1. Indukcja matematyczna Zadanie 1.1. Wykazać, że (a) ∧ 12 + 22 +

1. Indukcja matematyczna
Zadanie 1.1. Wykazać, że
^
n(n + 1)(2n + 1)
(a)
12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
,
6
n∈N
^
n
(b)
12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = (2n − 1)(2n + 1),
3
n∈N
2
^
n (n + 1)2
(c)
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
,
4
n∈N
^ 1
1
1
n
(d)
+
+ ··· +
=
,
1·4 4·7
(3n − 2)(3n + 1)
3n + 1
n∈N
^
(e)
1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1,
n∈N
Zadanie 1.2. Znaleźć (zgadnąć, badając małe wartości n) wzór na sumę
i udowodnij wynik indukcyjnie.
1
1·2
+
1
2·3
+ ··· +
1
n(n+1)
Zadanie 1.3. Udowodnić indukcyjnie wzór na sumę ciągu arytmetycznego.
Zadanie 1.4. Wykazać, że
^
(a)
3 jest dzielnikiem liczby 7n − 1,
n∈N
(b)
^
^
(c)
6 jest dzielnikiem liczby n3 + 5n.
n∈N
7 jest dzielnikiem liczby 2n+2 + 32n+1 ,
n∈N
Zadanie 1.5. Wykazać, że
^
(a)
2n > 2n + 1,
n>2
(b)
^
n∈N
(c)
^
^
(d)
n∈N
n(n + 1)
,
n ­
2
3
(e)*
^
√
1
1
1
1 + √ + √ + · · · + √ > n,
n
2
3
nn+1 > (n + 1)n .
n­3
4n > n3 ,
n∈N
Zadanie 1.6. Pokazać indukcyjnie, że każdy n elementowy zbiór S posiada 2n podzbiorów (łącznie ze
zbiorem pustym i zbiorem S)
Zadanie 1.7. Wyznaczyć liczbę odcinków łączących n punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy
nie są współliniowe.
Zadanie 1.8. Udowodnić indukcyjnie, że każdą kwotę n ­ 4 zł można rozmienić na dwuzłotówki i
pięciozłotówki.
Zadanie 1.9. Jakie opłaty skarbowe możemy uiścić mając tylko znaczki skarbowe o nominałach 3 zł
i 5 zł (znaczków mamy dowolnie dużo). Odpowiedź poprzeć argumentem indukcyjnym.
Zadanie 1.10. Czekolada jest prostokątem złożonym z jednostkowych kwadracików. Zakładamy, że
możemy je łamać wzdłuż poziomych lub pionowych rowków, podobnie powstałe z przełamania kawałki
(które też są prostokątami). Zakładamy, że w jednym ruchu dokonujemy jednego łamania tylko jednego
z kawałków czekolady. Ile ruchów potrzebujemy, aby podzielić czekoladę na kwadraciki jednostkowe?
Trenując na prawdziwej czekoladzie, dojść do odpowiedzi, a otrzymany wynik udowodnić indukcyjnie.
Zadanie 1.11. * Oto prosta wersja gry NIM. Jest stos monet i n graczy. Kolejno zabierają ze stosu
monety. W każdym ruchu można zabrać 1, 2 lub 3 monety. Przegrywa ten, kto zabierze ostatnią
monetę (ostatnie monety). Dla jakich n grę wygrywa gracz pierwszy, a dla jakich drugi? „Wygrywa
grę” oznacza, że gracz ma strategię gwarantującą wygraną, nawet przy bardzo dobrej grze przeciwnika.
Uwaga: w bardziej skomplikowanych wersjach tej gry stosów jest kilka.
1
2
POLITECHNIKA LUBELSKA – Informatyka I
2. Rekurencja I
Zadanie 2.1. Oblicz f (4), jeśli f (0) = 1, f (1) = −1, a dla n ­ 1
(a) f (n + 1) = (f (n))2 + f (n − 1),
(b) f (n + 1) = 2f (n) ,
(c) f (n + 1) = 3f (n), gdy n jest parzyste i f (n + 1) = −3f (n), gdy n jest nieparzyste.
Zadanie 2.2. Podać rekurencyjną definicję ciągu (bn ), w której bn jest wyrażone przy pomocy bn−1 .
Proszę pamiętać o warunkach początkowych.
(a) bn = 10n dla n ­ 0, (b) bn = 5 dla n ­ 1, (c) bn = −3n dla n ­ 0.
Zadanie 2.3. Zgadnąć i udowodnić indukcyjnie wzor jawny na an , jeżeli
(a) a1 = 3, a2 = −1, an = 2an−1 − an−2 , dla n ­ 3.
(b) a0 = −2, an+1 = − 2a1n , dla n ­ 0.
Ponadto w punkcie (a) wyznaczyć wzór jawny, korzystając z odpowiedniego twierdzenia.
Zadanie 2.4. Udowodnić indukcyjnie, że am ­ 2m dla wszystkich wyrazów ciągu (an ), zdefiniowanego
rekurencyjnie:
a0 = 2, a1 = 3, an = an−1 + 2an−2 , dla n ­ 2.
Następnie wysnaczyć wzór jawny, korzystając z odpowiedniego twierdzenia.
Zadanie 2.5. Niech F (n) oznacza sumę kwadratów pierwszych n liczb naturalnych. Podaj rekurencyjną definicję F (n).
Zadanie 2.6. Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a i ilorazie q. Podaj rekurencyjną
definicję sumy n pierwszych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 2.7. W pewnym mieście jeden człowiek zachorował na grypę. Załóżmy, że każda chora osoba
zaraża codziennie 4 zdrowe osoby. Ile będzie chorych n dniach? Podaj rozwiązanie w postaci jawnej
i rekurencyjnej.
Zadanie 2.8. W pewnej populacji królików każda para zdolna do rozrodu rodzi co miesiąc dwie pary.
W chwili „zero” jest jedna nowonarodzona para. Zakładając, że króliki są zdolne do rozmnażania po
