Autoreferat - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Transkrypt

Wniosek o wszczęcie postępowania
habilitacyjnego na podstawie osiągnięcia
naukowego zatytułowanego
Narzędzia i metody badawcze istnienia
i jedyności punktów stałych, końcowych,
periodycznych i najlepszej bliskości oraz
zbieżności procesów dynamicznych
dla jedno- i wielowartościowych układów
dynamicznych w przestrzeniach
odległościowych
Robert Plebaniak
Załącznik nr 2a
Autoreferat
Spis treści
1 Dyplomy i stopnie naukowe
4
2 Historia zatrudnienia
4
3 Osiągnięcie naukowe, o którym mowa w art.16 us. 2 ustawy
o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach
i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.)
3.1 Lista publikacji wchodzących w skład osiągnięcia naukowego:
Narzędzia i metody badawcze istnienia i jedyności punktów
stałych, końcowych, periodycznych i najlepszej bliskości oraz
zbieżności procesów dynamicznych dla jedno- i wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach odległościowych
3.2 Omówienie wyników zawartych w publikacjach wchodzących
w skład osiągnięcia naukowego zatytułowanego: Narzędzia i
metody badawcze istnienia i jedyności punktów stałych, końcowych, periodycznych i najlepszej bliskości oraz zbieżności procesów dynamicznych dla jedno- i wielowartościowych układów
dynamicznych w przestrzeniach odległościowych . . . . . . . .
3.2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Uogólnione pseudoodległości J = {Jα : X × X →
[0, ∞), α ∈ A} oraz punkty stałe i zbieżność ciągów
iteracji Picarda dla jednowartościowych układów dynamicznych (X, T ) w przestrzeniach jednostajnych (X, D),
D = {dα : X × X → [0, ∞), α ∈ A} (prace [H1]-[H3]) .
3.2.3 Stożkowe pseudoodległości J = {Jα : X × X → L,
α ∈ A} w przestrzeniach stożkowych jednostajnych
(X, P), P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, Zasada
Maksymalności (Minimalności), uogólnienia twierdzeń
Ekelanda i Caristi (praca [H4]) . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Uogólnione pseudoodległości L = {Lα : X × X →
[0, ∞], α ∈ A}, oraz punkty stałe i zbieżność procesów
dynamicznych dla wielowartościowych układów dynamicznych (X, T ) w uogólnionych przestrzeniach jednostajnych (X, D), D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}
(praca [H5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
5
5
7
7
15
26
35
3.2.5
3.2.6
3.2.7
3.2.8
3.2.9
b-uogólnione pseudoodległości J : X × X → [0, ∞),
punkty koincydencji, zbieżność ciągów iteracji dla jednowartościowych układów dynamicznych oraz punkty najlepszej bliskości dla wielowartościowych układów
dynamicznych w przestrzeniach b-metrycznych (X, d)
(prace [H6], [H7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lewe (prawe) uogólnione quasi-pseudoodległości J :
X × X → [0, ∞) oraz punkty najlepszej bliskości dla
wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach quasi-pseudometrycznych (X, p) (praca [H8]) . .
Uogólnione quasi-pseudoodległości J = {Jα : X ×
X → [0, ∞), α ∈ A}, punkty stałe i periodyczne oraz
zbieżności uogólnionych ciągów iteracji i procesów dynamicznych dla jedno- i wielowartościowych układów
dynamicznych w przestrzeniach quasi-gauge (X, P), P =
{pα : X × X → [0, ∞), α ∈ A} (prace [H9], [H10]) . . .
Uogólnione pseudoodległości J : X × X → [0, ∞)]
generujące G-uogónione metryki rozmyte N : X ×
X × [0, ∞) → [0, 1] i V G-uogólnione metryki rozmyte
N : X × X × (0, ∞) → [0, 1] oraz punkty stałe dla jednowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach rozmytych (X, M, ∗) (praca [H11]) . . . . . . . .
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Omówienie pozostałych osiągnięć badawczych
4.1 Lista publikacji niewchodzących w skład osiągnięcia naukowego
4.2 Krótkie omówienie wyników publikacji niewchodzących w skład
osiągnięcia naukowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Udział w projektach badawczych . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Nagrody, wyróżnienia i stypendia naukowe . . . . . . . . . . .
4.5 Aktywny udział w konferencjach naukowych . . . . . . . . . .
4.6 Wskaźniki służące do oceny dorobku naukowego . . . . . . . .
3
49
55
61
71
80
81
81
84
89
89
90
91
1
Dyplomy i stopnie naukowe
2004
2005
2009
2
Magister Matematyki
Wydział Matematyki, Uniwersytet Łódzki,
Tytuł: Chińskie twierdzenie o resztach w topologii
Promotor: prof. dr hab. Eliza Wajch
Magister Informatyki
Wydział Matematyki, Uniwersytet Łódzki
Tytuł: Zaawansowane możliwości PL/SQL
Web Toolkit
Promotor: dr Janusz Zyskowski
Doktor Nauk Matematycznych Wydział Matematyki i Informatyki,
Uniwersytet Łódzki
Tytuł: Kontrakcje typu Meir-Keeler’a, uogólnione
pseudoodległości i punkty stacjonarne
dla wielowartościowych układów dynamicznych
w przestrzeniach jednostajnych
Promotor: prof. dr hab. Kazimierz Włodarczyk
Historia zatrudnienia
2005 - 2006:
doktorant Studium Doktoranckiego,
Wydział Matematyki, Uniwersytet Łódzki.
2006 - 2007: asystent-doktorant, Wydział Matematyki,
Uniwersytet Łódzki.
2007 - 2009: asystent-doktorant,
Wydział Matematyki i Informatyki,
od 2009:
adiunkt, Wydział Matematyki i Informatyki,
od 2009:
Starszy wykładowca,
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku.
4
3
Osiągnięcie naukowe, o którym mowa w art.16
us. 2 ustawy o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w
zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze
zm.)
Powyższym osiągnięciem naukowym jest jednotematyczny cykl czternastu
artykułów zatytułowany:
Narzędzia i metody badawcze istnienia i jedyności punktów stałych, końcowych, periodycznych i najlepszej bliskości oraz zbieżności procesów dynamicznych dla jedno- i wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach odległościowych.
3.1
Lista publikacji wchodzących w skład osiągnięcia
naukowego: Narzędzia i metody badawcze istnienia i jedyności punktów stałych, końcowych, periodycznych i najlepszej bliskości oraz zbieżności procesów dynamicznych dla jedno- i wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach odległościowych
[H1] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, A fixed point theorem of Subrahmanyam type in uniform spaces with generalized pseudodistances, Applied
Mathematics Letters 24 (2011) 325-328.
[H2] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Contractions of Banach, Tarafdar, MeirKeeler, Ćirić-Jachymski-Matkowski and Suzuki types and fixed points
in uniform spaces with generalized pseudodistances, Journal of Mathematical Analysis and Applications 404 (2013), no. 2, 338-350.
[H3] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Contractivity of Leader type and fixed
points in uniform spaces with generalized pseudodistances, Journal of
Mathematical Analysis and Applications 387 (2012) 533-541.
[H4] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Maximality principle and general results of Ekeland and Caristi types without lower semicontinuity assumptions in cone uniform spaces with generalized pseudodistances,
Fixed Point Theory and Applications, Volume 2010, Article ID 175453,
doi:10.1155/2010/175453, 1-37.
5
[H5] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Generalized uniform spaces, uniformly
locally contractive set- valued dynamic systems and fixed points, Fixed
Point Theory and Applications, 2012, 2012:104, 1-39.
[H6] R. Plebaniak, New generalized pseudodistance and coincidence point
theorem in a b-metric space, Fixed Point Theory and Applications,
2013, 2013:270, 1-20.
[H7] R. Plebaniak, On best proximity points for set-valued contractions of
Nadler type with respect to b-generalized pseudodistances in b-metric
spaces, Fixed Point Theory and Applications, 2014, 2014:39, 1-13.
[H8] R. Plebaniak, Best proximity point theorem in quasi-pseudometric spaces, Abstract and Applied Analysis, Volume 2016 (2016), Article ID
9784592, 1-8.
[H9] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Quasigauge spaces with generalized quasipseudodistances and periodic points of dissipative set-valued dynamic systems, Fixed Point Theory and Applications, Volume 2011, Article ID 712706, doi:10.1155/2011/712706, 1-22.
[H10] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Leader type contractions, periodic and
fixed points and new completivity in quasi-gauge space with generalized
quasi-pseudodistances, Topology and Applications 159 (2012), no. 16,
3504-3512.
[H11] R. Plebaniak, New generalized fuzzy metrics and fixed point theorem
in fuzzy metric space, Fixed Point Theory and Applications, 2014,
2014:241, 1-17.
6
3.2
Omówienie wyników zawartych w publikacjach wchodzących w skład osiągnięcia naukowego zatytułowanego: Narzędzia i metody badawcze istnienia i
jedyności punktów stałych, końcowych, periodycznych i najlepszej bliskości oraz zbieżności procesów dynamicznych dla jedno- i wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach odległościowych
Motywem przewodnim publikacji wchodzących w skład osiągnięcia naukowego jest konstrukcja nowych narzędzi i metod badawczych, dzięki którym,
dla jedno- i wielowartościowych układów dynamicznych w różnego typu przestrzeniach odległościowych, uzyskano nowe twierdzenia dotyczące istnienia i
jedyności punktów stałych, periodycznych, końcowych i punktów najlepszej
bliskości, a także zbieżności do tychże punktów ciągów iteracji i procesów
dynamicznych.
3.2.1
Wprowadzenie
Niech X będzie niepustym zbiorem. Odległością na X nazywamy odwzorowanie p : X × X → [0, ∞). Zbiór X wraz z określonymi na nim odległościami nazywamy przestrzenią odległościową (odsyłamy Czytelnika do książek:
M.M. Deza i E. Deza [1], W.A. Kirk i N. Shahzad [2]).
Wielowartościowym układem dynamicznym na X nazywamy parę (X, T ),
gdzie X jest pewną przestrzenią a T jest wielowartościowym odwzorowaniem
T : X → 2X ; tutaj 2X oznacza rodzinę niepustych podzbiorów przestrzeni
X. Jednowartościowym układem dynamicznym na X nazywamy parę (X, T ),
gdzie X jest pewną przestrzenią a T jest jednowartościowym odwzorowaniem
T : X → X, tj. T (x) ∈ X dla x ∈ X.
S
Jeśli E ⊂ X oraz T : E → 2X , wówczas definiujemy T (E) = x∈E T (x).
W teorii punktu stałego istotną rolę odgrywają następujące pojęcia.
Definicja 3.1 . Niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem dynamicznym.
(A) Punkt w ∈ X nazywamy punktem stałym (X, T ), gdy T (w) = w.
Zbiór wszystkich punktów stałych (X, T ) oznaczamy przez F ix(T ).
7
(B) Punkt w ∈ X nazywamy punktem periodycznym (X, T ), gdy T [q] (w) =
w dla pewnego q ∈ N, gdzie T [m] = T ◦ T ◦ ... ◦ T (m-razy), m ∈ N. Zbiór
wszystkich punktów periodycznych (X, T ) oznaczamy przez P er(T ).
(C) Niech A, B ⊂ X będą niepustymi podzbiorami przestrzeni odległościowej (X, p). Niech T : A → B. Punkt w ∈ A nazywamy punktem najlepszej
bliskości, gdy p(w, T (w)) = dist(A, B), gdzie dist(A, B) = inf{p(a, b) : a ∈
A, b ∈ B}. Zbiór wszystkich punktów najlepszej bliskości oznaczamy przez
BP P (T ).
(D) Jeśli w0 ∈ X, wtedy ciąg (wm = T [m] (w0 ) : m ∈ {0} ∪ N), T [0] = IX ,
nazywamy ciągiem iteracji Picarda startującym w punkcie w0 .
Definicja 3.2 . Niech (X, T ) będzie wielowartościowym układem dynamicznym.
(A) Punkt w ∈ X nazywamy punktem stałym (X, T ), gdy w ∈ T (w).
Zbiór wszystkich punktów stałych (X, T ) oznaczamy przez F ix(T ).
(B) Punkt w ∈ X nazywamy punktem końcowym (X, T ), gdy T (w) =
{w}. Zbiór wszystkich punktów końcowych (X, T ) oznaczamy przez End(T ).
(C) Punkt w ∈ X nazywamy punktem periodycznym (X, T ), gdy w ∈
[q]
T (w) dla pewnego q ∈ N, gdzie T [m] = T ◦ T ◦ ... ◦ T (m-razy), m ∈ N.
Zbiór wszystkich punktów periodycznych (X, T ) oznaczamy przez P er(T ).
(D) Niech A, B ⊂ X będą niepustymi podzbiorami przestrzeni odległościowej (X, p). Niech T : A → 2B . Punkt w ∈ A nazywamy punktem najlepszej bliskości, gdy inf{p(w, v) : v ∈ T (w)} = dist(A, B). Zbiór wszystkich
punktów najlepszej bliskości oznaczamy przez BP P (T ).
(E) (J.P. Aubin i J. Siegel [3], J.P. Aubin i J.I. Ekeland [4], J.P. Aubin i H. Frankowska [5] oraz G.X.-Z. Yuan [6]) Procesem dynamicznym
(trajektorią) układu (X, T ), startującym w w0 = x ∈ X nazywamy ciąg
(wm : m ∈ {0} ∪ N) zdefiniowany następująco
∀m∈{0}∪N {wm+1 ∈ T (wm )}.
(F) (G.X.-Z. Yuan [6, p. 559]) Ciąg (wm : m ∈ {0} ∪ N) taki, że
∀m∈{0}∪N {wm+1 ∈ T [m+1] (x)},
T [m] = T ◦ T ◦ ... ◦ T (m-razy), m ∈ N, nazywamy uogólnionym ciągiem
iteracji układu (X, T ) startującym w w0 = x ∈ X.
Każdy proces dynamiczny startujący w w0 jest uogólnionym ciągiem
iteracji startującym w w0 . Konkluzja odwrotna nie jest prawdziwa. Zbiór
T [m] (w0 ) jest w ogólnym przypadku większy niż T (wm−1 ), m ∈ N.
Następujące twierdzenie jest znaczącym, centralnym, prostym i niezwykle
inspirującym rezultatem teorii punktu stałego.
8
Twierdzenie 3.1 (S. Banach [7], R. Caccioppoli [8]) Niech (X,d) będzie zupełną przestrzenią metryczną i niech (X, T ) będzie jednowartościowym
układem dynamicznym spełniającym warunek:
(C1) (S. Banach [7], R. Caccioppoli [8])
∃06λ<1 ∀x,y∈X {d(T (x), T (y)) 6 λd(x, y)} .
(3.1)
Wówczas:
(i) (X, T ) ma dokładnie jeden punkt stały w ∈ X, tj. F ix(T ) = {w};
(ii) ∀w0 ∈X {limm→∞ d(T [m] (w0 ), w) = 0}.
Odwzorowania spełniające warunek (3.1) są nazywane w literaturze kontrakcjami Banacha.
Uwaga 3.1 Zauważmy, że:
(a) W Twierdzeniu 3.1, (X, d) jako przestrzeń metryczna jest przestrzenią
Hausdorffa. Ponadto jest przestrzenią zupełną oraz odwzorowania d :
X × X → [0, ∞) i T : X → X są ciągłe.
(b) Jeśli pominiemy którekolwiek z tych założeń, sytuacja się komplikuje.
Jednocześnie można skonstruować przykłady niezupełnych przestrzeni
odległościowych (niekoniecznie Hausdorffa) oraz odwzorowań nieciągłych w tych przestrzeniach takich, że konkluzje (i) i (ii) zachodzą.
Z powyższej obserwacji wypływają następujące pytania:
P1. Przy jakich optymalnych założeniach, nawet w przestrzeniach metrycznych, konkluzje będą identyczne jak w Twierdzeniu 3.1?
P2. Jeśli istnieje odpowiedź na P1, to jakie metody i narzędzia badawcze
należy zastosować?
P3. Przy jakich założeniach możliwe jest otrzymanie rezultatów, w których
konkluzje będą ogólniejsze od (i) oraz (ii)?
P4. Czy istnieją odpowiedzi na analogiczne pytania dla wielowartościowych
układów dynamicznych?
9
W ostatnich dekadach obserwuje się dynamiczny rozwój teorii punktu
stałego. Dzięki wprowadzeniu nowych idei, metod i narzędzi badawczych,
uzyskane zostały liczne interesujące rezultaty dotyczące punktów stałych,
końcowych, periodycznych dla wielowartościowych układów dynamicznych,
jak i punktów najlepszej bliskości dla odwzorowań cyklicznych i acyklicznych
(jedno- i wielowartościowych).
W szczególności, nowe idee i narzędzia badawcze, które pozwoliły udowodnić twierdzenia dające pewne odpowiedzi na powyższe pytania, zaprezentowali: I. Vályi [9] (w przestrzeniach jednostajnych) oraz D. Tataru [10],
O. Kada, T. Suzuki i W. Takahashi [11], T. Suzuki [12] oraz L.-J. Lin i W.-S.
Du [13] (w przestrzeniach metrycznych).
W 1985, V. Vályi [9] wprowadził w przestrzeniach jednostajnych koncepcję V -odległości, którą w przestrzeniach metrycznych możemy zdefiniować w
następujący sposób.
Definicja 3.3 ([9]) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Odwzorowanie p : X × X → [0, ∞) nazywamy V -odległością na X, jeśli spełnione
są następujące warunki:
(V1) ∀x,y,z∈X {p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z)};
(V2) p jest półciągła z dołu ze względu na drugą zmienną;
(V3) ∀x,y∈X {p(x, y) > 0 ∧ [p(x, y) = 0 ⇔ x = y]}; oraz
(V4) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈X {p(x, y) < δ ⇒ d(x, y) < ε}.
W 1992 roku, D. Tataru [10], wykorzystując silnie ciągłe półgrupy, wprowadził następujące pojęcie T -odległości.
Definicja 3.4 ([10]) Niech X będzie podzbiorem przestrzeni Banacha i
niech {T (t) : t ∈ [0, ∞)} będzie silnie ciągłą półgrupą odwzorowań nieoddalających na X, tj.
(sg1) dla każdego t ∈ [0, ∞), T (t) jest odwzorowaniem nieoddalającym na X;
(sg2) ∀x∈X {T (0)x = x};
(sg3) ∀s,t∈R+ {T (s + t) = T (s) ◦ T (t)};
(sg4) dla każdego x ∈ X, odwzorowanie T (·)x : [0, ∞) → X jest ciągłe.
10
Odwzorowanie p : X × X → [0, ∞) zdefiniowane wzorem
p(x, y) = inf{t + ||T (t)x − y|| : t ∈ R+ }, x, y ∈ X,
nazywamy T -odległością.
W 1996 roku, O. Kada, T. Suzuki i W. Takahashi [11] wprowadzili pojęcie
w-odległości.
Definicja 3.5 ([11]) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję p : X ×X → [0, ∞) nazywamy w-odległością, jeżeli spełnione są warunki:
(p1) ∀x,y,z∈X {p(x, y) 6 p(x, z) + p(z, y)};
(p2) p jest funkcją półciągłą z dołu ze względu na drugą zmienną;
(p3) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y,z∈X {[p(z, x) 6 δ ∧ p(z, y) 6 δ] ⇒ d(x, y) 6 ε}.
Oczywiście metryka d ∈ W = {p : p jest w-odległością na (X, d)}.
W 2001 roku, T. Suzuki [12] podał definicję τ -odległości.
Definicja 3.6 ([12]) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję p : X × X → [0, ∞) nazywamy τ -odległością na X, jeśli istnieje funkcja
