Optyka falowa

Optyka falowa
dr inż. Ireneusz Owczarek
CMF PŁ
[email protected]
http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek
2012/13
Plan wykładu
Spis treści
1. Fale elektromagnetyczne
1.1. Model falowy światła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2. Zjawisko interferencji
2.1. Falowa natura światła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Przykłady zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
5
3. Ugiecie
˛
światła
3.1. Podstawowe prawa . . . . .
3.2. Typy dyfrakcji . . . . . . .
3.3. Dyfrakcja Fraunhofer’a . . .
3.4. Siatka dyfrakcyjna . . . . .
3.5. Naturalne siatki dyfrakcyjne
.
.
.
.
.
7
7
9
10
15
17
4. Zjawisko polaryzacji światła
4.1. Istota zjawiska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Zastosowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
21
5. Barwy
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1. Fale elektromagnetyczne
1.1. Model falowy światła
Światło jako fala
Optyka falowa to dział optyki, w którym uwzględniona jest falowa natura światła. W ramach optyki falowej badane są takie zjawiska jak: interferencja, dyfrakcja i polaryzacja.
Zasada Huygensa
Wszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elementarnych kulistych fal
wtórnych. Po czasie t nowe położenie czoła fali jest wyznaczone przez powierzchnię styczną
do powierzchni fal wtórnych.
Fale wtórne wzajemnie ze sobą interferują.
Przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego częstotliwość fali nie ulega zmianie
λ1
v1
= .
λ2
v2
Korzystając z zasady Huygensa można wyprowadzić prawo załamania (prawo Snella)
λ1
v1
sin Θ1
=
= .
sin Θ2
λ2
v2
Ponieważ
n1 =
to
c
v1
i
n2 =
c
v2
sin Θ1
c n2
=
= n21 .
sin Θ2
n1 c
2. Zjawisko interferencji
2.1. Falowa natura światła
Interferencja
Warunkiem zaistnienia stałego w czasie rozkładu przestrzennego amplitudy interferujących fal jest ich spójność. Dwie fale są spójne jeżeli różnią się tylko przebytą drogą optyczną.
Jak zbadać spójność światła? Dla dwu lub większej liczby fal należy zbadać ich zdolność do
interferencji:
• czasowej – zdolność do interferencji dwóch promieni światła wychodzących z tego samego punktu źródła światła w różnych momentach. Jest związana z monochromatycznością źródła światła (np. doświadczenie Younga). Czas spójności wynosi ok. 10−8 s,
• przestrzennej – jest wielkością charakteryzującą zgodność między fazami fal emitowanych z różnych punktów rozciągłego źródła światła w danym momencie czasu (np.
płytki dzielące światło – Interferometr Michelsona). W przypadku większości źródeł
światła obszar spójności przestrzennej nie przekracza rozmiarów pojedynczego atomu.
c Ireneusz Owczarek, 2013
2
Pierwszym eksperymentem wskazującym na falowy charakter światła było doświadczenie
Thomasa Younga (w 1801 r.).
Zakłada się, że światło padające jest monochromatyczne. Oba promienie wychodzące ze
szczelin S1 i S2 są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej.
Doświadczenie Younga
Oświetlenie w każdym punkcie ekranu jest określone przez różnicę dróg ∆L, jakie przebywają promienie świetlne docierające do tego punktu
∆L = d sin Θ.
c Ireneusz Owczarek, 2013
3
Otrzymuje się maksima – jasne prążki
d sin Θ = mλ,
m = 0, 1, 2...
i minima – ciemne prążki
d sin Θ = (m +
1
)λ,
2
m = 0, 1, 2..
Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami na obrazie interferencyjnym nie zależy
od m; prążki są rozmieszczone równomiernie. Dla każdej długości fali λ powstaną oddzielne
układy prążków o różnym odstępie między nimi.
Przykład: Obliczyć odległość między sąsiednimi prążkami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odległości 1m od dwu szczelin odległych od siebie o 1mm
oświetlonych żółtym światłem sodowym o długości λ = 589nm. Dla m = 1 otrzymuje się
sin θ =
λ
589 · 10−9 m
=
= 589 · 10−6 ,
d
10−3 m
co daje θ ≈ 0, 003 ◦ . Dla tak małych kątów dobrym przybliżeniem jest sin θ ∼
= tg θ ∼
=θ
tg θ =
y
.
D
ym = m
λD
.
d
Dla m-tego prążka
Dlatego odległość między kolejnymi prążkami
∆y = ym+1 − ym =
λD
589 · 10−9 m · 1m
=
= 589 · 10−6 m.
d
10−3 m
Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami nie zależy od m, prążki są rozmieszczone
na ekranie równomiernie.
c Ireneusz Owczarek, 2013
4
Doświadczenie Younga – Nateżenie
˛
światła
W punkcie P składowe pola zmieniają się w czasie
E1 = E0 sinωt
oraz
E2 = E0 sin(ωt + φ).
