Wstęp do topologii –Ćwiczenia - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Wstęp do topologii –Ćwiczenia - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Spis treści
1 Przestrzeń metryczna, metryka
1
2 Kule w przestrzeni metrycznej
2
3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych
4
4 Domknięcie, wnętrze i brzeg
6
5 Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste
7
6 Funkcje ciągłe
8
7 Przestrzeń ośrodkowa
9
8 Przestrzeń zupełna
10
9 Przestrzeń zwarta
11
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 1. Przestrzeń metryczna, metryka
Zadanie 1.1. Udowodnić, że z warunków metryki wynika jej nieujemność.
Zadanie 1.2. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Czy funkcja
d0−1 : X × X → R określona wzorem
(
0 gdy x = y
d0−1 (x, y) =
1 gdy x 6= y
jest metryką w X?
Zadanie 1.3. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R?
• d3 (x, y) = |3x − y|
• d2 (x, y) = |2x − 2y |
• d1 (x, y) = min{x, y}
• d4 (x, y) = |x| + |y|
(
• d5 (x, y) =
(
• d6 (x, y) =
0
gdy
x=y
x2 + y 2
gdy
x 6= y
|x − y|
gdy x, y ∈ Q ∨ x, y ∈
/Q
|x| + |y|
w przeciwnym przypadku
Zadanie 1.4. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R2 ?
• d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + |y1 | + |y2 |
p
• de ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
• d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 |
• dmax ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max{|x1 − x2 |, |y1 − y2 |}
(
0
gdy
• dp ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) =
|x1 | + |y1 | + |x2 | + |y2 | gdy
Renata Wiertelak
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 )
(x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 )
1
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 2. Kule w przestrzeni metrycznej
Zadanie 2.1. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Jakiej postaci są kule w przestrzeni (X, d0−1 )?, jeśli d0−1 funkcją określoną wzorem
(
0 gdy x = y
d0−1 (x, y) =
.
1 gdy x 6= y
Zadanie 2.2. Czy funkcja określona wzorem d(n, k) = | n1 − k1 | jest metryką w N? Jeśli
jest, to narysuj kule K̄(1, 2), K(5, 2), K(2, 1/5), K(3, 61 ).
Zadanie 2.3. Jeśli (N, d) jest przestrzenią metryczną, gdy
(
0 gdy x = y
d(n, k) =
,
1
1 + n+k
gdy x 6= y
to narysuj kule K̄(1, 2), K(5, 2), K̄(2, 1/5), K(3, 16 ).
Zadanie 2.4. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R, to narysuj kule
K(0, 1), K(1, 2), K(2, 1/5), K(3, 16 ).
• dnat (x, y) = |x − y|
• d(x, y) = |x − 2y|
• d(x, y) = |2x − 2y |
• d(x, y) = ln(1 + |x − y|)
• d(x, y) = max{x, y}
(
0 gdy x = y
• d(x, y) =
|x| + |y| gdy x 6= y
(
0 gdy x = y
• d(x, y) =
x2 + y 2 gdy x 6= y
(
|x − y| gdy x, y ∈ Q ∨ x, y ∈
/Q
• d(x, y) =
|x| + |y| w przeciwnym przypadku
Zadanie 2.5. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R2 , to narysuj kule
K((0, 2), 1), K((0, 2), 3), K((2, 1), 3), K((1, 2), 3).
• d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + |y1 | + |y2 |
• d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = 2|x1 − x2 | + 3|y1 | + 3|y2 |
p
• de ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
Renata Wiertelak
2
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
• d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 |
• d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = 3|x1 − x2 | + 2|y1 − y2 |
• dmax ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max{|x1 − x2 |, |y1 − y2 |}
• d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max{2|x1 − x2 |, 3|y1 − y2 |}
(
|y1 − y2 |
• drz ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) =
|y1 | + |x1 − x2 | + |y2 |
(
0
• dp ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) =
|x1 | + |y1 | + |x2 | + |y2 |
gdy
x1 = x2
gdy
x1 6= x2
gdy
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 )
gdy
(x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 )
Zadanie 2.6. Jeśli X = [0, 1] z funkcją d : X × X → R określoną wzorem
(
|x − y| gdy x − y ∈ Q
d(x, y) =
2 gdy x − y ∈
/Q
jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, 1), K( 12 , 14 ), K(1, 12 )?
