ziemi np.
Z tej zasady wynikają 3 wnioski:
a. Ciało znajdujące się w spoczynku nie może bez działania nao siły rozpocząd ruchu.
BEZWŁADNOŚD MATERII
b. Jeżeli na poruszające się ciało nie działa żadna siła (lub siły się równoważą) to ruch
tego ciała musi byd prostoliniowy jednostajny.
c. Ruch niejednostajny lub ruch krzywoliniowy ciało może wykonywad tylko na skutek
działania nao siły.
3
3. DRUGA ZASADA DYNAMIKI
Każda siła przyłożona do ciała udziela temu ciału przyspieszenia. Przyspieszenie to
jest skierowane wzdłuż prostej działania przyłożonej siły, a jego wartośd jest
proporcjonalna do wartości tej siły.
P – działająca siła , m – masa poruszającego się ciała (m=const.), a – przyspieszenie ruchu.
Ze wzoru wynika, że im większa masa ciała tym większą siłę P należy przyłożyd aby
udzielid mu danego przyspieszenia a. Im większa jest masa ciała tym większa jest jego
bezwładnośd.
W odniesieniu do Ziemi mamy:
G – ciężar ciała, m – masa ciała , g – przyspieszenie ziemskie
Ciężar ciała (G) jest równy iloczynowi masy tego ciała przez
przyspieszenie ziemskie (g) w danym położeniu na Ziemi.
Inna forma zapisu tejże, jakże ważnej zasady:
Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek
prostej, wzdłuż, której ta siła działa.
mv – wektor pędu, P wektor siły
ale najczęściej
masa jest stałą wartością dla prędkości ruchu mniejszej od prędkości światła, więc mamy
4
4. TRZECIA ZASADA DYNAMIKI
Często stosowana w statyce.
Każdemu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie zwrócone przeciwdziałanie.
Z tej zasady wynika wniosek, że źródłem siły działającej na pewne ciała może byd tylko
inne ciało, przy czym działanie to jest wzajemne.
Rozważania oparte na trzeciej zasadzie dynamiki doprowadziły do odkrycia planety
Neptun (1846r). Z zakłócenia ruchu planety Uran astronom Le Verrier wywnioskował, że
źródłem tych zakłóceo musi byd nieznana planeta. Wg jego wskazao i obliczeo astronom
Galle odkrył planetę, którą nazwano Neptun.
5
5. INNE ZASADY
SUPERPOZYCJI
Zwana tez czwartym prawem newtona
Jeżeli na punkt materialny o masie (m) działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich
działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko
siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.
PRAWO GRAWITACJI
Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do
iloczynu mas (m1, m2) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości (r) między nimi.
Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.
k – stała grawitacyjna (6,67 ·10-8 cm3/g s2)
6
6. JEDNOSTKI
Jednostką siły jest NIUTON.
Jest to siła, która masie 1kg nadaje przyspieszenie 1m/s2.
Przykład 1
Przyczepa ciągnika waży wraz z załadunkiem G=1000kG. W chwili ruszania z miejsca
ciągnik działa na przyczepę siłą R=400kG. Obliczyd przyspieszenie przyczepy w chwili
ruszania, jeżeli opór ruchu T=200kG.
7
W chwili ruszania na przyczepę działa siła R ciągnika wywołująca ruch, a jednocześnie siła
T stara się ten ruch powstrzymad. Ruch spowodowany będzie różnicą tych sił.
Z drugiej zasady dynamiki
ale masa to
przyspieszenie więc
8
Przykład 2
Po jakim czasie (t) od chwili wyruszenia ze stacji prędkośd pociągu będzie równa v = 72
km/h (20 m/s), jeżeli siła pociągowa parowozu wynosi R= 8T, ciężar pociągu G=600 T, a
opór ruchu stanowi 0,5% ciężaru pociągu.
9
Pociąg porusza się pod wpływem siły
opór T wynosi
siła P wyniesie więc
uwzględniając zależności
mamy
Pociąg porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, prędkośd w tym ruchu
więc
Pociąg osiągnie zakładana prędkośd po 244 sekundach od wyruszenia.
