IV Reytaniacka Liga Zadaniowa Gry i zabawy liczbowe

IV Reytaniacka Liga Zadaniowa
V seria (30 stycznia 2014 r. – 14 lutego 2014 r.)
Gry i zabawy liczbowe
1. Zaproponuj znajomym następującą grę:
Podaj każdemu uczestnikowi tej sztuczki jakąkolwiek liczbę z nieparzystą liczbą cyfr, której środkowa
cyfra jest różna od 9, a suma pozostałych jest podzielna przez 9. Jednemu np. możesz podać 9727126,
a drugiemu 46853 itd. Następnie niech każdy obliczy sumę cyfr swojej liczy, a jeśli wynik nie będzie
liczbą jednocyfrową, niech z kolei obliczy sumę cyfr wyniku itd. aż do otrzymania liczby jednocyfrowej.
Ty podejmij się odgadnąć, lub nawet z góry przewidzieć wynik końcowy otrzymany przez każdego
z uczestników. Sztuczka sprowadza się do tego, że ostateczna suma cyfr takich liczb jest zawsze
równa środkowej cyfrze liczby podanej. Na przykład dla 9727126 środkową cyfrą jest 7 i taka jest też
końcowa suma cyfr dla tej liczby: 9 + 7 + 2 + 7 + 1 + 2 + 6 = 34, 3 + 4 = 7. Dla liczby 46853 środkową
cyfrą jest 8 i jak widać też się zgadza: 4 + 6 + 8 + 5 + 3 = 26, 2 + 6 = 8.
Ty znasz już tę sztuczkę ale udowodnij dlaczego tak jest.
2. W tę grę grają dwie osoby. Pierwsza podaje dowolną liczbę naturalną (czyli całkowitą
dodatnią) nie większą niż 10. Druga dodaje do niej jakąś liczbę naturalną również nie większą od
10 i ogłasza sumę. Do sumy tej pierwsza dodaje znowu liczbę nie przekraczającą 10 i ogłasza nową
sumę. I znów druga osoba dodaje do tej nowej sumy swoją liczbę itd. Obaj gracze po kolei zwiększają
poszczególne sumy, aż ktoś z nich dojdzie do końcowej sumy 100. Na przykład pierwszy może podać
7, drugi 12, pierwszy 22 itd.
Zwycięzcą jest ten, kto ogłosi sumę 100. Jak zapewnić sobie zwycięstwo? Którym graczem należy być
w tym celu (pierwszym czy drugim) i w jaki sposób grać?
3. Kuśnierz miał zreperować futro łatą w kształcie trójkąta różnobocznego. Po wycięciu łaty
z takiego samego futra okazało się, że się pomylił. Mianowicie tylko lewa strona łaty odpowiadała
dziurze w futrze. Jakże teraz uratować wykrojony kawałek drogiego futra?
Innymi słowy: jak odwrócić łatkę na prawą stronę, zachowując przy tym niezmieniony układ naszego
trójkąta różnobocznego? Kuśnierz domyślił się, że należy ten trójkątny kawałek futra rozciąć na takie
części, aby po odwróceniu każdej z nich na drugą stronę dało się z nich utworzyć trójkąt różnoboczny
pasujący do dziury w futrze.
Jak więc należy rozciąć ten trójkąt?
4. (Geometryczna sztuczka – zagadkowe zniknięcie) Narysuj na prostokątnym kawałku
papieru 13 jednakowych kresek w równej odległości jedna od drugiej, (jak na rysunku). Następnie
rozetnij prostokąt na 2 części wzdłuż prostej pochyłej M N , łączącej górny koniec pierwszej kreski
i dolny koniec ostatniej. Przesuń teraz obie połówki prostokąta wzdłuż linii cięcia, (jak pokazuje
rysunek). Stała się dziwna rzecz: zamiast 13 kresek otrzymaliśmy 12.
Gdzie zniknęła jedna kreska?