trzech miesiącach od narodzin, podaj w postaci rekurencyjnej liczbę par królików po n miesiącach.
Zadanie 2.9. (∗) Mamy gruby krążek sera i wykonujemy n (n ­ 0) cięć (różnym cięciom odpowiadaja
różne płaszczyzny w przestrzeni) Chcemy otrzymać w ten sposób jak najwięcej kawałków sera.
a) Czy opłaca nam się kroić równolegle ?
b) Na ile maksymalnie kawałków rozpadnie się ser przy 4 cięciach ?
c) Wyznacz Pn – maksymalną liczbę kawałków sera, powstających po n cięciach.
3
3. Rekurencja II. Indukcja strukturalna.
Zadanie 3.1. Oprocentowanie lokat w banku wynosi 5% w skali roku. Bank proponuje dwa sposoby
gromadzenia kapitału:
1) Na początku wpłacamy 1000zł, odsetki doliczane są do kapitału na końcu każdego roku.
2) Na koniec każdego roku wpłacamy po 100zł, odsetki też są doliczane do kapitału na końcu każdego
roku (oczywiście na końcu roku bank nie doliczy odsetek od 100zł, które właśnie wpłaciliśmy).
Ile zgromadzimy pieniędzy na każdej lokacie po n latach ? Proszę podać rozwiązanie rekurencyjne dla
każdej osobno.
Na której lokacie zgromadzimy więcej przez 30 lat ?
Zadanie 3.2. Podwójna wieża Hanoi składa się z 2n krążków, po dwa krążki w każdym z n rozmiarów.
Zasady przenoszenia takie jak na wykładzie: mamy trzy pręty, nie można położyć większego krążka na
mniejszy. Ile ruchów trzeba co najmniej wykonać, by przenieść wieżę z jednego pręta na drugi ?
Zadanie 3.3. Oto rekurencyjna definicja pewnego zbioru S.
1) ∅ ∈ S, {1} ∈ S, {2} ∈ S, {3} ∈ S.
2) Jeżli A ∈ S i B ∈ S, to A ∪ B ∈ S.
Jaki to zbiór ? Proszę wypisać wszystkie jego elementy.
Zadanie 3.4. Proszę podać definicję rekurencyjną zbioru A13 wszystkich liczb podzielnych przez 13.
Następnie udowodnić poprawność tej definicji, tzn.
a) pokazać indukcją strukturalną, że wszystkie elementy Państwa zbioru są podzielne przez 13,
b) pokazać indukcyjnie, że każda liczba podzielna przez 13 należy do Państwa zbioru.
Zadanie 3.5. Podaj definicję rekurencyjną zbioru liczb niepodzielnych przez 13.
Zadanie 3.6. Oto definicja rekurencyjna pewnego zbioru liczbowego A:
1) 9 ∈ A, 6 ∈ A.
2) Jeśli x ∈ A i y ∈ A, to x + y ∈ A.
Udowodnij, stosując indukcję strukturalną, że każdy element A jest wielokrotnością 3.
Zadanie 3.7. Załóżmy, że hasło może być zbudowane z małych liter (24), cyfr (10) i kropek, ale dwie
kropki nie mogą stać obok siebie. Jak wygenerować wszystkie hasła długości d rekurencyjnie ? Jak
zdefiniować rekurencyjnie zbiór wszystkich haseł ?
Zadanie 3.8. Palindrom, to ciąg, który czytany w obu kierunkach wygląda tak samo. Chcemy zdefiniować zbiór P ciągów binarnych, które są palindromami. Czy poniższa definicja jest poprawna ? Jeżeli
nie – popraw ją.
1) (0) ∈ P, (1) ∈ P .
2) Jeżeli a ∈ P , to (0a0) ∈ P i (1a1) ∈ P .
(0a0) oznacza ciąg a z doklejonymi zerami, analogicznie (1a1).
Zadanie 3.9. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór A wszystkich punktów kratowych płaszczyzny (tzn. punktów o współrzędnych całkowitych), dla których przynajmniej jedna współrzędna jest
parzysta. Czy poniższa definicja jest poprawna ? Jeżeli nie – podaj poprawną.
1) (0, 0), (0, 1), (1, 0) ∈ A.
2) Jeżeli (x, y) ∈ A, to (x + 2, y + 2) ∈ A i (x − 2, y − 2) ∈ A.
Zadanie 3.10. Pokaż, stosując indukcję strukturalną (i definicję rekurencyjną drzewa bin. z wykładu),
że pełne drzewo binarne o wysokości h ma ma przynajmniej 2h + 1 wierzchołków.
Zadanie 3.11. W pełnym drzewie binarnym liśćmi nazywamy wszystkie wierzchołki, które nie mają
potomków. Zamiast tej definicji możemy zastosować definicję rekurencyjną zbioru liści. Sprawdź, czy
poniżej zostało to dobrze zrobione. Jeśli nie, popraw definicję rekurencyjną.
1) Drzewo o jednym wierzchołku nie ma liści.
2) Jeśli T1 i T2 są pełnymi drzewami binarnymi, to zbiorem liści drzewa T = T1 · T2 jest suma zbiorów
liści T1 i T2 .
Zadanie 3.12. W pełnym drzewie binarnym wierzchołkami wewnętrznymi nazywamy wszystkie wierzchołki, które mają potomków. Podaj rekurencyjną definicję zbioru wierzchołków wewnętrznych pełnego
drzewa binarnego.
Zadanie 3.13. Używając indukcji strukturalnej pokaż, że l(T ), czyli liczba liści w pełnym drzewie
binarnym T , jest o 1 większa niż liczba wewnętrznych wierzchołków T .
4
POLITECHNIKA LUBELSKA – Informatyka I
4. Prawa przeliczania
