1 - zti.polsl.pl

XV KBiIB 2007
Metoda ważonego uśredniania sygnału EKG z podziałem zbioru obserwacji
w dziedzinie czasu
1
Michał Momot1, Jacek Łęski1,2, Alina Momot3
Instytut Techniki i Aparatury Medycznej ITAM, ul. Roosevelta 118, 41 – 800 Zabrze,
2
Politechnika Śląska, Instytut Elektroniki, ul. Akademicka 16, 44 – 101 Gliwice,
3
Politechnika Śląska, Instytut Informatyki, ul. Akademicka 16, 44 – 101 Gliwice,
[email protected]
Streszczenie: Przedstawiona praca opisuje nową metodę ważonego uśredniania sygnału opartą na minimalizacji funkcji
celu. Uśrednianie sygnału jest typową techniką wyodrębniania sygnału użytecznego zniekształconego zakłóceniami. Jest
ono szczególnie użyteczne w przypadku sygnałów biomedycznych takich jak sygnał EKG, gdzie widma sygnału i szumu
pokrywają się w znacznym stopniu. W praktyce można zaobserwować, że poziom zakłóceń zmienia się z cyklu na cykl
co stanowi motywację dla stosowania metod ważonego uśredniania. Skuteczność przedstawianej metody jest
empirycznie porównywana do metody tradycyjnego uśredniania za pomocą średniej arytmetycznej.
Abstract: The paper presents new weighted averaging method based on criterion function minimization. Signal
averaging is commonly used to extract a useful signal distorted by a noise. It is especially useful for biomedical signal
such as ECG signal, where the spectra of the signal and noise significantly overlap. In reality can be observed variability
of noise power from cycle to cycle which is motivation for using methods of weighted averaging. Performance of the
presented method is experimentally compared with the traditional averaging by using arithmetic mean.
Słowa kluczowe: obrazowanie medyczne, obróbka obrazu, ważone uśrednianie, sygnał EKG, minimalizacja funkcji celu
1. Wprowadzenie
W większości systemów przetwarzających sygnał EKG kluczową role odgrywa redukcja zakłóceń,
nieodłącznie towarzyszących użytecznemu sygnałowi. Dokładność wszystkich dalszych operacji z użyciem
tego sygnału takich jak detekcja punktów charakterystycznych lub klasyfikacja pobudzeń zależy od
skuteczności użytego algorytmu redukcji szumu. Z uwagi na quasi-cykliczny charakter sygnału EKG
polegający na występowaniu sygnałów o powtarzalnej morfologii w dziedzinie czasu, możliwe jest
wykorzystanie ważonego uśredniania sygnału w celu redukcji zakłóceń. Tradycyjna technika uśredniania
zakłada stały poziom szumu w kolejnych cyklach w związku z czym wyznaczane tą metodą wagi
odpowiadające kolejnym pobudzeniom są sobie równe i równe odwrotności liczby uśrednianych cykli, co
odpowiada średniej arytmetycznej wszystkich pobudzeń. Wagi wyznaczone w ten sposób minimalizują
średniokwadratowe odchylenie między sygnałem uśrednionym a sygnałem teoretycznym, przy założeniu
gaussowskiego rozkładu zakłóceń.
W praktyce można jednak zaobserwować zmienność poziomu szumu w dziedzinie czasu co stanowi
motywację do poszukiwania skutecznych metod wyznaczania wag odpowiadających poszczególnym
pobudzeniom uwzględniających tę zmienność [1], [2], [3]. Ponieważ wysoki poziom zakłóceń jest
zjawiskiem niekorzystnym, metody te opierają się przydzielaniu najmniejszych wag tym cyklom,
w których poziom szumu jest największy. Ponadto ocena poziomu zakłóceń w danym pobudzeniu jest
zwykle szacowana na podstawie uśrednionego sygnału, co skutkuje potrzebą stosowania metod
iteracyjnych.
