Twierdzenie Weierstrassa i funkcja Gamma Eulera

Twierdzenie Weierstrassa,
funkcja Γ Eulera
Jacek Grela 2008
Czym się zajmiemy?
●
Skąd twierdzenie Weierstrassa?
●
Iloczyny nieskończone
●
Tw. Weierstrassa o rozkładzie
●
Uogólnienie silni – funkcja Γ
●
Własności, wzory
Od czego zacząć?
Funkcja całkowita da się rozwinąć w szereg potęgowy (zbieżny wszędzie!):
f  z = ∑∞n=1 a n z n
Z drugiej strony, wiemy że wielomian n-tego stopnia (zespolony!) ma n „zer”...
, z n ≠0
W  z = a 1−z / z 1 1−z / z 2 ...1−z / z n 
∞
Narzuca się „naiwnie”:
 
f  z =∏ 1−
n=1
z
zn
Celne, ale niezbieżne wszędzie...
PYTANIE:Czy mając dany nieskończony ciąg wartości:
z 1 , z 2 ,... , z n
, zn  ∞
- Jeśli (zn) ma skończ. granicę, funkcja f(z) = 0
Możemy zbudować funkcję mającą zera (nieskończenie wiele) w tych punktach?
Przypuszczenie:
Jeśli rozwinęliśmy funkcję „naiwnie” to może wystarczy zmodyfikować je tak, aby
było zbieżne na całej płaszczyźnie zespolonej otwartej?
Nieskończony szereg i iloczyn
∞
∞
Oznaczamy:
∑ an
Oznaczamy:
∏ an
n=1
n=1
m
a n ∞
∑
Zbieżny gdy: mlim
∞
Zbieżny gdy: ∀ u p : a u ≠0
n=1
m
a n=0
WK zbieżności: lim
n ∞
 lim
∏
m ∞ n= p1
m
a n ∞∧ lim
∏
m ∞ n= p1
a n ≠0
a n=1
WK zbieżności: lim
n ∞
Tw.1 Twierdzenie łączące szeregi i iloczyny:
∞
Z:
∑ ∣ f n  z ∣
Jednostajnie zbieżny
n=1
∞
T:
∏ [ 1 f n  z ]
n=1
Bezwzględnie zbieżny do funkcji analitycznej I  z
∞
I  z=∏ [ 1 f n  z ]
n=1
Twierdzenie Weierstrassa
Założenia:
1. Dowolny ciąg liczb (zn) różnych od zera o granicy nieskończonej:
z 1 , z 2 ,... , z n
, zn  ∞
2. Dowolny ciąg (an) liczb całkowitych > 0 takich, aby szereg:
∞
∑
n=1
a n 1
∣∣
z
zn
był zbieżny w każdym kole |z| < R, R dowolne.
3. k 0
Teza:
Funkcja I(z) jest bezwzględnie zbieżna na całej płaszczyźnie i przedstawia funkcję
całkowitą mającą zera jedynie w punktach zn i k-krotne zero w z=0 gdy k>0.
I  z=z
k
∞
∏
n=1
    
2
1−
 
z
z 1 z
1 z
exp

...
zn
z n 2 zn
an zn
an
Dowód:
Przedstawmy czynniki iloczynu I(z) jako ia(u):

2
n
u u
u
i a u=1−uexp  ...
a
1 2
∣i a u−1∣6∣u∣a1

z
, u=
zn
, dla∣u∣1/2
i wykażemy, że:
1

u u2 u3
Dla |u|<1 możemy rozwinąć : 1−u=explog 1−u=exp − − − −...
1 2 3
Podstawiając, otrzymujemy że:
Prawdziwa jest ogólna nierówność:
∑ 

∞
i a u=exp −
v=a1
g u
∞
∞
∣z∣n
∣z∣n
∣z∣n
∣z∣
∣e −1∣∑
=∣z∣∑
∣z∣∑
=∣z∣e
1 n!
0 n1!
0 n!
z
∞
∣e g u −1∣∣g u∣e∣g u∣
uv
v

