Równanie różniczkowe zupełne

Równanie różniczkowe
zupełne
DEFINICJA

Niech
P, Q  C 1  D , gdzie D jest obszarem jednospójnym, D R 2 oraz niech
Q x, y  0  x , y   D
Równanie różniczkowe:
P x , y 
dy

dx
Q x , y 
P x, y dx  Q x, y dy  0
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym, gdy istnieje funkcja U , U C 2  D
lub równoważne:
taka, że P x, y dx  Q x, y dy jest różniczką zupełną funkcji U.
Warunek na istnienie funkcji U
P Q
U 

y
x

I wtedy
U  x, y 
x
y
 Pt , ydt   Q x , t dt
0
x0
y0
Twierdzenie

Jeśli P, Q  C 1 D  , gdzie D jest prostokątem D  a , b  c, d  ,
P Q

y x
to wzór
U  x, y   C , gdzie U  x , y   Pt , y dt  Q x0 , t dt


x
y
x0
y0
Określa całkę ogólną równania różniczkowego zupełnego.
Q x, y  0
 x , y   D,
Przykład

My rozwiążemy równanie różniczkowe zupełne:
2 x(1  e y )
ey
dy

*
 0 /* dx
(1  x 2 ) 2 1  x 2 dx
2 x(1  e y )
ey
dx 
dy  0
(1  x 2 ) 2
1 x2

1 krok to sprawdzenie czy jest to równanie zupełne
dP dQ

dy dx
dP
2x

* ( e y )
2 2
dy (1  x )
dQ
1
 e y * (
* 2 x)
dx
(1  x 2 ) 2

Krok 2 to szukanie funkcji, która jest rozwiązaniem naszego równania
różniczkowego.
dF
Q
dy
i
dF
P
dx
ey
ey
F ( x, y )  
dy 
 f ( x)
1 x2
1 x2
dF 2 x(1  e y )

dx
(1  x 2 ) 2
dF
1
 e y (
* 2 x)  f ' ( x)
2 2
dx
(1  x )
1
2 x(1  e y )
'
e (
* 2 x)  f ( x) 
(1  x 2 ) 2
(1  x 2 ) 2
y
2 x  2 xe y
2 xe y
2x
f ( x) 


2 2
2 2
(1  x )
(1  x )
(1  x 2 ) 2
'
t  1 x2
2x
dt
1
2
f ( x)  
dx



t
dt


C
t
(1  x 2 ) 2
dt  2 xdx  t 2 
f ( x)  
1
C
1 x2

Ostatecznie podstawiamy i wychodzi:
e
1
e 1
F ( x, y ) 


C


C
2
2
2
1 x
1 x
1 x
y
y