Zadania tekstowe, zwane te „zadaniami z tre ścią”

Zadania tekstowe, zwane też „zadaniami z treścią”
Krótko: nie należy starać się od razu napisać równanie, czy układ równań. Pisz jak
najwięcej słownie, pełnym tekstem, bez skrótów. Rozkładaj temat zadania na czynniki
pierwsze, by w pełni zrozumieć, o co tak naprawdę w zadaniu chodzi. Odpowiednie
równania pojawią się same…
......................................................................................................................................................
Zadanie 1. Na zgaduj zgaduli postawiono 30 pytań. Za każda poprawną odpowiedź zaliczano
7 punktów, zaś za każda nieprawidłową uczestnik tracił 12 punktów. Ile dobrych odpowiedzi
dał jeden uczestników, jeżeli przy podsumowaniu okazało się, że zdobył 77 punktów?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Oznaczmy: x – ilość dobrych odpowiedzi. Wtedy:
30-x to ilość błędnych odpowiedzi
7x to ilość zdobytych punktów
12(30-x) to ilość straconych punktów
Stąd równanie: 7x-12(30-x)=77, którego rozwiązaniem jest x=23.
......................................................................................................................................................
Zadanie 2. Przewiduje się, że wycieczka szkolna będzie kosztować 270 zł dziennie. Gdyby
udało się ten koszt obniżyć o 54 zł, to za tę samą kwotę możnaby zorganizować wycieczkę o
3 dni dłuższą. Ile dni miała trwać wycieczka?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Oznaczmy: x – planowany czas wycieczki (w dniach)
Koszt wycieczki to 270x
Po obniżce kosztów jednego dnia wycieczki o 54 zł, jeden dzień kosztowałby 270-54=216 zł
Teraz koszt wycieczki: 216(x+3), stąd równanie:
270x=216(x+3), którego rozwiązaniem jest x=12.
......................................................................................................................................................
Zadanie 3. Zmieszano 1000 litrów mleka o zawartości 4,2% tłuszczu i 500 litrów mleka o
zawartości 3,6% tłuszczu. Ile procent tłuszczu zawierała otrzymana mieszanka?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Ilość tłuszczu w 1000 litrach mleka: 4,2% z 1000 l=42 l
Ilość tłuszczu w 500 litrach mleka: 3,6% z 500 l= 18 l
W mieszaninie będzie 42+18=60 l tłuszczu na 1500 litrów mleka, stąd zawartość procentowa
60
⋅ 100% = 4%
mieszaniny:
1500
......................................................................................................................................................
Zadanie 4. Znajdź liczbę 6-cio cyfrową wiedząc, ze jej pierwszą cyfrą jest 3, zaś po
przestawieniu trójki na koniec uzyskamy liczbę stanowiąca 25% liczby szukanej.
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Szukana liczba ma postać 3xxxxx, co można zapisać w postaci: 300000+y, gdzie y jest
pięciocyfrową liczbą, składającą się z cyfr występujących po cyfrze 3.
Po przestawieniu cyfry 3 na koniec, otrzymamy liczbę postaci: xxxxx3, którą można zapisać:
10y+3, gdyż liczba y po przesunięciu w lewo o jedno miejsce, zwiększy się 10 razy.
Mamy więc równanie: 10y+3=25%(300000+y), którego rozwiązaniem jest y=7692.
Szukana liczba: 307692.
......................................................................................................................................................
Zadanie 5. Dziadek i babka mają razem 140 lat. Dziadek ma obecnie dwa razy tyle, co babka
miała wtedy, gdy dziadek miał tyle, ile babka ma teraz. Ile lat ma dziadek, a ile babka?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Oznaczmy: x - wiek dziadka (teraz)
Przy takim oznaczeniu wiek babki (teraz): 140-x
W temacie zadania jest też mowa o czasie przeszłym, w którym:
− dziadek miał 140-x lat (tyle, co babka ma teraz)
1
− babka miała x lat (dziadek ma obecnie dwa razy tyle, co babka miała wtedy)
2
Bez względu na czas (teraz czy wtedy), różnica lat dziadka i babki jest stała, tzn. dziadek jest
zawsze tyle samo lat starszy od babki, co daje równanie:
1
x − (140 − x ) = (140 − x ) − x
2
Rozwiązaniem tego równania jest x=80, czyli 140-x=60.
Dziadek ma 80 lat, a babka 60 lat.
......................................................................................................................................................
Zadanie 6. Do magazynu dostarczono tyle worków cukru, ile waży cukier w każdym worku.
Po sprzedaniu 50 worków cukru, okazało się, że pozostała część waży 975 kilogramów. Ile
kilogramów cukru dostarczono do magazynu?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Oznaczmy: x – ilość dostarczonych worków cukru (i jednocześnie waga cukru w każdym
worku)
Do magazynu dostarczono x ⋅ x = x 2 kilogramów cukru.
Sprzedano 50 worków cukru, czyli 50x kilogramów.
Mamy równanie: x 2 − 50x = 975 (mamy tu oczywiste niedopowiedzenie: uważny czytelnik
zapyta, czy przed dostawą cukru magazyn był pusty? Tak należy w zadaniu przyjąć, gdyż bez
tego założenia zadania nie dałoby się rozwiązać).
Rozwiązując otrzymane równanie otrzymujemy x 1 = −15 , x 2 = 65 . Wartość ujemną
odrzucamy, więc do magazynu dostarczono x 2 = 4225 kg cukru.
......................................................................................................................................................
Zadanie 7. Z naczynia o objętości 40 litrów napełnionego alkoholem odlano pewną ilość
alkoholu i dodano wody. Gdy znowu odlano taką samą ilość mieszaniny i dopełniono
naczynie wodą, w naczyniu pozostało 10 litrów alkoholu. Ile litrów cieczy odlano za każdym
razem?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Po odlaniu x litrów alkoholu i dolaniu wody, w naczyniu będzie 40-x litrów alkoholu i x
40 − x
litrów wody. Tak więc będzie to mieszanina, w której alkohol stanowi
całości
40
naczynia.
Jeżeli teraz odlejemy x litrów tej mieszaniny, to ilość odlanego za drugim razem alkoholu
40 − x
40x − x 2
wyniesie:
⋅x =
40
40
Łącznie odlano x +
(
(
)
1
40x − x 2 litrów alkoholu, i zgodnie z tematem zadania
40
)
1
40x − x 2 = 30
40
Równanie to ma dwa rozwiązania: x 1 = 60 , x 2 = 20 .
x 1 = 60 odrzucamy, bo ilość odlanego alkoholu nie może być większa niż 40.
Za każdym razem odlewano 20 litrów.
......................................................................................................................................................
Zadanie 8. Trzej robotnicy, pracując po 8 godzin dziennie, wykonali w ciągu 6 dni 40%
planowanej pracy. Ilu robotników wykona resztę tej pracy w ciągu 4 dni, pracując po 9 godzin
dziennie?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
2
1 2 1
Trzej robotnicy wykonali 40% = pracy, a więc wykonywali ⋅ =
część pracy
5
6 5 15
dziennie.
1 1
1
1 1
1
Jeden robotnik wykonywał ⋅
=
=
pracy dziennie, czyli ⋅
pracy na godzinę.
3 15 45
8 45 360
Oznaczmy: x – szukana ilość robotników.
1
x
x robotników pracując po 9 godzin przez 4 dni wykona x ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅
=
pracy, a mają
360 10
3
wykonać 60% = pracy.
5
x 3
= , co daje x=6.
Otrzymaliśmy równanie:
10 5
......................................................................................................................................................
Zadanie 9. O ile procent wzrośnie pole koła, jeżeli jego obwód zwiększymy o p%?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
Niech r oznacza długość promienia koła.
p
p 