10
7. SIŁA BEZWŁADNOŚCI. ZASADA D’ALAMBERTA
Siła bezwładności w zagadnieniach dynamicznych odgrywa ważną rolę.
P
m
D= - ma
Na ciało działa siła P = ma (zgodnie z druga zasadą).
Siła D = – ma jest siłą bezwładności.
Cechy tej siły:
- wartośd – równa iloczynowi masy ciała przez przyspieszenie
- kierunek - taki jak wektor przyspieszenia
- zwrot – przeciwny niż wektor przyspieszenia
W rzeczywistości na ciało działa tylko siła P. Siła bezwładności (D)jest dla ciała siłą
wyobrażalną.
Działa ona natomiast rzeczywiście na to ciało, którego działanie wywołuje przyspieszenie
ruchu.
Przykładowo - Człowiek popycha wózek sklepowy o masie (m) siłą (P). Siła nadaje
wózkowi przyspieszenie (a). Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki wózek oddziałuje na
człowieka siłą D = – P= – m a
Można zauważyd, że:
1. Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy poruszającego się ciała przez
przyspieszenie jego ruchu.
11
2. Siła bezwładności jest zawsze zwrócona przeciwnie niż przyspieszenie ruchu.
3. Siła bezwładności jest dla poruszającego się ciała siłą wyobrażalną.
4. W ruchu jednostajnym prostoliniowym siła bezwładności jest równa zeru – gdyż
przyspieszenie też jest równe zero w tym ruchu.
Zasada d’Alamberta
Z drugiej zasady dynamiki wiadomo, że
ale
co można przedstawid jako
P – siła zewnętrzna działająca na ciało lub wypadkowa większej liczby sił zewnętrznych,
– ma przedstawia siłę bezwładności.
Równanie to przedstawia zasadę d’Alamberta:
Suma sił zewnętrznych działających na ciało równoważy się w każdej
chwili ruchu z wyobrażalną siłą bezwładności.
Dzięki tej zasadzie można wiele zadao z zakresu dynamiki rozwiązad stosując równania
statyki, uwzględniając oczywiście wszystkie siły zewnętrzne (czynne i bierne) działające na
rozważane ciało oraz siłę bezwładności. Wszystkie te siły w każdej chwili i w każdym
ruchu wzajemnie się równoważą.
Przykład 3
W wagonie poruszającym się z przyspieszeniem a = 1,5 m/s2 wisi na sznurku
przyczepionym do sufitu ciało o ciężarze G. Wyznaczyd kąt odchylenia sznurka od pionu.
12
D

S

S
G
G
D
Wiszące ciało jest w równowadze pod wpływem 3 sił
- ciężaru własnego G
- napięcia sznurka S
- siły bezwładności D
siła bezwładności:
z równowagi wynika, że
13
Przykład 4
Za pomocą żurawia opuszcza się na linie ciało o ciężarze G=2000kG z przyspieszeniem
a=0,8m/s2. Obliczyd napięcie w linie.
14
S
D
G
Gdy ciężar jest w spoczynku to napięcie liny równe jest ciężarowi.
W tym przypadku – ruchu przyspieszonego w dół to równoważą się trzy siły – G,S,D.
Rzutujemy te siły na oś pionową:
ale
czyli
15
8. PRACA MECHANICZNA. JEDNOSTKI PRACY
Praca jest wielkością mechaniczną ściśle związana z siłą i przemieszczeniem tej siły.
Potocznie praca to inaczej pokonywanie oporów.
Praca mechaniczna jest równa iloczynowi wartości siły działającej wzdłuż
kierunku ruchu przez drogę, jaką przebył punkt zaczepienia tej siły.
kierunek ruchu
P
Pn
A
B

Pt
s
Przykładowo mamy wózek ciągnięty stałą siłą P, siła tworzy z kierunkiem ruchu wózka kąt
A i B początkowe i koocowe położenie na torze, odległośd AB =s – droga jaka przebył.
