Wykład 4

Wykład 4
Symetria punktowa
1. Macierze przekształceń
2. Iloczyn i grupa przekształceń
3. Grupa symetrii punktowej – klasy symetrii
4. Nomenklatura grup symetrii punktowej (klas symetrii)
5. Klasy symetrii a układy krystalograficzne
6. Podgrupy i super grupy symetrii
Symbole elementów symetrii
występujących w sieci przestrzennej
Element symetrii
Oś jednokrotna- identyczność
(obrót o 360o)
Oś jednokrotna inwersyjna
(obrót o 360o i inwersja)
Oś dwukrotna
(obrót o 180o)
Oś dwukrotna inwersyjna –
płaszczyzna zwierciadlana
(obrót o 180o i inwersja)
Oś trójkrotna
(obrót o 120o)
Oś trójkrotna inwersyjna
(obrót o 120o i inwersja)
Oś czterokrotna
(obrót o 90o)
Oś czterokrotna inwersyjna
(obrót o 90o i inwersja)
Oś sześciokrotna
(obrót o 60o)
Oś sześciokrotna inwersyjna
(obrót o 60o i inwersja)
Symbol
Kreutza –
Hermanna Schoenfliesa
graficzny: Zaremby
Mauguina
◦
L1= E
C1
1
C
i
1
L2z
C2
2
Py
Cs
m
L3z ,L3111
C3
3
A3
S3
3
L4z
C4
4
A4z
S4
4
L6z
C6
6
A6z
S6
6
Macierze przekształceń
x` = a11x + a12y + a13z
y` = a21x + a22y + a23z
z` = a31x + a32y + a33z
x`
y`
z`
=
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
x
· y
z
gdzie:
x ,y, z – współrzędne wyjściowe punktu P;
x`, y` ,z` - współrzędne punktu P po przekształceniu (czyli punktu P`).
Odbicie względem płaszczyzny symetrii
y
x
z
=
0
1
0
1
0
0
0
0
1
dla m(100)
-1 0 0
0 1 0
0 0 1
dla m(010)
1 0 0
0 -1 0
0 0 1
·
x’
y’
z’
Macierzowe reprezentacje różnie
położonych płaszczyzn symetrii
Płaszczyzna Macierz Płaszczyzna Macierz Płaszczyzna
symetrii
symetrii
symetrii
m(100)
m(110)
m(101)
-1
0
0
0 0
1 0
0 1
0 -1 0
-1 0 0
0 0 1
0 0 -1
0 1 0
-1 0 0
m(010)
m(110)
m(101)
1 0 0
0 -1 0
0 0 1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
m(001)
m(011)
m(011)
Macierz
1
0
0
0 0
1 0
0 -1
1 0 0
0 0 -1
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Obrót
dla kierunku [001]
x = rcos
y = rsin
z=z
x` = rcos(+)
y` = rsin(+)
z` = z
x` = rcoscos- rsinsin
y` = rcossin+ rsincos
z` = z
x` = cos·x + (-sin)·y + 0
y` = sin·x + cos·y + 0
z` = 0
+
0
+z
[100]
1
0
0
0 cos -sin
0 sin cos
[010]
cos
0
sin
0
1
0
-sin 0 cos
cos -sin
0
sin
cos
0
0
0
1
Macierzowe reprezentacje wybranych
właściwych osi symetrii
Oś
symetrii
2[100]
2[110]
2[110]
4[100]
3[001]
3[111]
Macierz
1
0
0
0 0
-1 0
0 -1
0
1
0
0
-1
0
1
0
0
1
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
-1
0
0
-1
0
-1
0
-½ -3/2 0
-3/2 -½ 0
0 0 1
0 -1 0
0 0 -1
1 0 0
Oś
symetrii
2[010])
2[101]
2[101]
4[010]
3[111]
3[111]
Macierz
-1
0
0
0 0
1 0
0 -1
0 0 1
0 -1 0
1 0 0
0 0 -1
0 -1 0
-1 0 0
0 0 1
0 1 0
-1 0 0
0
1
0
0
0
-1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
-1
0
Oś
symetrii
2[001]
2[011]
2[011]
4[001]
3[111]
6001]