Obwód koła: 2π
π r , a po zwiększeniu 2π r +
⋅ 2 π r = 2π r  1 +
.
100
100 

p 

Oznacza to, że promień koła po zwiększeniu będzie miał długość  1 +
r .
100 

x+
2
2

p  
p 

Pole koła: π ⋅ r , a po zwiększeniu π ⋅   1 +
 ⋅ r  = π ⋅ r 2 ⋅  1 +
 .
100  
100 


x
Jeżeli przyjmiemy, że pole koła wzrosło o x% =
, to po zwiększeniu będzie ono
100
x
x 

⋅ π ⋅ r 2 = π ⋅ r 2 1 +
wynosiło π ⋅ r 2 +
.
100
100 

2
2
x
p 

Otrzymaliśmy równanie 1 +
= 1 +
 , z którego należy obliczyć x.
100 
100 
p2
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy x = 2p +
.
100
......................................................................................................................................................
Zadanie 10. Basen można napełnić woda dwiema rurami w ciągu 6 godzin. Napełnianie
basenu pierwsza rurą trwa o 5 godzin krócej, niż drugą. Ile godzin trwa napełnianie basenu
każda rurą oddzielnie?
......................................................................................................................................................
Rozwiązanie:
1
Dwie rury napełniają w ciągu jednej godziny basenu.
6
Oznaczmy:
− x - część basenu, jaką napełnia w ciągu jednej godziny pierwsza rura
− y - część basenu, jaką napełnia w ciągu jednej godziny druga rura
1
x+y = .
6
Jeżeli przyjmiemy, że pierwsza rura napełnia cały basen w ciągu n godzin, to x ⋅ n = 1 (1
oznacza cały basen), oraz y ⋅ (n + 5 ) = 1 .
1
1

, stąd y ⋅  + 5  = 1
x
x

Otrzymaliśmy układ równań:
1

 x + y = 6
 1

y + 5  = 1
  x

Po wyliczeniu z pierwszego równania y i wstawieniu do drugiego równania, otrzymujemy
1
2
, x2 = − .
równanie z niewiadomą x, które ma dwa rozwiązania: x 1 =
10
3
x 2 odrzucamy, bo x nie może być liczbą ujemną.
1
1
iy=
Daje to: x =
, czyli pierwsza rura napełnia basen w ciągu 10 godzin, a druga w
10
15
ciągu 15 godzin.
n=