η : X × [0, ∞) → [0, ∞) taka, że następujące warunki są spełnione:
(S1) ∀x,y,z∈X {p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z)};
(S2) ∀x∈X ∀t>0 {η(x, 0) = 0 ∧ η(x, t) > t} oraz η jest wklęsła i ciągła ze
względu na drugą zmienną;
(S3)
n
o
n
limn→∞ xn = x ∧ limn→∞ supm>n η(zn , p(zn , xm )) = 0 ⇒ ∀w∈X {p(w, x) 6
o
lim inf n→∞ p(w, xn )} ;
(S4)
n
o
limn→∞ supm>n p(xn , ym )) = 0 ∧ limn→∞ η(xn , tn ) = 0 ⇒
n
limn→∞ η(yn , tn ) =
o
0 ;
(S5)
n
n
limn→∞ η(zn , p(zn , xn )) = 0
∧
limn→∞ η(zn , p(zn , yn )) = 0
o
o
limn→∞ d(xn , yn ) = 0 .
W 2006 roku, L.-J. Lin i W.-S. Du [13] wprowadzili pojęcie τ -funkcji.
11
⇒
Definicja 3.7 ([13]) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Odwzorowanie p : X × X → [0, ∞) nazywamy τ -funkcją, jeśli następujące warunki są spełnione:
(L1) ∀x,y,z∈X {p(x, y) 6 p(x, z) + p(z, y)};
(L2) jeśli x ∈ X i (yn : n ∈ N) będzie ciągiem w X takim, że limn→∞ yn = y
oraz p(x, yn ) 6 M dla pewnego M = M (x) > 0, wówczas p(x, y) 6 M ;
(L3) dla dowolnego ciągu (xn : n ∈ N) w X takiego, że limn→∞ sup{p(xn , xm ) :
m > n} = 0, jeśli istnieje ciąg (yn : n ∈ N) w X taki, że limn→∞ p(xn , yn ) =
0, wówczas limn→∞ d(xn , yn ) = 0;
(L4) ∀x,y,z∈X {[p(x, y) = 0 ∧ p(x, z) = 0] ⇒ y = z}.
Następująca uwaga zawiera pewne porównania powyższych odległości.
Uwaga 3.2
(a) W przestrzeni metrycznej, metryka d jest w-odległością;
(b) W przestrzeni metrycznej, każda w-odległość jest τ -odległością (por.
[12, Proposition 1]);
(c) W przestrzeni Banacha, każda T -odległość jest τ -odległością (por. [12,
Proposition 2]);
(d) W przestrzeni metrycznej, każda w-odległość jest τ -funkcją (por. [13,
Remark 2.1]).
Zastępując w warunku kontrakcyjnym (3.1) funkcję d poprzez odległości
podane w Definicjach 3.3-3.7 oraz stosując nowatorskie metody otrzymano
bardzo ogólne rozszerzenia twierdzenia Banacha. Warto jednak zauważyć, iż
w rezultatach tych, założenie zupełności przestrzeni nadal odgrywa istotną
rolę.
W 2010 roku, W. Włodarczyk i R. Plebaniak wprowadzili koncepcję nowych odległości, które okazały się być prostymi i wygodnymi narzędziami
badawczymi. Dzięki nim możliwe było otrzymanie konkluzji bardziej ogólnych, przy rezygnacji z restrykcyjnych założeń. Te nowe odległości zostały
po raz pierwszy zdefiniowane w przestrzeniach jednostajnych (wyposażonych
w rodzinę pseudometryk).
Definicja 3.8 Niech X będzie niepustym zbiorem i niech p : X × X →
[0, ∞). Wówczas:
12
(A) odwzorowanie p nazywamy pseudometryką na X, gdy spełnia następujące trzy warunki: (p1) ∀u∈X {p(u, u) = 0}; (p2) ∀u,v∈X {p(u, v) =
p(v, u)}; oraz (p3) ∀u,v,w∈X {p(u, v) 6 p(u, w) + p(w, v)}.
(B) odwzorowanie p nazywamy quasi-metryką na X, gdy spełnia następujące dwa warunki: (qm1) ∀u,w∈X {p(u, w) = 0 ⇔ u = w}; oraz (qm2)
∀u,v,w∈X {p(u, v) 6 p(u, w) + p(w, v)}.
(C) odwzorowanie p nazywamy quasi-pseudometryką na X, gdy spełnia następujące dwa warunki: (qp1) ∀u∈X {p(u, u) = 0}; oraz (qp2) ∀u,v,w∈X
{p(u, v) 6 p(u, w) + p(w, v)}.
Niech (X, D) będzie przestrzenią jednostajną Hausdorffa wyposażoną w
rodzinę D = {dα : α ∈ A} jednostajnie ciągłych na X × X pseudometryk
dα , α ∈ A, A-zbiór indeksów.
Definicja 3.9 ([D12, Definition 4.1]) . Niech (X, D) będzie przestrzenią jednostajną Hausdorffa. Rodzinę J = {Jα : α ∈ A} odwzorowań
Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A,
nazywamy J -rodziną uogólnionych pseudoodległości na X (krótko, J -rodziną),
jeśli spełnione są następujące dwa warunki:
(J 1) ∀α∈A ∀x,y,z∈X {Jα (x, z) 6 Jα (x, y) + Jα (y, z)}; oraz
(J 2) dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X takich, że
∀α∈A {n→∞
lim sup Jα (xn , xm ) = 0}
m>n
oraz
∀α∈A { lim Jα (xm , ym ) = 0},
m→∞
zachodzi warunek
∀α∈A {m→∞
lim dα (xm , ym ) = 0}.
W przestrzeniach metrycznych, uogólnioną pseudoodległość definiujemy
następująco:
Definicja 3.10 . Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Odwzorowanie J : X × X → [0, ∞) nazywamy uogólnioną pseudoodległością na X,
jeśli spełnione są następujące dwa warunki:
13
(J1) ∀x,y,z∈X {J(x, z) 6 J(x, y) + J(y, z)}; oraz
(J2) dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X takich, że
lim sup J(xn , xm ) = 0
n→∞ m>n
oraz
lim J(xm , ym ) = 0,
m→∞
zachodzi warunek
lim d(xm , ym ) = 0.
m→∞
Podamy teraz kilka istotnych własności J -rodziny.
Uwaga 3.3 . Niech (X, D) będzie przestrzenią jednostajną Hausdorffa i
niech J = {Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A} będzie J -rodziną na X.
(a) Z własności (J 1) i (J 2) wynika, że
∀x,y∈X {[x 6= y] ⇒ ∃α∈A {Jα (x, y) > 0 ∨ Jα (y, x) > 0}}.
(b) Jeśli ∀α∈A ∀x∈X {Jα (x, x) = 0}, wówczas, dla każdego α ∈ A, odwzorowanie Jα jest quasi-pseudometryką. Przykład J -rodziny takiej, że odwzorowania Jα , α ∈ A, nie są quasi-pseudometrykami przedstawimy w dalszej
części referatu (szczegóły: Przykład 3.1).
(c) Rodzina D jest J -rodziną na X.
W pracy [H4] zamieszczono następujące porównania.
Uwaga 3.4 ([H4, Theorem 6.11]) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną.
(a) Jeśli p : X × X → [0, ∞) jest τ -odległością, wówczas p jest uogólnioną
pseudoodległością;
(b) Jeśli p : X × X → [0, ∞) jest τ -funkcją, wówczas p jest uogólnioną
(c) Jeśli p : X × X → [0, ∞) jest V -odległością, wówczas p jest uogólnioną
(d) Istnieje uogólniona pseudoodległość J : X × X → [0, ∞), która nie jest
τ -odległością;
(e) Istnieje uogólniona pseudoodległość J : X × X → [0, ∞), która nie jest
τ -funkcją;
14
(f ) Istnieje uogólniona pseudoodległość J : X × X → [0, ∞), która nie jest
V -odległością.
Przykłady uogólnionych pseudoodległości, zarówno symetrycznych jak i
asymetrycznych, podamy w dalszej części referatu.
Po tym krótkim wstępie, dokonamy przeglądu prowadzonych badań, w
których narzędziami badawczymi są uogólnione pseudoodległości.
3.2.2
Uogólnione pseudoodległości J = {Jα : X × X → [0, ∞), α ∈
A} oraz punkty stałe i zbieżność ciągów iteracji Picarda dla
jednowartościowych układów dynamicznych (X, T ) w przestrzeniach jednostajnych (X, D), D = {dα : X × X → [0, ∞),
α ∈ A} (prace [H1]-[H3])
Metody badawcze opierające się na wykorzystaniu rodzin uogólnionych pseudoodległości w badaniach dotyczących punktów stałych w przestrzeniach jednostajnych, zostały zawarte w pracach [H1] - [H3].
Praca [H1]
W 1975 roku, P. V. Subrahmanyam [14] wprowadził w zupełnych przestrzeniach metrycznych (X, d), nowego typu jednowartościowe kontrakcje
T : X → X, takie, że
(C2) ∃λ,06λ<1 ∀x∈X {d(T (x), T [2] (x)) 6 λd(x, T (x))}.
Przy założeniu, że kontrakcje T są ciągłe, wykazał twierdzenie o istnieniu
i jedyności punktu stałego w ∈ X oraz zbieżności dowolnego ciągu iteracji
Picarda do tego punktu.
W pracy [H1] uogólniamy ten wynik.
Twierdzenie 3.2 ([H1, Theorem 1.1]) Niech (X, D), D = {dα : X ×
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią jednostajną Hausdorffa i niech rodzina J = {Jα : α ∈ A} odwzorowań Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, będzie
J -rodziną na X. Niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem dynamicznym spełniającym warunek:
(S) ∀α∈A ∃λα ,06λα <1 ∀x∈X {Jα (T (x), T [2] (x)) 6 λα Jα (x, T (x))}.
Dodatkowo załóżmy, że jeden z następujących warunków (A1) lub (A2)
zachodzi:
(A1) (A11 ) ∀w0 ∈X ∃w∈X ∀α∈A {limm→∞ Jα (T [m] (w0 ), w) = 0} oraz (A12 )
∀w0 ,w∈X {∀α∈A {limn→∞ supm>n Jα (T [n] (w0 ), T [m] (w0 )) = limn→∞ Jα (T [m] (w0 ), w) =
0} ⇒ T (w) = w};
15
(A2) ∀w0 ∈X ∃w∈X ∀α∈A {limm→∞ Jα (w, T [m] (w0 )) = limm→∞ Jα (T [m] (w0 ), T (w)) =
0}.
Wówczas:
(i) F ix(T ) 6= ∅;
(ii) ∀w0 ∈X ∃w∈F ix(T ) ∀α∈A {limm→∞ dα (T [m] (w0 ), w) = 0};
(iii) ∀α∈A ∀w∈F ix(T ) {Jα (w, w) = 0}.
Warty odnotowania jest fakt, że w powyższym twierdzeniu, mimo wyrażenia warunku kontrakcyjnego (S) za pomocą rodziny uogólnionych pseudoodległości, otrzymana w tezie zbieżność dowolnego ciągu iteracji jest zbieżnością względem rodziny pseudometryk D = {dα : X × X → [0, ∞), α ∈ A}.
Korzyści z wprowadzenia uogólnionych pseudoodległości łatwo zaobserwować na prostym przykładzie ilustrującym sytuację z powyższego twierdzenia. Dla przejrzystości zapisu, rozważania ograniczymy do przestrzeni metrycznej. Rozpoczniemy od przykładu uogólnionej pseudoodległości.
Przykład 3.1. ([H1, Example 3.1]) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech zbiór E ⊂ X zawierający co najmniej dwa różne punkty
będzie dowolnie ustalony. Niech c > 0 spełnia δ(E) < c, gdzie δ(E) =
sup{d(x, y) : x, y ∈ E}. Niech J : X × X → [0, ∞) będzie postaci
(
J(x, y) =
d(x, y) jeśli E ∩ {x, y} = {x, y}
, x, y ∈ X.
c
jeśli E ∩ {x, y} =
6 {x, y}
Rodzina J = {J} jest J -rodziną na X, a odwzorowanie J jest uogólnioną
pseudoodległością na X (po szczegóły odsyłamy Czytelnika do pracy [H4,
Example 6.1]).
Przykład 3.2. ([H1, Example 3.2]) Niech (X, d) będzie niezupełną przestrzenią metryczną, gdzie X = [0, 3) ∪ (3, 4) i d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X.
Niech E = [0, 1) ∪ [2, 3) i niech
(
J(x, y) =
d(x, y) jeśli {x, y} ∩ E = {x, y}
4
jeśli {x, y} ∩ E 6= {x, y}.
(3.2)
Na mocy Przykładu 3.1, odwzorowanie J jest uogólnioną pseudoodległością
na X. Niech T : X → X będzie dane wzorem:
(
T (x) =
0 jeśli x = 1
2 jeśli x ∈ X \ {1}.
Łatwo widać (szczegóły w [H1]), że założenia (A1) i (A2) Twierdzenia 3.2 są
spełnione. Zauważmy, że F ix(T ) = {2}, co więcej
∀w0 ∈X ∃w=2∈F ix(T ) { lim d(T [m] (w0 ), w) = 0}
m→∞
16
oraz J(w, w) = J(2, 2) = 0.
Warto podkreślić, że układ dynamiczny (X, T ) nie spełnia klasycznego
warunku kontrakcji Subrahamyan’a. Rzeczywiście, gdyby T spełniało warunek (C2), wówczas
∃λ∈[0,1) ∀x∈X {d(T (x), T [2] (x)) 6 λd(x, T (x))}.
Zatem, w szczególności dla x0 = 1 ∈ X, dostalibyśmy
2 = d(0, 2) = d(T (x0 ), T [2] (x0 )) 6 λd(x0 , T (x0 )) = λd(1, 0) = λ < 1,
co jest niemożliwe.
Powyższe rozważania podsumujemy uwagą.
Uwaga 3.5 W Przykładzie 3.2, odwzorowanie T : X → X nie jest ciągłe; T spełnia warunek (S) dla J -rodziny zdefiniowanej w (3.2), nie spełnia
zaś warunku (C2) dla J = {d}; przestrzeń X nie jest zupełna; wszystkie
założenia Twierdzenia 3.2 są spełnione, natomiast nie zachodzą założenia
twierdzeń S. Banacha [7], P.V. Subrahmanyama [14] i T. Suzuki’ego [12,
Theorem 1].
Praca [H2]
Badania kontrakcyjnych punktów stałych w przestrzeniach metrycznych
zupełnych, zapoczątkowane przez S. Banacha [7] i R. Caccioppoli’ego [8],
kontynuowali: T.A. Burton [15], E. Rakotch [16], M.A. Geraghty [17, 18], J.
Matkowski [19, 20, 21], W. Walter [22], J. Dugundji [23], M.R. Tasković [24],
J. Dugundji i A. Granas [25], F.E. Browder [26], M.A. Krasnosel’skiı̆ et al.
[27], D.W. Boyd i J.S.W. Wong [28], A. Mukherjea [29], A. Meir i E. Keeler
[30], S. Leader [31], J. Jachymski [32, 33], E. Tarafdar [35], L. Ćirić [36], J.
Jachymski [37], J. Matkowski [38], T. Suzuki [12, 39, 40] i wielu innych nie
wymienionych w tym miejscu.
Przytoczmy pewne z tych rezultatów.
Twierdzenie 3.3 . Niech (X, D), D = {dα : X × X → [0, ∞), α ∈ A},
będzie ciągowo zupełną przestrzenią jednostajną Hausdorffa i niech (X, T )
będzie jednowartościowym układem dynamicznym, T : X → X. Załóżmy, że:
(C3) (Tarafdar [35]) ∀α∈A ∃06λα <1 ∀x,y∈X {dα (T (x), T (y)) 6 λα dα (x, y)}.
Wówczas:
(i) T ma jedyny punkt stały w ∈ X; oraz
(ii) ∀w0 ∈X ∀α∈A {limm→∞ dα (T [m] (w0 ), w) = 0}.
17
Twierdzenie 3.4 . Niech (X, d) będzie zupełną przestrzenią metryczną i
niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem dynamicznym, T : X → X.
Załóżmy, że jeden z następujących warunków zachodzi:
(C4) (Meir-Keeler [30]) ∀ε>0 ∃η>0 ∀x,y∈X {d(x, y) < ε+η ⇒ d(T (x), T (y)) <
ε};
(C5) (Ćirić-Jachymski-Matkowski [36, 37, 38]) ∀ε>0 ∃η>0 ∀x,y∈X {d(x, y)
< ε + η ⇒ d(T (x), T (y)) 6 ε} oraz ∀x,y∈X {0 < d(x, y) ⇒ d(T (x), T (y)) <
d(x, y)}.
Wówczas:
(i) T ma jedyny punkt stały w ∈ X; oraz
(ii) ∀w0 ∈X {limm→∞ d(T [m] (w0 ), w) = 0}.
W literaturze, jednowartościowe układy dynamiczne (X, T ) spełniające
warunki (C1), (C3), (C4) i (C5), noszą nazwę kontrakcji Banacha, Tarafdara, Meir-Keelera (krótko, MK) oraz Ćirić’a-Jachymskiego-Matkowskiego
(krótko, CJM).
Wykorzystując wspomnianą we wstępie τ -odległość, T. Suzuki wykazał
następujące twierdzenie o punkcie stałym.
Twierdzenie 3.5 . Niech (X, d) będzie zupełną przestrzenią metryczną.
Niech p : X × X → [0, ∞) będzie τ -odległością na X i niech (X, T ) będzie
jednowartościowym układem dynamicznym, T : X → X. Załóżmy, że jeden
z następujących warunków zachodzi:
(C6) (Suzuki [39, Theorem 3.5]) ∀ε>0 ∃η>0 ∀x,y∈X {p(x, y) < ε + η ⇒
p(T (x), T (y)) < ε};
(C7) (Suzuki [40, Theorem 3.3]) ∀ε>0 ∃η>0 ∀x,y∈X {p(x, y) < ε + η ⇒
p(T (x), T (y)) 6 ε} oraz ∀x,y∈X {0 < p(x, y) ⇒ p(T (x), T (y)) < p(x, y)};
(C8) (Suzuki [12, Theorem 2]) ∃06λ<1 ∀x,y∈X {p(T (x), T (y)) 6 λp(x, y)}.
Wówczas:
(i) T ma jedyny punkt stały w ∈ X;
(ii) ∀w0 ∈X {limm→∞ d(T [m] (w0 ), w) = 0}; oraz
(iii) p(w, w) = 0.
Jednowartościowe układy dynamiczne (X, T ) spełniające jeden z warunków (C6)-(C8) nazywane zostały w literaturze τ -kontrakcjami Suzuki’ego.
W pracy [H2], wykorzystując uogólnione pseudoodległości (Definicja 3.9),
zdefiniowano i zbadano nowego typu kontrakcje, które są rozszerzeniem kontrakcji (C1), (C3)-(C8).
Definicja 3.11 ([H2, Definition 2.2]) . Niech (X, D), D = {dα : X ×
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią jednostajną Hausdorffa i niech
18
rodzina J = {Jα : α ∈ A} odwzorowań Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, będzie
J -rodziną na X. Powiemy, że jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ),
T : X → X, jest J -uogólnioną kontrakcją na X (krótko, J -GC na X), jeśli
jeden z następujących warunków zachodzi:
(A1)
∀α∈A ∀ε>0 ∃η>0 ∀x,y∈X {Jα (x, y) < ε + η ⇒ Jα (T (x), T (y)) < ε}.
(A2)
∀α∈A ∀ε>0 ∃η>0 ∀x,y∈X {Jα (x, y) < ε + η ⇒ Jα (T (x), T (y)) 6 ε}
oraz
∀α∈A ∀x,y∈X {0 < Jα (x, y) ⇒ Jα (T (x), T (y)) < Jα (x, y)}.
(A3)
∀α∈A ∃06λα <1 ∀x,y∈X {Jα (T (x), T (y)) 6 λα Jα (x, y)}.
Głównym wynikiem pracy [H2] jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3.6 ([H2, Theorem 2.1]) . Niech (X, D), D = {dα :
X × X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią jednostajną Hausdorffa i
niech rodzina J = {Jα : α ∈ A} odwzorowań Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A,
będzie J -rodziną na X. Niech jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ),
T : X → X, będzie J -GC na X. Załóżmy, że jeden z następujących warunków zachodzi:
(A4) Przestrzeń X jest ciągowo zupełna oraz iteracja T [q] jest ciągła w
X dla pewnego q ∈ N;
(A5) Przestrzeń X jest ciągowo zupełna oraz prawdziwa jest implikacja:
jeżeli istnieją w0 ∈ X i w ∈ X takie, że ∀α∈A {limm→∞ dα (T [m] (w0 ), w) = 0},
to T [q] (w) = w dla pewnego q ∈ N;
(A6) Istnieją w0 , w ∈ X takie, że
∀α∈A { lim Jα (T [m] (w0 ), w) = lim Jα (w, T [m] (w0 )) = 0}.
m→∞
m→∞
Wówczas:
(i) odwzorowanie T ma jedyny punkt stały w ∈ X;
(ii) ∀w0 ∈X ∀α∈A {limm→∞ dα (T [m] (w0 ), w) = 0}; oraz
(iii) ∀α∈A {Jα (w, w) = 0}.
Poniższa uwaga podsumowuje uzyskane w pracy [H2] wyniki.
19
Uwaga 3.6 . (a) Jeżeli T jest D-GC na X (tj. J = D) oraz X jest
przestrzenią ciągowo zupełną, wówczas T jest ciągłe w X, co w konsekwencji
pozwala porzucić założenia (A4)-(A6), gdy J = D. (b) W ogólności, kontrakcja J -GC nie musi być odwzorowaniem ciągłym. (c) Prawdziwość przynajmniej jednego z założeń (A4)-(A6) jest konieczna, istnieją bowiem kontrakcje
J -GC na X, J 6= D, które nie spełniają warunków (A4)-(A6) i dla których
tezy (i)-(iii) nie zachodzą (odsyłamy tutaj Czytelnika do [H2, Section 6]).
(d) Warunek E. Tarafdara (C3) implikuje ciągłość T , natomiast warunek
(A3) nie implikuje ciągłości T . (e) Powyższe twierdzenie jest nowe w przestrzeniach lokalnie wypukłych a nawet nowe w przestrzeniach metrycznych
(odsyłamy tutaj Czytelnika do [H2, Section 3, 4, 6]). (f ) Warte uwagi jest
spostrzeżenie, że w dowodach Twierdzenia 3.1 (S. Banach [7], R. Caccioppoli [8]) oraz Twierdzeń 3.3-3.5 (E. Tarafdar [35], Meir-Keeler [30], L. Ćirić
[36], J. Jachymski [37] i J. Matkowski [38], T. Suzuki [12, 39, 40]), założenie zupełności przestrzeni jest istotne. W uzyskanym uogólnieniu, założenie
to można pominąć (odsyłamy do (A6) oraz do [H2, Example 6.12]).
Liczne przykłady ilustrujące Twierdzenie 3.6, a także porównania otrzymanego wyniku z wcześniej przytoczonymi są zamieszczone w pracy [H2]. W
tym miejscu podamy jedynie przykład pokazujący, że Twierdzenie 3.6 jest
uogólnieniem wspomnianego wyniku E. Tarafdara (Twierdzenie 3.3).
Przykład 3.3. ([H2, Example 6.6]) Niech Y = RN = R × R × R×...
będzie nienormowalną rzeczywistą, lokalnie wypukłą i ciągowo zupełną przestrzenią Hausdorffa z kalibracją C = {c1 , c2 , c3 , ...}, cα (x) = |xα |, α ∈ N,
x = (x1 , x2 , x3 , ...) ∈ Y. Niech X = [0, 1]N będzie ciągowo zupełną przestrzenią jednostajną Hausdorffa, z jednostajnością zdefiniowaną przez rodzinę D = {dα : α ∈ A} pseudometryk dα , α ∈ A, A = N, dα (x, y) = cα (x − y),
x, y ∈ X.
Niech U = [0, 1] \ {1/2, 1} i niech F = [0, 1/2). Definiujemy J = {Jα :
X × X → [0, ∞), α ∈ N}, gdzie dla każdego α ∈ N i (x, y) ∈ X × X,





