Wielkości proporcjonalne i funkcja f(x)=a/x
Transkrypt
Wielkości proporcjonalne i funkcja f(x)=a/x
Kurs e-learningowy Matematyka - lekcja 23 Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk 23. Wielkości proporcjonalne i funkcja f(x)=a/x. Funkcja wykładnicza. I. Przypomnij sobie: 1. Jakie wielkości nazywamy proporcjonalnymi? Wielkości proporcjonalne to takie wielkości, które zmieniają się w tym samym tempie. Mamy wielkości proporcjonalne: - wprost (gdy jedna z nich rośnie, to druga rośnie w tym samym tempie; gdy jedna maleje, to druga też maleje w tym samym tempie), - odwrotnie ( gdy jedna rośnie, to druga maleje w tym samym tempie i na odwrót). Inaczej – dwie wielkości x i y są (dla dowolnej liczby a): y - wprost proporcjonalne, gdy y ax ( a ), x a - odwrotnie proporcjonalne, gdy y ( xy a ). x 2. Co wiemy o funkcji postaci f x Wykresem funkcji postaci f x a ? x a jest hiperbola, asymptotami której są osie x układu współrzędnych. Gdy a 0 , to wykres znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych (rysunek po lewej). Gdy a 0 , to wykres znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych (rysunek po prawej). 3. Jaką funkcję nazywamy wykładniczą? Funkcję f ( x) a x , gdzie a R \ 1 nazywamy funkcją wykładniczą. Kurs e-learningowy Matematyka - lekcja 23 Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk 4. Własności funkcji wykładniczej. Jeżeli a 1 , to funkcja wykładnicza f ( x) a x jest rosnąca, a jeżeli 0 a 1 , to funkcja wykładnicza jest malejąca. Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i otwartych). II. Przykład Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f, której wzór ma postać f x a x . a. Odczytaj z rysunku odpowiednie dane i podaj wartość a. b. Uporządkuj rosnąco liczby f 2 , f 1, f 1. Rozwiązanie: a. Wykres funkcji przechodzi m.in. przez punkt o współrzędnych (1,2), a skoro jest to wykres funkcji wykładniczej postaci f x a x , to 2 a 1 . Możemy tę zależność przekształcić do 1 1 1 postaci a 1 . Zatem a . Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji określonej 2 2 x 1 wzorem f x . 2 1 b. Ponieważ a , a dla a spełniającego warunek 0 a 1 funkcja wykładnicza f x a x 2 jest malejąca (co widać również na wykresie), do rosnącego uporządkowania wartości funkcji, wystarczy uporządkować argumenty funkcji malejąco: 2 1 1 . Czyli f 1 2 f 1 f 1 , a konkretnie: 2 Odpowiedź: a 1 . Natomiast f 2 2 1 1 1 1 . 2 2 2 f 1 f 1 . Kurs e-learningowy Matematyka - lekcja 23 Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk Przykład Wielkościami wprost proporcjonalnymi są wielkości x i y określone zależnością: x 8 , 2 y A. B. 4x 3 , 15 8 y C. 7 2 , y x D. 5 y . x 15 Rozwiązanie: Możemy przekształcać poszczególne równości: A. x y 2 8 , B. 4 x 8 y 15 3 , C. 7 x y 2 , D. 5 15 x y 45 7 xy y x xy 75 xy 16 32 2 z czego wyraźnie widzimy, że tylko w punkcie C mamy do czynienia z wielkościami wprost proporcjonalnymi. W pozostałych punktach wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne. Odpowiedź C. Przykład Do wykresu funkcji określonej wzorem y 16 x nie należy punkt o współrzędnych: 1 1 B. , , 2 4 A. (0,1), 1 C. ,4 , 2 D. (2,64). Rozwiązanie: 160 1 , więc punkt o współrzędnych (0,1) należy do wykresu funkcji y 16 x ; 16 1 2 1 1 1 1 , więc punkt o współrzędnych , należy do wykresu funkcji y 16 x ; 16 4 2 4 1 2 1 16 16 4 , więc punkt o współrzędnych ,4 należy do wykresu funkcji y 16 x ; 2 2 16 256 64 , więc punkt o współrzędnych (2,64) nie należy do wykresu funkcji y 16 x . Wybieramy odpowiedź D. ZADANIA DO ROZWIĄZANIA Zadanie 1. (1 pkt) Zapas ziemniaków w stołówce szkolnej wystarczy na 21 dni, jeżeli dziennie będzie się wydawać 240 obiadów. Na ile dni wystarczy ten zapas, jeśli dziennie będą wydawane 252 obiady? Kurs e-learningowy Matematyka - lekcja 23 Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk Zadanie 2. (1 pkt) Współczynnik proporcjonalności wielkości x i y, których zależność przedstawiona jest na wykresie funkcji obok, jest równy: A. -3, B. 0, C. 1, D. 3. Zadanie 3. (1 pkt) Funkcje f i g, określone wzorami f x 4 x i g x 2 x1 , przecinają się w punkcie o odciętej: A. x 1 B. x 1, C. x 2 , D. x 4 . Zadanie 4. (1 pkt) Funkcja wykładnicza określona wzorem y 2 x nie przyjmuje wartości równej: A. -2, B. 1, C. 2, D. 1024. Zadanie 5. (1 pkt) Funkcja wykładnicza f jest rosnąca, gdy określona jest wzorem: x 1 A. f x , 2 B. f x 2 x , C. f x 2 x , D. f x 4 x .