Pole wypadkowe
E = E1 + E2 = 2E0 cos
φ
2
· sin(ωt +
φ
φ
) = EΘ sin(ωt + ).
2
2
Natężenie fali wypadkowej
2
IΘ ∝ EΘ
.
Iloraz natężeń dwu fal: fali wypadkowej i fali padającej
IΘ
=
I0
EΘ
E0
!2
Jeżeli φ jest różnicą faz między falami
IΘ = 4I0 · cos2
φ
.
2
różnica faz
różnica dróg
=
,
2π
λ
ϕ
d sin θ
=
,
2π
λ
π
ϕ=2
d sin θ .
λ
Niezależnie, czy do ekranu dociera światło ze źródeł spójnych, czy też nie, średnie natężenie
musi być zawsze takie samo
Isr = 2I0 .
2.2. Przykłady zastosowań
Interferencja w cienkich warstwach
Warunek na maksimum
2t · n2 = m +
1
λ
2
m = 0, 1, 2...
Warunek na minimum
2t · n2 = mλ
m = 0, 1, 2....
c Ireneusz Owczarek, 2013
5
Przykład: Bańka mydlana (n = 1, 33) znajdująca się w powietrzu ma grubość 320nm.
Jaki kolor ma światło odbite, gdy błonka jest oświetlona światłem białym padającym prostopadle? Z warunku na maksimum
λ=
2nd
850
=
nm.
m + 12
m + 12
Wartości długość fali dla kolejnych m:
• m = 0, λ = 1700nm, poza zakresem widzialnym,
• m = 1, λ = 567nm, w zakresie widzialnym (barwa żółtozielona),
• m = 2, λ = 340nm, poza zakresem widzialnym,
• m = 3, 4, ...., poza zakresem widzialnym.
c Ireneusz Owczarek, 2013
6
Interferometr Michelsona
Interferencja pozwala na bardzo precyzyjny pomiar długości drogi od źródła do detektora
fali. Metoda ta pozwala wyznaczyć długość przedmiotów w jednostkach długości fali światła.
3. Ugiecie
˛
światła
3.1. Podstawowe prawa
Istota zjawiska
Zjawisko dyfrakcji
polega na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody. Jeżeli rozmiary przeszkody porównywalne są z długością fali (λ) to występuje odstępstwo od
prostoliniowego biegu promieni.
Przy rozmiarach otworu mniejszych od λ za otworem powstanie fala kulista.
c Ireneusz Owczarek, 2013
7
Dyfrakcja
Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie.
Dla danej długości fali λ dyfrakcja jest tym wyraźniejsza, im mniejsza jest szerokość
szczeliny a.
c Ireneusz Owczarek, 2013
8
3.2. Typy dyfrakcji
Klasyfikacja
Dyfrakcja Fresnela w wiązce promieni zbieżnych
• padająca fala jest kulista lub płaska,
• obraz dyfrakcyjny obserwowany jest w skończonej odległości od przeszkody (obraz
przeszkody).
Dyfrakcja Fraunhofer’a w wiązce promieni równoległych
• padająca fala jest płaska,
• obraz dyfrakcyjny obserwowany jest w płaszczyźnie ogniskowej soczewki skupiającej
(obraz oddalonego źródła).
Dyfrakcja Fresnela
Obraz dyfrakcyjny okrągłego otworu ma postać koncentrycznych, naprzemiennych pierścieni jasnych i ciemnych. W środku obrazu występuje plamka jasna lub ciemna.
Można
podzielić powierzchnie falową na strefy pierścieniowe, żeby drgania pochodzące od sąsiednich
stref były w przeciw-fazie.
c Ireneusz Owczarek, 2013
9
Dyfrakcja Fraunhofer’a
Znacznie prościej jest rozwiązać problem dyfrakcji fal płaskich, dlatego czasem stosuje
się przejście od dyfrakcji bliskiego pola (dyfrakcji Fresnela) do dyfrakcji dalekiego pola
zwanej też dyfrakcją Fraunhofera. Wtedy, gdy szczelina odsłania mały ułamek środkowej
strefy Fresnela. Dyfrakcję Fraunhofer’a można zrealizować za pomocą dwu soczewek, między
którymi znajduje się otwór. Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległą, a druga
skupia fale płaskie opuszczające otwór.
3.3. Dyfrakcja Fraunhofer’a
Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
Szerokość kątowa środkowego maksimum maleje wraz ze zmniejszaniem się ilorazu
a
.