Jα (x, y) = 



0
1/2
2
3
jeśli
jeśli
jeśli
jeśli
xα = y α ∈ F
xα 6= yα oraz {xα , yα } ∩ F = {xα , yα }
{xα , yα } ∩ (U \ F ) 6= ∅ oraz {xα , yα } ∩ U = {xα , yα }
{xα , yα } ∩ U 6= {xα , yα }.
Rodzina J jest J -rodziną na X (odsyłamy Czytelnika do [H2, Example 6.1]).
Niech T = (T1 , T2 , ...) : X → X będzie ciągłym odwzorowaniem danym
wzorem


dla xα ∈ [0, 1/2]
 0
Tα (x) = (3/2)xα − 3/4 dla xα ∈ (1/2, 3/4] , α ∈ N, x ∈ X.


3/8
dla xα ∈ (3/4, 1]
20
[m]
[m]
Wówczas ∀w0 ∈X ∀m>2 {wm = T [m] (w0 ) = (T1 (w0 ), T2 (w0 ), ...) = 0 = (0, 0, ...)},
punkt 0 jest jedynym punktem stałym T w X, odwzorowanie T spełnia warunek (A3) (szczegóły: w pracy [H2, Example 6.4(F3)]), odwzorowanie T nie
jest kontrakcją Tarafdara (szczegóły: [H2, Example 6.5(G3)]).
Uwaga 3.7 . Niech (X, D), D = {dα : X × X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie
przestrzenią jednostajną Hausdorffa. Rodzina J = {Jα , α ∈ A} odwzorowań
Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, taka, że Jα = dα , α ∈ A, jest J -rodziną
na X. Podobnie, jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, wówczas J = d
jest uogólnioną pseudoodległością. Na mocy powyższego, Twierdzenie 3.6 (z
warunkami (A4) lub (A5)) zawiera Twierdzenie 3.3.
Praca [H3]
S. Leader wykazał następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3.7 ([31, Theorem 3]) . Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem dynamicznym, T : X → X, o domkniętym wykresie (tj. domkniętym w Y 2 , gdzie Y
jest uzupełnieniem X). Następujące warunki zachodzą:
(a) T ma kontrakcyjny punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy:
(L1): ∀x,y∈X ∀ε>0 ∃η>0 ∃r∈N ∀i,j∈N {d(T [i] (x), T [j] (y)) < ε + η
⇒ d(T [i+r] (x), T [j+r] (y)) < ε}.
(b) T ma punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy
(L2): ∃x∈X ∀ε>0 ∃η>0 ∃r∈N ∀i,j∈N {d(T [i] (x), T [j] (x)) < ε + η
⇒ d(T [i+r] (x), T [j+r] (x)) < ε}.
Co więcej, jeżeli x, ε, η i r są takie jak w (L2) i jeśli limm→∞ d(T [m] (x), w) =
0, wówczas
∀i∈N {d(T [i] (x), T [i+r] (x)) 6 η ⇒ d(T [i+r] (x), w) 6 ε}.
Pod pojęciem kontrakcyjnego punktu stałego jednowartościowego układu dynamicznego (X, T ) rozumiemy punkt stały w ∈ F ix(T ) taki, że dla
każdego w0 ∈ X, zachodzi limm→∞ d(T [m] (w0 ), w) = 0.
21
W 2007 roku, J. Jachymski i I. Jóźwik [34] wykazali, że spośród różnych
znanych kontrakcji (np.: S. Banach [7] i R. Caccioppoli [8], T.A. Burton
[15], E. Rakotch [16], M.A. Geraghty [17, 18], J. Matkowski [19, 20, 21], W.
Walter [22], J. Dugundji [23], M.R. Tasković [24], J. Dugundji i A. Granas
[25], F.E. Browder [26], M.A. Krasnosel’skiı̆ et al. [27], D.W. Boyd i J.S.W.
Wong [28], A. Mukherjea [29], A. Meir i E. Keeler [30]), kontrakcje (L1) i
(L2) zamieszczone powyżej są najbardziej ogólne.
W pracy [H3] przedstawiono sposób w jaki uogólnione pseudoodległości
mogą być wykorzystane od uzyskania nowego, bardziej ogólnego rezultatu
typu S. Leadera. W otrzymanym wyniku udało się wyeliminować istotne u
S. Leadera założenia zupełności wykresu kontrakcji oraz ciągowej zupełności
przestrzeni.
W pracy [H3], w przestrzeniach jednostajnych, definiujemy i badamy nowego typu kontrakcje, które nawet w przypadku przestrzeni metrycznych są
ogólniejsze od kontrakcji S. Leadera.
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią jednostajną i niech rodzina J =
{Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A} będzie J -rodziną na X. Mówimy, że:
(i) jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ), T : X → X, jest J kontrakcją typu Leadera na X (krótko, J -kontrakcją na X), jeśli
(LJ1) ∀x,y∈X ∀α∈A ∀ε>0 ∃η>0 ∃r∈N ∀s,l∈N {Jα (T [s] (x), T [l] (y)) < ε+η ⇒ Jα (T [s+r] (x),
T [l+r] (y)) < ε}.
(ii) jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ), T : X → X, jest słabą
J -kontrakcją typu Leadera na X (krótko, słabą J -kontrakcją na X), jeśli
(LJ2) ∃x∈X ∀α∈A ∀ε>0 ∃η>0 ∃r∈N ∀s,l∈N {Jα (T [s] (x), T [l] (x)) < ε+η ⇒ Jα (T [s+r] (x),
T [l+r] (x)) < ε}.
Wprowadzimy jeszcze dwa istotne pojęcia:
X → [0, ∞), α ∈ A, będzie przestrzenią jednostajną i niech J = {Jα : X ×
X → [0, ∞), α ∈ A} będzie J -rodziną na X. Powiemy, że jednowartościowy
układ dynamiczny (X, T ), T : X → X, jest J -dopuszczalny, jeśli dla każdego
u0 ∈ X spełniającego warunek ∀α∈A {limn→∞ supm>n Jα (un , um ) = 0}, gdzie
(um = T [m] (u0 ) : m ∈ {0}∪N), istnieje w ∈ X takie, że ∀α∈A {limm→∞ Jα (um , w) =
0}.
22
Zauważmy, że jeśli (X, D), D = {dα : X ×X → [0, ∞), α ∈ A}, jest ciągowo zupełną przestrzenią jednostajną Hausdorffa, wówczas jednowartościowy
układ dynamiczny (X, T ) jest D-dopuszczalny. Fakt ten pozwala stwierdzić,
że zastępując J przez D, założenie dopuszczalności jest w naturalny sposób spełnione i w tym szczególnym przypadku, pozostajemy w kręgu założeń
poczynionych przez S. Leadera.
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią jednostajną i niech T : X → X.
Mówimy, że T jest domknięte na X, jeśli dla ciągów (xm : m ∈ N) i (ym :
m ∈ N) w X spełniających warunek
∀m∈N {ym = T (xm )},
takich, że ciąg (xm : m ∈ N) jest zbieżny x ∈ X i (ym : m ∈ N) jest zbieżny
y ∈ X (to znaczy ∀α∈A {limm→∞ dα (xm , x) = 0} i ∀α∈A {limm→∞ dα (ym , y) =
0}), zachodzi y = T (x).
Głównymi wynikami pracy [H3] są poniższe twierdzenia. Warto zauważyć,
że w dwóch pierwszych twierdzeniach, założenie ciągowej zupełności przestrzeni nie jest konieczne.
Przypominamy, że dla w0 ∈ X i T : X → X ciąg (wm : m ∈ {0} ∪ N)
definiujemy wzorem wm = T [m] (w0 ), m ∈ {0} ∪ N.
niech J = {Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A} będzie J -rodziną na X. Załóżmy, że jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ) jest J -dopuszczalny oraz
zachodzi jeden z poniższych warunków:
(D1) ∀w0 ,w∈X {{∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) = 0}} ⇒ {T jest ciągłe w punkcie
w}};
(D2) T jest domknięte na X.
Wówczas:
(a) jeśli T jest J -kontrakcją na X, to: (i) T ma dokładnie jeden punkt stały
w X, oznaczmy go przez w; (ii) ∀w0 ∈X ∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) = 0};
oraz (iii) ∀α∈A {Jα (w, w) = 0}.
(b) jeśli T jest słabą J -kontrakcją na X, to: (i) ∃w0 ,w∈X ∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) =
0}; oraz (ii) w ∈ F ix(T ).
23
niech rodzina J = {Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A} będzie J -rodziną na
X. Załóżmy, że jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ) spełnia jeden z
warunków (D1) lub (D2) (patrz: Twierdzenie 3.8) oraz dodatkowo warunek:
(D3) ∃w0 ,w∈X ∀α∈A {limm→∞ Jα (wm , w) = 0}.
Jeśli T jest J -kontrakcją na X, wówczas:
(i) ∃w0 ,w∈X ∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) = 0};
(ii) F ix(T ) = {w}; oraz
(iii) ∀α∈A {Jα (w, w) = 0}.
X × X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie ciągowo zupełną przestrzenią jednostajną
Hausdorffa i niech rodzina J = {Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A} będzie
J -rodziną na X. Załóżmy, że jednowartościowy układ dynamiczny (X, T )
spełnia jeden z warunków (D1) lub (D2) (patrz: Twierdzenie 3.8). Wówczas:
(a) jeśli T jest J -kontrakcją na X, to:
(i) T ma jedyny punkt stały w X, oznaczmy go przez w;
(ii) ∀w0 ∈X ∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) = 0}; oraz
(iii) ∀α∈A {Jα (w, w) = 0}.
(b) jeśli T jest słabą J -kontrakcją na X, to:
(i) ∃w0 ,w∈X ∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) = 0}; oraz
(ii) w ∈ F ix(T ).
Zanim omówimy wnioski płynące z powyższych twierdzeń, zilustrujmy
wyniki odpowiednimi przykładami. Rozpoczniemy od tych, które ilustrują
Twierdzenie 3.8(b).
Przykład 3.4. ([H3, Example 6.2]) Niech X = (0, 1) będzie przestrzenią metryczną z metryką d : X × X → [0, ∞), d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X.
Niech jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ) będzie zdefiniowany wzorem



−(3/8)x + 5/8
jeśli x ∈ (0, 1/3]
jeśli x ∈ (1/3, 1/2]
T (x) = f (x)


[−x2 + 2x − (3/4)]1/2 + 1/2 jeśli x ∈ (1/2, 1),
24
gdzie f : R → R jest określona następująco f (x) = (3/2)x − 1/4.
Zauważmy, że (D1) jest spełnione. Rzeczywiście, jeśli w0 , w ∈ X, wówczas
limm→∞ wm = w jedynie gdy w0 ∈ S := {sk : f [k] (sk ) = 1/3, k ∈ {0} ∪ N} ∪
{1/2} oraz w = 1/2. Widzimy, że układ (X, T ) jest ciągły w punkcie w = 1/2.
Zauważmy, że dla dowolnego k ∈ N i x ∈ R, f [k] (x) = (3/2)k (x − 1/2) +
1/2. Zatem, warunek f [k] (sk ) = 1/3 dla k ∈ N, implikuje limk→∞ (1/2 −
sk ) = limk→∞ (2/3)k (1/6) = 0. W konsekwencji ∀k∈{0}∪N {sk < 1/2}, ciąg
(sk : k ∈ {0} ∪ N) jest rosnący i limk→∞ sk = 1/2. W szczególności, s0 = 1/3,
s1 = 7/18, s2 = 23/54 i s3 = 73/162.
Niech teraz E = S oraz
(
J(x, y) =
d(x, y) jeśli {x, y} ∩ E = {x, y}
2
jeśli {x, y} ∩ E 6= {x, y}.
Na mocy Przykładu 3.1, J = {J} jest J -rodziną na X. Łatwo wykazujemy, że jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ) jest J -dopuszczalny oraz
jest słabą J -kontrakcją na X. Wszystkie założenia Twierdzenia 3.8(b) są
spełnione, F ix(T ) = {w} = {1/2} oraz ∀w0 ∈S⊂X {limm→∞ d(wm , w) = 0}.
Przykład 3.5. ([H3, Example 6.3]) Niech X = (0, 1) będzie przestrzenią metryczną wyposażoną w metrykę d : X × X → [0, ∞), d(x, y) = |x − y|,
x, y ∈ X. Niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem dynamicznym
określonym wzorem
T (x) =















−x + 3/4
(1/2)x + 1/4
(3/2)x − (1/4)
3/4
−2x + 2
dla
dla
dla
dla
dla
x ∈ (0, 1/4]
x ∈ (1/4, 1/2]
x ∈ (1/2, 2/3]
x ∈ (2/3, 7/8)
x ∈ [7/8, 1).
Oczywiście, układ (X, T ) jest J = {d}-dopuszczalny na X (istotnie, jeśli
w ∈ (0, 1/4) ∪ (1/2, 1), wtedy limm→∞ wm = w0 = 3/4 i jeśli w0 ∈ [1/4, 1/2],
to limm→∞ wm = w00 = 1/2). Co więcej, (X, T ) jest ciągły w w0 i w00 . Zatem
założenie (D1) jest spełnione. Ponadto można wykazać, że jednowartościowy
układ dynamiczny (X, T ) jest słabą J = {d}-kontrakcją na X. Tak więc,
założenia Twierdzenia 3.8(b) są spełnione, F ix(T ) = {w0 , w00 } oraz dla dowolnego w0 ∈ X, ciąg (wm : m ∈ {0} ∪ N) jest d-zbieżny do w0 lub w00 .
0
Na zakończenie podamy przykład ilustrujący Twierdzenia 3.8(a) i 3.9.
Przykład 3.6. ([H3, Example 6.4]) Niech X = (0, 1/3] ∪ S ∪ (1/2, 1)
będzie przestrzenią metryczną wyposażoną w metrykę d : X × X → [0, ∞),
25
d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X, gdzie S jest zdefiniowane tak, jak w Przykładzie
3.4 (tj. S := {sk : f [k] (sk ) = 1/3, k ∈ {0} ∪ N}∪ {1/2}) i niech
T (x) =



