Szkolna realizacja geometrii jako teorii opartej na

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MA.TEMATYCZNEGO
Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XIII (1971)
MAREK KORDOS
(Warszawa)
Szkolna realizacja geometrii
jako teorii opartej na aksjomatyce Szmielew i Tarskiego
I. Nie istnieje oddzielna matematyka „do nauczania", a oddzielna ta p;rawdziwa. Dlatego jest rzeczą dziwną, iż. większość wybitnych naukowców zajmujących się sprawami nauczania usiłuje stwo;rzyć specyficzną
„dydaktyczną" geomet;rię (np. [2], [3], [4]). Wp!'owadza się nowe, nie
używane ani wcześniej, ani później do ptacy naukowej układy pojęć
pierwotnych i aksjomatów. Sądzę, że tak robić nie należy i dlatego postuluję, aby uczyć geomet!'ii w opa;rciu o system aksjomatów używany w pracach z podstaw geometrii w Berkeley i w W~s.zawie, lub inny, używany
w pracach naukowych z tej dziedziny.
2. Obecny p;rogram nauczania matematyki w liceum za.wie;ra .zduNie jest w nim mianowicie jasno powiedziane, czy należy
uczyć tylko poszczególnych ;rozumowań dedukcyjnych, czy też dać uczniom
do ręki pełną teorię dedukcyjną. Pewne sugestie, że chodzi o teorię, są
zaw3JI'te w komenta;rzu do programu, ale pod!ęcznikowe realizacje są
równie nieokrnślone, jak sam program (patrz [3], [4]). Na pewno konieczny
jest tu wybór . .Albo uprawiajmy istotnie teo;rię dedukcyjną, albo nie udawajmy, że ją up;rawiamy. Ponieważ jednak w każdej dziedzinie matematyki obecnie teorie dedukcyjne są uprawiane, wybór zdaje się oczywisty:
uczyć teorii dedukcyjnej.
miewającą lukę.
3. Cechą szczególną matematyki dwudziestowiecznej jest posłu­
giwanie się ogólnymi pojęciami (gI'.upa, ciało, przest;rzeń metryczna,
przest;rzeń topologiczna itd.) i traktowanie badanego obiektu jako ich
egzemplifikacji, ;rep):'ezentacji. Zważywszy, że w liceum kształcimy do;rosłych ludzi jest to przecież, bądź powinien być, ostatni ich niesamodzielny etap - powinniśmy przyzwyczaić ich do tego sposobu myśle­
nia. W przeciwnym razie odstęp między szkołą a wyższą uczelnią będzie
się powiększał.
4. Przy
ma się zapoznać uczniów I klasy liceum z teorią
wybó;r pada (tradycyjnie) na geometrię. Rzecz z~ozumiała,
jest to bowiem teoria dość skomplikowana, aby dedukcja nie wypadła
przyjęciu, że
dedukcyjną,
7-
Roczniki PTM. -
Wiadomości
Matematyczne XIII.
98
M. Kordos
w niej sztrn;~.znie (jak to bywa np. z arytmetyką), a z drugiej st;rony geometria obfituje w proste twierdzenia, na któ;rych można uczyć rozumowań
dedukcyjnych. Kłopoty i spory .zaczynają się w momencie wybo:ru aksjomatyki, pomimo że od czasów Hilberta wiemy dobrze co to jest teoria
dedukcyjna i co to są w ogóle podstawy jakiejś gałęzi matematyki, a od
czasów Tarskiego (definicja prawdy w teoriach dedukcyjnych) wiemy,
jak się tym zajmować.
Powinniśmy więc sta;rać się, aby obrany przez nas układ aksjomatów
opisywał teorię niesprzeczną i zupełną, by miał mało pojęć pie;rwotnych,
wreszcie by aksjomaty były proste, tzn. o jasnym sensie intuicyjnym
i krótkim zapisie fo;rrnalnym. Czasem postuluje się również niezależność
aksjomatów, z czego jednak w wykładzie na ogół :rezygnuje się, a to dla
zmniejszenia liczby dowodów, dbając jednak, aby te „zbędne" aksjomaty
również były ładne.
Z takiej aksjomatyki .zręcznie i prosto wyprowadza się wszelkie
potrzebne twierdzenia. N a takiej aksjomatyce z;resztą kształci się już
dziś również duża część studentów - p;rzys.złych nauczycieli.