Zadanie 4.1. W konkursie startuje 20 skoczków. Ile jest możliwości zajęcia trzech miejsc na podium ?
Zadanie 4.2. Rzucamy trzema kostkami do gry: zieloną, czerwoną i niebieską.
a) Ile różnych wyników możemy otrzymać ?
b) W ilu wynikach wszystkie trzy liczby oczek są różne ?
c) W ilu wynikach nie uzyskamy tej samej liczby oczek na wszystkich trzech kostkach ?
Zadanie 4.3. Ile różnych haseł długości d można wygenerować, jeżeli mamy do dyspozycji 24 litery
i 10 cyfr ?
Zadanie 4.4. Na ile sposobów można wybrać kolejno dwie karty z talii 52 kart tak, aby
a) pierwszą kartą był as, a drugą nie była dama,
b) pierwszą była karta koloru karo, a drugą nie była dama ?
Zadanie 4.5. Ile haseł długości nie większej niż 7 można utworzyć z liter a, b, c ?
Zadanie 4.6. a) Ile jest palindromicznych liczb 5-cyfrowych ?
b) Ile jest parzystych liczb 5-cyfrowych ?
c) Ile jest parzystych, palindromicznych liczb 5-cyfrowych ?
d) Ile liczb 5-cyfrowych parzystych zawiera dokładnie jedną jedynkę ?
e) Ile liczb 5-cyfrowych parzystych zawiera przynajmniej jedną jedynkę ?
Zadanie 4.7. Ile liczb od 1 do 2005
a) dzieli się przez 3 lub przez 4 ?
b) dzieli się przez 10 lub przez 25 ?
c) nie dzieli się ani przez 3 ani przez 4 ?
d) nie dzieli się ani przez 10 ani przez 25 ?
Zadanie 4.8. Są 3 różne drogi z miasta A do miasta B, 2 różne drogi z B do miasta C i 4 różne drogi
z A do C. Na ile sposobów można dojechać (pośrednio lub bezpośrednio)
a) z A do C i z powrotem ?
b) z A do C i z powrotem, nie przejeżdżając żadnego odcinka trasy dwa razy ?
Zadanie 4.9. Wypisać wszystkie podzbiory zbioru {a, b, c, d} i odpowiadające im ciągi binarne.
Zadanie 4.10. Wypisać wszystkie podzbiory 3-elementowe zbioru {1, 2, 3, 4, 5}, a przy każdym z nich
wypisać ciągi długości 3, zbudowane z wszystkich elementów danego podzbioru.
Zadanie 4.11. a) Narysować wszystkie możliwe rozmieszczenia 3 identycznych kulek w 3 różnych
kapeluszach.
b) Narysować wszystkie możliwe pokolorowania 3 identycznych kulek, jeśli mamy kolory: czerwony,
zielony i niebieski.
c) Czy widać jakąś zależność (bijekcję ?) między wynikiem a) i b) ?
5
5. Schematy wyboru
Zadanie 5.1. Ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek używając sześciu barw? Chorągiewki składają się z trzech poziomych pasków.
Zadanie 5.2. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza się żadna cyfra?
Zadanie 5.3. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 4,5,6 ?
Zadanie 5.4. Na ile sposobów możemy utworzyć 6-osobową delegację z grupy 10 studentek i 20
studentów, aby
a) pań było tyle samo, ile panów?
b) panów było więcej niż pań?
Zadanie 5.5. Iloma sposobami można rozmieścić 5 osób na pięciu numerowanych krzesłach? A wokół
okrągłego stołu, gdy krzesła nie są numerowane?
Zadanie 5.6. Cztery kule białe, cztery czarne i cztery zielone numerujemy i układamy w szereg tak,
aby każde trzy po sobie następujące kule były różnej barwy. Na ile sposobów można je ułożyć?
Zadanie 5.7. Rzucamy 10 razy kostką do gry. Ile jest możliwych wyników, w których
a) nie ma żadnej czwórki?
b) jest przynajmniej jedna czwórka?
c) są dokładnie dwie czwórki?
d) są przynajmniej dwie czwórki?
Zadanie 5.8. W przedziale wagonu są ustawione naprzeciw siebie dwie ławki mające po 5 numerowanych miejsc. Na pierwszej ławce siedzą 3 osoby oznaczone A, B, C, a na drugiej 2 osoby: D i E. Na ile
różnych sposobów mogą usiąść pasażerowie tak, aby zawsze dwie osoby siedziały naprzeciw dwu osób?
Zadanie 5.9. Ile jest możliwych wyników przy rzucie trzema identycznymi kostkami do gry?
Zadanie 5.10. Na ile sposobów można rozmieścić 12 jednakowych przedmiotów w 4 różnych pudełkach?
Zadanie 5.11. Ile jest ciągów binarnych długości 15, w których cyfra 1 występuje dokładnie 3 razy?
Jaki jest związek z poprzednim zadaniem?
Zadanie 5.12. Ile całkowitych nieujemnych rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 = 12?
Narysować odpowiednią kratę.
Zadanie 5.13. Na ile sposobów można rozmieścić cztery identyczne pomarańcze i sześć różnych jabłek
(każde innego gatunku) w pięciu różnych skrzynkach?
Zadanie 5.14. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których suma cyfr wynosi dokładnie 9?
Zadanie 5.15. Ile jest takich rozdań do brydża, w których:
a) gracz W ma wszystkie cztery asy?