−(3/8)x + 5/8 jeśli x ∈ (0, 1/3]
f (x)
jeśli x ∈ S


1/2
jeśli x ∈ (1/2, 1),
gdzie f : R → R jest zdefiniowana jak w Przykładzie 3.4 (tj. f (x) = (3/2)x −
1/4, x ∈ R). Jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ) jest J = {d}dopuszczalny, (X, T ) jest J = {d}-kontrakcją na X, oraz (X, T ) spełnia
założenia (D1) i (D3), F ix(T ) = {1/2} oraz ∀w0 ∈X {limm→∞ d(wm , 1/2) =
0}.
Zestawmy, w postaci wniosku, pewne fakty wypływające z przytoczonych
przykładów.
Uwaga 3.8 . (a) W Przykładzie 3.4, istotne są założenia: istnieje rodzina J = {J} taka, że J 6= {d} oraz (X, T ) jest J -dopuszczalny. Łatwo
bowiem zaobserwować, że dla każdego w0 ∈ X\S, ciąg (wm : m ∈ {0} ∪ N)
nie jest zbieżny w X (ponieważ limm→∞ wm = w = 1 ∈
/ X). Z drugiej strony,
0
dla każdego w ∈ X\S, ciąg powyższy jest ciągiem Cauchy’ego, to znaczy
limn→∞ supm>n d(wn , wm ) = 0. W konsekwencji widzimy, że (X, T ) nie jest
J = {d}-dopuszczalny na X.
(b) W Przykładzie 3.5, jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ) jest
słabą J = {d}-kontrakcją na X.
(c) W Przykładach 3.4-3.6, (X, d) nie jest przestrzenią zupełną, (X, T )
nie ma domkniętego wykresu. Zatem założenia niektórych z naszych twierdzeń
są spełnione, podczas gdy nie są spełnione założenia twierdzeń z prac [7], [8],
[15]-[31], [41, Theorem 4] i [42].
3.2.3
Stożkowe pseudoodległości J = {Jα : X × X → L, α ∈ A} w
przestrzeniach stożkowych jednostajnych (X, P), P = {pα :
X × X → L, α ∈ A}, Zasada Maksymalności (Minimalności),
uogólnienia twierdzeń Ekelanda i Caristi (praca [H4])
Praca [H4]
W przestrzeniach metrycznych zupełnych, następujące dwa twierdzenia
są równoważne.
26
Twierdzenie 3.11 . Niech (X, d) będzie zupełną przestrzenią metryczną i niech ω : X → (−∞, +∞] będzie odwzorowaniem półciągłym z dołu,
właściwym i ograniczonym z dołu.
(J. Caristi [45]). Niech T : X → X. Jeśli
∀x∈X {d(x, T (x)) 6 ω(x) − ω(T (x))},
(D)
wówczas istnieje w ∈ X takie, że T (w) = w.
(Zasada Wariacyjna; I. Ekeland [46]). Dla dowolnych ε > 0 i x0 ∈
dom(ω), istnieje u ∈ X takie, że:
(i) ω(u) + εd(x0 , u) 6 ω(x0 );
(ii) ∀x∈X\{u} {ω(u) < ω(x) +εd(x, u)}.
Przypominamy, że odwzorowanie ω : X → (−∞, +∞] nazywamy właściwym, jeśli efektywny obszar dom(ω) = {x : ω(x) < +∞} jest niepusty.
Mówimy, że odwzorowanie ω : X → [−∞, +∞] jest półciągłe z dołu na X
(co zapisujemy: lsc), jeśli, dla dowolnego r ∈ R, zbiór {x ∈ X : ω(x) 6 r}
jest domkniętym podzbiorem w X. W teorii punktu stałego, odwzorowanie
T spełniające warunek (D) nazywamy rozproszonym (dissipative), zaś odwzorowanie ω spełniające (D), nazywamy entropią.
W literaturze (N. Mizoguchi [47], J.P Aubin i J. Siegel [3], Y. Feng i
S. Liu [48], I. Vályi [9], J. Jachymski [49]), znane są liczne warianty Zasady
Wariacyjnej typu Ekelada dla odwzorowań półciągłych z dołu oraz twierdzeń
(typu Caristi) o punkcie stałym i końcowym dla jedno- i wielowartościowych
rozproszonych układów dynamicznych z półciągłymi z dołu entropiami w
przestrzeniach metrycznych oraz w przestrzeniach jednostajnych.
W pracy [H4], w przestrzeniach stożkowych jednostajnych (zatem w szczególności w przestrzeniach metrycznych i jednostajnych), definiujemy uogólnione pseudoodległości, zamieszczamy uogólnienie Zasady Maksymalności
(Minimalności), a następnie, dla wielowartościowych układów dynamicznych,
formułujemy i dowodzimy uogólnienia ważnych w analizie nieliniowej twierdzeń Ekelanda i Caristi.
Otrzymane twierdzenia dotyczą przestrzeni ogólniejszych od tych dotychczas badanych. Wykorzystanie uogólnionych pseudoodległości przy konstrukcji odpowiednika warunku (D), rozszerzyło klasę odwzorowań T . Ponadto, w
odróżnieniu od znanych w literaturze uogólnień, w naszych twierdzeniach,
założenie dolnej półciągłości entropii jest nieistotne (por. przykłady w [H4],
w szczególności [H4, Example 5.18]).
Krótko omówimy rezultaty pracy [H4].
Rzeczywistą przestrzenią unormowaną nazywamy parę (L, k·k), gdzie L
jest przestrzenią wektorową nad R z topologią generowaną przez metrykę
(a, b) → ka − bk, a, b ∈ L.
27
Niech L będzie rzeczywistą przestrzenią unormowaną. Niepusty domknięty i wypukły zbiór H ⊂ L nazywamy stożkiem w L, jeśli spełnia następujące
trzy warunki: (H1) ∀s∈(0,∞) {sH ⊂ H}; (H2) H ∩ (−H) = {0}; oraz (H3)
H 6= {0}.
Każdy stożek H ⊂ L wyznacza relację porządku:
a H b wtedy i tylko wtedy, gdy b − a ∈ H.
Mówimy wówczas, że L jest uporządkowaną przestrzenią unormowaną ze
stożkiem H. Aby zaznaczyć, że a H b ale a 6= b, będziemy pisali a ≺H b.
Stożek H nazywamy pełnym, jeśli int(H) 6= ∅, gdzie int(H) oznacza
wnętrze H. Zapis a b będzie oznaczał, iż b − a ∈ int(H).
Stożek H nazywamy normalnym, gdy istnieje liczba rzeczywista M > 0
taka, że dla każdych a, b ∈ H, jeśli 0 H a H b, to ||a|| 6 M ||b||. Stałą M
spełniającą powyższą implikację nazywamy stałą normalną stożka H.
Po tym krótkim wstępie możemy zdefiniować stożkową przestrzeń jednostajną, a także przedstawić kilka faktów z nią związanych.
Definicja 3.15 ([H4, Definition 2.1]) . Niech X będzie niepustym zbiorem i niech L będzie przestrzenią unormowaną uporządkowaną przez stożek
H.
(A) Rodzinę P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, A-zbiór indeksów, nazywamy P-rodziną stożkowych pseudometryk na X (krótko, P-rodziną), jeśli
następujące trzy warunki są spełnione:
(P1) ∀α∈A ∀x,y∈X {0 H pα (x, y) ∧ x = y ⇒ pα (x, y) = 0};
(P2) ∀α∈A ∀x,y∈X {pα (x, y) = pα (y, x)};
(P3) ∀α∈A ∀x,y,z∈X {pα (x, z) H pα (x, y) + pα (y, z)}.
(B) Jeśli P jest P-rodziną, wówczas parę (X, P) nazywamy stożkową
przestrzenią jednostajną.
(C) P-rodzinę P nazywamy oddzielającą, jeśli
(P4) ∀x,y∈X {x 6= y ⇒ ∃α∈A {0 ≺H pα (x, y)}}.
(D) Jeśli P-rodzina P jest oddzielająca, wówczas parę (X, P) nazywamy
przestrzenią stożkową jednostajną Hausdorffa.
Definicja 3.16 ([H4, Definition 2.2]) . Niech L będzie uporządkowaną przestrzenią unormowaną ze stożkiem H i niech (X, P), P = {pα :
28
X × X → L, α ∈ A}, będzie przestrzenią stożkową jednostajną ze stożkiem
H.
(A) Powiemy, że ciąg (wm : m ∈ N) w X jest P-zbieżny w X, jeśli
istnieje w ∈ X takie, że
∀α∈A ∀cα ∈L,0cα ∃n0 =n0 (α,cα )∈N ∀m∈N;n0 6m {pα (wm , w) cα }.
(B) Powiemy, że ciąg (wm : m ∈ N) w X jest ciągiem P-Cauchy’ego w
X, jeśli
∀α∈A ∀cα ∈L,0cα ∃n0 =n0 (α,cα )∈N ∀m,n∈N;n0 6m<n {pα (wm , wn ) cα }.
(C) Jeśli każdy ciąg P-Cauchy’ego w X jest P-zbieżny w X, to przestrzeń
(X, P) nazywamy P-ciągowo zupełną przestrzenią stożkową jednostajną.
Warto odnotować następujący fakt.
Twierdzenie 3.12 ([H4, Theorem 2.3]) . Niech L będzie uporządkowaną przestrzenią unormowaną z pełnym stożkiem normalnym H i niech
(X, P), P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, będzie przestrzenią stożkową jednostajną Hausdorffa ze stożkiem H.
(a) Niech (wm : m ∈ N) będzie ciągiem w X i niech w ∈ X. Ciąg (wm :
m ∈ N) jest P-zbieżny do w wtedy i tylko wtedy, gdy
∀α∈A ∀εα >0 ∃n0 =n0 (α,εα )∈N ∀m∈N;n0 6m {kpα (wm , w)k < εα }.
(b) Niech (wm : m ∈ N) będzie ciągiem w X. Ciąg (wm : m ∈ N) jest
ciągiem P-Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy
∀α∈A ∀εα >0 ∃n0 =n0 (α,εα )∈N ∀m,n∈N;n0 6m<n {kpα (wm , wn )k < εα }.
(c) Każdy P-zbieżny ciąg jest ciągiem P-Cauchy’ego.
Definicja 3.17 ([H4, Definition 2.4]) . Niech L będzie uporządkowaną przestrzenią unormowaną z pełnym stożkiem H. Stożek H nazywamy regularnym, jeśli dla każdego rosnącego (malejącego) ciągu ograniczonego z góry
(z dołu), tzn. dla każdego ciągu (cm : m ∈ N) w L takiego, że dla pewnego
b ∈ L, mamy c1 H c2 H . . . H cm H . . . H b (b H . . . H cm H
. . . H c2 H c1 ), istnieje c ∈ L takie, że limm→∞ ||cm − c|| = 0.
Uwaga 3.9 Każdy stożek regularny jest normalny (szczegóły K. Deimling
[50, p. 220]).
29
W przestrzeniach stożkowych jednostajnych, pojęcie rodziny uogólnionych pseudoodległości przybiera następującą postać.
Definicja 3.18 ([H4, Definition 2.6]) . Niech L będzie uporządkowaną przestrzenią unormowaną z pełnym stożkiem normalnym H i niech (X, P),
P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, będzie przestrzenią stożkową jednostajną
Hausdorffa ze stożkiem H.
(A) Rodzinę J = {Jα : X × X → L, α ∈ A} nazywamy J -rodziną stożkowych pseudoodległości na X (krótko, J -rodziną na X), jeśli następujące
trzy warunki są spełnione:
(J 1) ∀α∈A ∀x,y∈X {0 H Jα (x, y)};
(J 2) ∀α∈A ∀x,y,z∈X {Jα (x, z) H Jα (x, y) + Jα (y, z)};
(J 3) dla dowolnych ciągów (wm : m ∈ N) i (vm : m ∈ N) w X takich, że
∀α∈A ∀εα >0 ∃n0 =n0 (α,εα )∈N ∀m,n∈N; n0 6m6n {kJα (wm , wn )k < εα },
(3.3)
∀α∈A ∀εα >0 ∃n0 =n0 (α,εα )∈N ∀m∈N; n0 6m {kJα (wm , vm )k < εα },
mamy
∀α∈A ∀εα >0 ∃n0 =n0 (α,εα )∈N ∀m∈N; n0 6m {kpα (wm , vm )k < εα }.
(B) Niech rodzina J = {Jα : X ×X → L, α ∈ A} będzie J -rodziną na X.
Powiemy, że ciąg (wm : m ∈ N) elementów z X jest ciągiem J -Cauchy’ego
w X, jeżeli spełniony jest warunek (3.3).
Następująca definicja dotyczy zupełności oraz częściowego quasi-uporządkowania w przestrzeniach stożkowych (X, P), P = {pα : X ×X → L, α ∈ A},
wyposażonych w rodzinę J = {Jα : X × X → L, α ∈ A}.
Niech (Λ, ¬Λ ) oznacza zbiór skierowany, którego elementy będziemy oznaczali literami λ, η, µ. Zapis λ <Λ η będzie oznaczał, że λ ¬Λ η i λ 6= η.
Relację ¬X na X, która jest zwrotna i przechodnia nazywamy quasiporządkującą zbiór X, zaś parę (X, ¬X ) nazywamy przestrzenią quasi-uporządkowaną. Jeśli dodatkowo relacja ¬X dla dowolnych x, y ∈ X spełnia warunek: x ¬X y i y ¬X x implikuje x = y, wówczas nazywamy ją relacją
częściowo quasi-porządkującą zbiór X a parę (X, ¬X ) nazywamy częściowo
quasi-uporządkowaną przestrzenią. Dodatkowo wprowadzamy zapis u <X v,
gdy u ¬X v i u 6= v.
30
Definicja 3.19 ([H4, Definition 3.2]) . Niech L będzie uporządkowaną przestrzenią unormowaną z pełnym stożkiem normalnym H i niech (X, P),
P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, będzie przestrzenią stożkową jednostajną
Hausdorffa ze stożkiem H. Niech J = {Jα : X × X → L, α ∈ A} będzie
J -rodziną na X.
(A) Powiemy, że net (wλ : λ ∈ Λ) w X jest J -Cauchy (P-Cauchy) w X,
jeśli
∀α∈A ∀cα ∈L,0cα ∃π0 ∈Λ ∀η,µ∈Λ; π0 ¬Λ η¬Λ µ {Jα (wη , wµ ) cα }
(∀α∈A ∀cα ∈L,0cα ∃π0 ∈Λ ∀η,µ∈Λ; π0 ¬Λ η<Λ µ {pα (wη , wµ ) cα }).
(B) Powiemy, że net (wλ : λ ∈ Λ) w X jest J -zbieżny (P-zbieżny) w X,
jeśli istnieje w ∈ X takie, że
∀α∈A ∀cα ∈L,0cα ∃π0 ∈Λ ∀η∈Λ; π0 ¬Λ η {Jα (wη , w) cα }
(∀α∈A ∀cα ∈L,0cα ∃π0 ∈Λ ∀η∈Λ; π0 ¬Λ η {pα (wη , w) cα }).
(C) Powiemy, że (X, P) jest zupełna, jeśli każdy P-Cauchy net (wλ : λ ∈
Λ) w X jest P-zbieżny w X.
(D) Niech (X, P) będzie przestrzenią zupełną. Dla dowolnego i ustalonego
podzbioru E ⊂ X, domknięcie E, definiujemy jako zbiór cl(E) = {w ∈
X : ∃(wλ :λ∈Λ)⊂E ∀α∈A ∀cα ∈L,0cα ∃π0 ∈Λ ∀η∈Λ; π0 ¬Λ η {pα (wη , w) cα }}. Podzbiór
E ⊂ X jest zbiorem domkniętym w X jeśli cl(E) = E.
(E) Niech (X, ¬X ) będzie częściowo quasi-uporządkowaną przestrzenią.
Mówimy, że net (wλ : λ ∈ Λ) w (X, ¬X ) jest rosnący (malejący) ze względu
na relację ¬X jeżeli ∀η,µ∈Λ {η <Λ µ ⇒ wη ¬X wµ } (∀η,µ∈Λ {η <Λ µ ⇒ wµ ¬X
wη }).
Niech (X, ¬X ) będzie częściowo quasi-uporządkowaną przestrzenią. Zbiór
E ⊂ X nazywamy łańcuchem w X, jeśli każde dwa elementy w E są porównywalne, tj. x ¬X y lub y ¬X x, dla dowolnych x, y ∈ E.
Na zakończenie wspomnijmy jeszcze o lemacie Zorna, który gwarantuje, że każdy częściowo uporządkowany zbiór, w którym każdy łańcuch ma
górne (dolne) ograniczenie, zawiera przynajmniej jeden element maksymalny
(minimalny).
Pierwszym z głównych rezultatów w pracy [H4] jest następująca Zasada
Maksymalności (Minimalności).
Twierdzenie 3.13 ([H4, Theorem 3.4]) . Niech L będzie uporządkowaną przestrzenią Banacha z normalnym pełnym stożkem H i niech (X, P),
P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, będzie stożkową przestrzenią jednostajną
Hausdorffa ze stożkiem H. Niech J = {Jα : X × X → L, α ∈ A} będzie J -rodziną na X i niech (X, ¬X ) będzie częściowo quasi-uporządkowaną
przestrzenią.
31
(A) Załóżmy, że: (a1 ) dla każdego x ∈ X, zbiór {y ∈ X : x ¬X y} jest zupełny; oraz (a2 ) każdy rosnący ciąg (wm : m ∈ N) w X jest J -Cauchy’ego.
Wówczas X zawiera przynajmniej jeden element maxymalny.
(B) Załóżmy, że: (b1 ) dla każdego x ∈ X, zbiór {y ∈ X : y ¬X x} jest
zupełny; oraz (b2 ) każdy malejący ciąg (wm : m ∈ N) w X jest J Cauchy’ego. Wówczas X zawiera przynajmniej jeden element minimalny.
Kolejnymi wynikami zawartymi w pracy [H4] są uogólnienia Zasady Wariacyjnej Ekelanda i twierdzenia Caristi. Prezentację tych wyników poprzedzimy pewnymi pojęciami i dodatkowymi oznaczeniami.
Niech L będzie uporządkowaną przestrzenią Banacha ze stożkiem H i
niech (X, P), P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, będzie przestrzenią stożkową
jednostajną wyposażoną w H.
Niech ponadto element +∞ ∈
/ L będzie taki, że a H +∞ dla wszystkich
a ∈ L. Powiemy, że odwzorowanie F : X → L ∪ {+∞} jest właściwe, jeśli
jego efektywna dziedzina, dom(F ) = {x : F (x) 6= +∞}, jest niepusta.
Jeśli J = {Jα : X × X → L : α ∈ A} jest J -rodziną, wówczas
X = XJ0 ∪ XJ+ ,
gdzie
XJ0 = {x ∈ X : ∀α∈A {0 = Jα (x, x)}},
XJ+ = {x ∈ X : ∃α∈A {0 ≺H Jα (x, x)}}.
W pracy [H4], wykorzystując J -rodziny, wykazaliśmy następującą Zasadę
Wariacyjną typu Ekelanda.
Twierdzenie 3.14 ([H4, Theorem 4.1]) . Załóżmy, że:
(a) L jest uporządkowaną przestrzenią Banacha wyposażoną w regularny i
pełny stożek H;
(b) (X, P), P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, jest zupełną przestrzenią
stożkową jednostajną Hausdorffa ze stożkiem H;
(c) rodzina J = {Jα : X × X → L, α ∈ A} jest J -rodziną na X taką, że
XJ0 6= ∅;
(d) rodzina Ω = {ωα : X → H∪{+∞}, α ∈ A} spełnia DΩ =
6= ∅;
32
T
α∈A
dom(ωα )
(e) {εα , α ∈ A} jest rodziną skończonych dodatnich liczb;
(f ) dla każdego x ∈ XJ0 , zbiór QJ ,Ω (x) zdefiniowany wzorem
QJ ,Ω (x) = {y ∈ XJ0 : ∀α∈A {ωα (y) + εα Jα (x, y) H ωα (x)}}
jest niepustym domkniętym podzbiorem w X.
Wówczas, dla każdego w0 ∈ DΩ ∩ XJ0 , istnieje w ∈ DΩ ∩ XJ0 takie, że:
(i) ∀α∈A {ωα (w) + εα Jα (w0 , w) H ωα (w0 )};
(ii) ∀x∈QJ ,Ω (w0 )\{w} ∃β∈A {ωβ (w) ≺H ωβ (x) + εβ Jβ (x, w)}; oraz
(iii) jeśli w 6= w0 , to ∃γ∈A {ωγ (w) ≺H ωγ (w0 )}.
Sformułujemy teraz pojęcie odwzorowania stożkowo półciągłego z dołu.
Definicja 3.20 ([H4, Definition 4.3]) . Niech (X, P), P = {pα : X ×
X → L, α ∈ A}, będzie zupełną przestrzenią stożkową jednostajną Hausdorffa wyposażoną w stożek H. Niech E ⊆ X, E 6= ∅. Powiemy, że odwzorowanie
F : E → H ∪ {+∞} jest półciągłe z dołu na E ze względu na X (co zapisujemy: F jest (E, X)-lsc gdy E 6= X oraz F jest lsc gdy E = X), jeśli, dla
każdego c ∈ H, zbiór {y ∈ E : F (y) H c} jest domkniętym podzbiorem w X.
Uwaga 3.10 . (a) Zauważmy, że szczególnym przypadkiem warunku (f )
jest następujący warunek (f0 ):
(f 0 ) dla każdej pary (x, α) ∈ XJ0 × A, odwzorowanie ωα (·) + εα Jα (x, ·) :
XJ0 → H ∪ {+∞} jest (XJ0 , X)-lsc oraz, dla każdego x ∈ XJ0 , zbiór
QJ ,Ω (x) jest niepusty.
(b) Jeśli J = P, wówczas szczególnym przypadkiem warunku (f ) jest warunek (f00 ):
(f 00 ) dla każdej pary (x, α) ∈ X × A, odwzorowanie ωα (·) + εα pα (x, ·) : X →
H ∪{+∞} jest lsc oraz, dla każdego x ∈ X, zbiór QP,Ω (x) jest niepusty.
Przejdźmy teraz do zapowiedzianego uogólnienia twierdzenia Caristi.
Twierdzenie 3.15 ([H4, Theorem 4.5]) . Załóżmy, że:
(a) L jest uporządkowaną przestrzenią Banacha wyposażoną w regularny i
pełny stożek H;
33
(b) (X, P), P = {pα : X × X → L, α ∈ A}, jest zupełną stożkową przestrzenią jednostajną Hausdorffa ze stożkiem H;
(c) rodzina J = {Jα : X × X → L, α ∈ A} jest J -rodziną na X taką, że
XJ0 6= ∅;
(d) rodzina Ω = {ωα : X → H∪{+∞}, α ∈ A} spełnia DΩ =