Zadanie 2.7. Jeśli X = [0, 1] z funkcją d : X × X → R określoną wzorem
(
|x − y| gdy x − y ∈
/Q
d(x, y) =
2 gdy x − y ∈ Q
jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, 1), K( 12 , 14 ), K(1, 12 )?
Renata Wiertelak
3
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 3. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych
Zadanie 3.1. Udowodnij, że ciąg zbieżny posiada dokładnie jedną granicę.
Zadanie 3.2. Udowodnij, że jeśli ciąg (xn )n∈N jest zbieżny do x0 , to każdy jego podciąg
jest zbieżny do x0 .
d
d
Zadanie 3.3. Udowodnij, że jeśli ciąg (xn )n∈N −→ x0 oraz (yn )n∈N −→ x0 , to ciąg
n→∞
n→∞
x1 , y1 , x2 , y2 , . . . jest zbieżny do x0 w metryce d.
Zadanie 3.4. Udowodnij, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Zadanie 3.5. Udowodnij, że każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
Zadanie 3.6. Niech X = N. Czy funkcja d : X × X → R określona wzorem
1
1
d((n, m) = − n m
jest metryką w X? Jeśli jest, to narysuj kule K(5, 2), K(2, 1/5), K(3, 1/3). Jak wygląda
zbieżność w tej metryce?
Zadanie 3.7. Podać przykład takiego ciągu (xn )n∈N , który nie jest ciągiem Cauchy’ego
oraz spełnia warunek:
a) d(xn , x3n ) −→ 0
b) d(xn , xn+1 ) −→ 0
c) ∀ d(xn , xn+k ) −→ 0
n→∞
n→∞
k∈N
n→∞
Zadanie 3.8. Wyznacz dnat (0, A), dnat (2, A), d0−1 (0, A), d0−1 (2, A), dnat (B, A),
d0−1 (B, A), gdy A = (5, 7), B = [0, 1].
d
6 A ⊂ X, to
Zadanie 3.9. Udowodnij, że jeśli ciąg (xn )n∈N −→ x0 , oraz ∅ =
n→∞
d
d(A, xn ) −→ d(A, x0 ).
n→∞
Zadanie 3.10. Czy z tego, że A ⊂ (B ∪ C) wynika, że δ(A) ≤ δ(B) + δ(C)?
Zadanie 3.11. Która z podanych nierówności jest prawdziwa?
d(A ∪ B) ≤ d(A) + d(B)
∨
d(A ∪ B) ≥ d(A) + d(B)
Kiedy są one prawdziwe?
Zadanie 3.12. Udowodnij, że dla dowolnych A, B zachodzi
d(A ∪ B) ≤ d(A) + d(B) + dist(A, B).
Renata Wiertelak
4
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zadanie 3.13.
(
d(x, y) =
0
gdy x = y
|x| + |y|
gdy x 6= y
Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy’ego w (R, d)? Jeśli są
zbieżne, to podaj ich granicę.
1
1
2n − 1
1
n+1
a)xn =
, b) xn = n , c) xn =
, d) xn = 5 + , e) xn =
3n
3
n+1
n
n
Zadanie 3.14.
(
d(x, y) =
|x − y|
gdy x, y ∈ Q ∨ x, y ∈
/Q
|x| + |y|
w przeciwnym przypadku
Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy’ego w (R, d)? Jeśli są
zbieżne, to podaj ich granicę.
√
√
√
√
1
2
2n − 1
3
5
a)xn =
, b) xn = n , c) xn =
, d) xn = 5 +
, e) xn =
3n
3
n+1
n
n
Zadanie 3.15.
(
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) =
0
gdy
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 )
|x1 | + |y1 | + |x2 | + |y2 |
gdy
(x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 )
Czy podane ciągi są zbieżne w (R2 , d)? Czy są ciągami Cauchy’ego w (R2 , d)? Jeśli są
zbieżne, to podajich granicę.
2n − 1
1
1 1
,
,
b) (xn , yn ) =
,5 +
,
a)(xn , yn ) =
3n 3n
n+1
n
!