Praca w tym wypadku jest równa
ze statyki wiadomo
stąd ostatecznie praca
Kierunek działania siły może tworzyd z kierunkiem drogi różne kąty:
1. Kierunek działania siły jest zgodny z kierunkiem ruchu.
wtedy mamy
czyli
16
Jeżeli siła działa wzdłuż kierunku ruchu, to praca jest równa iloczynowi wartości
siły przez przesunięcie jej punktu zaczepienia.
2. Kierunek siły jest prostopadły do kierunku ruchu.
wtedy mamy
praca będzie równa
Praca siły na drodze prostopadłej do kierunku tej siły jest równa zero.
3. Siła dział przeciw ruchowi.
wtedy mamy
praca będzie równa
Praca siły działającej w kierunku przeciwnym ruchowi jest ujemna.
17
PRACA W RUCHU OBROTOWYM
A
r
O
P

s
A1
P
W punkcie A na obwodzie tarczy obracającej się dookoła osi O, zaczepiona jest stała co
do wartości siła P prostopadła do promienia OA = r. Siłę P styczną w każdej chwili do
obwodu obracającego się ciała nazywa się siłą obwodową.
Po czasie (t) punkt zaczepienia siły znajdzie się w położeniu A1, przebywając drogę (s).
Praca siły P wykonana w tym czasie wynosi:
ale
kąt α (W RADIANACH !!!!!!!)
wiadomo ze statyki, że siła razy ramię siły to moment, stąd też
nazywa się to MOMENTEM OBROTOWYM
Zależnośd na pracę w ruchu obrotowym przybiera postad:
Praca w ruchu obrotowym wyraża się iloczynem momentu obrotowego M
przez kąt obrotu α (wyrażony w RADIANACH)
18
Jednostki pracy
Podstawowa jednostką pracy jest dżul
dżul = praca siły 1N na przesunięciu 1m, gdy przesunięcie to odbywa się w kierunku
działania siły
inne jednostki mocy, jeszcze spotykane
Jeżeli punkt zaczepienia siły (a więc i rozważane ciało) wykonuje ruch jednostajny, to
oprócz siły czynnej P musi na ciało działad druga siła T równoważąca poprzednią, czyli
równa liczbowo sile P lecz zwrócona przeciwnie. Gdyby nie było tej siły to pod wpływem
siły P ciało byłoby w ruchu przyspieszonym (zgodnie z II zasadą). Tą siłą T jest opór ruchu.
Praca L siły czynnej P na dowolnym przesunięciu s (którego kierunek pokrywa się z
kierunkiem siły) jest wyrażona
opór ruchu wykonuje w czasie ruchu pracę Lt
znak (-) minus – oznacza, że opór T jest siłą zwróconą przeciw ruchowi.
Biorąc pod uwagę wartości bezwzględne mamy:
więc
W ruchu jednostajnym praca sił czynnych jest równa pracy oporów.
19
Przykład 5
Robotnik popycha wózek wzwyż toru nachylonego do poziomu pod kątem α=5o.
Całkowity ciężar wózka G=300 kG. Opór ruchu wynosi 2% ciężaru wózka. Obliczyd jaką
pracę wykona robotnik popychając wózek na drodze s=300m.
20
T
Gt
P

N

G
Robotnik popycha wózek siłą P, która musi pokonad opór T, oraz składowa ciężaru Gt,
działającą w kierunku pochyłości toru.
stąd
Praca wyniesie
21
Przykład 6
Robotnik podnosi ciężar za pomocą wciągarki bębnowej. Promieo korby wciągarki
r=0,32m. Siła ręki, którą robotnik obraca korbę, wynosi P=14kG. Obliczyd pracę, jaką
wykona robotnik w ciągu czasu t=5 min obracając korbą z prędkością obrotową n=8
obr/min.
22
Należy najpierw obliczyd moment obrotowy oraz kąt obrotu.
praca wyniesie
23
9. MOC. JEDNOSTKI MOCY
Mocą nazywa się pracę wykonaną w jednostce czasu. Wartośd mocy jest równa
ilorazowi pracy przez czas, w którym ta praca została wykonana.