6= ∅;
T
α∈A
dom(ωα )
(e) {εα , α ∈ A} jest rodziną skończonych liczb dodatnich;
(f ) (X, T ) jest wielowartościowym układem dynamicznym; oraz
(g) dla każdego x ∈ XJ0 , zbiór QJ ,Ω;T (x) zdefiniowany następująco
QJ ,Ω;T (x) = {y ∈ T (x) ∩ XJ0 : ∀α∈A {ωα (y) + εα Jα (x, y) H ωα (x)}}
jest niepusty i domknięty w X.
Wówczas, istnieje w ∈ DΩ ∩ XJ0 takie, że:
(i) w ∈ T (w).
Załóżmy dodatkowo, że:
(h) dla każdego x ∈ XJ0 , każdy dynamiczny proces (wm : m ∈ {0} ∪ N)
startujący w w0 = x i spełniający warunek ∀m∈{0}∪N {wm+1 ∈ T (wm )},
spełnia także ∀m∈{0}∪N {wm+1 ∈ QJ ,Ω;T (wm )}.
Wówczas, teza (i) przyjmuje postać:
(i0 ) {w} = T (w).
Uwaga 3.11 . (a) Zauważmy, że szczególnym przypadkiem warunku (g)
jest warunek (g0 ):
(g0 ) dla każdej pary (x, α) ∈ XJ0 × A, odwzorowanie ωα (·) + εα Jα (x, ·) :
T (x) ∩ XJ0 → H ∪ {+∞} jest (T (x) ∩ XJ0 , X)-lsc oraz, dla każdego
x ∈ XJ0 , zbiór QJ ,Ω;T (x) jest niepusty.
(b) Jeśli J = P, wówczas szczególnym przypadkiem warunku (g) jest
warunek (g00 ):
(g00 ) dla każdej pary (x, α) ∈ X × A, odwzorowanie ωα (·) + εα pα (x, ·) :
T (x) → H ∪ {+∞} jest (T (x), X)-lsc oraz, dla każdego x ∈ X, zbiór
QP,Ω;T (x) jest niepusty.
W pracy [H4] zamieszczamy także liczne przykłady ilustrujące zarówno
omawiane w tym rozdziale twierdzenia, jak również dokonujące porównania
ze znanymi w literaturze wynikami. Dla czytelności niniejszej autoreferatu,
w tym miejscu, ich prezentację pominiemy.
34
3.2.4
Uogólnione pseudoodległości L = {Lα : X × X → [0, ∞],
α ∈ A}, oraz punkty stałe i zbieżność procesów dynamicznych dla wielowartościowych układów dynamicznych (X, T )
w uogólnionych przestrzeniach jednostajnych (X, D), D =
{dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A} (praca [H5])
Praca [H5]
Studiując teorię punktu stałego, naturalnym wydaje się pytanie, czy Twierdzenie 3.1 daje się rozszerzyć na przypadek, w którym jednowartościowe układy dynamiczne będą zastąpione wielowartościowymi układami dynamicznymi. Jednym z pierwszych wyników podających pozytywną odpowiedź na powyższe pytanie, był rezultat S.B. Nadlera [51].
Twierdzenie 3.16 . (S.B. Nadler [51, Theorem 5]) Niech (X, d) będzie zupełną przestrzenią metryczną. Załóżmy, że wielowartościowy układ
dynamiczny (X, T ) taki, że T : X → CB(X), gdzie CB(X) oznacza klasę wszystkich niepustych, domkniętych i ograniczonych podzbiorów X, jest
(h, λ)-kontrakcyjny, tj.
∃λ∈(0,1) ∀x,y∈X {h(T (x), T (y)) 6 λd(x, y)}.
Wówczas T ma w X punkt stały w, tj. w ∈ T (w).
Tutaj h : CB(X)×CB(X) → [0, ∞) jest odległością Pompeiu-Hausdorffa
[52].
W bogatej literaturze dotyczącej omawianej tematyki, można dostrzec
również inny, niezwykle istotny kierunek uogólnień twierdzenia Banacha, który zaproponowali: W.A.J. Luxemburg [53], C.F.K. Jung [54] oraz H. Covitz i
S.B. Nadler, Jr. [55, Theorem 1]. Wprowadzili oni do metrycznej teorii punktu stałego pojęcie uogólnionych przestrzeni metrycznych. Otrzymane przez
H. Covitz i S.B. Nadler, Jr. [55, Theorem 1] rezultaty, dotyczą wielowartościowych układów dynamicznych w uogólnionych przestrzeniach metrycznych.
Definicja 3.21 Uogólnioną przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, d),
w której X jest niepustym zbiorem oraz d : X × X → [0, ∞] spełnia następujące warunki:
(gm1) ∀x,y∈X {d(x, y) = 0 ⇔ x = y};
(gm2) ∀x,y∈X {d(x, y) = d(y, x);
(gm3) ∀x,y,z∈X {[d(x, z) < +∞ ∧ d(z, y) < +∞] ⇒ [d(x, y) < +∞ ∧
d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)]}.
35
Pewną dodatkową charakteryzację tego typu przestrzeni podał C.F.K.
Jung [54], który wykazał ważne twierdzenie dotyczące dekompozycji uogólnionej przestrzeni metrycznej i podał metodę konstrukcji uogólnionych (zupełnych) przestrzeni metrycznych. A oto szczegóły.
Niech {(Xβ , dβ ) : β ∈ B}, B-zbiór indeksów, będzie rodziną rozłącznych
S
przestrzeni metrycznych. Jeśli X = β∈B Xβ oraz dla dowolnych x, y ∈ X,
(
d(x, y) =
dβ (x, y) gdy x, y ∈ Xβ , β ∈ B
+∞
gdy x ∈ Xβ1 , y ∈ Xβ2 , β1 , β2 ∈ B, β1 6= β2 ,
wówczas (X, d) jest uogólnioną przestrzenią metryczną. Co więcej, jeśli dla
każdego β ∈ B, przestrzeń (Xβ , dβ ) jest zupełna, to (X, d) jest zupełną uogólnioną przestrzenią metryczną. W uogólnionej przestrzeni metrycznej (X, d),
C.F.K. Jung zdefiniował następującą relację równoważności na X:
x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) < +∞, x, y ∈ X.
Powyższa relacja wyznacza jednoznaczną dekompozycję przestrzeni X na
rozłączne klasy abstrakcji {Xβ : β ∈ B}. Operację taką nazywamy kanoniczną dekompozycją przestrzeni X.
Twierdzenie 3.17 . (C.F.K. Jung [54]) Niech (X, d) będzie uogólnioną
S
przestrzenią metryczną. Niech X = β∈B Xβ będzie kanoniczną dekompozycją
i niech ∀β∈B {dβ = d|Xβ ×Xβ }. Wówczas: (i) dla każdego β ∈ B, (Xβ , dβ ) jest
przestrzenią metryczną; (ii) dla dowolnych β1 , β2 ∈ B, takich, że β1 6= β2 ,
mamy d(x, y) = +∞ dla każdego x ∈ Xβ1 i y ∈ Xβ2 ; (iii) (X, d) jest zupełną
uogólnioną przestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego β ∈
B, składowa (Xβ , dβ ) jest zupełną przestrzenią metryczną.
Uogólnione odległości Hausdorffa w takich przestrzeniach zdefiniowali H.
Covitz i S.B. Nadler, Jr. [55, Theorem 1].
Definicja 3.22 ([H5, Definition 1]) Niech (X, d) będzie uogólnioną przestrzenią metryczną.
(A) Niepusty podzbiór Y ⊂ X nazywamy domkniętym w X, jeśli Y =
Cl(Y ), gdzie Cl(Y ) (domknięcie Y w X), oznacza zbiór wszystkich x ∈ X
dla których istnieje w Y ciąg (xm : m ∈ N), który jest d-zbieżny do x.
(B) Klasę wszystkich niepustych, domkniętych podzbiorów X oznaczamy
przez C(X), tj. C(X) = {Y : Y ∈ 2X ∧ Y = Cl(Y )}.
(C) Uogólnioną odległością Hausdroffa H : C(X) × C(X) → [0, ∞] indukowaną przez d nazywamy odwzorowanie zdefiniowane następująco: dla każdego A, B ∈ C(X),
(
H(A, B) =
inf{ε > 0 : A ⊂ N (ε, B) ∧ B ⊂ N (ε, A)} jeśli jest skończone;
+∞
w przeciwnym wypadku.
36
Tutaj, dla każdego E ∈ C(X) i ε > 0, N (ε, E) = {x ∈ X : ∃e∈E {d(x, e) <
ε}}.
Niech O(X, T, w0 ) oznacza zbiór wszystkich procesów dynamicznych układu (X, T ) startujących w punkcie w0 ∈ X, X - ustalona przestrzeń. Otrzymane wyniki w uogólnionych przestrzeniach metrycznych zanotujemy w postaci
następujących twierdzeń.
Twierdzenie 3.18 . (H. Covitz, S.B. Nadler, Jr. [55, Theorem 1]) Niech
(X, d) będzie zupełną uogólnioną przestrzenią metryczną i niech w0 ∈ X.
Załóżmy, że wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ) taki, że T : X →
C(X) jest (H, ε, λ)-jednostajnie lokalną kontrakcją, tj.
∃ε∈(0,∞] ∃λ∈[0,1) ∀x,y∈X {d(x, y) < ε ⇒ H(T (x), T (y)) 6 λd(x, y)}.
Wówczas:
(A) ∀(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∀m∈N {d(wm−1 , wm ) > ε}; albo
(B) ∃(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∃w∈X {w ∈ F ix(T ) ∧ limm→∞ wm = w}.
Twierdzenie 3.19 . (H. Covitz, S.B. Nadler, Jr. [55, Corollary 1]) Niech
(X, d) będzie zupełną uogólnioną przestrzenią metryczną i niech w0 ∈ X. Załóżmy, że wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ) taki, że T : X → C(X)
jest (H, λ)-kontrakcją, tj.
∃λ∈[0,1) ∀x,y∈X {H(T (x), T (y)) 6 λd(x, y)} o ile d(x, y) < ∞.
Wówczas:
(A) ∀(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∀m∈N {d(wm−1 , wm ) = ∞}; albo
(B) ∃(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∃w∈X {w ∈ F ix(T ) ∧ limm→∞ wm = w}.
Oczywiście, każda wielowartościowa (H, λ)-kontrakcja jest (H, ε, λ)-jednostajnie
lokalną kontrakcją, dla każdego ε ∈ (0, +∞). Konsekwencją powyższego
twierdzenia jest następujący rezultat.
Twierdzenie 3.20 . (H. Covitz, S. B. Nadler, Jr. [55, Corollary 3])
Niech (X, d) będzie zupełną przestrzenią metryczną i niech w0 ∈ X. Załóżmy,
że wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ) taki, że T : X → C(X) jest
(h, λ)-kontrakcją, tj.
∃λ∈[0,1) ∀x,y∈X {h(T (x), T (y)) 6 λd(x, y)}.
Wówczas ∃(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∃w∈X {w ∈ F ix(T ) ∧ limm→∞ wm = w}.
37
Warto zauważyć, że twierdzenie to jest uogólnieniem Twierdzenie 3.16.
W pracy [H5], definiujemy: uogólnione przestrzenie jednostajne (X, D),
D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}; rodziny L = {Lα : X × X → [0, ∞],
A
α ∈ A} określone w tych przestrzeniach; odległości HL(i) : 2X × 2X → K0,+∞
,
A
gdzie K = {Θ = (ηα : α ∈ A) : ∀α∈A {ηα ∈ [−∞, ∞]}}, i ∈ {1, 2};
L-ciągową zupełność w (X, D), (uogólniającą ciągową zupełności); wielowartościowe (HL(i) , Υ, Λ)-jednostajnie lokalne kontrakcje i (HL(i) , Λ)-kontrakcje na
X. Dowodzimy także nowe twierdzenia o punktach stałych dla tych kontrakcji. Nasze rezultaty, są nowe w uogólnionych przestrzeniach metrycznych, a
nawet w przestrzeniach metrycznych i rozszerzają wyniki Nadlera [51, Theorem 5] i Covitza-Nadlera [55, Theorem 1].
Poniżej przypominamy te definicje.
Definicja 3.23 ([H5, Definition 3]) . Niech X będzie niepustym zbiorem.
(A) Rodzinę
D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}, A-zbiór indeksów,
nazywamy D-rodziną uogólnionych pseudometryk na X (krótko, D-rodziną
na X), jeśli następujące trzy warunki zachodzą:
(D1) ∀α∈A ∀x∈X {dα (x, x) = 0};
(D2) ∀α∈A ∀x,y∈X {dα (x, y) = dα (y, x)};
(D3) jeśli α ∈ A, x, y, z ∈ X oraz jeśli dα (x, z) i dα (z, y) są skończone,
wówczas dα (x, y) jest skończone i dα (x, y) 6 dα (x, z) + dα (z, y).
(B) Jeśli D jest D-rodziną, wówczas parę (X, D) nazywamy uogólnioną
przestrzenią jednostajną.
(C) Niech (X, D) będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną. D-rodzinę
D nazywamy oddzielającą, jeśli
(D4) ∀x,y∈X {x 6= y ⇒ ∃α∈A {0 < dα (x, y)}}.
(D) Jeśli D-rodzina D jest oddzielająca, wówczas parę (X, D) nazywamy
uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa.
(E) Niech (X, D) będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną i niech (xm :
m ∈ N) będzie ciągiem w X. Powiemy, że ciąg (xm : m ∈ N) jest ciągiem
D-Cauchy’ego w X, jeśli ∀α∈A {limn→∞ supm>n dα (xn , xm ) = 0}. Powiemy,
38
że ciąg (xm : m ∈ N) jest D-zbieżny w X, jeśli istnieje x ∈ X takie, że
∀α∈A {limm→∞ dα (xm , x) = 0} (krótko, limm→∞ xm = x).
(F) Jeśli każdy ciąg D-Cauchy’ego w X jest D-zbieżny w X, wówczas parę
(X, D) nazywamy D-ciągowo zupełną uogólnioną przestrzenią jednostajną.
Definicja 3.24 ([H5, Definition 4]) . Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę
Q = {qα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}, A-zbiór indeksów,
nazywamy Q-rodziną uogólnionych quasi-pseudometryk na X (krótko, Qrodziną na X), jeśli następujące dwa warunki zachodzą:
(Q1) ∀α∈A ∀x∈X {qα (x, x) = 0};
(Q2) jeśli α ∈ A, x, y, z ∈ X oraz jeśli qα (x, z) i qα (z, y) są skończone,
wówczas qα (x, y) jest skończone i qα (x, y) 6 qα (x, z) + qα (z, y).
Definicja 3.25 ([H5, Definition 5]) . Niech (X, D), D = {dα : X ×
X → [0, ∞], α ∈ A}, będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną.
(A) Rodzinę
L = {Lα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}, A-zbiór indeksów,
nazywamy L-rodziną uogólnionych pseudoodległości na X (krótko, L-rodziną
na X), jeśli następujące dwa warunki zachodzą:
(L1) jeśli α ∈ A, x, y, z ∈ X oraz jeśli Lα (x, z) i Lα (z, y) są skończone,
wówczas Lα (x, y) jest skończone i Lα (x, y) 6 Lα (x, z) + Lα (z, y);
(L2) dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X takich, że
∀α∈A {n→∞
lim sup Lα (xn , xm ) = 0}
m>n
oraz
∀α∈A {m→∞
lim Lα (xm , ym ) = 0},
mamy
∀α∈A { lim dα (xm , ym ) = 0}.
m→∞
(B) Przez L(X,D) będziemy oznaczali klasę wszystkich L-rodzin na X, tj.
L(X,D) = {L : L jest L-rodziną na X}.
39
Uwaga 3.12 . Niech (X, D), D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}, będzie
uogólnioną przestrzenią jednostajną. Warto zauważyć, że: (a) L(X,D) 6= ∅
(jest to oczywiste, gdyż D ∈ L(X,D) ); (b) L(X,D) 6= {D} (stosowne przykłady
przedstawimy w dalszej części rozdziału).
X → [0, ∞], α ∈ A}, będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną i niech
L ∈ L(X,D) . Załóżmy ponadto, że (xm : m ∈ N) jest ciągiem w X.
(A) Mówimy, że ciąg (xm : m ∈ N) jest ciągiem L-Cauchy’ego w X, jeśli
∀α∈A {limn→∞ supm>n Lα (xn , xm ) = 0}.
(B) Mówimy, że ciąg (xm : m ∈ N) jest L-zbieżny w X, jeśli istnieje
x ∈ X takie, że ∀α∈A {limm→∞ Lα (xm , x) = 0}.
(C) Mówimy, że (X, D) jest L-ciągowo zupełna, jeśli każdy ciąg L-Cauchy’ego
w X jest L-zbieżny w X.
Podstawowe własności L-rodzin są następujące.
Uwaga 3.13 . Niech (X, D), D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A},
będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną i niech L ∈ L(X,D) . (a) Jeśli
∀α∈A ∀x∈X {Lα (x, x) = 0}, wówczas L jest Q-rodziną na X; przykłady L ∈
L(X,D) , które nie są Q-rodzinami na X, można znaleźć w [H5, Section 10];
(b) Istnieje L-ciągowo zupełna przestrzeń, która nie jest D-ciągowo zupełna
(szczegóły [H5, Example 12]; (c) Jeśli (xm : m ∈ N) jest L-zbieżny w X,
wówczas jego granica, niekoniecznie wyznaczona jest jednoznacznie.
Własność Uwaga 3.13(c) zilustrujemy przykładem.
Przykład 3.7. ([H5, Example 1]) Niech (R, |·|) będzie przestrzenią metryczną. Zdefiniujmy rodzinę L = {L : R × R → [0, ∞]} następująco:
(
L(x, y) =
0 gdy x 6 y
x, y ∈ R.
1 gdy x > y
Wówczas L jest L-rodziną na R, oraz ciąg (1/m : m ∈ N) jest L-zbieżny do
każdego punktu w ∈ (0, +∞).
Zanim, wykorzystując L-rodziny, zdefiniujemy nowego typu odległości
Hausdorffa, zaprezentujemy kilka istotnych faktów i oznaczeń dotyczących
częściowo uporządkowanych przestrzeni K A .
Stwierdzenie 3.1 ([H5, Proposition 2]) . Niech K A będzie zbiorem
elementów Θ = (ηα : α ∈ A) zdefiniowanym wzorem:
K A = {Θ = (ηα : α ∈ A) : ∀α∈A {ηα ∈ [−∞, ∞]}}, A-zbiór indeksów,
40
i niech ∀Θ=(ηα :α∈A)∈K A ∀α∈A {[Θ]α = ηα }. Relacja 4K A na K A zdefiniowana
poniżej
∀Θ=(ηα :α∈A),Ω=(ωα :α∈A)∈K A {Θ 4K A Ω ⇔ ∀α∈A {ηα = [Θ]α 6 [Ω]α = ωα }}
jest relacją częściowo quasi-porządkującą zbiór K A (tj. następujące warunki
są spełnione: dla każdego Θ ∈ K A mamy Θ 4K A Θ; dla każdego Θ, Ω, Υ ∈
K A , koniunkcja Θ 4K A Ω i Ω K A Υ implikuje Θ K A Υ; dla każdego
Θ, Ω ∈ K A , koniunkcja Θ 4K A Ω i Ω 4K A Θ implikuje Θ = Ω;), zaś para
(K A , 4K A ) jest częściowo quasi-uporządkowaną przestrzenią.
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia, które wykorzystamy w dalszej części. Niech:
Θ0 = (ηα = 0 : α ∈ A);
Θ+∞ = (ηα = +∞ : α ∈ A);
A
= {Θ ∈ K A : Θ0 4K A Θ ∧ Θ 4K A Θ+∞ };
K0,+∞
A
K+∞
= {Θ = (ηα : α ∈ A) ∈ K A : ∀α∈A {ηα ∈ (0, +∞]}}.
W szczególności, jeżeli Θ, Ω ∈ K A , wówczas zapis Θ ≺K A Ω oznacza, że
Θ 4K A Ω i Θ 6= Ω.
Definicja 3.27 ([H5, Definition 7]) . Niech S A będzie niepustym podzbiorem K A . Mówimy, że IS A = INF(S A ) ∈ K A jest infimum zbioru S A , jeśli
następujące dwa warunki zachodzą:
(I1) ∀Θ∈S A {IS A 4K A Θ};
(I2) ∀Ω∈K A {{IS A ≺K A Ω} ⇒ ∃Θ∈S A {Θ ≺K A Ω}.
Przykład 3.8. ([H5, Example 2]) Niech A = {1, 2, 3} oraz K A = {Θ =
(η1 , η2 , η3 ) : ∀α∈A {ηα ∈ [−∞, ∞]}}. Jeśli S1A = {(3, 5, 7), (4, 1, 8)}, wówczas
S1A ⊂ K A i INF(S1A ) nie istnieje, gdyż jak łatwo zaobserwować (3, 5, 7) i
(4, 1, 8) nie są porównywalne. Jeśli S2A = {(3, 5, 7), (4, 6, 8)}, wóczas S2A ⊂
K A oraz INF(S2A ) = (3, 5, 7).
Wykorzystując L-rodziny, definiujemy nowe odległości typu Hausdorffa,
tj. HL(i) -odległości na 2X , i ∈ {1, 2}.
X → [0, ∞], α ∈ A}, będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa
41
A
i niech L ∈ L(X,D) . (A) Dla dowolnego C ∈ 2X i Θ = (ηα : α ∈ A) ∈ K+∞
,
wprowadzamy oznaczenie
UL (Θ, C) = {u ∈ X : ∃c∈C ∀α∈A {Lα (u, c) < ηα }}.
(B) Dla dowolnych A, B ∈ 2X oznaczamy:
L
A
H(1)
(A, B) = {Θ ∈ K+∞
: A ⊂ UL (Θ, B)},
L
A
H(2)
(A, B) = {Θ ∈ K+∞
: A ⊂ UL (Θ, B) ∧ B ⊂ UL (Θ, A)}.
A
(C) Niech i ∈ {1, 2}. Odwzorowanie HL(i) : 2X × 2X → K0,+∞
postaci