5. Przy krótkim omówieniu poszczególnych aksjomatyk trudno
jest przedstawić wszystkim zainteresowanym kompletne wykłady geometrii na nich oparte. Właściwie p):'zecież dopiero pełne monografie dają
całkowity obraz .zalet i wad danej aksjomatyki. Z drugiej strony nie wydaje
się, aby argumentem w dyskusji mogło być porównanie dwóch dowodów
pojedynczego twierdzenia.
T;rzeba chyba dyskutować, co jest głównym narzędziem i na jakiej
drodze otrzymujemy to narzędzie do dyspozycji.
6. Jeżeli chodzi o pierwszą sprawę, to sytuacja jest dość szczęśliwa.
Obecnie .za takie narzędzie przyjęło się uważać symetrię osiową. Szczególną rolę odegrał tu Bachmann [1]. A więc wyjątkowo natrafiliśmy na
sprawę, która nie jest dyskutowana. Pozostaje jednak kwestia, jak tę
symetrię i jej własności z danej aksjomatyki uzyskać.
7. Aksjomatyka, o której tu będzie mowa, została podana przez
Szmielew i Alfreda Ta;rskiego w 1965 r. Jest to istotnie nowa
proponowanych od dawna prze.z Tarskiego poJęc
wykorzystania
wersja
pierwotnych: t_rójargumentowej relacji B - „leżenia między" - i czteroargumentowej ;relacji D - „przystawania" (porównaj np. [5 ], gdzie
jest podana starsza wersja aksjomatyki). Sens intuicyjny relacji B(abc)
jest: punkt b leży wewnątrz odcinka ac; jest on .znany choćby .z pracy
Hilberta, którego aksjomatyka jest punktem wyjścia omawianej aksjomatyki. Natomiast sens D(abcd) jest: odległość a i b jest taka, jak odległość ci d. Teoria tu opisywana jest elementarna (oparta na logice pierwszego rzędu) . .Aksjomatyka, o której mowa, została wielokrotnie sprawdzona
Wandę
Szkolna realizacja geornetrii
99
dydaktycznie p;rzez prof. W. Szmielew i dra L. vV. Szcze;rbę w wykładach
uniwersyteckich oraz przez mg;ra J. Lisiewicza i autora niniejszego artykułu w I klasie liceum im. Gotwalda, którym opiekuje się Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego. Młodzież w tym liceum jest wyselekcjonowana. Jednak selekcja przy przyjmowaniu kandydatów odbiła
się, jak sądzę, nie na stworzeniu możliwości stosowania tej aksjomatyki,
lecz tylko na umożliwieniu uprawiania teorii na bardzo wysokim po.ziomie. I z tego poziomu na pewno w zwykłej klasie t;rzeba by zrezygnować.
Nie sądzę, aby dotyczyło to jednak aksjomatyki.
W roku szkolnym 1968/69, dzięki sta;raniom Ośrodka Metodycznego
Kuratorium Stołecznego, umożliwiono mi nauczanie geometrii według tejże aksjomatyki w I klasie liceum z nieselekcjonowaną młodzieżą. Pozwoliło
to na kolejne, bard.ziej jeszcze przekonywające sp;rawdzenie jej przydatności dydaktycznej. Również na tej aksjomatyce oparty jest wykład
geomet;rii w Wyższej Szkole Nauczycielskiej w Warszawie.
8. Podany
aksjomatów jest niesprzeczny,
a po dołączeniu aksjomatu ciągłości (ciągłość odcinka) zupełny; jedynym,
być może, zależnym aksjomatem jest Al.
Bez aksjomatu AlO opisuje on płaską geometrię absolutną, z nim euklidesową. Dla ułatwienia, obok formalnego zapisu, podana jest intuicyjna treść aksjomatu.
Al. Przy zamianie końców długość odcinka nie zmienia się :
niżej
układ
dziesięciu
D(abba).
A2. Do punktu
tylko punkt:
może przystawać
D(abcc) =>a
=
b.
A3. Przystawanie odcinków jest przechodnie:
D(abpq) /\ D(abrs)
A4. N a
półprostej można odłożyć
=>
D(pqrs).
dany odcinek:
V [B(pax) /\ D(axbc)].
X
A5. Druga cecha przystawania
[(a 1 =I- b1 )
A
B(a 1 b1 c1 )
A
A6.