Moc jest wielkością skalarną.
Wynik wykonanej pracy w jednostce czasu można uznad za podstawę do oceny efektów
mechanicznych maszyn – im większa praca wykonana w tym samym czasie tym
efektywniej pracuje maszyna.
Podstawową jednostką mocy jest WAT
Wzór na moc można przedstawid w innej formie
praca to
stawiając do zależności na moc, mamy:
ale
24
więc ostatecznie
Moc w ruchu obrotowym.
Praca w ruchu obrotowym wynosi
wstawiając do zależności na moc
ale
stąd
Moc w ruchu obrotowym jest równa iloczynowi momentu obrotowego przez
prędkośd kątową.
Prędkośd kątową najczęściej wyraża się liczbą obrotów (n), ale
n – obr/min.
Przykład 7
Lokomotywa jedzie z prędkością 72 km/h. Siła pociągowa lokomotywy wynosi P=3000kG.
Jaka jest moc lokomotywy?
25
moc N
ale
otrzymujemy, że
ale zazwyczaj moc pojazdów podawana jest w KM, więc
ostatecznie mamy
26
Przykład 8
Obliczyd siłę obwodową na kole pasowym o średnicy d = 35 cm wykonującym
n= 60 obr/min i przenoszącym moc N = 15 KM.
27
Moment obrotowy na kole wynosi
ale
mamy więc
Moment obrotowy
podstawiając
28
10.
SPRAWNOŚD
Aby maszyna robocza była zdolna do wykonywania pracy należy ją wprawid w ruch,
najczęściej za pomocą silnika. Silniki dostarczają maszynom roboczym energię do
wykonywania pracy.
Na maszynę działają siły, które wprawiają ją w ruch i utrzymują ją w ruchu. Siły te
wykonują pracę włożoną L.
Maszyna w czasie działania wykonuje pracę użyteczną Lu oraz pracę traconą Ls.
Praca użyteczna to praca pokonywania oporów, których pokonanie jest właściwym celem
maszyny (np. opór użyteczny dźwignic to podnoszony ciężar).
Praca tracona to praca pokonywania oporów szkodliwych, do których należy przede
wszystkim tarcie i opór środowiska.
W czasie ruchu jednostajnego maszyny praca włożona jest równa pracy wykorzystywanej
przez maszynę, czyli równa sumie pracy użytecznej i traconej:
Stosunek pracy użytecznej Lu do pracy włożonej L oznaczony przez  (eta) nazywany jest
sprawnością
Maszyna idealna to taka, której sprawnośd =1 – na razie nie istnieje.
Jeżeli maszyna składa się z szeregu mechanizmów przenoszących kolejno pracę z jednego
na drugi, to sprawnośd takiej maszyny określa się jako iloczyn sprawności poszczególnych
mechanizmów:






Dzieląc poszczególne prace L, Lu, Ls przez czas (t), w którym zostały wykonane
otrzymujemy odpowiednio moc włożoną N, moc użyteczną Nu, moc traconą Ns.
Sprawnośd można też określid stosunkiem mocy użytecznej Nu do mocy włożonej N:
na tej podstawie moc użyteczna wyniesie:
29

Moc użyteczna maszyny jest równa iloczynowi mocy włożonej przez sprawnośd
danej maszyny.
Podobnie moc włożona:

Moc włożona równa jest ilorazowi mocy użytecznej przez sprawnośd.
Przykład 9
Żuraw budowlany podnosi ciężar G=3000kG w ciągi 1 minuty na wysokośd 5m. Silnik
napędzający żuraw ma moc N=6,5KM. Obliczyd sprawnośd żurawia.
30
moc użyteczna wynosi
otrzymujemy
moc włożona to moc silnika czyli N = 6,5KM
sprawnośd wynosi

Opory szkodliwe „zabierają” 38% mocy silnika.