2. Metoda ważonego uśredniania sygnału EKG z podziałem zbioru obserwacji w dziedzinie czasu
Niech w każdym cyklu y i ( j ) będzie sumą j-tej próbki deterministycznego sygnału x ( j ) , który jest taki
sam w każdym pobudzeniu i losowego szumu gaussowski ni ( j ) o średniej zero i wariancji stałej
w każdym cyklu równej σ i2 . Zatem
y i ( j ) = x( j ) + ni ( j )
i = 1, 2,..., M
j = 1, 2,..., N
(1)
gdzie i jest numerem cyklu, natomiast j jest numerem próbki w pojedynczym cyklu (wszystkie cykle mają
tę samą długość N). Następujący wzór określa wartość j-tej próbki uśrednionego sygnału:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
XV KBiIB 2007
M
v( j ) = ∑ wi yi ( j )
(2)
i =1
gdzie wi jest wagą i-tego cyklu, a v = [v(1), v (2),..., v ( N )] .
W przypadku tradycyjnego uśredniania arytmetycznego wszystkie wagi są jednakowe, równe M −1 ,
natomiast przedstawiana metoda uśredniania wykorzystuje podział zbioru danych obserwacji
Y = [y1, y2, …, yM] (gdzie yi=[yi(1), yi(2),..., yi(N)]T) na dwa rozłączne podzbiory Y1 oraz Y2 i polega na
wyznaczeniu wektora wag, składającego się z wag w1 oraz w2 odpowiadających tym podzbiorom,
minimalizującego następującą funkcję celu
I ( w1 , w2 ) = (Y1w1 − Y2 w2 ) (Y1w1 − Y2 w2 )
T
(3)
przy ograniczeniach w1 1 = 1 oraz w2 1 = 1 , co oznacza, że suma wag w każdym z wektorów w1 oraz w2
wynosi jeden.
Stosując metodę mnożników Lagrange’a, funkcja Lagrange’a przedstawia się następująco:
T
T
(
)
(
L ( w1 , w 2 , λ1 , λ 2 ) = (Y1 w1 − Y2 w 2 )T (Y1 w1 − Y2 w 2 ) + λ1 w1T 1 − 1 + λ 2 w 2 T 1 − 1
)
(4)
Wyznaczając odpowiednie pochodne względem w1 oraz w2 i przyrównując je do zera, otrzymujemy:
2Y1T (Y1w1 − Y2 w2 ) − λ11 = 0
oraz − 2Y2T (Y1w1 − Y2 w2 ) − λ2 1 = 0
(5)
co prowadzi do wzorów dla wyznaczenia wag w1 oraz w2 :
( )
w1 = Y1 Y1
T
−1
( )
Y1 Y2 w2 + 12 λ1 Y1 Y1
T
T
−1
(
1 oraz w2 = Y2 Y2
T
)
−1
(
Y2T Y1w1 + 12 λ2 Y2T Y2
)
−1
1
(6)
Uwzględniając warunki w1 1 = 1 oraz w2 1 = 1 , otrzymujemy:
T
1
2
λ1 =
T
( ) Y Yw
1 (Y Y ) 1
1 − 1T Y1T Y1
T
−1
T
1 1
T
1 2
−1
2
oraz
1
2
λ2 =
(
1 − 1T Y2 Y2
T
T
(
T
)
−1
1 Y2 Y2
Y2
−1
)
T
Y1w1
(7)
1
co ostatecznie daje:
( )
w1 = Y1T Y1
(
w2 = Y2T Y2
)
−1
−1
Y1T Y2 w2 +
Y2T Y1w1 +
( ) Y Y w (Y Y )
1 (Y Y ) 1
1 − 1T Y1 Y1
T
T
1 1
T
(
1 − 1T Y2 Y2
T
(
−1
)
−1
1T Y2T Y2
T
1 2
−1
T
2
Y2 Y1w1
)
−1
−1
T
1
1 1
(Y Y )
1
−1
T
2
2
(8)
1
Prowadzi to do następującego algorytmu iteracyjnego:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(9)
XV KBiIB 2007
1.
Ustalić podział zbioru danych Y na dwa rozłączne podzbiory Y1 (o liczności M1) oraz Y2
( 0)
(o liczności M2). Wyznaczyć początkowe wektory wag w1
oraz w2
(0 )
i ustawić indeks
iteracji k = 1 .
2.
(k )
Wyznaczyć w1
oraz w2 = w2
(k )
( k −1)
wykorzystując (8) oraz w2
(k )
( k −1)
wykorzystując (9), przyjmując w1 = w1
.
− w1( k −1) + w2 ( k ) − w2 (k −1) > ε , to k ← k + 1 i idź do 2.
3.
Jeżeli w1
4.
Wyznaczyć sygnał uśredniony v = αY1w1 + (1 − α )Y2 w2 , gdzie α = M 1 ( M 1 + M 2 ) −1 .