√
1 n+1
5 1
c) (xn , yn ) =
,
d) (xn , yn ) = 3 −
,
n n
n 4n
Zadanie 3.16.
(
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) =
|y1 − y2 |
gdy
x1 = x2
|y1 | + |x1 − x2 | + |y2 |
gdy
x1 6= x2
Czy podane ciągi są zbieżne w (R2 , d)? Czy są ciągami Cauchy’ego w (R2 , d)? Jeśli są
zbieżne, to podajich granicę.
1
1 1
a)(xn , yn ) = 1, 2 + n ,
b) (xn , yn ) = 3 − ,
,
3
n 2n
1
n+1
1
d) (xn , yn ) =
,2 −
c) (xn , yn ) = 0,
n
n
3n
Renata Wiertelak
5
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 4. Domknięcie, wnętrze i brzeg
Zadanie 4.1. W (R, dnat ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących
zbiorów
1 1 S
A = [0, 1) ∪ {2}
C = n∈N 4n
, 4n−1
E = n1 : n ∈ N
S
1
1
B = (−1, 1) ∩ Q
D = n∈N 2n
, 2n−1
F = E ∪ {0}
Zadanie 4.2. W (R2 , de ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących zbiorów
A = [0, 1) × (1, 2]
C = {(1/n, y) : n ∈ N, y ∈ (0, 1)}
B = {(x, y) : y = x2 }
D = {(x, y) : y − x ∈ Q}.
Zadanie 4.3. Niech X = [0, 1] oraz w X × X będzie dana funkcja:
(
|x − y| gdy x, y ∈ Q lub x, y ∈
/Q
d((x, y) =
x + y w przeciwnym wypadku.
Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q, [0, 1] \ Q w (X, d). Czy są to
zbiory otwarte? domknięte?
Zadanie 4.4. Niech X = [0, 1] oraz w X × X będzie dana funkcja:
(
|x − y| gdy x − y ∈ Q lub x, y ∈
/Q
d((x, y) =
2 gdy x − y ∈
/ Q.
Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q ∩ [0, 1), [0, 1] \ Q w (X, d). Czy
są to zbiory otwarte? domknięte?
Zadanie 4.5. W (R, dnat ) wyznacz A, Int(A), IntA,Int(A), jeśli
A = ([0, 1) ∩ Q) ∪ {2} ∪ (3, 4) ∪ (4, 5)
Zadanie 4.6. Udowodnij, że
x ∈ F r(A) ⇔ ∀ε>0 K(x, ε) ∩ A 6= ∅ ∧ K(x, ε) ∩ \A 6= ∅
Zadanie 4.7. Jakie relacje (⊂, ⊃, =) zachodzą pomiędzy zbiorami:
a) A ∪ B i A ∪ B
d) IntA ∪ IntB i IntA ∪ B
b)A ∩ B i A ∩ B
e) IntA ∩ IntB i IntA ∩ B
c) A \ B i A \ B
f) IntA \ IntB i IntA \ B
Renata Wiertelak
6
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 5. Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste
Zadanie 5.1. Udowodnić, że
• zbiór nigdzie gęsty jest brzegowy;
• zbiór domknięty i brzegowy jest nigdzie gęsty;
• suma dwóch zbiorów nigdzie gęstych jest zbiorem nigdzie gęstym;
• suma zbioru brzegowego i nigdzie gęstego jest zbiorem brzegowym;
Zadanie 5.2. Czy suma dwóch zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym?
Zadanie 5.3. Czy brzeg zbioru jest zbiorem brzegowym?
Zadanie 5.4. W (R, dnat ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste.
1 1 S
A = (−∞, 1) ∪ {2}
B = n∈N 3n
C = n1 : n ∈ N
, 3n−1
S
1
1
D = (−1, ∞) ∩ Q
E = n∈N 2n
, 2n−1
F = C ∪ {0}
T
1 1
G = (−1, ∞) \ Q
H = ∈N − 2n
, 2n
I = C ∪ {1}
1
: n ∈ N ∪ (−1, 2)
J = ((−∞, 1) ∩ Q) ∪ ((1, ∞) \ Q)
K = 2 + 2n
Zadanie 5.5. W (R, d0−1 ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste.