Macierz
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
-1 0 0
0 0 1
0 1 0
-1 0 0
0 0 -1
0 1 0
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
0 -1 0
0 0 1
-1 0 0
½ 3/2 0
-3/2 ½ 0
0 0 1
Sprawdzenie ortogonalności
macierzy
a112 + a122 + a132 = 1
a212 + a222 + a232 = 1
a312 + a322 + a332 = 1
a11a21 + a12a22 + a13a23 = 0
a21a31 + a22a32 + a23a33 = 0
a11a31+ a12a32 + a13a33 = 0
k=3
 aik ajk =
k=1
1
ij
jeżeli i = j
dla ij =
0 jeżeli i j
Grupa operacji symetrii
1. Istnieje operacja „•”, która parze elementów a • b przyporządkowuje element c
zwany iloczynem. Operacja ta nie musi oznaczać zwykłego mnożenia
algebraicznego, gdyż niekoniecznie a • b = b • a ale musi być spełniony warunek
łączności czyli: a • (b • c) = (a • b) • c. Warunek ten spełnia każdy iloczyn dwóch
dowolnych zamkniętych operacji symetrii.
2. Iloczyn dowolnej pary elementów grupy jest również elementem tej grupy,
czyli iloczyn dwóch operacji symetrii jest również operacją symetrii.
3. Grupa jako zbiór zawiera element jednostkowy I, który pozostawia mnożony
czynnik niezmieniony: a • E = E • a = a. Element jednostkowy nazywamy
identycznością, w przypadku operacji symetrii operacją identyczności jest
obrót właściwy o 360o.
4. Dla każdego elementu grupy „a” musi istnieć element odwrotny „x” taki, że
a • x = x • a = E, taki element odwrotny zapisujemy jako x = a-1 , gdyż zawsze
a • a-1 = E. Przykładem operacji odwrotnej do odbicia zwierciadlanego jest
ponownie odbicie zwierciadlane, natomiast odwrotnością inwersji jest w
analogiczny sposób inwersja.
Grupy obrotowe (osiowe)
L2x L2y
L3xL2y
L3111L3111
L4zL2y
L6zL2y
L4zL4y
Grupy główne (centrosymetryczne)
Podgrupy - osie i płaszczyznami symetrii
L2zPy
A4zA4y
L3zPy
A4zL2y
L4zPy
L6zPy
L3zPz
L3zL2yPz
Głowne grupy symetrii
C1v
D1h
C2v
C3v
D2h
C4v
D3h
Td
D4h
Oh
C5v
C6v
D5h
C6h
Ih
Symetria molekuł
C1
Cs
C2
C2v
C3
C3v
C∞v
C2h
C4v
D ∞h
C3h
D2h
Symetria molekuł
C3h
D4h
D2d
D5h
D3d
Td
D6h
D4d
Oh
D5d
Ih
Sposoby tworzenia symboli grupy punktowej
w symbolice międzynarodowej
Układ
krystalograficzny
trójskośny
jednoskośny
ortorombowy
heksagonalny
tetragonalny
regularny
I pozycja
II pozycja
III pozycja
1; 1
2║Y albo mY, albo
2║ i mY
2║X albo mX
-
-
2║Y albo mY
6, 6, 3, ║Z albo
6, 3 ║Z i mZ
2║X lub Y albo
mX lub Y
4,4 ║Z albo
4║Z i mZ
4,4, 2║ X, Y lub Z
albo mX, Y, Z
2IIX lub Y
albo mX lub Y
3║ [111]
3║ [111]
2║Z albo mZ
2 ║ dwusiecznej kąta
między np.XY- albo
mdwusiecznej kąta
między np.XY2║ [110] lub 2[110]
2║ [110]
albo m[110]
Symbole krystalograficznych grup
symetrii punktowej
Grupy obrotowe
Grupy główne
(centrosymetryczne)
Podgrupy
pierwsza
druga
M
Sch
K-Z
M
Sch
K-Z
M
Sch
K-Z
M
Sch
K-Z
1
C1
L1
1
Ci
C