λ
Procedura wyznaczania położenia prążków jest podobna do procedury wyznaczania położeń prążków w obrazie interferencyjnym. Warunek na wystąpienie minimów (ciemne
prążki)
a sin Θ = mλ
m = ±1, ±2, ...
c Ireneusz Owczarek, 2013
10
Rozkład natężenia (światła w obrazie dyfrakcyjnym)
I(Θ) = Im
sinα
α
2
gdzie
α=
φ
πa
=
sin Θ,
2
λ
c Ireneusz Owczarek, 2013
11
można uzyskać na podstawie konstrukcji obok
sin
φ
EΘ
=
2
2R
φ=
to
EΘ =
Em
R
Em
φ
2
sin
φ
2
2
a natężeni I(Θ) ∝ EΘ
.
c Ireneusz Owczarek, 2013
12
Dwie szczeliny
Natężenie obrazu interferencyjnego po uwzględnieniu efektów dyfrakcyjnych
interf erencja
z }| {
(cos2 β)
I(Θ) = Im
dyf rakcja
z }| {
2
sinα
α
gdzie
πa
sin Θ,
λ
πd
β=
sin Θ,
λ
a jest szerokością szczelin, a d – odległością między szczelinami.
α=
Dwie szczeliny – złożenie dyfrakcji i interferencji
I(Θ) = Im cos2 (π
d
sin Θ)
λ
sin(π a sin Θ) 2
d
= 30
λ
a
=5
λ
d
= 10
λ
a
=5
λ
c Ireneusz Owczarek, 2013
λ
π λa sin Θ
.
13
I(Θ) = Im cos2 (π
d
sin Θ)
λ
sin(π a sin Θ) 2
λ
π λa sin Θ
d
= 30
λ
a
= 10
λ
d
= 30
λ
a
=2
λ
.
Zdolność rozdzielcza
Kryterium Rayleigh’a
Jeśli położenie centralnego maksimum jednego obrazu dyfrakcyjnego przypada na położenie
pierwszego minimum drugiego obrazu, to obrazy te są rozróżnialne.
Warunek na powstanie pierwszego minimum dla szczeliny o szerokości a (m = 1)
sin Θ =
λ
a
dla małych kątów Θ ≈ Θ minimalna odległość kątowa
Θmin =
λ
.
a
Dla otworu kołowego
Θmin = 1, 22 ·
λ
.
D
Kryterium Rayleigh’a jest tylko przybliżeniem, gdyż rozdzielczość zależy od:
• względnej jasności źródeł i ich otoczenia,
• sprawności wzroku obserwatora.
c Ireneusz Owczarek, 2013
14
Przykład:
Oceń rozdzielczość oka ludzkiego zakładając, że jest ona ograniczona przez limit dyfrakcyjny. Długość fali światła wynosi 500nm (maksimum czułości oka), a średnica źrenicy
D = 2mm.
λ
500 · 10−9 m
Θmin = 1, 22 ·
= 1, 22 ·
≈ 3 · 10−4 rad.
D
2 · 10−3 m
d ≈ LΘmin = 0, 25m · 3 · 10−4 rad = 7, 5 · 10−5 m.
3.4. Siatka dyfrakcyjna
Obraz dyfrakcyjny
Warunek na powstanie maksimum głównego
d sin Θ = mλ
gdzie d = a + b jest stałą siatki, a – szerokość szczeliny, b – szerokość przysłony (obszaru
nieprzezroczystego), m = 0, 1, 2, ... – rząd widma.
Jeżeli N szczelin zajmuje szerokość w to stała siatki
d=
w
.
N
c Ireneusz Owczarek, 2013
15
Minima występują N razy gęściej niż maksima główne. W miejscach gdzie nie ma maksimów
głównych, występują maksima poboczne (o znacznie mniejszej wysokości).
Zwiększenie liczby szczelin
• nie zmienia odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy stałych d i λ),
• prowadzi do zwężenie (wyostrzenie) maksimów głównych,
• prowadzi do pojawienia się wtórnych maksimów pomiędzy maksimami głównymi.
Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej
jest miara zdolności rozdzielenia dwóch blisko leżących maksimów
R=
λ
= mN
∆λ
Zdolność rozdzielczą można zwiększyć używając siatki o większej liczbie szczelin, albo też
pracując w wyższych rzędach.
c Ireneusz Owczarek, 2013
16
Zastosowanie siatek dyfrakcyjnych
Linie emisyjne wodoru kadmu żelaza
3.5. Naturalne siatki dyfrakcyjne
Dyfrakcja promieniowania X
Długości fal promieniowania X zawarte są w zakresie od 1pm do 10nm. Aby uzyskać widmo
takiego promieniowania należałoby dysponować siatka dyfrakcyjną o stałej, co najwyżej
rzędu 10nm, tzn. zawierającej, co najmniej 100 000 rys na milimetrze.