b) każdy z zawodników ma po jednym asie?
c) gracze W i E mają po dwa asy?
Zadanie 5.16. Ile liczb ośmiocyfrowych możemy utworzyć z cyfr liczby a) 21233353 b) 212333534?
Zadanie 5.17. Na ile sposobów może jednocześnie przywitać się sześciu znajomych?
Zadanie 5.18. Na ile sposobów można podzielić 22-osobową grupę studencką na trzy 4-osobowe i dwie
5-osobowe grupy, jeśli
a) każda grupa będzie pracować nad innym zadaniem,
b) wszystkie zespoły będą pracować nad tym samym problemem?
n X
n
Zadanie 5.19. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
= 2n .
k
k=0
Zadanie 5.20. Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, by na pierwszej
półce znajdowało się 6 książek, na drugiej 4, a na trzeciej reszta?
Zadanie 5.21. Ile różnych wyrazów (mających sens lub nie) można ułożyć z liter wyrazu MATEMATYKA ?
6
POLITECHNIKA LUBELSKA – Informatyka I
Zadanie 5.22. Sześć osób ma do dyspozycji 5 różnokolorowych kieliszków i 2 różne gatunki win. Na
ile sposobów mogą się napić?
Zadanie 5.23. Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych, w których na pierwszym i ostatnim miejscu
występuje ta sama cyfra, a cyfry w liczbie mogą się dowolnie powtarzać?
Zadanie 5.24. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których jedynie 0 może się powtarzać?
Zadanie 5.25. Mamy do dyspozycji cztery rodzaje owoców: jabłka, gruszki, morele i pomarańcze.
Tworzymy paczki po 5 owoców w każdej. Ile różnych paczek możemy otrzymać w ten sposób?
Zadanie 5.26. Iloma sposobami można rozdzielić 4 różne nagrody między trzech pracowników, jeżeli
każdy z nich ma otrzymać co najmniej jedną nagrodę?
Zadanie 5.27. W ilu punktach przecina się 10 prostych leżących na płaszczyźnie, jeżeli cztery z nich
są równoległe?
Zadanie 5.28. Ile jest dróg z lewego dolnego rogu szachownicy do prawego górnego, jeśli możemy się
poruszać tylko w prawo i do góry?
Zadanie 5.29. Ile jest sposobów pomalowania 8 jednakowych kul pięcioma kolorami?
Zadanie 5.30. Na ile sposobów dziesięć osób może prowadzić równocześnie pięć rozmów telefonicznych?
Zadanie 5.31. Ile całkowitych nieujemnych rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 = 10?
Zadanie 5.32. Ile jest najkrótszych dróg w kracie 5 × 4?
Zadanie 5.33. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
Zadanie 5.34. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
k X
n
m
m+n
=
.
s
k−s
k
s=0
n X
n
k=0
Zadanie 5.35. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
k
(m − 1)n−k = mn .
l X
n
m
n+m
=
.
k
l−k
l
k=0
Zadanie 5.36. (∗) Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
n
X
n
k
= n2n−1 .
k
k=1
Zadanie 5.37. (∗) Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
n
X
k=1
k2
2
2n − 2
n
= n2
.
k
n−1
7
6. Trzy podstawowe zasady
Zadanie 6.1. Ile jest liczb naturalnych od 1 do 100 niepodzielnych ani przez 2, ani przez 3, ani 5 ?
Zadanie 6.2. Stosując zasadę włączania i wyłączania obliczyć ile jest liczb pierwszych mniejszych niż
100.
√ Wskazówka: każda liczba złożona mniejsza od n dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą mniejszą niż
n (dlaczego ?).
Zadanie 6.3. Bazując na idei z poprzedniego zadania, wymyślić algorytm, wyznaczający wszystkie
liczby pierwsze z przedziału od 1 do n.
Zadanie 6.4. Wśród 30 pracowników, z których każdy jest z matematyki (M), fizyki (F) lub biologii
(B), z M jest 15, z F – 12, tych, którzy nie pracują na B – 15, pracowników M, którzy nie pracują na
F – 12, ludzi z B, którzy nie są na F - 11, a zatrudnionych jednocześnie na B i M – 6. Ilu pracuje na
wszystkich trzech wydziałach jednocześnie ?
Zadanie 6.5. W grupie 80 osób każdy biega, pływa lub skacze. Biegaczy jest 50, 45 pływaków, 40
skoczków, 27 osób zarówno pływa jak i biega, 10 trenuje wszystkie 3 dyscypliny, a 32 osób na pewno
nie skacze, ale na pewno biega.
a) Ile uprawia samo bieganie? A samo pływanie ?
b) Ilu ludzi biega lub pływa ?
c) Ilu tylko skacze ?
Zadanie 6.6. Na ile sposobów można rozdać n różnych nagród wśród 4 osób A, B, C, D tak, aby
(a) A dostała przynajmniej jedną nagrodę ?
(b) A lub B nie dostała nic ?
(c) Zarówno A jak i B dostała przynajmniej jedną nagrodę ?
(d) Przynajmniej jedna spośród A, B, C nic nie dostała ?
(e) Każda z czterech osób coś dostała ?
