Zestaw8

Rachunek Prawdopodobieńtwa 1. Zestaw 8. Prawdopodobieństwo warunkowe. Dystrybuanta, rozkład zmiennej losowej.
1. W trakcie wykonywania ciagu rzutów symetryczną moneta pierwszy orzeł wypadł podczas rzutu o
parzystym numerze. Obliczyc prawdopodobieństwo, ze wypadł on przy czwartym rzucie.
2. Zadanie Banacha. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku
zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, ze gdy
po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko, w drugim będzie k zapałek?
(k = 0; 1; 2; . . . ; m, gdzie m jest liczba zapałek w pełnym pudełku; zakładamy, ze w chwili poczatkowej matematyk ma dwa pełne pudełka zapałek).
3. W jednej z dwóch nierozróznialnych urn znajduja sie dwie kule czarne i trzy białe, a w drugiej
trzy czarne oraz dwie białe. Losujemy symetryczna moneta jedna z urn, a nastepnie zaczynamy
wyciagac z niej kule ze zwracaniem. Obliczyc prawdopodobienstwo pn wylosowania z niej czarnej
kuli, jesli n uprzednio wyciagnietych kul było czarnych. Obliczyc lim pn .
n→∞
4. Mąż i żona zawarli umowę zawierającą następujące warunki: jeżeli w pewnym dniu naczynia myje
mąż, to o tym, kto myje naczynia w dniu następnym, decyduje rzut monetą, jeżeli w pewnym dniu
naczynia myje żona, to w dniu następnym naczynia myje mąż, w pierwszym dniu umowy o tym,
kto myje naczynia, decyduje rzut monetą. Oblicz: (a) prawdopodobieństwo tego, że w trzecim dniu
umowy naczynia myje mąż, (b) prawdopodobieństwo tego, że w trzech pierwszych dniach umowy
naczynia mył mąż, o ile wiadomo, że mył on naczynia w dniu czwartym, (c) prawdopodobieństwo
tego, że w pierwszym tygodniu umowy mąż i żona myli naczynia na przemian, (d) limn→∞ pn ,
gdzie pn jest prawdopodobieństwem tego, że mąż myje naczynia w n-tym dniu umowy.
5. Punkt x ∈ nazwiemy puktem skokowym dystrybuanty FX gdy P (X < x) < FX (x). Pokaż, że x
jest punktem skokowym wtedy i tylko wtedy P (X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy FX nie jest ciągła
w punkcie x. Pokaż że dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów skokowych.
6. Dla jakich liczb rzeczywistych a oraz b zachodzi: jeśli F1 oraz F2 to dystrybuanty, wtedy aF1 + bF2
jest dystrybuantą.
7. Podać przykład par zmiennych losowych X1 , Y1 oraz X2 , Y2 , takich że ich rozkłady prawdopodobieństwa spełniają PX1 = PX2 oraz PY1 = PY2 ale ich łączne rozkłady są różne, tj. P(X1 ,Y1 ) 6=
P(X2 ,Y2 ) . Rozważyć, czy zachodzi przeciwna implikacja: jeśli rozkłady łączne są równe, czy wtedy
rozkłady brzegowe muszą być sobie równe?
8. Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1] oraz niech F będzie ściśle rosnącą dystrybuatną
pewnego rozkładu. Jaki rozkład (jaką dystrybuantę) ma zmienna losowa Y = F −1 (X).
9. Uogólnić poprzednie zadanie na przypadek gdy F jest dowolną dystrybuantą.
Z poprzedniego zestawu zostały zadania 4b), Komandos.