∣e
g u
Założenie 2. :
∣g u∣
−1∣∣g u∣e
∞
∑
Z tej nierówności wynika (1) :
a1
∣g u∣∣u∣
∞
n=1
a1
∣u∣
∑ ∣u∣ = 1−∣u∣
0
v
Dla |u|< 1/2 jest mniejszy od 2∣u∣
a1
⇒
∣g u∣
e
∣∣
z
zn
zbieżny
Związek (1):
a1
∣g u∣2∣u∣
a n 1
a1
 2∣u∣
e

1 więc:
∣i a
 
a1
∣∣
z
z
−1∣6
zn
zn
e3
Mnożąc stronami otrzymujemy szukany związek (1)
∞
Powróćmy do iloczynu o postaci
∏ ia
1
 
z
zn
.
Utwórzmy dla niego szereg wymagany przez Tw.1 (tw. O szeregu i iloczynie).
∞
∑
1
[  ]
ia
z
−1
zn
Na podstawie założenia 2. i związku (1) jest on zbieżny
A więc, z twierdzenia o szeregu i iloczynie (Tw.1):
Iloczyn jest bezwzględnie zbieżny i przedstawia funkcję całkowitą.
Jedynymi zerami są zera czynników
QED
UWAGI:
1. W przypadku, gdy funkcja f(z) ma skończoną liczbę zer:
m
 
f  z =z k ∏ 1−
n=1
z
zn
Czyli tak, jak spodziewaliśmy się na początku...
2. Rozkład funkcji f(z) możemy przemnożyć przez f.całkowitą bez zer, np:
m
hz
f  z = e z
k
całk.bez zer
∏
n=1
 
z
1−
zn
3. Gdy funkcja f(z) ma nieskończoną liczbę zer, otrzymujemy ogólny wzór:
∞
   
f  z =e h  z  z k ∏ 1−
n=1
2
 
z
z 1 z
1 z
exp

...
zn
zn 2 zn
an z n
an
Funkcja Γ Eulera
Funkcja ta jest zdefiniowana w najogólniejszej postaci jako:
z
n! n
  z=lim
n  ∞ z  z1... zn
Jeśli to kandydat na uogólnioną silnię – powinien spełniać jej definicję:
  z1=z   z  ∧  1=1
Drugi warunek wynika bezpośrednio z definicji, pierwszy zaś:
n! n z n
  z1=lim
=...
n ∞  z1 z2... zn1
z
n!n
n
...=z lim
lim
=z   z 
n  ∞ z  z1 z2... zn n  ∞ zn1
Funkcja Γ(z) jest więc na dobrej drodze do uogólnienia silni !
Okazuje się, że definicyjna granica istnieje dla wszystkich z≠0,−1,−2,...
Do udowodnienia tego faktu będziemy potrzebowali tw. Weierstrassa...
Korzystając ze związku n z =e z log n oraz przekształcając n-ty wyraz ciągu Γ(z):
z log n
e
G n=
z 1 z /11z /2...1z /n
n
n
log n= ∑
m=1
z
1
− z
z log n
m
−n ⇒ e
=e
e
∏
m
m=1
n
n
1
z
 z
=e z ∏ 1 e
Gn
m
m=1
n
−
z
m
Funkcja 1/Gn jest całkowita prawie wszędzie z tw. Weierstrassa (zn = -n; an = 1) bo
∞
∑
n=1
2
∣∣
z
n
Zbieżny w każdym kole |z|<R, zera funkcji jedynie w
∞
Przechodząc do granicy...
1
z
=e  z z ∏ 1 e
z
m
m=1
−
z=0,−1,−2,...
z
m
QED
Takie tam o funkcji Γ
Postać całkowa (dla Re[z]>0):
∞
  z=∫ t
z−1 −t
e dt
0
Całkując przez części można pokazać wcześniejsze własności funkcji Γ.
Funkcja Beta jest powiązana z funkcją Γ :
  x  y
 x , y=
  x y
Istnieje wzór Eulera:

 1−z   z =
sin z