31
Przykład 10
Czop wału poziomego ma średnicę d=80mm. Reakcja pionowa R=200kG. Obliczyd moc
potrzebną na pokonanie tarcia, jeżeli prędkośd obrotowa wału wynosi n=400 obr/min, a
współczynnik tarcia czopa w łożysku ślizgowym  = 0,05.
32
Moc
szukana moc tarcia Nt zużywa się na pokonanie momentu tarcia Mt, który ma wartośd:
gdzie
stąd mamy
więc moc tarcia
33
11.
PĘD I POPĘD
Załóżmy, że po torze (l) porusza się punkt materialny o masie m. W rozpatrywanej chwili
punkt ten ma prędkośd (v).
Iloczyn masy punktu przez prędkośd nazywa się pędem punktu materialnego.
Pęd B jest wektorem, o kierunku i zwrocie takim jak wektor prędkości.
Na ciało o masie m poruszające się po torze prostoliniowym działa stała co do wielkości i
kierunku siła (P). W położeniu (1) ciało ma prędkośd v1 a w położeniu (2) prędkośd v2
Ciało wykonuje ruch jednostajnie przyspieszony (działająca siła jest stała).
Przyspieszenie w tym ruchu wynosi
t- czas, w którym ciało przeszło z położenia (1) do (2).
Z drugiej zasady mamy
podstawiamy za (a)
34
mnożąc przez (t), jest
Prawa strona przedstawia przyrost pędu, który nastąpił między położeniami (1) i (2).
Lewa strona przedstawia iloczyn siły przyłożonej przez czas działania tej siły.
Taki iloczyn nazywa się popędem siły.
Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły działającej na to ciało.
To jest zasada równoważności pędu i popędu.
1. Aby pęd uległ zmianie, musi na ciało działad siła przez pewien czas (chodby bardzo
krótki).
2. Zmiana pędu będzie tym większa, im większa jest siła i dłuższy czas jej działania.
3. Pęd nie zmieni się, gdy na ciało nie będą działały żadne siły zewnętrzne lub gdy siły
działające będą się równoważyły
Przykład 11
Ciało M spada z wysokości h na ziemię bez prędkości początkowej. Obliczyd czas spadania
stosując zasadę równoważności pędu o popędu.
35
w położeniu początkowym
w położeniu koocowym
m – masa spadającego siała
z zasady równoważności
to mamy
otrzymujemy
36
Przykład 12
Bijak młota o ciężarze G=3000kG spada na odkuwany kawał stali z wysokości h =1,5m.
Czas trwania odkształcenia wynosi t=0,01s. Znaleźd średnią siłę nacisku bijaka na
materiał.
37
Na bijak działa siła ciężkości pionowo w dół.
Jej popęd wynosi
t – czas spadania bijaka,
t – czas trwania odkształcenia
Oprócz siły ciężkości przez czas t na bijak działa reakcja kutego materiału R, równa
naciskowi bijaka na materiał. Jej popęd jest skierowany pionowo w gorę i wynosi
Popęd obu sił działających na bijak musi byd równy przyrostowi pędu masy młota
stąd
gdzie
stąd
Po podstawieniu G=3000kG, h=1,5m, t=0,01s i g=9,81 m/s2
38
12. ENERGIA KINETYCZNA
Spadający młotek może wbid gwóźdź, zwinięta sprężyna porusza zegarek, lecący pocisk
może przebid ścianę – czyli mają zdolnośd do wykonania pracy, a zatem mają energię.
Wartośd energii nagromadzonej w jakimś ciele mierzymy ilością pracy, którą może ono
wykonad, energię zatem mierzymy tymi samymi jednostkami co pracę.
Energia może występowad w różnych formach.
Lecący pocisk, zwinięta sprężyna, spadający kamieo maja energię mechaniczną.
Ciało ogrzane powyżej temperatury otoczenia ma energie cieplną, naładowane
ładunkiem elektrycznym – elektryczną , z reakcji chemicznych może uwolnid się energia
chemiczna, z rozszczepienia atomu – energia jądrowa itd.
Jeśli chodzi o energię mechaniczną to można ją podzielid na energię kinetyczną Ek, czyli
energię ruchu oraz energię potencjalną Ep, czyli energię położenia.