Zadanie 6.7. Ile jest rozdań w brydżu, przy których każdy gracz ma jakiegoś pika ? Poniżej znajduje
się propozycja rozwiązania. Czy rozwiązanie jest poprawne ? Jeśli nie – uzasadnij, na czym polega błąd
i rozwiąż zadanie poprawnie.
Rozwiązanie: Wybieramy 4 piki na 13
sposobów, dajemy je graczom na 4! sposobów, a pozostałe
4
karty rozdajemy po 12 dla każdego. Czyli rozdań jest
13
48!
.
· 4! ·
12!12!12!12!
4
Zadanie 6.8. Wypisać wszystkie nieporządki dla n = 3 i n = 4. Ile ich jest ?
Zadanie 6.9. Ile jest nieporządków „prawie totalnych” dla n = 4, tzn. takich rozłożeń, w których
dokładnie jeden element (nie wiemy jaki) pozostał na swoim miejscu ?
Ile jest nieporządków „prawie totalnych” dla n ?
Zadanie 6.10. Grupa s studentów zajmuje miejsca w s-osobowej auli, a w następnym tygodniu siada
w tej samej auli losowo. Ile jest możliwości tego, że przynajmniej jedna osoba usiadła na tym samym
miejscu co poprzednio ?
Zadanie 6.11. Niech Dn oznacza liczbę totalnych nieporządków dla n. Podać zależność rekurencyjną
dla Dn .
Zadanie 6.12. Uzasadnij, że wśród dowolnych 14 liczb naturalnych znajdziemy dwie, które przy
dzieleniu przez 13 dają tę samą resztę.
Zadanie 6.13. Kabel długości 100cm tniemy dowolnie na 6 części. Zakładamy przy tym, że długości
wyrażają się są całkowitą liczbą centymetrów.
a) Uzasadnić, że zawsze któraś z części będzie miała przynajmniej 17 cm.
b) Czy zawsze musi powstać część dłuższa niż 17 cm ?
Zadanie 6.14. Pokazać, że dwa dowolne prostopadłościany można ułożyć jeden na drugim tak, aby
nic nie wystawało.
Zadanie 6.15. Pokaż, że wśród 10 punktów rzuconych na trójkąt równoboczny o boku 1 znajdziemy
dwa w odległości nie większej niż 1/3.
Zadanie 6.16. Pokazać, że wśród 21 studentów zdających egzamin zawsze znajdziemy sześciu, którzy
otrzymali tę samą ocenę. (Skala ocen: 2,3,4,5.)
8
POLITECHNIKA LUBELSKA – Informatyka I
Zadanie 6.17. Studenci zdają 3 egzaminy. Możliwe oceny to 3,4,5. Ilu musi być studentów, abyśmy
mieli pewność, że przynajmniej 10 studentów zaliczy egzaminy z takimi samymi „zestawami” ocen ?
Proszę to zrobić w dwóch wersjach: ważne jest/nie jest ważne z jakiego egzaminu pochodzą oceny.
Zadanie 6.18. Maszyna generuje ciągi binarne długości d w sposób, którego nie znamy. Ile ciągów trzeba wygenerować, aby mieć pewność, że wśród nich będą przynajmniej trzy takie same ? Po znalezieniu
odpowiedniej liczby prosze uzasadnić, że mniejsza nie wystarcza.
Zadanie 6.19. W zawodach bierze udział n drużyn. Mecze rozgrywane są przez kilka dni, o różnych
porach. Uzasadnij, że w każdym momencie zawodów znajdą się dwie drużyny, które rozegrały do tej
pory tę samą liczbę meczy.
Zadanie 6.20. Udowodnij (metodą nie wprost), że po dowolnym rozłożeniu n kulek do k szuflad
znajdziemy szufladę, w której jest przynajmniej dn/ke kulek.
Zadanie 6.21. Udowodnij przez zaprzeczenie, że w każdej szufladzie, w której jest 20 sztućców, znajdziemy 7 łyżek, lub 10 noży, lub 5 widelców.
Zadanie 6.22. Znaleźć najmniejszą liczbę połćzeń między 8 komputerami i 4 drukarkami, gwarantującą, że każda czwórka komputerów będzie miała bezpośredni dostęp do czterech różnych drukarek
(bez konfliktu dostępu).
Zadanie 6.23. Znaleźć najdłuższy podciąg rosnący i najdłuższy podciąg malejący w ciągu 22, 5, 7,
2, 23, 10, 15, 21, 2, 17.
Zadanie 6.24. Znaleźć permutację liczb {1, 2, 3, 4}, w której nie ma ciągu malejącego ani rosnącego
długości 3. Czy isnieje taka permutacja 5 liczb ?
Zadanie 6.25. Znaleźć permutację liczb {1, . . . , 9}, w której nie ma ciągu malejącego ani rosnącego
długości 4.
Zadanie 6.26. Pokazć, że spośród dowolnych n4 + 1 klocków (prostopadłościanów) można wybrać
n + 1 i ułożyć z nich „monotoniczną” wieżę, tzn. wieże, która prześwietlona od góry daje obraz zagnieżdżających się prostokątów.
Zadanie 6.27. a) Czy wśród pięciu osób zawsze znajdzie się trójka znajomych (tzn. każdy zna każdego)
lub trójka nieznajomych ?
b)(∗) a wśród sześciu ?
Zadanie 6.28. (∗) Wewnątrz kwadratu o boku 1 umieszczono 51 punktów. Uzasadnij, że znajdziemy
wśród nich trzy różne, które leżą w kole o promieniu 1/7.
Zadanie 6.29. (∗) Każdy punkt okregu malujemy na biało lub czarno.
a) Czy zawsze znajdziemy trzy punkty w jednym z kolorów, które są wierzchołkami trójkąta równobocznego ?