Między
A
trójkątów:
B(a 2 b2 c2 )
A
D(a 1 d 1 a 2 d 2 )
D(a 1 b1 a 2 b2 )
/\
A
D(b 1 c1 b2 c2 )
/\
D(b 1 d 1 b2 d 2 )] => D(c 1 d 1 c 2 d 2 ).
punktem a nim samym nie ma innych punktów:
B(aba) =>a = b.
M. Kordos
100
ków
A 7. Dwie linie
wewnętrzne trójkąta wychodzące
z
różnych
wierzchol-
przecinają się:
B(apc)
AS.
Istnieją
A
B(bqc) =>V [B(qxa)
A
B(pxb)].
X
trzy punkty
niewspółliniowe:
V [........., B (abc) " . . . . ., B (bca) " . . . . ., B (cab)] .
a,b,c
A9. Symetralna odcinka jest
prostą:
(a # b) "D(appb) "D(aqqb) /\ D(arrb) => [B(pqr) v·B(qrp) v B(rpq)].
A.10. Na
trójkącie można opisać okrąg:
[........., B(abc)" . . . . ., B(bca)
A
.........,
B(cab)] =>V [D(axxb)" D(bxxc)].
X
Dla celów wykładu uniwe;rsyteckiego, w WSN i w szkole do tych
aksjomatów dodano jes.zc.ze cztery twierdzenia geometrii absolutnej, które można wyprowadzić z aksjomatów Al-A.9 .
.All. Prosta nie rozwidla się:
dziesięciu
(a -=F b) " B (abc) " B(abd) => B(acd) v B(adc) .
.A12. Istnieje
środek
odcinka:
V [ B (axb) " D (axxb)] .
X
A.13.
Wnętrze trójkąta
nie
zależy
od
uporządkowania
B(apc) /\ B(pxb) =>V [B(bqc)
q
.A14.
. . . . ., B (abc)
Trójkąt można odbić względem
A ,.......,
B (bca)
A .........,
A
wierzcholków:
B(qxa)].
jednego z jego boków:
B (cab) => V [D (xaac) " D (xbbc)
A
(x # c)] •
X
9. W dalszym ciągu będzie mowa głównie o wersji rozwijania tej
aksjomatyki w szkole średniej.
Wyprowadzenie twierdzeń potrzebnych do zdefiniowania symet:rii
osiowej i udowodnienia jej istotnych własności zawiera około 30 kroków
dowodowych. Tu podane będą tylko .zasadnie.ze. Powtarzający się w tym
wylic.zeniu termin „prosta" może być zdefiniowany za pomocą ;relacji
leżenia między, co jest łatwe i znane. W nawiasach podane są aksjomaty
i pojęcia odgrywające w dowodzie danego faktu najistotniejszą ;rolę:
O ś;rodku odcinka: że tylko jeden (.A5), że dla dowolnych a i b istnieje
c takie, iż b jest środkiem ac (A.4).
Definicja symet;rii ś~odkowej: ś:rodek symetrii jest środkiem pary
ob;raz - pi:'zeciwob;raz.
Szkolna realizacja geometrii
101
O symet;rii ś;rodkowej: że jest automo).'fizmem (.A5).
Definicja symet;rii względem p;rostej : dla punktu leżącego na tej
prostej - on sam, dla nie leżącego - punkt, któ).'ego istnienie daje .A14.
O symet;rii osiowej: że jest automo).'fizmem (.A5, .A7, symet;ria ś;rod­
kowa), że jest izomet;rią (tj. spełnia wzj.'unek D (ab f(a) f(b))).
Twie;rdzenie o doskonałej jedno;rodności płas.zczyzny i o sztywności,
któ).'e łącznie o).'zekają, że jeżeli dane są dwie nie współliniowe, p).'.zystające t;rójki punktów, to izometrię pr.zep;rowadzającą jedną .z nich na d;rugą
można rozsze;r.zyć na całą płas.zczy.znę i to dokładnie w jeden sposób.