Suma energii kinetycznej i potencjalnej daje energię mechaniczną E ciała
Energią kinetyczną ciała (punktu materialnego) nazywa się połowę iloczynu
masy punktu materialnego i kwadratu jego prędkości.
Punkt materialny będzie miał tym większą energię kinetyczną im większa będzie jego
prędkośd i masa. Energia kinetyczna ciała (punktu materialnego) jest równa zeru tylko
wtedy gdy to ciało (punkt materialny) pozostaje w spoczynku.
Ciało sztywne – zbiór dużej liczby punktów materialnych.
Energia kinetyczna poruszającego się ciała sztywnego jest sumą energii kinetycznych
wszystkich punktów materialnych tego ciała
Na ciało o masie (m) poruszające się ruchem postępowym działa stała siła P.
Przyspieszenie tego ruchu wyraża się wzorem
39
W chwili początkowej prędkośd ciała była równa v1, po czasie (t) działania siły (P) ciało
przebyło drogę (s), osiągając prędkośd koocową v2. Droga (s) przebyta pod działaniem siły
P wynosi:
uwzględniając zależnośd na (a), mamy
mnożąc obie strony przez P, jest
popęd siły równa się przyrostowi pędu
po podstawieniu mamy
po przekształceniach jest
ale
- praca siły czynnej na drodze (s)
– energia kinetyczna w położeniu koocowym
– energia kinetyczna w położeniu początkowym
ostatecznie mamy
wzór wyraża zasadę pracy i energii kinetycznej
40
Jeżeli na poruszający się punkt materialny (lub ciało sztywne) o masie (m) działa
siła czynna P, to przyrost energii kinetycznej tego punktu (ciała) jest równy
pracy wykonanej przez siłę działającą na ten punkt (ciało).
Jeżeli ruch punktu (ciała) jest hamowany oporem środowiska T( np. opór tarcia), to praca
siły P wyniesie:
równanie zasady pracy i energii kinetycznej ma wtedy postad
lub
Praca siły czynnej działającej na ciało jest równa pracy zużytej na pokonanie
oporów ruchu, zwiększonej o przyrost energii kinetycznej poruszającego się ciała.
Przykład 13
Po torze prostoliniowym porusza się pociąg z prędkością v1 = 20 m/s. Obliczyd drogę
hamowania, jeżeli opór ruchu podczas hamowania wynosi T = 0,1 ciężaru pociągu.
41
x- droga hamowania,
G – ciężar pociągu,
N- reakcja normalna szyn,
T – opór ruchu
Równanie zasady pracy i energii kinetycznej
na pociąg nie działa żadna siła czynna – P=0
siły G i N SA prostopadłe do toru – nie wykonują żadnej pracy
tak więc mamy
ale
prędkośd koocowa v2 = 0 więc
podstawiając do równania, mamy
42
Przykład 14
Pocisk o ciężarze Q = 10G lecąc z prędkością v1 = 400m/s przebija deskę grubości s=2cm.
Prędkośd pocisku po przebiciu v2 = 300m/s. Obliczyd średnią siłę oporu, jaki deska
stawiała pociskowi.
43
Szukany opór – T
z zasady pracy i energii kinetycznej
przed uderzeniem pocisk był w ruchu jednostajnym – P=0
czyli
stąd
ale
ostatecznie jest
podstawiając, otrzymujemy
44
13. ENERGIA POTENCJALNA. ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Obszar otaczający kulę ziemską ma pewną charakterystyczną własnośd – każde ciało
umieszczone w dowolnym miejscu tego obszary poddane jest działaniu siły ciężkości
Obszar otaczający kulę ziemską nazywa się polem sił ciężkości albo polem grawitacji.
Bierzemy pod uwagę ciało o masie (m) umieszczone na wysokości (h) ponad poziomem
Ziemi.