Obiektami, na których można obserwować dyfrakcję promieni rentgenowskich są kryształy.
c Ireneusz Owczarek, 2013
17
c Ireneusz Owczarek, 2013
18
Warunek na występowanie maksimum natężenia dla dyfrakcji promieni X
Prawo Bragga
2d sin Θ = mλ
gdzie m = 1, 2, 3, ....
Dyfrakcja promieni X i elektronów na folii aluminiowej.
4. Zjawisko polaryzacji światła
4.1. Istota zjawiska
Definicja
Polaryzacja światła
~ w wiązce (a więc i wektora indukcji
porządkowanie wektora natężenia pola elektrycznego E
~
magnetycznej B).
Polaryzacja występuje tylko dla fal poprzecznych.
Rodzaje polaryzacji
Rodzaje polaryzacji:
c Ireneusz Owczarek, 2013
19
~ odbywa się wzdłuż linii prostej. Drgania skła• polaryzacja liniowa, drganie wektora E
dowe są w fazie lub w przeciwfazie (180o ),
• polaryzacja kołowa – drganie to odpowiada ruchowi po okręgu. Dwa drgania o jednakowych amplitudach ale o fazach przesuniętych o 90o lub −90o .
• polaryzacja eliptyczna jest uogólnieniem polaryzacji kołowej.
c Ireneusz Owczarek, 2013
20
Sposoby polaryzacji światła
Prawo Brewstera
n2
= n21
tg Θp =
n1
Całkowita polaryzacja przez załamanie.
4.2. Zastosowanie
Płytki polaryzujace
˛
Światło niespolaryzowane pada na płytkę z materiału polaryzującego, zwanego polaroidem. Płytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań wektora elektrycznego
są równoległe do kierunku polaryzacji, a pochłania te fale, w których są one prostopadłe.
Kierunek polaryzacji ustala się w procesie produkcji płytki:
• cząsteczki o strukturze łańcuchowej osadza się na elastycznej warstwie plastycznej,
• warstwę rozciąga się co powoduje równoległe ułożenie cząsteczek.
c Ireneusz Owczarek, 2013
21
Nateżenie
˛
światła przechodzacego
˛
przez polaryzator
Jeżeli światło padające na polaryzator jest już światłem spolaryzowanym, to można wykorzystać
Prawo Malusa
I = I0 cos2 Θ.
Podwójne załamanie
Ciała anizotropowe
to ciała, dla których prędkość światła, a więc i współczynnik załamania, zależą od kierunku
rozchodzenia się światła w ośrodku.
Promień zwyczajny ’o’ przechodzi przez kryształ z jednakową prędkością we wszystkich
kierunkach tzn. ma jeden współczynnik załamania tak jak izotropowe ciało stałe. Promień
nadzwyczajny ’e’ ma prędkość w krysztale zależną od kierunku.
Podwójne załamanie
gdy pojedyncza wiązka rozszczepia się na powierzchni kryształu na dwie.
Przykład podwójnego załamania
Dichroizm
gdy jedna ze składowych polaryzacji jest pochłaniana silniej niż druga.
Na tej zasadzie opiera się działanie szeroko stosowanych polaroidów. Zamiast dużej płytki
wyciętej z kryształu można zastosować wiele małych kryształów o osiach optycznych ustawionych równolegle do siebie.
Przykład
Po przyłożeniu napięcia do elektrod, generowane przez nie pole elektryczne wymusza
taką zmianę uporządkowania cząsteczek w warstwie ciekłego kryształu, że nie obraca ona
polaryzacji światła. Powoduje to, że światło nie przechodzi przez analizator, co daje efekt
czerni.
c Ireneusz Owczarek, 2013
22
Techniki wyświetlania obrazu
c Ireneusz Owczarek, 2013
23
5. Barwy
Kolor i barwa
Terminy kolor i barwa są w języku polskim synonimami. Widzenie kolorów to wyłącznie
subiektywne wrażenie psychiczne powstające w mózgu człowieka. Konkretną barwę można zmierzyć za pomocą odpowiednich urządzeń (np. spektrofotometrem) i przedstawić w
postaci liczbowej umieszczając ją w określonej przestrzeni barw.
c Ireneusz Owczarek, 2013
24
c Ireneusz Owczarek, 2013
25
Literatura
[1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005.
[2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.
[3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984.
[4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-Fizyka.
Podstawy fizyki.
[5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki.
c Ireneusz Owczarek, 2013
26