b) Pokaż, że zawsze znajdziemy trzy punkty w jednym z kolorów, które są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego ?
Zadanie 6.30. (∗) W turnieju szachowym bierze udział 10 zawodników. Rozgrywki toczą się w miastach A i B. Zawodnicy grają partie każdy z każdym. Udowodnij, że na końcu turnieju na pewno
znajdziemy trzy osoby, które rozegrały wszystkie partie między sobą w mieście A lub cztery osoby,
które rozegrały wszystkie partie między sobą w mieście B.
9
7. Teoria grafów – pojęcia wstępne
We wszystkich zadaniach chodzi o grafy proste, tzn. bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Zadanie 7.1. Ile najmniej a ile najwięcej krawędzi może mieć graf na zbiorze wierzchołków {1, . . . , n} ?
(2) Ile jest wszystkich grafów na zbiorze wierzchołków {1, . . . , n} ?
(3) Ile jest grafów na zbiorze wierzchołków {1, . . . , n}, które mają dokładnie
a) 1 krawędź ?
b) 2 krawędzie ?
c) m krawędzi ?
Zadanie 7.2. Narysuj graf na 10 wierzchołkach, składający się z dwóch rozłącznych grafów pełnych
K5 . Jak wygląda dopełnienie takiego grafu ?
Zadanie 7.3. Podaj przykład grafu 6-regularnego. Czy istnieje 3-regularny graf na 5 wierzchołkach?
Zadanie 7.4. Czy w każdej grupie witających się osób znajdziemy dwie, które przywitały się z tą
samą liczbą ludzi ? Przetłumacz problem na język grafów (i rozwiąż).
Zadanie 7.5. W pewnej grupie n osób każdy przywitał się z czterema osobami. Ile było powitań ?
Zadanie 7.6. Niech di oznacza liczbę osób, z którymi przywitała się i-ta osoba (i = 1, . . . , n) w pewnej
n-osobowej grupie.
a) Ile było powitań ?
b) Jak sformułować to zadanie w języku teorii grafów ?
Zadanie 7.7. Są dwie sieci komputerowe, S1 i S2 . Każdy komputer z sieci S1 , liczącej 100 maszyn, jest
połączony z dokładnie 3 komputerami z S2 , a każdy z sieci S2 jest połączony z dokładnie 6 komputerami
z S1 . Czy wiadomo, ile komputerów jest w sieci S2 ?
Zadanie 7.8. Z grafu pełnego o czterech wierzchołkach usunięto dwie krawędzie: a) o wspólnym końcu,
b) rozłączne. Dla tak powstałych dwóch grafów wyznacz
a) macierz sąsiedztwa A,
b) macierz incydencji M ,
c) listę sąsiadów.
Zadanie 7.9.
G0
F0
Dla grafów z rysunku podać stopień każdego wierzchołka, minimalny i maksymalny stopień grafu,
wskazać podgrafy indukowane przez wierzchołki stopnia 2. Narysować dopełnienie grafu G0 . Napisać
macierze sąsiedztwa i incydencji podanych grafów. Wskazać najdłuższe ścieżki i cykle.
10
POLITECHNIKA LUBELSKA – Informatyka I
8. Spójność i izomorfizm grafów
Zadanie 8.1. Jaki jest stopień każdego wierzchołka k-kostki ? Ile wierzchołków i ile krawędzi ma
k-kostka ? Proszę to rozwiązać na podstawie definicji ogólnej, a nie przykładowych rysunków!
Zadanie 8.2. Jakie wierzchołki leżą w odległości 2 od wierzchołka (1, 0, 1, 1) w 4-kostce ? Proszę je
wypisać bez robienia rysunku 4-kostki i wskazać odpowiednie ścieżki.
Zadanie 8.3. Uzasadnić, że w k-kostce żadna z odległości między wierzchołkami nie przekracza k.
Zadanie 8.4. Uzasadnić, że odległość w k-kostce między wierzchołkami różniącymi się na t bitach
wynosi t.
Zadanie 8.5. Dana jest k-kostka (k ­ 3) i jej wierzchołek v. Ile wierzchołków leży w odległości 3
od v ?
Zadanie 8.6. Załóżmy, że wierzchołkami grafu G są ludzie żyjący na świecie, a krawędź między
dwoma ludźmi oznacza, urodzili się tego samego dnia tygodnia. Jak wygląda graf G ? Z ilu składowych
się składa ?
Zadanie 8.7. Załóżmy, że graf G jest spójny. Udowodnij, że e(G) ­ v(G) wtedy i tylko wtedy, gdy G
zawiera cykl. Czy twierdzenie jest prawdziwe dla niespójnego grafu G ?
Zadanie 8.8. Wskazać zdania nieprawdziwe i podać ilustrujący to kontrprzykład:
a) Jeżeli H ⊆ G, to δ(H) ¬ δ(G);
b) Jeżeli H ⊆ G, to ∆(H) ¬ ∆(G);
c) Jeżeli G jest spójny i H jest podgrafem rozpinającym graf G, to H jest spójny;
d) Jeżeli H jest spójny i H jest podgrafem rozpinającym graf G, to G jest spójny.
Zadanie 8.9. Czy istnieje drzewo o 7 wierzchołkach, którego wierzchołki mają stopnie 1, 1, 1, 2, 2, 2, 5 ?
Zadanie 8.10. Ile wynosi suma stopni wierzchołków w drzewie o n wierzchołkach ?
Zadanie 8.11. Ile krawędzi ma graf bez cykli
a) o dwóch składowych, z których każda ma 100 wierzchołków ?
b) o 1000 wierzchołkach i 5 składowych ?
Zadanie 8.12. Czy istnieją grafy G i H na