Pomimo, że cało to jest w spoczynku ma ono jednak zdolnośd do wykonania pewnej
pracy. Gdyby pozwolid mu spaśd na ziemię, siła ciężkości działająca na to ciało
wykonałaby pracę
Tak więc ciało znajdujące się na wysokości (h) nad poziomem Ziemi ma zdolnośd do
wykonania pracy równej
.
Zdolnośd do wykonania pracy ciała znajdującego się w spoczynku nazywa się
energią potencjalną Ep.
Wartośd tej energii mierzy się ilością pracy, którą to ciało może wykonad spadając z
powrotem na ziemię
I
h/3
v1=0
II
v2
h/3
III
v3
h/3
IV
v4
h
Dowolnemu ciału o masie (m) można dostarczyd
energii potencjalnej podnosząc je na wysokośd (h). W
czasie podnoszenia wykonuje się pracę
, która zostaje zmagazynowana w ciele w
postaci energii potencjalnej. Energia ta wyzwala się
przy spadku.
Ściskając sprężynę, wykonujemy pracę mięśniami,
która zostaje zmagazynowana w sprężynie – energia
odkształcenia.
Rozpatrujemy zmianę energii mechanicznej ciała o
masie (m) spadającego z wysokości (h) na Ziemię.
Wysokośd spadku (h) dzielimy na trzy części, równe
sobie. W każdym położeniu I, II, III, IV obliczamy
energię kinetyczną Ek, potencjalną Ep, oraz energię
mechaniczną E =Ek + Ep spadającego ciała.
45
W położeniu (I) mamy
Energia mechaniczna wynosi
W położeniu (II) mamy
więc
Energia mechaniczna wynosi
W położeniu (III) mamy
więc
Energia mechaniczna wynosi
W położeniu (IV) mamy
więc
Energia mechaniczna wynosi
46
Jak widad w czasie spadania maleje energia potencjalna a wzrasta energia kinetyczna.
Suma jednak tych energii, czyli energia mechaniczna, jest wielkością stałą.
Podczas ruchu w polu sił ciężkości energia mechaniczna poruszającego się ciała
zachowuje stałą wartośd
albo
Zasada zachowania energii.
Ciało spada z wysokości(h0) nad poziomem Ziemi z prędkością początkową (v0). Po
pewnym czasie ciało to znajdzie się na wysokości (h), mając prędkośd (v).
Na podstawie zasady zachowania energii mamy
po przekształceniu
zakładając, że ciało rozpoczęło ruch ze stanu spoczynku, czyli
mamy
wynika stąd, że wartośd prędkości spadającego ciała nie zależy od postaci i długości toru,
lecz tylko od
, czyli od wysokości poziomu początkowego nad poziomem
rozpatrywanym.
Punkt A spadając z wysokości (h) po dowolnych torach uzyska w chwili osiągnięcia
poziomu koocowego tę samą prędkośd
Zasada zachowania energii w powyższej formie nie dział gdy na ciało będące w ruchu
działają opory – tarcie, opór powietrza itp.
W takim wypadku energia mechaniczna nie zachowuje wartości stałej, a dlatego że jej
częśd jest zużywana na pokonanie oporów ruchu. Energia nie jest tracona, zamieniana
jest natomiast na jej inna formę, np. w wyniku tarcia wydziela się ciepło (en. cieplna).
47
Przykład 15
Główną częścią przyrządu służącego do badania udarności materiałów jest młot
zamocowany na koocu pręta OM, mogącego się obracad bez tarcia dookoła osi O.
Traktując młot M jako punkt materialny, obliczyd jego prędkośd w najniższym położeniu
B, jeśli spada on z najwyższego położenia A. Promieo OM = 0,981m
A
M
O
B
48
W położeniu A całkowita energia mechaniczna młota jest równa energii potencjalnej
m – masa młota,
h = 2·OM – wysokośd położenia początkowego młota ponad położeniem koocowym
W położeniu B energia mechaniczna jest energia kinetyczną
v- prędkośd młota w najniższym położeniu
Z zasady zachowania energii
czyli
stąd
Prędkośd młota w najniższym położeniu będzie taka jakby ten młot spadł swobodnie z
położenia początkowego A.
po podstawieniu, mamy
49
Przykład 16
Wózek kolejki linowej jedzie z prędkością v=1m/s na wysokości h=12m ponad poziomem
Ziemi. Obliczyd energię mechaniczną wózka, jeśli jego ciężar G=90kG.