3. Eksperymenty numeryczne
Wszystkie eksperymenty były przeprowadzone w ogólnodostępnym środowisku do obliczeń
statystycznych i grafiki R w wersji 2.4.0 (http://www.r-project.org). Dla wyznaczonych uśrednionych
sygnałów skuteczność redukcji zakłóceń porównywano wykorzystując maksymalną wartość bezwzględną
różnicy między sygnałem oryginalnym a uśrednionym oraz pierwiastek błędu średniokwadratowego
między sygnałem oryginalnym a uśrednionym.
Poniżej zaprezentowano rezultaty otrzymane w wyniku zastosowania metody do 100-krotnie
powielonego sygnału elektrokardiograficznego ANE20000 (pochodzącego z bazy danych CTS [4])
zakłóconego szumem gaussowskim o odpowiednio 0.1s, 0.5s, 1s, 2s (gdzie s jest próbkowym odchyleniem
standardowym sygnału użytecznego) w każdym z czterech 25-elementowych ciągów powielonego sygnału
ANE20000. Przy zastosowaniu przedstawionego algorytmu dokonano podziału na dwie równe części
i początkowe wektory wag ustalono wykorzystując tradycyjne uśrednienie arytmetyczne, natomiast jako
ε przyjęto wartość 10-6.
Tabela 1 przedstawia wartości błędu średniokwadratowego (RMSE) oraz maksymalnej wartości
bezwzględnej różnicy między sygnałem oryginalnym a uśrednionym (MAX ABS) w przypadku
tradycyjnego uśredniania arytmetycznego (TUA) oraz przedstawianej metody ważonego uśredniania
z podziałem zbioru obserwacji w dziedzinie czasu (MWU).
Tabela 1: Wyniki eksperymentów
TUA
MWU
RMSE
16.95823
2.874648
MAX ABS
55.08775
10.381053
Na rysunkach natomiast przedstawiono oryginalny sygnał ANE2000 (pogrubiona linia przerywana) wraz
z przykładowym wykresem szumu gaussowskiego o odchyleniu standardowym równym próbkowemu
odchyleniu standardowemu sygnału użytecznego (rys.1), a także wraz z uśrednionym sygnałem uzyskanym
dzięki zastosowaniu prezentowanej metody (rys.2), jak również wraz z uśrednionym sygnałem uzyskanym
dzięki zastosowaniu tradycyjnego uśredniania arytmetycznego (rys.3).
Rys. 1. Sygnał EKG i ten sam sygnał zakłócony szumem gaussowskim
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
XV KBiIB 2007
Rys. 2. Sygnał EKG i jego uśrednienie proponowaną metodą
Rys. 3. Sygnał EKG i jego uśrednienie metodą tradycyjnego uśredniania arytmetycznego
4. Podsumowanie
Wyniki przeprowadzonych eksperymentów numerycznych świadczą o tym, że proponowany algorytm,
jakkolwiek bardziej złożony obliczeniowo w stosunku do tradycyjnego uśredniania arytmetycznego,
charakteryzuje się jednak znacznie wyższą skutecznością redukcji poziomu zakłóceń.
Wydaje się wskazane w dalszej perspektywie przeprowadzenie eksperymentów mających na celu
zbadanie wpływu sposobu podziału zbioru uczącego na skuteczność redukcji zakłóceń. Można tu rozważać
losowy dobór próbek do szukanych podzbiorów jak również wybór oparty na kryterium uwzględniającym
wstępne oszacowanie poziomu zakłóceń. Interesujące byłoby zbadanie wpływu liczności podzbiorów na
skuteczność algorytmu, jak również jego odporność na zakłócenia różnych typów (w tym między innymi
zakłócenia impulsowe).
5. Literatura
[1] Bataillou E., Thierry E., Rix H., Meste O., Weighted averaging using adaptive estimation of the
weights. Signal Processing, 44, str. 51–66, 1995.
[2] Łęski J., Robust Weighted Averaging, IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 49(8), str. 796804, 2002.
[3] Momot A., Momot M., Łęski J., Empirical Bayesian Averaging Method and its Application to Noise
Reduction in ECG Signal. Journal of Medical Informatics and Technologies, 10, str.93 – 101, 2006.
[4] International Electrotechnical Commission Standard 60601-3-2, 1999.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com