HL(i) (A, B) = 









L
INF(H(i)
(A, B))
Θ+∞
L
gdy INF(H(i)
(A, B)) istnieje oraz
L
∀α∈A {[INF(H(i)
(A, B))]α < +∞},
L
gdy INF(H(i)
(A, B)) nie istnieje lub
L
gdy INF(H(i) (A, B)) istnieje oraz
L
∃α∈A {[INF(H(i)
(A, B))]α = +∞},
gdzie A, B ∈ 2X , nazywamy HL(i) -odległością na 2X generowaną przez rodzinę
L (krótko, HL(i) -odległością na 2X )
Warto zauważyć, iż dla każdego A, B ∈ 2X , zachodzi nierówność
HL(1) (A, B) 4K A HL(2) (A, B).
Podamy teraz precyzyjne definicje wielowartościowych układów dynamicznych, które są (HL(i) , Υ, Λ)-jednostajnie lokalnymi kontrakcjami lub (HL(i) , Λ)kontrakcjami, i ∈ {1, 2}.
X → [0, ∞], α ∈ A}, będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa.
Niech L ∈ L(X,D) oraz niech i ∈ {1, 2}.
(A) Niech HL(i) będzie HL(i) -odległością na 2X oraz niech Υ = (εα : α ∈
A) ∈ K A i Λ = (λα : α ∈ A) ∈ K A spełniają warunek ∀α∈A {εα ∈ (0, ∞) ∧
λα ∈ [0, 1)}. Mówimy, że wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ), T :
X → 2X , jest (HL(i) , Υ, Λ)-jednostajnie lokalną kontrakcją na X, jeśli
∀α∈A ∀x,y∈X {Lα (x, y) < εα ⇒ [HL(i) (T (x), T (y))]α 6 λα Lα (x, y)}.
(B) Niech HL(i) będzie HL(i) -odległością na 2X i niech Λ = (λα : α ∈ A) ∈
K A spełnia warunek ∀α∈A {λα ∈ [0, 1)}. Mówimy, że wielowartościowy układ
dynamiczny (X, T ), tj. T : X → 2X , jest (HL(i) , Λ)-kontrakcją na X, jeśli
∀α∈A ∀x,y∈X {[HL(i) (T (x), T (y))]α 6 λα Lα (x, y)}.
42
Związki pomiędzy tymi kontrakcjami są następujące.
Uwaga 3.14 . Niech (X, D), D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A},
będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa. Niech L ∈ L(X,D) i
niech Υ = (εα : α ∈ A) ∈ K A i Λ = (λα : α ∈ A) ∈ K A będą takie, że
∀α∈A {εα ∈ (0, ∞) ∧ λα ∈ [0, 1)}.
(a) Jeśli (X, T ), gdzie T : X → 2X , jest (HL(2) , Υ, Λ)-jednostajnie lokalną kontrakcją na X, wówczas (X, T ) jest (HL(1) , Υ, Λ)- jednostajnie lokalną
kontrakcją na X.
(b) Jeśli (X, T ), gdzie T : X → 2X , jest (HL(2) , Λ)-kontrakcją na X,
wówczas (X, T ) jest (HL(1) , Λ)-kontrakcją na X.
(c) Niech i ∈ {1, 2}. Jeśli (X, T ), gdzie T : X → 2X , jest (HL(i) , Λ)kontrakcją na X, wówczas (X, T ) jest także (HL(i) , Υ, Λ)-jednostajnie lokalną
kontrakcją na X.
W dalszych rozważaniach, istotną rolę odgrywa następujące znane pojęcie
domkniętości odwzorowania T : X → 2X (C. Berge [43, p. 111], E. Klein i
A.C. Thompson [44, Section 7.7], J.P. Aubin i H. Frankowska [5]).
Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ) nazywamy domkniętym, jeśli dla dowolnych x0 , y0 ∈ X takich,
że y0 ∈
/ T (x0 ), istnieją w X dwa sąsiedztwa N (x0 ) i N (y0 ) odpowiednio x0 i
y0 takie, że T (x) ∩ N (y0 ) = ∅ dla dowolnego x ∈ N (x0 ).
Przedstawimy jeszcze pewne dodatkowe fakty związane z domkniętością
odwzorowania, domkniętością jego wykresu oraz górną półciągłością. Ich zestawienie zaprezentujemy w najbardziej ogólny sposób, wykorzystując pojęcie netu określonego w pewnym zbiorze skierowanym.
Niech (D, ) oznacza zbiór skierowany, którego elementy oznaczamy przez
β, n, m, ....
Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Wykresem układu dynamiczS
nego (X, T ) (jedno- lub wielowartościowego) jest zbiór {(x, T (x)) : x ∈
X} ⊂ X ×X. Następujące własności są równoważne (E. Klein i A.C. Thompson [44, Section 7.7]):
(a) (X, T ) jest domknięty, tj. wykres T jest domknięty w X × X;
(b) Jeśli (xβ : β ∈ D) jest netem zbieżnym do x i (yβ : β ∈ D) jest
netem zbieżnym do y takim, że yβ ∈ T (xβ ) dla wszystkich β ∈ D, wówczas
y ∈ T (x).
Wiadomo też, że jeśli układ (X, T ) jest domknięty, to dla każdego x ∈
X, zbiór T (x) jest domknięty (C. Berge [43, p. 111]). Generalnie, konkluzja
odwrotna nie jest prawdziwa.
Wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ) nazywamy półciągłym z góry
w x0 ∈ X, jeśli dla każdego zbioru otwartego G zawierającego T (x0 ), istnieje
43
sąsiedztwo U (x0 ) punktu x0 takie, że T (x) ⊂ G dla każdego x ∈ U (x0 ).
Układ (X, T ) nazywamy półciągłym z góry w X, jeśli jest półciągły z góry
w każdym punkcie x ∈ X oraz T (x) jest zwarte dla każdego x ∈ X (C. Berge
[43, p. 111]).
Każdy układ (X, T ), półciągły z góry jest domknięty (C. Berge [43, Theorem 6, p. 112]). Jeżeli X jest przestrzenią zwartą, wówczas domkniętość jest
równoważna z półciągłości z góry (C. Berge [43, Corollary, p. 112]).
Zanim sformułujemy główny rezultat zawarty w pracy [H5], wykorzystując powyższe inspiracje podamy jeszcze jedno istotne pojęcie - odwzorowania
domkniętego w uogólnionej przestrzeni jednostajnej Hausdorffa.
X → [0, ∞], α ∈ A}, będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa
i niech u ∈ X. Powiemy, że wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ),
T : X → 2X , jest domknięty w punkcie u, jeśli dla dowolnych ciągów (um :
m ∈ N) i (vm : m ∈ N) w X, spełniających warunek
∀m∈N {vm ∈ T (um )}
takich, że ciąg (um : m ∈ N) jest D-zbieżny do u ∈ X i ciąg (vm : m ∈ N)
jest D-zbieżnego do v ciągu, mamy v ∈ T (u).
Głównym rezultatem pracy [H5] jest następujące twierdzenie o punkcie
stałym.
Twierdzenie 3.21 ([H5, Theorem 8]) . Załóżmy, że (X, D), D = {dα :
X × X → [0, ∞], α ∈ A}, jest uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa, L ∈ L(X,D) oraz, że jeden z następujących warunków jest spełniony:
(P1) (X, D) jest L-ciągowo zupełna; lub
(P2) (X, D) jest D-ciągowo zupełna.
A
Niech i ∈ {1, 2} i niech HL(i) : 2X × 2X → K0,+∞
będzie HL(i) -odległością
na 2X . Załóżmy ponadto, że wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ),
T : X → 2X , ma następującą własność:
(C) ∀w0 ∈X ∀(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∀w∈X {{limm→∞ wm = w} ⇒ {T jest domknięte w punkcie w}} (przypominamy, że O(X, T, w0 ) oznacza zbiór
wszystkich dynamicznych procesów układu (X, T ) startujących w punkcie w0 ).
44
(I) Jeśli Υ = (εα : α ∈ A) ∈ K A i Λ = (λα : α ∈ A) ∈ K A spełniają
warunek ∀α∈A {εα ∈ (0, ∞) ∧ λα ∈ [0, 1)} oraz (X, T ) jest (HL(i) , Υ, Λ)- jednostajnie lokalną kontrakcją na X, wówczas dla każdego w0 ∈ X, następująca
alternatywa jest prawdziwa:
(A1) ∀(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∀m∈N ∃α0 ∈A {Lα0 (wm−1 , wm ) > εα0 }; albo
(A2) ∃(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∃w∈X {w ∈ F ix(T )∧ ∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) =
0 } ∧ (wm : m ∈ {0} ∪ N) jest ciągiem L-Cauchy’ego}.
(II) Jeśli Λ = (λα : α ∈ A) ∈ K A spełnia warunek ∀α∈A {λα ∈ [0, 1)}
oraz (X, T ) jest (HL(i) , Λ)-kontrakcją na X, wówczas, dla każdego w0 ∈ X,
następująca alternatywa jest prawdziwa:
(B1) ∀(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∀m∈N ∃α0 ∈A {Lα0 (wm−1 , wm ) = ∞}; albo
(B2) ∃(wm :m∈{0}∪N)∈O(X,T,w0 ) ∃w∈X {w ∈ F ix(T )∧ ∀α∈A {limm→∞ dα (wm , w) =
0 } ∧(wm : m ∈ {0} ∪ N) jest ciągiem L-Cauchy’ego}.
Uwaga 3.15 . Zauważmy, że praca [H5] dotyczy dwóch typów odległości
A
HL(i) : 2X × 2X → K0,+∞
, i ∈ {1, 2}, oraz odwzorowań T : X → 2X . Jest
to sytuacja istotnie różna od tej występującej w pracach S.B. Nadlera [51]
oraz H. Covitza i S. B. Nadlera, Jr. [55, Corollary 3], gdzie h : CB(X) ×
CB(X) → [0, ∞] i T : X → CB(X) bądź H : C(X) × C(X) → [0, ∞] i
T : X → C(X), odpowiednio.
Podamy teraz liczne przykłady. Rozpoczniemy od przykładów dekompozycji uogólnionej przestrzeni metrycznej i uogólnionej przestrzeni jednostajnej.
Przykład 3.9. ([H5, Example 3]) Dla każdego n ∈ N, niech Zn = [2n −
2, 2n−1] i niech qn : Zn ×Zn → [0, +∞), gdzie qn (x, y) = |x−y| dla x, y ∈ Zn .
S
Niech Z = ∞
n=1 Zn i niech q : Z × Z → [0, +∞] będzie dane wzorem
(
q(x, y) =
qn (x, y) jeśli x, y ∈ Zn , n ∈ N
+∞
jeśli x ∈ Zn , y ∈ Zm , n 6= m, n, m ∈ N.
Wówczas (Z, q) jest zupełną uogólnioną przestrzenią metryczną.
Przykład 3.10. ([H5, Example 4]) Niech Y = RN = R × R × . . . będzie
nienormowalną rzeczywistą i ciągowo zupełną lokalnie wypukłą przestrzenią
45
Hausdorffa z rodziną C = {cn , n ∈ N} kalibracji cn , n ∈ N, zdefiniowaną
następująco:
cn (x) = |[x]n | = |xn |, x = (x1 , x2 , x3 , . . .) ∈ Y , n ∈ N.
Dla każdego s ∈ N, niech Ps = [2s − 2, 2s − 1]N będzie ciągowo zupełną przestrzenią jednostajną Hausdorffa z jednostajnością zdefiniowaną przez
rodzinę {ps,n : n ∈ N} pseudometryk ps,n : Ps × Ps → [0, +∞), n ∈ N,
zdefiniowanych następująco:
ps,n (x, y) = cn (x − y), x, y ∈ Ps , n ∈ N.
Niech P =
S∞
s=1
Ps . Określmy pn : P × P → [0, +∞], n ∈ N, wzorem



ps,n (x, y) gdy x, y ∈ Ps
gdy x ∈ Ps1 , y ∈ Ps2 ,
pn (x, y) =

 +∞
s1 6= s2 , s1 , s2 ∈ N
, x, y ∈ P , n ∈ N.
Wówczas (P, {pn : P ×P → [0, +∞], n ∈ N}) jest ciągowo zupełną uogólnioną
przestrzenią jednostajną Hausdorffa.
Następnie zilustrujemy pewne elementy klasy L(X,D) .
Przykład 3.11. ([H5, Example 5]) Niech (X, D) będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa, gdzie D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}
jest D-rodziną; A-zbiór indeksów. Niech zbiór E ⊂ X, zawierający przynajmniej dwa różne punkty będzie dowolnie ustalony i dla każdego α ∈ A, niech
Lα : X × X → [0, +∞] będzie zdefiniowane wzorem
(
Lα (x, y) =
dα (x, y) jeśli E ∩ {x, y} = {x, y}
, x, y ∈ X.
+∞
6 {x, y}
Wówczas rodzina L = {Lα : α ∈ A} jest L-rodziną na (X, D) (szczegóły
w [H5, Example 5]).
Naturalną konsekwencją Przykładu 3.11 jest następujący przykład Lrodziny zdefiniowanej na uogólnionej przestrzeni metrycznej.
Przykład 3.12. ([H5, Example 6]) Niech (X, D) będzie uogólnioną przestrzenią metryczną, gdzie D = {d : X × X → [0, +∞]} jest D-rodziną. Niech
zbiór E ⊂ X zawierający przynajmniej dwa różne punkty będzie dowolnie
ustalony. Niech L : X × X → [0, +∞] będzie zdefiniowane za pomocą wzoru
(
L(x, y) =
d(x, y) jeśli E ∩ {x, y} = {x, y}
, x, y ∈ X.
+∞
6 {x, y}
46
Wówczas rodzina L = {L} jest L-rodziną na X.
Jak łatwo zauważyć, L-rodziny w Przykładach 3.11 i 3.12 są symetryczne
(tzn. zawierają odległości symetryczne). W poniższym przykładzie, składowe
L-rodziny nie są odwzorowaniami symetrycznymi.
Przykład 3.13. ([H5, Example 7]) Niech (X, D) będzie uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa, gdzie D = {dα : X × X → [0, ∞], α ∈ A}
jest D-rodziną. Niech zbiory E i F takie, że E ⊂ F ⊂ X, będą dowolnie
ustalone oraz niech E zawiera przynajmniej dwa różne punkty, podczas gdy
F zawiera przynajmniej trzy różne punkty. Niech 0 < aα < bα < cα < +∞,
α ∈ A, oraz niech, dla każdego α ∈ A, odwzorowanie Lα : X × X → [0, +∞]
będzie zdefiniowane wzorem
Lα (x, y) =















dα (x, y) + aα
dα (x, y)
dα (x, y) + cα
dα (x, y) + bα
+∞
jeśli
jeśli
jeśli
jeśli
jeśli
{x, y} ∩ E = {x, y}
x∈E∧y ∈F \E
x∈F \E∧y ∈E
, x, y ∈ X.
{x, y} ∩ F \ E = {x, y}
{x, y} ∩ F 6= {x, y}
Wówczas rodzina L = {Lα : α ∈ A} jest L-rodziną na X (szczegóły w [H5,
Example 7]).
Naturalną konsekwencją Przykładu 3.13 jest następujący przykład Lrodziny zdefiniowanej na uogólnionej przestrzeni metrycznej.
Przykład 3.14. ([H5, Example 8]) Niech (X, D) będzie uogólnioną przestrzenią metryczną, gdzie D = {d : X × X → [0, +∞]} jest D-rodziną. Niech
zbiory E i F takie, że E ⊂ F ⊂ X, będą dowolnie ustalone oraz niech E zawiera przynajmniej dwa różne punkty, podczas gdy F zawiera przynajmniej
trzy różne punkty. Niech L : X × X → [0, +∞] będzie zdefiniowane wzorem
L(x, y) =