50
Energia kinetyczna wózka
podstawiając
Energia potencjalna
Całkowita energia mechaniczna wyniesie
51
a już za rok dodatkowo
14. RÓWNIA POCHYŁA
Rozpatrujemy równię pochyłą jako maszynę prostą.
Początkowo równię rozpatrujemy jako idealną, gładką – bez tarcia.
Na równi pochyłej nachylonej pod kątem (α) do poziomu znajduje się ciężar (G). Jak duża
powinna byd siła czynna (P) nachylona pod kątem () do długości równi, żeby ciężar
znajdował się w ruchu jednostajnym (w gorę lub w dół)?
52
15. UDERZENIA
W kierunku poziomym porusza się kula stalowa o masie m1 z prędkością v1. W ślad za nią
w tym samym kierunku porusza się inna kula stalowa o większej masie m2 z większą
prędkością v2. Po pewnym czasie kula o masie m2 uderzy w kulę o masie m1. Przez pewien
krótki czas (t) obie kule będą zetknięte , po czym nastąpi ich odbicie się. Następnie obie
kule będą poruszad się z różnymi prędkościami w1 i w2.
PROSTE ŚRODKOWE
Dwa ciała o masach m1 i m2 poruszają się wzdłuż tego samego toru z prędkościami v1 i v2.
Jeżeli v1>v2 to po pewnym czasie nastąpi zderzenie tych ciał. Czas trwania zderzenia
dzielimy na okresy.
53
16. MOMENTY BEZWŁADNOŚCI CIAŁ MATERIALNYCH
Dany jest punkt materialny o masie (m) oraz prosta (l). Oznaczamy odległośd punktu od
przyjętej prostej przez (r).
Momentem bezwładności punktu materialnego względem prostej nazywamy iloczyn
masy tego punktu przez kwadrat jego odległości od przyjętej prostej.
54
17. SIŁA DOŚRODKOWA
Po torze kołowym o promieniu (r) porusza się ruchem kołowym jednostajnym ciało o
masie (m).
Jak wiadomo (kinematyka) poruszające się ciało ma przyspieszenie dośrodkowe, czyli
normalne an, określone wzorem
55
18. RUCH OBROTOWY DOOKOŁA OSI STAŁEJ. MOC POTRZEBNA DO
ROZRUCHU MAS WIRUJĄCYCH
Na punkt materialny o masie (m), poruszający się po torze kołowym o promieniu (r),
działa stała co do wartości siła obwodowa P. Pod wpływem tej siły punkt materialny
będzie poruszał się ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem (a) spełniającym
zależnośd
56
19. ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU OBROTOWYM
Weźmy pod uwagę tarczę o promieniu (r) i masie (m) obracającą się dookoła osi stałej z
prędkością kątową ().
57
20. ZASADA D’ALAMBERTA DOTYCZĄCA RUCHU OBROTOWEGO
Ciało wykonuje ruch obrotowy z przyspieszeniem kątowym () tylko wtedy, gdy będzie na
nie działad moment obrotowy równy
Przenosząc na jedną stronę
co można zapisad
58
21. DRGANIA punktu materialnego
Drganiem lub ruchem drgającym punktu materialnego nazywamy ruch w dostatecznie
małym otoczeniu położenia swojej równowagi stałej. Jeżeli punkt materialny zostanie
wychylony z położenia równowagi, to zostaną wywołane drgania punktu. Tego rodzaju
drgania zachodzące pod działaniem sił sprężystych nazywamy drganiami swobodnymi.
Gdy siła sprężysta jest liniową funkcją badanej współrzędnej (przemieszczenia), wówczas
mamy do czynienia z drganiami liniowymi. Przy rozważaniu tych drgao różniczkowe
równania ruchu punktu są równaniami liniowymi drugiego rzędu.
KONIEC DYNAMIKI