1. Niech M będzie interpretacją języka KRP której uniwersum jest

Dorota Leszczyńska-Jasion, Mariusz Urbański
Logika II
KRP: spełnianie
1. Niech M będzie interpretacją języka KRP której uniwersum jest zbiór dodatnich liczb parzystych {2, 4, 6, . . .}
i taką, że jej funkcja denotowania przyporządkowuje symbolowi predykatowemu P12 relację mniejszości.
(a) Znajdź M-wartościowanie s takie że M |= P12 (x4 , x5 )[s].
(b) Znajdź M-wartościowanie s0 takie że M non |= P12 (x8 , x2 )[s0 ].
2. Niech M będzie interpretacją języka KRP której uniwersum jest zbiór całkowitych liczb dodatnich C+ =
{1, 2, 3, . . .} i taką, że jej funkcja denotowania przyporządkowuje symbolowi predykatowemu P12 relację niewiększości, symbolowi predykatowemu P32 relację identyczności, symbolowi funkcyjnemu F11 funkcję następnika,
symbolowi funkcyjnemu F12 operację dodawania, natomiast symbolowi funkcyjnemu F22 operację mnożenia. Niech
ponadto s =< 2, 5, 8, 1, 7, 3, 3, 3, . . . , 3, . . . > będzie pewnym M-wartościowaniem. Sprawdź czy:
(a) M |= P12 (x3 , x4 )[s]
(b) M |= P32 (x5 , F22 (x1 , x12 ))[s]
(c) M |= P12 (F11 (F11 (x2 )), x3 )[s]
(d) M |= P32 (F12 (x5 , x4 ), x3 )[s]
(e) M |= P12 (F11 (x6 ), x2 ) ∨ P12 (x3 , x4 )[s]
(f) M |= P32 (x43 , F11 (x1 )) ∧ P12 (x4 , x1 )[s]
(g) M |= P12 (x5 , F11 (x3 )) → ¬P12 (F11 (x3 ), x5 )[s]
3. Wykonaj obliczenia z zadania 2. dla M-wartościowania s0 =< 34, 12, 5, 75, 11, 12, 13, 14, . . . >.
4. Niech M będzie interpretacją języka KRP taką, że jej uniwersum jest zbiorem potęgowym zbioru X = {0, 1, 2, 3},
a jej funkcja denotowania ∆ określona jest następująco:
∆(a2 ) = ∅
∆(a8 ) = X = {0, 1, 2, 3}
∆(P12 ) – relacja inkluzji zbiorów (bycia podzbiorem)
∆(F11 ) – operacja dopełnienia w zbiorze X
∆(F12 ) – operacja dodawania zbiorów
∆(F22 ) – operacja iloczynu zbiorów
Czy podane niżej formuły są spełnione przy interpretacji M przez M-wartościowanie s =< {1, 2}, {0, 1, 2},
{3}, {3}, . . . >?
(a) P12 (x1 , x2 )
(b) P12 (a2 , a8 )
(c) P12 (x2 , F11 (x5 )) ∧ P12 (F11 (x5 ), x2 )
(d) ∀x7 P12 (x7 , a8 )
(e) ∀x2 P12 (x6 , a2 )
(f) ∃x3 P12 (F12 (a8 , F11 (x3 )), a2 )
Czy M-wartościowanie s? =< {0} , {1} , {2} , {3} , ∅, ∅, . . . > spełnia te formuły?
5. Niech M =< {0, 1, 2, 3, 4} , ∆ > będzie interpretacją języka KRP taką, że:
∆(F22 ) jest funkcją, która liczbom n i m przyporządkowuje resztę z dzielenia iloczynu n × m przez 5 (mnożenie
modulo 5)
∆(a1 ) = 1
∆(P11 ) to własność bycia liczbą nieparzystą
∆(P12 ) to identyczność
∆(P22 ) to relacja zachodząca między liczbami n i m wtw ∆(F22 )(n, m) = 1
Niech ponadto s =< 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , 0, 1, 2, 3, 4, . . . > będzie pewnym M-wartościowaniem. Która z
podanych poniżej formuł jest spełniona przy tej interpretacji przez to wartościowanie:
1
(a) P11 (a1 )
(b) P12 (F22 (x5 , x10 ), F22 (x4 , x9 ))
(c) P11 (x3 ) → ∀x1 P11 (x1 )
(d) ∃x1 P22 (x1 , x4 )
(e) ∀x1 ∃x2 P22 (x1 , x2 )
1
6. Niech M =< U, ∆ > będzie interpretacją języka KRP taką,
√jest zbiorem liczb rzeczywistych R, a ∆(P1 ) to
√ √że U
własność bycia liczbą wymierną. Niech ponadto s =< 2, 2, 2, . . . > będzie pewnym M-wartościowaniem.
Rozstrzygnij, czy:
(a) M ¬P11 (x1 ) [s]
(b) M ¬∀x3 P11 (x3 ) [s]
(c) M (P11 (x1 ) ∧ ¬P11 (x1 )) ↔ P11 (x2 ) [s]
Spróbuj znaleźć M-wartościowanie, które nie spełnia powyższych formuł.
2