d(x, y) + 1
d(x, y)
d(x, y) + 4
d(x, y) + 3
+∞
jeśli
jeśli
jeśli
jeśli
jeśli
{x, y} ∩ E = {x, y}
x∈E∧y ∈F \E
x∈F \E∧y ∈E
, x, y ∈ X.
{x, y} ∩ F \ E = {x, y}
{x, y} ∩ F 6= {x, y}
Wówczas rodzina L = {L} jest L-rodziną na X.
Na zakończenie podamy przykład ilustrujący Twierdzenie 3.21(I), gdy
(X, D) jest D-ciągowo zupełna i układ (X, T ) jest (HL(2) , 1/2, 1/7)-jednostajnie
lokalną kontrakcją na X, gdzie L =
6 D i L ∈ L(X,D) .
47
Przykład 3.15. ([H5, Example 11]) Niech P i {pn : P × P → [0, +∞],
n ∈ N} będą takie jak w Przykładzie 3.10. Niech X = P ∩ [0, 9]N oraz niech
D = {dn : n ∈ N}, dn : X × X → [0, +∞], n ∈ N, gdzie, dla każdego n ∈ N,
definiujemy dn = pn |[0,9]N . Wówczas (X, D) jest D-ciągowo zupełną uogólnioną przestrzenią jednostajną Hausdorffa. Zatem warunek (P2) w Twierdzeniu
3.21, zachodzi.
Element przestrzeni RN będziemy oznaczać x = (x1 , x2 , ...). W szczególności, element (x,x, ...) ∈RN oznaczymy przez x.
Niech F = {1, 7} ⊂ X i niech wielowartościowy układ dynamiczny (X, T )
będzie dany wzorem
(
T (x) =
{1, 2} jeśli x ∈ X \ F
{4, 5} jeśli x ∈ F .
Niech E = {0, 1, 2}∪[4, 5]N ∪{6, 8} oraz niech L będzie rodziną odwzorowań
określonych wzorem:
(
Ln (x, y) =
dn (x, y) jeśli {x, y} ∩ E = {x, y}
, x, y ∈ X, n ∈ N.
+∞
jeśli {x, y} ∩ E 6= {x, y},
Na mocy Przykładu 3.11, rodzina L = {Ln } jest L-rodziną na X.
Ponadto, dla ε = 1/2 i λ = 1/7, (X, T ) jest (HL(2) , ε, λ)-jednostajną
lokalną kontrakcją na X, tj.
∀n∈N ∀x,y∈X {(Ln (x, y) < 1/2) ⇒ [HL(2) (T (x), T (y))]n 6 (1/7)Ln (x, y)},
gdzie
(
HL(2) (T (x), T (y))
=
I
jeśli I istnieje i ∀n∈N {[I]n < +∞},
Θ+∞ w przeciwnym przypadku,
L
I = INF(H(2)
(T (x), T (y))),
L
N
(T (x), T (y)) = {Θ ∈ K+∞
: T (x) ⊂ UL (Θ, T (y))
H(2)
∧ T (y) ⊂ UL (Θ, T (x))},
UL (Θ, T (y)) = {u ∈ X : ∃z∈T (y) ∀n∈N {Ln (u, z) < ηn }},
UL (Θ, T (x)) = {u ∈ X : ∃z∈T (x) ∀n∈N {Ln (u, z) < ηn }}.
Widzimy również, że warunek (C) Twierdzenia 3.21 jest spełniony. Można zaobserwować, że ∀m>3 {T [m] (X) ⊂ {1, 2}}. Stąd, dla każdego w0 ∈ X,
istnieje proces dynamiczny (wm : m ∈ {0} ∪ N) taki, że: (i) ∀m>3 {wm = 2};
(ii) ∀n∈N {limm→∞ dn (wm , 2) = 0}, to znaczy limm→∞ wm = 2; oraz (iii)
2 ∈ F ix(T ).
48
3.2.5
b-uogólnione pseudoodległości J : X × X → [0, ∞), punkty
koincydencji, zbieżność ciągów iteracji dla jednowartościowych układów dynamicznych oraz punkty najlepszej bliskości dla wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach b-metrycznych (X, d) (prace [H6], [H7])
W 1998, S. Czerwik [56] wprowadził następujące pojęcie przestrzeni bmetrycznej ze stałą s > 1.
Definicja 3.31 ([H6, Definition 1.1]) . Niech X będzie zbiorem niepustym i niech s > 1 będzie liczbą rzeczywistą. Funkcję d : X × X → [0, ∞)
nazywamy b-metryką, jeśli następujące trzy warunki są spełnione:
(d1) ∀x,y∈X {d(x, y) = 0 ⇔ x = y};
(d2) ∀x,y∈X {d(x, y) = d(y, x)}; oraz
(d3) ∀x,y,z∈X {d(x, z) 6 s[d(x, y) + d(y, z)]}.
Parę (X, d) nazywamy przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1.
W przestrzeniach b-metrycznych wprowadzamy pojęcie b-uogólnionych
pseudoodległości, będących uogólnieniem b-metryk.
Definicja 3.32 ([H6, Definitions 2.1, 2.2]) . Niech X będzie przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1. Odwzorowanie J : X ×X → [0, ∞) nazywamy
b-uogólnioną pseudoodległością na X, jeśli następujące dwa warunki są spełnione:
(J1) ∀x,y,z∈X {J(x, z) 6 s[J(x, y) + J(y, z)]}; oraz
(J2) dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X takich, że
lim sup J(xn , xm ) = 0,
n→∞ m>n
oraz
lim J(xm , ym ) = 0,
m→∞
zachodzi następujący warunek
lim d(xm , ym ) = 0.
m→∞
49
Uwaga 3.16 . (a) Przestrzeń b-metryczna jest naturalnym rozszerzeniem przestrzeni metrycznej (każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią
b-metryczną).
(b) Jeśli (X, d) jest przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1, wówczas bmetryka d : X × X → [0, ∞) jest b-uogólnioną pseudoodległością na X. Jednakże, istnieją b-uogólnione pseudoodległości na X, które nie są b-metrykami
(szczegóły w [H6, Example 4.1]).
(c) Jeśli (X, d) jest przestrzenią b-metryczną ze stałą s = 1, wówczas:
(X, d) jest przestrzenią metryczną; b-metryka d : X × X → [0, ∞) jest metryką; b-uogólniona pseudoodległość J : X × X → [0, ∞) jest uogólnioną
pseudoodległością na X (por. Definicja 3.10).
(d) Z warunków (J1) i (J2) wynika, że jeśli x 6= y, x, y ∈ X, wówczas
J(x, y) > 0 ∨ J(y, x) > 0.
Zauważmy, że jeśli (X, d) jest przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1
i J : X × X → [0, ∞) jest b-uogólnioną pseudoodległością na X, wówczas
X = XJ0 ∪ XJ+ , gdzie
XJ0 = {x ∈ X : {J(x, x) = 0}},
XJ+ = {x ∈ X : {J(x, x) > 0}}.
Praca [H6]
W pracy [H6], wykorzystując b-uogólnione pseudoodległości, definiujemy
J-zupełność w przestrzeniach b-metrycznych, będącą rozszerzeniem naturalnej zupełności w tych przestrzeniach, wprowadzamy pojęcie dopuszczalności
b-uogólnionych pseudoodległości J : X × X → [0, ∞), a następnie za ich
pomocą, definiujemy warunek kontrakcyjny dla czterech jednowartościowych
odwzorowań w tych przestrzeniach oraz dowodzimy twierdzenie o istnieniu
punktów koincydencji oraz zbieżności odpowiednich ciągów iteracji.
Definicja 3.33 ([H6, Definition 2.3]) . Niech (X, d) będzie przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1. Niech b-metryka d : X × X → [0, ∞) będzie
ciągła na X×X i niech odwzorowanie J : X×X → [0, ∞) będzie b-uogólnioną
pseudoodległością na X. Powiemy, że przestrzeń X jest J-zupełna, jeśli dla
każdego ciągu (xm : m ∈ N) w X takiego, że
lim sup J(xn , xm ) = 0,
n→∞ m>n
istnieje x ∈ X takie, że
lim J(xm , x) = m→∞
lim J(x, xm ) = 0.
m→∞
50
Uwaga 3.17 . Warto odnotować, że jeśli J = d, gdzie d : X × X →
[0, ∞) jest ciągła na X × X, wówczas na mocy warunku Definicja 3.31(d2),
definicje J-zupełności i zupełności są identyczne.
Definicja 3.34 ([H6, Definition 2.4]) . Niech (X, d) będzie przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1. Niech odwzorowanie J : X × X → [0, ∞)
będzie b-uogólnioną pseudoodległością na X. Jeśli dla dowolnych ciągów (xm :
m ∈ N) i (ym : m ∈ N) takich, że:
(i) limn→∞ supm>n J(xn , xm ) = 0 i limn→∞ supm>n J(yn , ym ) = 0); oraz
(ii) limm→∞ d(xm , x) = limm→∞ d(ym , y) = 0,
zachodzi warunek
(iii) limm→∞ J(xm , ym ) = J(x, y),
wtedy mówimy, że odwzorowanie J jest dopuszczalne na X.
Uwaga 3.18 . Warto zauważyć, że jeśli (X, d) jest przestrzenią b-metryczną
ze stałą s > 1 oraz d : X × X → [0, ∞) jest funkcją ciągłą na X × X, wtedy
b-metryka d jest dopuszczalną b-uogólnioną pseudoodległością na X; wówczas
J = d we wzorze (iii), a następnie, wobec ciągłości d, (ii) implikuje (iii).
Punkty koincydencji definiujemy następujaco.
Definicja 3.35 ([H6, Definition 2.5]) . Niech (X, d) będzie przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1. Niech G : Y → X i S : Y → X, gdzie
Y ⊆ X, będą jednowartościowymi odwzorowaniami. Punkt z ∈ Y nazywamy
punktem koincydencji odwzorowań G i S jeśli G(z) = S(z) = u dla pewnego
u ∈ X.
Rezultatem pracy [H6] jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3.22 ([H6, Theorem 2.1]) Niech (X, d) będzie przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1 taką, że b-metryka d : X × X → [0, ∞) jest
ciągła na X ×X. Niech J : X ×X → [0, ∞) będzie dopuszczalną b-uogólnioną
pseudoodległością na X. Niech G, B, A, S : Y → X , gdzie Y ⊆ X, będą jednowartościowymi odwzorowaniami takimi, że G(Y ) ⊆ B(Y ) i A(Y ) ⊆ S(Y ).
Niech G(Y ) ⊆ XJ0 , A(Y ) ⊆ XJ0 i ponadto załóżmy, że istnieje q ∈ (0, 1) spełqs
} oraz takie, że dla każdego x, y ∈ Y
niające λs < 1, gdzie λ = max{q, 2−qs
zachodzi warunek
max{J(G(x), A(y)), J(A(y), G(x))} 6 q max{min{J(S(x), B(y)), J(B(y), S(x))},
J(S(x), G(x)), J(B(y), A(y)), [J(S(x), A(y)) + J(B(y), G(x))]/2}.
Jeśli jeden z obrazów Y przy odwzorowaniach G, B, A lub S jest J-zupełną
podprzestrzenią X, wówczas:
51
(i) G i S mają punkt koincydencji v ∈ Y oraz
(ii) A i B mają punkt koincydencji z ∈ X.
Co więcej, dla każdego w0 ∈ Y , jeśli zdefiniujemy ciągi (wn : n ∈ {0} ∪ N)
i (v n : n ∈ {0} ∪ N) tak, aby dla każdego n ∈ N zachodziły równości:
v 2n−1 = B(w2n−1 ) = G(w2n−2 ) i v 2n = S(w2n ) = A(w2n−1 ),
wówczas ciąg (v n : n ∈ {0} ∪ N) jest zbieżny do u (względem b-metryki d (tj.
limn→∞ d(v n , u) = 0)), oraz
u = G(v) = S(v) = A(z) = B(z).
Otrzymany wynik, jest uogólnieniem twierdzenia, które udowodnili w
2009, S. L. Singh i B. Prasad [57]. W pracy [H6], zamieszczono również odpowiednie przykłady ilustrujące powyższy fakt. Porównanie Twierdzenie 3.22 z
wynikiem [57] zostały zamieszczone w [H6, Remark 4.1].
Praca [H7]
Jeśli (X, p) jest przestrzenią odległościową, A, B ⊂ X, A, B 6= ∅, T : A →
2 , wtedy pojawia się problem wyznaczenia globalnego minimum odwzorowania x → inf{p(x; y) : y ∈ T (x)}. Mówimy wtedy o punktach najlepszej
bliskości.
Teoria punktów najlepszej bliskości, mimo że zainicjowana wiele lat temu
(twierdzenie o najlepszej aproksymacji, K. Fan [58]), jest wciąż bardzo interesująca (szczególnie dla matematyków pracujących w teorii punktu stałego).
W ostatnich latach badania dotyczące punktów najlepszej bliskości stały się
bardzo popularne, a zakres ich zastosowań został znacznie poszerzony (można tu wymienić: C. Di Bari, T. Suzuki i C. Vetro [59], A.A. Eldred, W.A.
Kirk i P. Veeramani [60], A.A. Eldred i P. Veeramani [61], K. Fan [58], W.K.
Kim, S. Kum i K.H. Lee [62], W.K. Kim i K.H. Lee [63], W.A. Kirk, S. Reich
i P. Veeramani [64], W.A. Kirk, P.S. Srinivasan i P. Veeramani [65] i P.S.
Srinivasan i P. Veeramani [66] dla odwzorowań jednowartościowych, a także
M.A. Al-Thagafi i N. Shahzad [67], S.S. Basha i P. Veeramani [68], J.B. Prolla
[69] oraz V.M. Sehgal i S.P. Singh [70] dla odwzorowań wielowartościowych).
W pracy [H7], zamieszczamy wyniki badań, dotyczących punktów najlepszej bliskości dla odwzorowań wielowartościowych w przestrzeniach b-metryczych (X, d) ze stałą s > 1. Wykorzystując b-uogólnione pseudoodległości
J : X × X → [0, ∞), definiujemy, w tych przestrzeniach, H J -odległości typu
Pompeiu-Hausdorffa, które następnie wykorzystujemy do wyrażenia warunku
B
52
kontrakcyjnego, gwarantującego (przy pewnych dodatkowych założeniach)
istnienie punktów najlepszej bliskości. Otrzymany wynik, jest uogólnieniem
twierdzenia, które udowodnili w 2009, A. Abkar and M. Gabeleh [71].
Przytoczymy teraz kilka istotnych pojęć i oznaczeń, które wykorzystamy
przy prezentacji głównego wyniku pracy [H7].
Niech (X, d) będzie przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1 i niech J :
X × X → [0, ∞) będzie b-uogólnioną pseudoodległością na X. Oznaczmy
przez Cl(X) klasę wszystkich niepustych i domkniętych podzbiorów X.
Definiujemy odległość H J : Cl(X) × Cl(X) → [0, ∞) wzorem ([H7, Definition 2.3])
∀A,B∈Cl(X) {H J (A, B) = max {sup J(u, B), sup J(v, A)}},
u∈A
v∈B
gdzie ∀u∈X ∀V ∈Cl(X) {J(u, V ) = inf v∈V J(u, v)}.
Niech ponadto
∀A,B∈Cl(X) {dist(A, B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}}
oraz
A0 = {x ∈ A : J(x, y) = dist(A, B), dla pewnego y ∈ B}
B0 = {y ∈ B : J(x, y) = dist(A, B), dla pewnego x ∈ A},
gdzie A, B ∈ 2X .
Definicja 3.36 ([H7, Definition 2.4]) Niech (X, d) będzie przestrzenią
b-metryczną ze stałą s > 1. Niech J : X × X → [0, ∞) będzie b-uogólnioną
pseudoodległością na X.
(A) Niech (A, B) będzie parą taką, że A, B ∈ 2X oraz A0 6= ∅ lub B0 6= ∅.
Powiemy, że para (A, B) ma P J -własność wtedy i tylko wtedy, gdy
{[J(x1 , y1 ) = dist(A, B)] ∧ [J(x2 , y2 ) = dist(A, B)]}
⇒ {J(x1 , x2 ) = J(y1 , y2 )},
gdzie x1 , x2 ∈ A0 oraz y1 , y2 ∈ B0 .
(B) Niech (A, B) będzie parą taką, że A, B ∈ 2X . Mówimy, że b-uogólniona
pseudoodległość J jest stowarzyszona z parą (A, B), jeśli dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X spełniających trzy warunki:
∀m∈N {J(xm , ym−1 ) = dist(A, B)},
∃x∈X { lim d(xm , x) = 0},
m→∞
∃y∈X { lim d(ym , y) = 0},
m→∞
zachodzi równość d(x, y) = dist(A, B).
53
Uwaga 3.19 Jeśli (X, d) jest przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1
wówczas:
(a) jeśli b-metryka d : X ×X → [0, ∞) jest ciągła na X ×X, to d jest stowarzyszone z każdą parą (A, B), gdzie A, B ⊂ 2X ; jest to prosta konsekwencja
ciągłości d.
(b) P J -własność, gdy J = d, pokrywa się z P -własnością rozważaną w
[71].
Przypomnijmy jeszcze definicję domkniętości odwzorowania w przestrzeni
topologicznej podaną przez C. Berge [43] oraz E. Kleina i A.C. Thompsona
[44].
Definicja 3.37 ([H7, Definition 3.1] ) Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Wielowartościowe odwzorowanie (X, T ), T : X → 2X , nazywamy
domkniętym, jeśli dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X,
spełniających warunek ∀m∈N {ym ∈ T (xm )} i zbieżnych odpowiednio do x ∈ X
i y ∈ X, mamy y ∈ T (x).
Jeśli X jest przestrzenią topologiczną i A, B ∈ 2X , wtedy podobnie jak powyżej, definiujemy domkniętość wielowartościowego odwzorowania T : A →
2B .
Definicja 3.38 ([H7, Definition 3.2] ) Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech A, B ∈ 2X . Wielowartościowe odwzorowanie T : A → 2B
nazywamy domkniętym, jeśli dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) w A i
(ym : m ∈ N) w B, spełniających warunek ∀m∈N {ym ∈ T (xm )} i zbieżnych
odpowiednio do punktów x ∈ A i y ∈ B, mamy y ∈ T (x).
Wielowartościowe kontrakcje zamieszczone w [H7] są zdefiniowane następująco.
Definicja 3.39 ([H7, Definition 3.3]) Niech (X, d) będzie przestrzenią
b-metryczną ze stałą s > 1 i niech J : X × X → [0, ∞) będzie b-uogólnioną
pseudoodległością na X. Niech (A, B) będzie parą niepustych podzbiorów X.
Odwzorowanie T : A → 2B , spełniające warunek ∀x∈X {T (x) ∈ Cl(X)}, nazywamy wielowartościową kontrakcją typu Nadlera na A, jeśli zachodzi następujący warunek:
∃06λ<1 ∀x,y∈A {sH J (T (x), T (y)) 6 λJ(x, y)}.
Główny wynik pracy [H7] jest następujący.
54
Twierdzenie 3.23 ([H7, Theorem 3.1]) Niech (X, d) będzie zupełną
przestrzenią b-metryczną ze stałą s > 1, niech b-metryka d : X × X → [0, ∞)
będzie ciągła na X × X i niech J : X × X → [0, ∞) będzie b-uogólnioną
pseudoodległością na X. Załóżmy, że:
(a) A, B ∈ Cl(X), A0 6= ∅ i para (A, B) ma P J -własność;
(b) J jest stowarzyszone z parą (A, B);
(c) T : A → 2B jest domkniętą wielowartościową kontrakcją typu Nadlera
na A;
(d) T (A0 ) ⊂ B0 ;
(e) dla każdego x ∈ A, T (x) jest zbiorem ograniczonym;
(f ) dla każdego x ∈ A, T (x) jest zbiorem domkniętym w B.
Wtedy odwzorowanie T posiada w A punkt najlepszej bliskości.
Praca [H7] zawiera także przykłady ilustrujące powyższy fakt. Porównanie Twierdzenia 3.23 z wynikiem A. Abkar i M. Gabeleh [71] zostało zamieszczone w [H7, Remark 4.1].
3.2.6
Lewe (prawe) uogólnione quasi-pseudoodległości J : X ×
X → [0, ∞) oraz punkty najlepszej bliskości dla wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach quasipseudometrycznych (X, p) (praca [H8])
Praca [H8]
W literaturze dotyczącej teorii punktu stałego można znaleźć liczne twierdzenia dotyczące odwzorowań określonych na przestrzeniach odległościowych,
w których funkcje realizujące odległości są niesymetryczne. Tego typu asymetryczne funkcje badali między innymi: W.A. Wilson [72], G.E. Albert [73],
H. Ribeiro [74], M. Balanzat [75], P. Fletcher i W.F. Lindgren [76], C.W.
Patty [77], R.W. Heath [78], J.C. Kelly [79] i wielu innych. Jedną z tego typu
przestrzeni jest przestrzeń quasi-pseudometryczna.
Dla niepustego zbioru X oraz określonej na nim quasi-pseudometryki p
(określonej w Definicji 3.8(C)), parę (X, p) nazywamy przestrzenią quasipseudometryczną. Jeśli (X, p) jest przestrzenią quasi-pseudometryczną, wówczas:
(i) (X, p) nazywamy przestrzenią Hausdorffa, jeśli
∀x,y∈X {(x 6= y) ⇒ (p(x, y) > 0 ∨ p(y, x) > 0)}.
(ii) ([83, Definition 5.1], [80, Definition 1(v) and p. 129]) Ciąg (wm : m ∈
N) w X nazywamy lewym (prawym) ciągiem Cauchy’ego w X, jeśli
∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m,n∈N;k6m6n {p(wm , wn ) < ε}
55
(∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m,n∈N;k6m6n {p(wn , wm ) < ε});
(iii) Ciąg (wm : m ∈ N) w X nazywamy lewo (prawo) zbieżnym w X,
jeśli
∃w∈X ∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {p(w, wm ) < ε}
(∃w∈X ∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {p(wm , w) < ε}),
co zapisujemy krótko, ∃w∈X {limm→∞ p(w, wm ) = 0} (∃w∈X {limm→∞ p(w, wm ) =
0});
(iv) ([83, Definition 5.3]) Jeśli każdy lewy (prawy) ciąg Cauchy’ego w X
jest lewo (prawo) zbieżny do pewnego punktu w X, wówczas (X, p) nazywamy
lewo (prawo) ciągowo zupełną przestrzenią quasi-pseudometryczną.
Poniższa uwaga ustala zależność pomiędzy ciągami zbieżnymi a ciągami Cauchy’ego, jak również rozstrzyga kwestię niejednoznaczności granicy
ciągów zbieżnych w (X, p).
Uwaga 3.20 . Niech (X, p) będzie przestrzenią quasi-pseudometryczną.
(a) Każdy lewo (prawo) zbieżny ciąg w X jest lewym (prawym) ciągiem
Cauchy’ego w X. Wniosek odwrotny nie jest prawdziwy (szczegóły w pracach
[80, Example 2], [79, Example 5.8]);
(b) Granica lewo (prawo) zbieżnego ciągu nie jest wyznaczona jednoznacznie, jest zatem możliwe, że jeśli ciąg (wm : m ∈ N) w X jest lewo (prawo)
zbieżny w X, wówczas
∃W ⊂X ∀w∈W ∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {p(w, wm ) < ε}
(∃W ⊂X ∀w∈W ∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {p(wm , w) < ε}).
W pracy [H8], w przestrzeniach quasi-pseudometrycznych (X, p): definiujemy lewą (prawą) uogólnioną quasi-pseudoodległość na X, która jest rozszerzeniem quasi-pseudometryki p na X; wprowadzamy nowe pojęcie lewej
(prawej) ciągowej J-zupełności w przestrzeni X, która rozszerza ciągową zupełność; definiujemy wyznaczoną przez J odległość typu Pompeiu-Hausdorffa
H J : Cl(X) × Cl(X) → [0, ∞); konstruujemy zwężone kontrakcje typu Nadler’a i za ich pomocą wykazujemy twierdzenie o punkcie najlepszej bliskości.
Nasze twierdzenie, jest nowe w przestrzeniach quasi-pseudometrycznych,
a nawet w przestrzeniach metrycznych. Rozszerza zarówno wynik A. Abkara
i M. Gabeleha [71], jak również główny wynik pracy [H7].
Sformułujemy teraz pewne definicje i fakty.
Definicja 3.40 ([H8, Definition 6]) . Niech (X, p) będzie przestrzenią
quasi-pseudometryczną. Odwzorowanie J : X × X → [0, ∞) nazywamy lewą (prawą) uogólnioną quasi-pseudoodległością na X, jeśli następujące dwa
warunki są spełnione:
56
(J1) ∀u,v,w∈X {J(u, w) 6 J(u, v) + J(v, w)}; oraz
(J2) dla dowolnych ciągów (um : m ∈ N) i (vm : m ∈ N) w X spełniających
∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m,n∈N;k6m6n {J(um , un ) < εα }
(∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m,n∈N;k6m6n {J(un , um ) < εα })
oraz
∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {J(vm , um ) < ε}
(∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {J(um , vm ) < ε}),
zachodzi
∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {p(vm , um ) < ε},
(∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m∈N;k6m {p(um , vm ) < ε}).
Zauważmy, że ostatni warunek możemy zapisać w postaci:
lim p(vm , um ) = 0 ( m→∞
lim p(um , vm ) = 0).
m→∞
Poniższa uwaga zawiera podstawowe własności dotyczące lewo (prawo)
uogólnionych quasi-pseudoodległości na (X, p).
Uwaga 3.21 . Niech (X, p) będzie przestrzenią quasi-pseudometryczną.
(a) Quasi-pseudometryka p : X ×X → [0, ∞) jest lewą i prawą uogólnioną
quasi-pseudoodległością na X;
(b) Niech J będzie lewą (prawą) uogólnioną quasi-pseudoodległością na
X. Jeśli ∀u∈X {J(u, u) = 0}, to J jest quasi-pseudometryką;
(c) Istnieją przykłady lewych (prawych) uogólnionych quasi-pseudoodległości
p : X × X → [0, ∞), które nie są quasi-pseudometrykami (szczegóły: [D15,
Example 4.2]);
(d) Jeśli (X, p) jest przestrzenią Husdorffa i J jest lewą (prawą) uogólnioną quasi-pseudoodległością na X, wówczas
∀u,v∈X {u 6= v ⇒ {J(u, v) > 0 ∨ J(v, u) > 0}}.
Zdefiniujemy teraz lewą (prawą) ciągową J-zupełność oraz odległość PompeiuHausdorffa wyznaczoną przez uogólnioną quasi-pseudoodległość J.
57
Definicja 3.41 ([H8, Definition 8]) . Niech (X, p) będzie przestrzenią
quasi-pseudometryczną i niech J : X × X → [0, ∞) będzie lewą (prawą)
uogólnioną quasi-pseudoodległością na X.
(A) Powiemy, że ciąg (um : m ∈ N) w X jest lewym (prawym) ciągiem
J-Cauchy’ego w X, jeśli:
∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m,n∈N;k6m6n {J(um , un ) < ε}
(∀ε>0 ∃k=k(ε)∈N ∀m,n∈N;k6m6n {J(un , um ) < ε}).
(B) Niech u ∈ X i niech (um : m ∈ N) będzie ciągiem w X. Powiemy, że
(um : m ∈ N) jest lewo (prawo) J-zbieżny do u, jeśli:
L−J
lim um = u, tj. m→∞
lim J(u, um ) = 0
m→∞
R−J
( lim um = u, tj. lim J(um , u) = 0).
m→∞
m→∞
(C) Powiemy, że ciąg (um : m ∈ N) w X jest lewo (prawo) J-zbieżny w
X, jeśli:
L−J
L−J
S(u
:= {u ∈ X : lim um = u} =
6 ∅
m :m∈N)
m→∞
R−J
R−J
(S(u
:= {u ∈ X : m→∞
lim um = u} =
6 ∅).
m :m∈N)
(D) Jeśli każdy lewy (prawy) ciąg J-Cauchy’ego (um : m ∈ N) w X
jest lewo (prawo) J-zbieżny w X, wówczas (X, p) nazywamy lewo (prawo)
ciągowo J-zupełną przestrzenią quasi-pseudometryczną.
(E) Odległością H J : Cl(X)×Cl(X) → [0, ∞), typu Pompeiu-Hausdorffa,
nazywamy odwzorowanie określone wzorem
∀A,B∈Cl(X) {H J (A, B) = max {sup J(u, B), sup J(v, A)}},
u∈A
v∈B
gdzie ∀u∈X ∀V ∈Cl(X) {J(u, V ) = inf v∈V J(u, v)}.
Niech (X, p) będzie przestrzenią quasi-pseudometryczną z lewą (prawą)
uogólnioną quasi-pseudoodległością J : X × X → [0, ∞). Niech A, B ∈ 2X .
Definiujemy:
distp (A, B) = inf{p(x, y) : x ∈ A, y ∈ B};
P (a, B) = inf{p(a, b) : b ∈ B}, gdzie a ∈ X; oraz
AJ0 = {x ∈ A : J(x, y) = distp (A, B), dla pewnego y ∈ B}
B0J = {y ∈ B : J(x, y) = distp (A, B), dla pewnego x ∈ A}.
58
Definicja 3.42 ([H8, Definition 9]) Niech (X, p) będzie przestrzenią
quasi-pseudometryczną i niech J : X × X → [0, ∞) będzie lewą (prawą)
uogólnioną quasi-pseudoodległością na X.
(A) Niech (A, B) będzie parą taką, że A, B ∈ 2X oraz A0 6= ∅ lub B0 6= ∅.
Powiemy, że para (A, B) ma W P J -własność wtedy i tylko wtedy, gdy
{[J(x1 , y1 ) = distp (A, B)] ∧ [J(x2 , y2 ) = distp (A, B)]}
⇒ {J(x1 , x2 ) 6 J(y1 , y2 )},
gdzie x1 , x2 ∈ A0 oraz y1 , y2 ∈ B0 .
(B) Niech (A, B) będzie parą taką, że A, B ∈ 2X . Mówimy, że lewa (prawa) uogólniona quasi-pseudoodległość na X jest stowarzyszona z parą (A, B),
jeśli dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X spełniających
trzy warunki:
∀m∈N {J(xm , ym−1 ) = distp (A, B)},
∃x∈X { lim p(x, xm ) = 0},
m→∞
∃y∈X { lim p(y, ym ) = 0},
m→∞
zachodzi równość p(x, y) = distp (A, B).
Przedstawione powyżej pojęcie W P J -własności pary (A, B) rozszerza P J własność zdefiniowaną i rozważaną wcześniej w Definicji 3.36(A) [H7, Definition 2.4].
Pojęcia quasi-domkniętości i pół quasi-domkniętości dla odwzorowań wielowartościowych w (X, p), jak również pojęcia wielowartościowych J-kontrakcji
i zwężonych J-kontrakcji w (X, p) z J-uogólnioną quasi-pseudoodległością,
definiujemy następująco.
Definicja 3.43 ([H8, Definition 10]) Niech (X, p) będzie przestrzenią
quasi-pseudometryczną i niech A, B ∈ 2X .
(A) Odwzorowanie T : A → 2B nazywamy quasi-domkniętym, jeśli dla
dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) w A i (ym : m ∈ N) w B, spełniających
warunek
∀m∈N {ym ∈ T (xm )},
takich że ciąg (xm : m ∈ N) jest lewo (prawo) zbieżny do każdego punktu
zbioru W ⊂ A oraz ciąg (ym : m ∈ N) jest lewo (prawo) zbieżny do każdego
punktu zbioru V ⊂ B, zachodzi własność
∃v∈V ∀w∈W {v ∈ T (w)}.
59
(B) Odwzorowanie T : A → 2B nazywamy pół quasi-domkniętym, jeśli
dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) w A i (ym : m ∈ N) w B, spełniających
warunek
∀m∈N {ym ∈ T (xm )},
takich że ciąg (xm : m ∈ N) jest lewo (prawo) zbieżny do każdego punktu
zbioru W ⊂ A oraz ciąg (ym : m ∈ N) jest lewo (prawo) zbieżny do każdego
punktu zbioru V ⊂ B, zachodzi własność
∃v∈V ∃w∈W {v ∈ T (w)}.
(C) Niech J : X × X → [0, ∞) będzie lewą (prawą) uogólnioną quasipseudoodległością na X. Niech odwzorowanie T : A → 2B będzie takie, że
T (x) ∈ Cl(X), dla każdego x ∈ X. Wówczas T nazywamy wielowartościową
J-kontrakcją typu Nadlera, jeśli spełniony jest warunek
∃06λ<1 ∀x,y∈A {H J (T (x), T (y)) 6 λJ(x, y)}.
(∗)
(D) Niech J : X × X → [0, ∞) będzie lewą (prawą) uogólnioną quasipseudoodległością na X. Niech odwzorowanie T : A → 2B będzie takie, że
T (x) ∈ Cl(X), dla każdego x ∈ X. Wówczas T nazywamy wielowartościową
zwężoną J-kontrakcją typu Nadlera, jeśli spełniony jest warunek
∃06λ<1 ∀x,y∈AJ0 {H J (T (x), T (y)) 6 λJ(x, y)}.
(∗∗)
Głównym wynikiem pracy [H8] jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3.24 ([H8, Theorem 11]) Niech (X, p) będzie lewo (prawo) ciągowo J-zupełną quasi-pseudometryczną przestrzenią Hausdorffa. Niech
J : X × X → [0, ∞) będzie lewą (prawą) quasi-uogólnioną pseudoodległością
na X. Załóżmy, że
(a) A, B ∈ Cl(X), A0 6= ∅ i para (A, B) ma W P J -własność;
(b) J jest stowarzyszone z parą (A, B);
(c) T : A → 2B będzie pół quasi-domkniętą wielowartościową zwężoną
kontrakcją typu Nadlera;
(d) T (A0 ) ⊂ B0 ;
(e) dla każdego x ∈ A, T (x) jest zbiorem ograniczonym;
(f ) dla każdego x ∈ A, T (x) jest zbiorem domkniętym w B.
Wtedy odwzorowanie T posiada w A punkt najlepszej bliskości.
Krótkimi uwagami podsumujmy przedstawiony rezultat.
60
Uwaga 3.22 . (a) W Twierdzeniu 3.24, założenie lewo (prawo) ciągowej
zupełności przestrzeni (X, p) nie jest istotne.
(b) Co więcej, jeśli w Twierdzeniu 3.24 przyjmiemy, że (X, d) jest przestrzenią metryczną, a więc p = d, wówczas również założenie ciągowej zupełności (X, d) nie jest konieczne.
(c) Klasa wielowartościowych J-kontrakcji typu Nadlera jest szersza niż
klasa wielowartościowych kontrakcji typu Nadlera (a więc gdy J = p).
(d) Klasa wielowartościowych zwężonych J-kontrakcji typu Nadlera’a jest
szersza niż klasa wielowartościowych J-kontrakcji typu Nadler’a (jest to konsekwencja zastąpienia kwantyfikatora ∀x,y∈A w warunku kontrakcyjnym (∗)
przez kwantyfikator ∀x,y∈AJ0 w warunku kontrakcyjnym (∗∗).
Praca [H8] zawiera także przykłady ilustrujące powyższy wynik. Porównania Twierdzenia 3.24 z wynikami zawartymi w pracach [H7] oraz A. Abkara
i M. Gabeleha [71], zostały zamieszczone w [H8, Remark 17].
3.2.7
Uogólnione quasi-pseudoodległości J = {Jα : X × X → [0, ∞),
α ∈ A}, punkty stałe i periodyczne oraz zbieżności uogólnionych ciągów iteracji i procesów dynamicznych dla jednoi wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach quasi-gauge (X, P), P = {pα : X × X → [0, ∞), α ∈ A}
(prace [H9], [H10])
Badania dotyczące punktów stałych dla różnych odwzorowań kontrakcyjnych
prowadzone były także w przestrzeniach ogólniejszych niż quasi-pseudometryczne.
Tego typu przestrzenie, jako pierwsi, wprowadzili i opisali J. Dugundji [23],
J.C. Kelly [79], I.L. Reilly [83, 84] oraz I.L. Reilly, P.V. Subrahmanyam i
M.K. Vamanamurthy [80].
Definicja 3.44 ([H9, Definition 2.2]) . Niech X będzie niepustym zbiorem.
(A) Każdą rodzinę P = {pα : α ∈ A} quasi-pseudometryk pα : X × X →
[0, ∞), α ∈ A, nazywamy quasi-gauge na X; A-zbiór indeksów.
(B) Niech rodzina P = {pα : α ∈ A} będzie quasi-gauge na X. Topologię
T (P) posiadającą jako podbazę rodzinę B(P) = {B(x, εα ) : x ∈ X, εα >
0, α ∈ A} kul B(x, εα ) = {y ∈ X : pα (x, y) < εα }, x ∈ X, εα > 0, α ∈ A,
nazywamy topologią wprowadzoną przez rodzinę P na X.
(C) ([23, 83, 84]) Przestrzeń topologiczną (X, T ) taką, że istnieje quasigauge P na X taka, że T = T (P) nazywamy przestrzenią quasi-gauge i
oznaczamy (X, P).
61
Twierdzenie 3.25 ([83, Theorem 2.6]) Każda przestrzeń topologiczna
jest przestrzenią quasi-gauge.
Definicja 3.45 ([H9, Definition 2.6]) . Niech (X, P) będzie przestrzenią quasi-gauge.
(A) ([80, Definition 1(v) i str. 129]) Powiemy, że ciąg (wm : m ∈ N) w
X jest lewym ciągiem (P,K)-Cauchy’ego w X, jeśli
∀α∈A ∀εα >0 ∃k=k(α,εα )∈N ∀m,n∈N;k6m6n {pα (wm , wn ) < εα }.
(B) ([80, Definition 1(i) i str. 129]) Powiemy, że ciąg (wm : m ∈ N) w
X jest lewym ciągiem P-Cauchy’ego w X, jeśli
∀α∈A ∀εα >0 ∃w∈X ∃nα ∈N ∀m∈N; nα 6m {pα (w, wm ) < εα }.
(C) Powiemy, że ciąg (wm : m ∈ N) w X jest lewo zbieżny w X, jeśli
∃w∈X ∀α∈A ∀εα >0 ∃k=k(α,εα )∈N ∀m∈N;k6m {pα (w, wm ) < εα }
(tj. krótko ∃w∈X ∀α∈A {limm→∞ pα (w, wm ) = 0}).
(D) ([83, Definition 5.3], [84, Definition 4]) Jeśli każdy lewy ciąg (P, K)Cauchy’ego w X jest lewo zbieżny do pewnego punktu w X, wówczas (X, P)
nazywamy lewo K-ciągowo zupełną przestrzenią quasi-gauge.
(E) ([83, Definition 5.3], [84, Definition 4]) Jeśli każdy lewy ciąg PCauchy’ego w X jest lewo zbieżny do pewnego punktu w X, wówczas (X, P)
nazywamy lewo ciągowo zupełną przestrzenią quasi-gauge.
Pewne porównania ciągów (P,K)-Cauchy’ego i P-Cauchy’ego, a także
definiowanych za ich pomocą ciągowych zupełności zamieszczamy poniżej.
Uwaga 3.23 . Niech (X, P) będzie przestrzenią quasi-gauge.
(a) ([84, p. 131]) Każdy lewy ciąg (P,K)-Cauchy’ego w X jest lewy PCauchy’ego w X.
(b) Każdy lewo zbieżny ciąg w X jest lewym ciągiem P-Cauchy’ego w
X. Implikacja odwrotna nie zachodzi ([84, Example 1], [80, Example 2], [79,
Example 5.8]).
(c) Każda lewo ciągowo zupełna przestrzeń quasi-gauge jest lewo K-ciągowo
zupełną ([80, Section 3]).
Praca [H9]
62
W pracy [H9], w przestrzeniach quasi-gauge (X, P), P = {pα : X × X →
[0, ∞), α ∈ A}, wprowadzamy rodziny JP = {Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A}
uogólnionych quasi-pseudoodległości, a następnie, wykorzystując te rodziny, definiujemy trzy rodzaje rozpraszających wielowartościowych układów
dynamicznych. W definicjach tych istotną rolę odgrywają rodziny entropii.
W odróżnieniu od znanych w literaturze rezultatów, entropie tu badane nie
muszą być półciągłe z dołu. Następnie przy założeniu lewej K-ciągowej zupełności X, badamy rozpraszające wielowartościowe układy dynamiczne w
(X, P) i dowodzimy nowe twierdzenie o punktach periodycznych i zbieżności
procesów dynamicznych oraz uogólnionych ciągów iteracji do tych punktów
periodycznych.
Przytoczymy teraz kilka istotnych pojęć i oznaczeń, które wykorzystamy
przy omawianiu wyników zamieszczonych w pracy [H9].
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-gauge.
(A) Rodzinę J = {Jα : α ∈ A} odwzorowań Jα : X ×X → [0, ∞), α ∈ A,
nazywamy JP -rodziną na X, jeżeli następujące dwa warunki są spełnione:
(J 1) ∀α∈A ∀x,y,z∈X {Jα (x, z) 6 Jα (x, y) + Jα (y, z)};
(J 2) dla dowolnych ciągów (wm : m ∈ N) i (vm : m ∈ N) w X takich, że
∀α∈A ∀εα >0 ∃k∈N ∀m,n∈N;k6m6n {Jα (wm , wn ) < εα },
oraz
∀α∈A ∀εα >0 ∃k∈N ∀m∈N; k6m {Jα (wm , vm ) < εα },
zachodzi
∀α∈A ∀εα >0 ∃k∈N ∀m∈N; k6m {pα (wm , vm ) < εα }.
(B) Elementy JP -rodziny na X nazywamy uogólnionymi pseudoodległościami na X.
(C) Niech rodzina J = {Jα : α ∈ A} będzie JP -rodziną na X. Powiemy,
że ciąg (wm : m ∈ N) w X jest lewym ciągiem (JP ,K)-Cauchy’ego w X, jeśli
∀α∈A ∀εα >0 ∃k∈N ∀m,n∈N;k6m6n {Jα (wm , wn ) < εα }.
Uwaga 3.24 . Niech X będzie niepustym zbiorem.
(a) Jeśli (X, P) jest przestrzenią quasi-gauge, J = {Jα : α ∈ A} jest
JP -rodziną na X i ∀α∈A ∀x∈X {Jα (x, x) = 0}, wówczas dla każdego α ∈ A,
odwzorowanie Jα jest quasi-pseudometryką.
(b) Każda rodzina quasi-gauge P na X jest JP -rodziną na X. Wynikanie
odwrotne nie jest prawdziwe.
63
Przedstawimy teraz przykład asymetrycznej JP -rodziny na X.
Przykład 3.16. ([H9, Example 5.3]) Niech X = N ⊂ R i niech p : X ×
X → [0, ∞) będzie quasi-metryką zdefiniowaną następująco ([80, Example
5])
p(m, n) =