a) 3 wierzchołkach,
b) 5 wierzchołkach,
o równej liczbie krawędzi, które nie są izomorficzne ?
Zadanie 8.13. Narysuj wszystkie grafy na 4 wierzchołkach, z których żadne dwa nie są izomorficzne.
Następnie połącz je w pary graf – jego dopełnienie.
Zadanie 8.14. Zbadaj, czy podane (w osobnym pliku) grafy są izomorficzne. Jeśli nie – uzasadnij
dlaczego, jeśli tak – wskaż izomorfizm.
11
9. Drzewa
Zadanie 9.1. Narysować wszystkie oznaczone drzewa 4-wierzchołkowe.
Zadanie 9.2. Wyznaczyć automorfizmy grafów:
Zadanie 9.3. Na ile sposobów można oznaczyć: Kn , Pn , K1,4 , K1,4 + e?
Zadanie 9.4. Wyznaczyć kod Prüfera dla drzew:
a) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, E = {12, 23, 26, 27, 34, 38, 45},
b) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, E = {12, 23, 26, 27, 34, 45, 48, 59, 810}.
Zadanie 9.5. Wyznaczyć drzewa o podanych kodach Prüfera:
a) 4,7,2,7,4,2,4
b) 3,3,3,3,3,3
c) 8,2,6,1,9,9,1
Zadanie 9.6. Dane jest drzewo T = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, E = {12, 23, 26, 27, 34, 38, 45}.
Narysować wszystkie nieizomorficzne drzewa z wyróżnionym korzeniem. Podać wysokość tych drzew
oraz numer poziomu wierzchołka 3.
Zadanie 9.7. Narysować wszystkie nieizomorficzne drzewa binarne z wyróżnionym korzeniem o wysokości 2.
Zadanie 9.8. a) Ile wierzchołków wewnętrznych ma pełne drzewo m-arne T , jeśli v(T ) = n ?
b) Ile liści ma pełne drzewo m-arne T , jeśli v(T ) = n ?
Zadanie 9.9. Jaka jest najmniejsza z możliwych wysokość drzewa binarnego o l liściach ?
Zadanie 9.10. a) Ile najmniej, a ile najwięcej liści może mieć drzewo binarne o n wierzchołkach ?
b) Jaka może być najmniejsza, a jaka największa wysokość drzewa binarnego o n wierzchołkach ?
Zadanie 9.11. Jak zmienić drzewo poszukiwań z muzeum figur woskowych z wykładu, gdy figurę
Słowackiego przeniesiono do innego muzeum? A figurę Kochanowskiego? Gdzie w wyjściowym drzewie
należałoby umieścić dane dotyczące figury Norwida? A jak dokonać minimalnych zmian w drzewie, aby
dopisać dane dotyczące figury Norwida, ale nie zmienić wysokości drzewa?
Zadanie 9.12. Zbudować drzewo poszukiwań swojej grupy dziekańskiej o minimalnej wysokości.
Zadanie 9.13. Ile ważeń wagą szalkową trzeba wykonać, aby wykryć fałszywą monetę wśród 4 monet ?
Nie wiemy, czy fałszywa moneta jest lżejsza, czy cięższa. Proszę znaleźć najmniejszą liczbę ważeń i
narysować drzewo decyzyjne odpowiadające Państwa algorytmowi ważenia.
b) to samo dla 6 monet.
A gdy chcemy ocenić, czy moneta jest cięższa, czy lżejsza?
Zadanie 9.14. Chcemy ustawić rosnąco różne liczby a, b, c, d (których nie znamy). Załóżmy, że w
jednym kroku możemy wybrać dowolne dwie i zapytać przyjaciela, która jest większa (przyjaciel zawsze
podaje dobrą odpowiedź). Proszę skonstruować przykładowe drzewo decyzyjne pozwalające ustawić
liczby rosnąco. Ile minimalnie pytań musimy zadać przyjacielowi ?
Czy 9 pytań wystarczy, by zawsze posortować 6 liczb ?
12
POLITECHNIKA LUBELSKA – Informatyka I
10. Drzewa – cd.
Zadanie 10.1. Dany jest graf za pomocą list sąsiadów:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
4,5,6
3,4,12
2,4,5,7,12
1,2,3
1,3,6,7
1,5,7,8
7: 3,5,6,8,9,10
8: 6,7,10,11
9: 7,10
10: 7,8,9,11
11: 8,10
12: 2,3
Przedstawić działanie algorytmów DFS i BFS na przykładzie tego grafu. Podać kolejność odwiedzanych
wierzchołków.
Zadanie 10.2. Wyznaczyć obiema metodami drzewa rozpinające grafu z powyższego zadania. Przyjąć
za korzeń wierzchołek 1, a później 7. Po przeprowadzeniu algorytmów wykonać odpowiednie rysunki.
Zadanie 10.3. Dany jest graf G = (V, E), V = {1, 2, . . . , 10},
E = {{1, 2}, {1, 6}, {1, 8}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 9}, {4, 10}, {5, 6}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 8}, {9, 10}}.
Wyznaczyć drzewo rozpinające tego grafu przy użyciu algorytmu DFS i algorytmu BFS. Korzystając
z algorytmu BFS, wyznaczyć odległość wierzchołków grafu G od wierzchołka 3.
Zadanie 10.4. Dany jest graf G = (V, E), V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {12, 13, 14, 23, 34, 45}. Narysować
wszystkie drzewa rozpinające tego grafu. Które z nich otrzymamy przy użyciu algorytmu DFS, startując
z wierzchołka 3.
Zadanie 10.5. Graf G dany jest za pomocą
 macierzy incydencji:

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 


 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 


 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 .


 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 


 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 
0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0
Wyznaczyć drzewa rozpinające tego grafu o korzeniu 1 przy uzyciu obu algorytmów.
13
11. Cykle Eulera i Hamiltona
Zadanie 11.1. Narysować wszystkie nieizomorficzne grafy o 5 wierzchołkach i 7 krawędziach i ocenić,
które z nich mają cykl Eulera, drogę Eulera, cykl Hamiltona, ścieżkę Hamiltona.
Zadanie 11.2. Narysować wszystkie nieizomorficzne grafy o 6 wierzchołkach i 6 krawędziach, które z
nich mają a) cykl Eulera, b) cykl Hamiltona.
Zadanie 11.3. Dla jakich m, n grafy Kn , Km,n , Qn mają cykl Eulera, drogę Eulera, cykl Hamiltona,
ścieżkę Hamiltona?
Zadanie 11.4. Które z linii są jednokreślne?
Zadanie 11.5. Sprawdzić, czy grafy mają cykl Eulera, drogę Eulera, cykl Hamiltona, ścieżkę Hamiltona.
G0
F0
G
H
Zadanie 11.6. Sformułować algorytm stwierdzający, czy dany graf jest eulerowski, jeśli graf dany jest
za pomocą a) listy sasiadów b) macierzy sąsiedztwa.
Zadanie 11.7. Muzeum składa się z labiryntu korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach.
Naturalny sposób obejrzenia wszystkiego, to przejście każdego korytarza dwa razy i powrót do wyjścia.
Czy każde spójne muzeum można zwiedzić w ten sposób?
Zadanie 11.8. Za pomocą algorytmu Fleury’ego wyznaczyć cykl Eulera w grafie G: V = {1, 2, . . . , 11},
E = {{1, 2}, {1, 11}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 11}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 7}, {4, 10}, {4, 11}, {5, 6}, {5, 7}, {5, 9}, {6, 9},
{7, 8}, {7, 9}, {8, 9}, {10, 11}}
Zadanie 11.9. Podać przykład grafu, który nie spełnia założeń twierdzenia Diraca, ale posiada cykl
Hamiltona.
Zadanie 11.10. Podać przykład grafu, który nie spełnia założeń twierdzenia Orego, ale posiada cykl
Hamiltona.
14
POLITECHNIKA LUBELSKA – Informatyka I
12. Zestaw ostatni
Zadanie 12.1. Stosując odpowiednie algorytmy znaleźć najmniejsze wagi dróg od pierwszego wierzchołka do wszystkich pozostałych wierzchołków, jeśli dane są macierze wag.


∞ 1
2 ∞ ∞ ∞ ∞
 ∞ ∞ ∞ 4
3 ∞ ∞ 


 ∞ ∞ ∞ 1 ∞ 7 ∞ 


8 ∞ 
W1 = 

 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1
7 


 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞


∞ 1
2 ∞ ∞ ∞ ∞
 ∞ ∞ ∞ 2
7
∞ ∞ 


 ∞ ∞ ∞ 1 ∞ −5 ∞ 



W2 = 
 ∞ 1 ∞ ∞ −3 7 ∞ 
 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
1
7 


 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 
∞ ∞ ∞ ∞ −4 ∞ ∞
Zadanie 12.2. Jaka jest najmniejsza waga drogi od dowolnego wierzcholka do źródła? A jaka jest
najmniejsza waga drogi od uścia do dowolnego wierzchołka? Po ilu krokach algorytmy dają odpowiedzi
na te pytania?
Zadanie 12.3. Wykazać, że każdy graf planarny zawiera wierzchołek co najwyżej piątego stopnia.
Zadanie 12.4. Wykazać, ze jeśli |V (G)| ­ 11, to G i Ḡ nie mogą być równoczesnie planarne.
Zadanie 12.5. Jaka jest liczba chromatyczna grafu Kn , Km,n , Cn ?
Zadanie 12.6. Wykazać, że każde drzewo mające co najmniej dwa wierzchołki jest grafem dwudzielnym.