1 1 S
A = (−∞, 1) ∪ {2}
B = n∈N 3n
, 3n−1
C = n1 : n ∈ N
S
1
1
, 2n−1
F = C ∪ {0}
D = (−1, ∞) ∩ Q
E = n∈N 2n
T
1 1
G = (−1, ∞) \ Q
H = ∈N − 2n
, 2n
I = C ∪ {1}
Zadanie 5.6. W (R2 , de ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste.
A = [0, 1] × [1, 2]
B = {(x, y) : {0} ∪ {1/n : n ∈ N}, y ∈ [0, 1]}
C = (0, 1) × (1, 2)
D = {(x, y) : n ∈ N, y ∈ R}
E = {(x, y) : y − x ∈ Q}
F = {(x, y) : max{|x|, |y|} < 4}
G = {(x, y) : y = x2 }
H = ([0, 1] ∩ Q) × ([1, 2] \ Q)
.
Zadanie 5.7. W (R2 , d0−1 ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a
następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste.
A = [0, 1] × [1, 2]
B = {(x, y) : {0} ∪ {1/n : n ∈ N}, y ∈ [0, 1]}
C = (0, 1) × (1, 2)
D = {(x, y) : n ∈ N, y ∈ R}
E = {(x, y) : y = x2 }
F = ([0, 1] ∩ Q) × ([1, 2] \ Q)
Renata Wiertelak
.
7
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 6. Funkcje ciągłe
Zadanie 6.1. Czy f : N → R określona wzorem f (n) = (−1)n jest ciągła , jeśli:
a) dX = dY = dnat , b) dX = dnat , dY = d0−1 c) dX = d0−1 , dY = dnat ?
Zadanie 6.2. Niech funkcja f : R → R będzie określona wzorem
(
x + 1 gdy x > 0
f (x) =
x gdy x ≤ 0
Czy jest ona ciągła , jeśli:
a) dX = dY = dnat ,
b) dX = dnat , dY = d0−1
c) dX = dY = d0−1 ,
d)dX = d0−1 , dY = dnat
Zadanie 6.3. Niech funkcja f : R → R będzie określona wzorem
(
x gdy x ∈ Q
f (x) =
−x gdy x ∈
/Q
Podaj zbiór punktów ciągłości funkcji f , jeśli:
a) dX = dY = dnat ,
b) dX = dnat , dY = d0−1
c) dX = dY = d0−1 ,
d)dX = d0−1 , dY = dnat
Zadanie 6.4. Czy funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = −x jest ciągła, jeśli
dX = dnat oraz
(
0 gdy x = y
dX (x, y) =
?
|x| + |y| gdy x 6= y
Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f .
Zadanie 6.5. Czy funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = −x jest ciągła, jeśli
dY = dnat oraz
(
0 gdy x = y
dX (x, y) =
?
|x| + |y| gdy x 6= y
Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f .
Zadanie 6.6. Czy funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = 2x jest ciągła, jeśli
dX = dnat oraz
(
0 gdy x = y
dY (x, y) =
?
3 gdy x 6= y
Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f .
Zadanie 6.7. Czy funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = 2x jest ciągła, jeśli
dY = dnat oraz
(
0 gdy x = y
dX (x, y) ==
?
3 gdy x 6= y
Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f .
Renata Wiertelak
8
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 7. Przestrzeń ośrodkowa
Zadanie 7.1. Udowodnij, że jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią ośrodkową oraz funkcja
f : (X, dX ) → (Y, dY ) jest funkcją ciągła i "na", to (Y, dY ) jest przestrzenią ośrodkową.
Zadanie 7.2. Udowodnij, że jeśli w przestrzeni metrycznej (X, d) istnieje nieprzeliczalny zbiór A oraz t > 0 takie, że
∀x,y∈A x 6= y ⇒ d(x, y) > t,
to przestrzeń ta nie jest ośrodkowa.
Zadanie 7.3. Udowodnij, że przestrzeń metryczna (X, d) jest ośrodkowa wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdej liczby r > 0 przestrzeń X jest sumą co najwyżej przeliczalnej
ilości kul o promieniu r.