Ostatec.znie otrzymujemy o symetrii następujące twierdzenia:
tach
-
Symetria jest
-
ma prostą stalą,
jest jednoznacznie wyznaczona przez dwa różne swoje punkty stale,
jest jedyną nietożsamościową izometrią o (co najmniej) dwóch punk-
izometrią,
stałych,
- każdą izometrię otrzymuje,my z nie więcej niż trzech symetrii (prosty
dowód z twierdzenia o doskonałej jedno;rodności płaszc.zyzny),
- każdą parzystą ilość symetrii możemy zastąpić dwiema.
o rozciągłości tego mate;riału w c.zasie
nie ma tu mowy o zmianie programu obowią­
.zującego od niedawna na jeszcze nows.zy, podaję ;rozkład materiału w klasie I ogólnokształcącej szkoły średniej, który realizowałem w 1968/69 ;roku
(w nawiasach liczba godzin lekcyjnych):
Relacje B i D (l ). J ę.zyk geomet).'ii a ważniejsze pojęcia geometryc.zne
(2) . .Aksjomatyka (1). P;rzystawanie (1). Własności p;rostej (2). Pr.zekształcenie (2). Środek odcinka (1). Symet;ria w.zględem punktu (2). Symet):'ia
względem p;rostej (2). Prostopadłość prostych (1). Związki symet;rii .z p;rostopadłością (1). P;roste ;równoległe (2). Osie symetrii (2). Izomet;ria (3).
Twie).'dzenie Pascha, półpłas.zczyzna (2). Kąt, wielokąt (2). Rachunek
odcinków i kątów (2). Zależności między bokami a kątami trójkąta (3) •
.Aksjomat ciągłości (1). Przecinanie się okręgów i prostych (3). P;r.zest'r.zeń
metryczna (1). Mia).'a odcinków i kątów (3). Inte;rpretacja rachunkowa
pojęć geomet;ryc.znych (2). Pojęcia topologiczne (3). Wektoi;y i translacje
(6). Kąty skie;rowane i obroty (4) Łącznie 55 godzin lekcyjnych.
i
10 • .Aby
dać wyobrażenie
równocześnie wykazać, że
Il. Chciałbym kilka zdań poświęcić p;rogramowi w szkole ekspe).'ymentalnej. Zasadnie.za ;różnica polegała na tym, że w klasach matematycznych oddzielona była geometria absolut.na od euklidesowej. Geomet;ria
absolutna była p;rzed wprowadzeniem .AlO ro.zwinięta aż do wprowadzenia absolutnego rachunku odcinków i kątów i absolutnych zależności
między bokami a kątami w t;rójkącie. Wymagało to jednak wielu dodat-
102
M. Kordos
kowych godzin lekcyjnych. Druga różnica to poświęcenie w szkole eksperymentalnej większej ilości czasu takim konsekwencjom aksjomatu
ciągłości, jak aksjomat .Archimedesa i aksjomat okręgu. Mniej istotna
różnica, to wp;rowad.zenie pojęcia p;rzestr.zeni topologicznej w sens.ie
Hausdorffa. Oczywiście wszystkie punkty p;rogramu podanego w punkcie
10 były w szkole eksperymentalnej również zrealizowane. Było to możliwe
dzięki dwuk;rotnie większej liczbie godzin.
12. Przedstawiony system ma
następujące
zalety:
wyformalnie.
raźnie podane:
2 . .Aksjomatami są bardzo p!'oste fakty geomet;ryczne; ponadto
zbędne jest używanie w aksjomatyce pojęć definiowanych po sfo;rmułowa­
niu poprzednich aksjomatów.
3. Otrzymanie symetrii na początku nauki, a nie na końcu.
4. Oddzielenie geometrii z aksjomatem ciągłości od geometrii bez
tego aksjomatu( 1 ).
1. Pojęcia pierwotne w podanym powyżej systemie są jasno
teorię można uprawiać
( 1 ) Od redakcji. Byłoby bardzo dobrze, gdyby mogła się ukazać książka lub
skrypt, zawierające pełny kurs geometrii oparty na omawianej tu aksjomatyce.
Wówczas będzie ją można lepiej ocenić.
Prace cytowane
[I]
[2]
[3]
[4]
[ 5]
F. Bachman, .Aufbau der Geometrie auf dem Spiegelungsbegriff, Berlin-GottingenHeidelberg 1959.
G. Choquet, Recherche d'une axiomatique commode pour le priemier enseignement de la geometrie elernentaire, Paris.
W. Janowski, Geometria dla klasy I liceum, Warszawa 1969.
Z. Krygowska, Geometria dla klasy I liceum, Warszawa. 1967.
A. Tarski, What is elementary geometry 4? The axiomatic method, Amsterdam
1959.