2
C2
L2 y
2/m
C2h
L2 y C
m
Cs
Py



3
C3
L3 z
3
C3i
L3 z C






4
C4
L4 z
4/m
C4h
L4 z C
4
S4
A4 z



6
C6
L6 z
6/m
C6h
L6 z C
6
C3h
L3 z Pz



222
D2
L2 z L2y
mmm
D2h
L2 z L2y C
mm
C2v
L2 z Py



322
D3
L3 z L2y
3m
D3d
L3 z L2y C
3m
C3v
L3 z Py



422
D4
L4 z L2y
4/mmm
D4h
L4 z L2y C
42m
D2d
A4 z L2y
4mm
C4v
L4 z Py
622
D6
L6 z L2y
6/mmm
D6h
L6 z L2y C
6mm
C6v
L6 z Py
3m
D3d
L3 z L2y Pz
23
T
L3 1 L3 2
m3
Th
L3 1 L3 2 C






43
O
L4 z L4y
m3m
Oh
L4 z L4y C
43m
Td
A4 z A4y



Podział klas symetrii na układy
krystalograficzne
Parametry sieciowe
Układ
Nr
Klasy symetrii
1
L1, C

ao, bo, c o, , , 
trójskośny
2
L2y, L2yC, Py
==90o
ao, bo, c o, 
jednoskośny
3
L2zL2y, L2zL2y, L2zPy
===90o
ao, bo, c o
ortorombowy
4
L4z, L4zC, A4z, L4zL2y,
===90o
ao, co
tetragonalny
L4zL2yC, L4zPy, A4zL2y
ao=bo
5
3
3
2
3
ograniczone nieograniczone
==90o
3
L z, L zC, L zPy,
3
2
L zL y, L zL yC,
L3zPz,
L3zL2yPz,L6z, L6zC,
L6zPy, L6zL2y, L6zL2yC
=120o
heksagonalny
ao=bo
(trygonalny)
---------------------
lub
==
ao=bo=c o
6
ao, co
L31L32, L31L32, A4zA4y,
===90o
L4zL4y, L4zL4yC
ao=bo=c o
lub
romboedryczny
ao
regularny
ao
Klasy symetrii w obrębie krystalograficznego
układu regularnego
L4zL4yC = m3m
L3111L3111C = m3
A4zA4y = 43m
Układ trójskośny i jednoskośny
trójskośny
1
1
jednoskośny
2
m
2/m
Układ rombowy
mm2
222
mmm
Układ tetragonalny
4
4
4mm
4/m
422
4mm
4/mm
Układ regularny
23
m3
432
 43m
m3m
Układ heksagonalny
6
6
6/m
6/mm
_
6m2
622
6/mmm
3
3
3m
322
3m
Układ
Nazwa klasy symetrii
1
jednościanu (pedionalna)
dwuścianu (pinakoidalna)
Jednoskośny
2
m
2/m
sfenoidalna
daszka jednoskośnego(domatyczna)
słupa (pryzmatyczna)
Rombowy
mm2
222
mmm
Trójskośny
32 klasy symetrii
oraz bryły je
charakteryzujące
Symbol
Tetragonalny
Regularny
Heksagonalny
1
4
4
4/m
 42m
4mm
422
4/m mm
23
m3
 43m
432
m3m
3
3
3m
322
 3m
6
6
 6m2
6/m
6mm
622
6/m mm
piramidy rombowej
czworościanu rombowego(bisfenoidu)
podwójnej piramidy(bipiramidy) rombowej
piramidy tetragonalnej
czworościanu tetragonalnego
podwójnej piramidy tetragonalnej
skalenoedru tetragonalnego
piramidy tetragonalnej
trapezoedru tetragonalnego
podwójnej piramidy dytetragonalnej
12-ścianu tetraedryczno-pentagonalnego(tritetraedru)
12-ścianupentagonalnego podwójnego(didodekaedru)
czworościanu poszóstnego(heksatetraedru)
24-ścianu pentagonalnego(trioktaedru)
48-ścianu (heksaoktaedru)
piramidy trygonalnej
romboedru
piramidy dytrygonalnej
trapezoedru trygonalnego
skalenoedru trygonalnego
piramidy heksagonalnej
podwójnej piramidy trygonalnej
podwójnej piramidydytrygonalnej
podwójnej piramidy heksagonalnej
piramidy dyheksagonalnej
trapezoedru heksagonalnego
podwójnej piramidy dyheksagonalnej
Grupa holoedryczna
Klasa symetrii, o możliwie najwyższej symetrii w danym
układzie krystalograficznym, nazywamy klasą (grupą
punktową) holoedryczną. Możemy stwierdzić, że każda grupa
holoedryczna jest super grupą dla wszystkich pozostałych
grup symetrii punktowej danego układu krystalograficznego.
Podgrupy grup punktowych z układu
regularnego, tetragonalnego, ortorombowego,
jednoskośnego oraz trójskośnego
Podgrupy grup punktowych z układu
heksagonalnego
Ilość
Grupa
podgr. punkt.
19
6/mmm
Podgrupy
1
1
2
m
+
+
+
+
2/ m 222
+
+
mm2 mmm
+
+
3
3
32
3m
3m
6
6
6/ m
622
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
8
 6m2
+
+
+
+
+
7
6mm
+
+
+
+
+
6
622
+
+
9
6/m
+
3
6
+
3
6
+
9
3m
+
3
3m
+
3
32
+
3
3
+
1
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
6mm 6m2
+
+