Zadanie 7.4. Czy zbiór X = R \ Q z funkcją d(x, y) = |x| + |y| jest przestrzenią
metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa?
Zadanie 7.5. Czy zbiór X = [0, 1] z funkcją
(
|x − y| gdy x, y ∈ Q lub x, y ∈
/Q
d(x, y) =
x + y w przeciwnym wypadku.
jest przestrzenią metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa?
Zadanie 7.6. Niech będzie dana funkcja f : [0, ∞) → [0, ∞) spełniająca warunki:
• f (t) = 0 ⇔ t = 0;
• f jest niemalejąca;
• f (t + s) ≤ f (t) + f (s).
Czy jeśli (X, d)) jest przestrzenią metryczną ośrodkową, to dla
d∗ (x, y) = f (d(x, y))
przestrzeń (X, d∗ ) też jest przestrzenią metryczną ośrodkową? Od czego to zależy?
Zadanie 7.7. Niech (X, dX ), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi ośrodkowymi.
Czy przestrzeń (X × Y, d∗ ), gdzie
d∗ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 )
też jest przestrzenią metryczną ośrodkową?
Renata Wiertelak
9
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 8. Przestrzeń zupełna
Zadanie 8.1. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, dX ) →
(Y, dY ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, dY ) jest przestrzenią zupełną?
Zadanie 8.2. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, dX ) →
(Y, dY ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, dY ) jest przestrzenią zupełną?
Zadanie 8.3. Niech X = R \ Q oraz
(
d(x, y) =
|x| + |y|
gdy x 6= y
0
gdy x = y
Czy (X, d) jest przestrzenią zupełną?
Zadanie 8.4. Czy zbiór X = [0, 1] z funkcją
(
|x − y| gdy x, y ∈ Q lub x, y ∈
/Q
d(x, y) =
x + y w przeciwnym wypadku.
jest przestrzenią metryczną zupełną?
Zadanie 8.5. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zupełną oraz
d∗ (x, y) = max{d(x, y), 1}
to (X, d∗ ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną?
Zadanie 8.6. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zupełną, a jest ustalonym elementem
X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz
d∗ (x, y) = d(x, a) + d(a, y)
to (X, d∗ ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną?
Zadanie 8.7. Niech (X, dX ), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy
przestrzeń (X × Y, d∗ ), gdzie
d∗ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max{dX (x1 , x2 ), dY (y1 , y2 )}
też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną?
Zadanie 8.8. Niech (X, dX ), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy
przestrzeń (X × Y, d∗ ), gdzie
p
d∗ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (dX (x1 , x2 ))2 + (dY (y1 , y2 ))2
też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną?
Renata Wiertelak
10
Wydział Matematyki i Informatyki – Wstęp do topologii –Ćwiczenia
Zestaw 9. Przestrzeń zwarta
Zadanie 9.1. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, dX ) →
(Y, dY ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, dY ) jest przestrzenią zwartą?
Zadanie 9.2. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, dX ) →
(Y, dY ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, dY ) jest przestrzenią zwartą?
Zadanie 9.3. Niech X = R \ Q oraz
(
d(x, y) =
|x| + |y|
gdy x 6= y
0
gdy x = y
Czy (X, d) jest przestrzenią zwartą?
Zadanie 9.4. Czy zbiór X = [0, 1] z funkcją
(
|x − y| gdy x, y ∈ Q lub x, y ∈
/Q
d(x, y) =
x + y w przeciwnym wypadku.
jest przestrzenią metryczną zwartą?
Zadanie 9.5. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zwartą oraz
d∗ (x, y) = max{d(x, y), 1}
to (X, d∗ ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą?
Zadanie 9.6. Czy jeżeli (X, dX ) jest przestrzenią zwartą, a jest ustalonym elementem
X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz
(
|d(x, a) + d(a, y) gdy x 6= y
d∗ (x, y) =
0 gdy x = y
to (X, d∗ ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą?
Zadanie 9.7. Niech (X, dX ), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy
przestrzeń (X × Y, d∗ ), gdzie
d∗ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 )
też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą?
Zadanie 9.8. Niech (X, dX ), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy
przestrzeń (X × Y, d0−1 ) też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą?
Renata Wiertelak
11