0
jeśli m = n
m−1 jeśli m < n gdy m jest parzyste n jest nieparzyste


1
w przeciwnym przypadku
oraz niech P = {p}. Wówczas (X, P) jest przestrzenią quasi-metryczną oraz
rodzinia J = {J}, gdzie J(m, n) = p(m, n), m, n ∈ N, jest JP -rodziną.
Rozpraszające wielowartościowe układy dynamiczne w przestrzeniach quasigauge definiujemy następująco.
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-gauge i niech (X, T ) będzie
wielowartościowym układem dynamicznym. Niech J = {Jα : α ∈ A}, Jα :
X × X → [0, ∞), α ∈ A, będzie JP -rodziną na X i niech Γ = {γα : α ∈ A},
γα : X → [0, ∞), α ∈ A, będzie rodziną odwzorowań.
(A) Powiemy, że ciąg (wm : m ∈ {0} ∪ N) w X jest (J ,Γ)-dopuszczalny,
jeśli
∀α∈A ∀m∈{0}∪N {Jα (wm , wm+1 ) 6 γα (wm ) − γα (wm+1 )}.
(3.4)
(B) Powiemy, że (X, T ) jest słabo (J , Γ; X0 )-rozpraszający na X, jeśli
istnieje niepusty podzbiór X0 ⊂ X spełniający następującą własność: x ∈
X0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (J , Γ)-dopuszczalny proces dynamiczny
(wm : m ∈ {0} ∪ N) układu (X, T ), startujący w w0 = x.
(C) Powiemy, że układ (X, T ) jest (J , Γ)-rozpraszający na X, jeśli dla
każdego x ∈ X, dowolny proces dynamiczny (wm : m ∈ {0} ∪ N) układu
(X, T ) startujący w w0 = x, jest (J , Γ)-dopuszczalny.
(D) Powiemy, że (X, T ) jest ściśle (J , Γ)-rozpraszający na X, jeśli dla
każdego x ∈ X, dowolny uogólniony ciąg iteracji (wm : m ∈ {0} ∪ N) układu
(X, T ) startujący w w0 = x, jest (J , Γ)-dopuszczalny.
Jeśli jeden z warunków (B)-(D) jest spełniony, to układ (X, T ) nazywamy
rozpraszającym, wielowartościowym układem dynamicznym względem (J , Γ)
(krótko rozpraszającym wielowartościowym układem dynamicznym).
Porównanie powyższych pojęć zawiera następująca uwaga.
64
Uwaga 3.25 . Niech (X, P), P = {pα : X ×X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie
przestrzenią quasi-gauge i niech (X, T ) będzie wielowartościowym układem
dynamicznym.
(a) Jeśli ciąg (wm : m ∈ {0}∪N) w X jest (J , Γ)-dopuszczalny, wówczas,
dla każdego k ∈ N, ciąg (wm+k : m ∈ {0} ∪ N) jest (J , Γ)-dopuszczalny.
(b) Na mocy punktu (a), jeśli (X, T ) jest słabo (J , Γ; X0 )-rozpraszający
na X, punkt x ∈ X0 oraz (wm : m ∈ {0} ∪ N) jest (J , Γ)-dopuszczalnym procesem dynamicznym układu (X, T ) startującym w w0 = x, wówczas ∀m∈N {wm ∈
X0 }.
Stwierdzenie 3.2 . Niech (X, P), P = {pα : X × X → [0, ∞), α ∈
A}, będzie przestrzenią quasi-gauge i niech (X, T ) będzie wielowartościowym
układem dynamicznym.
(a) Jeśli (X, T ) jest słabo (J , Γ; X0 )-rozpraszający na X, wówczas (X0 ,KJ ;T )
jest wielowartościowym układem dynamicznym, gdzie dla każdego x ∈ X0 ,
KJ ;T (x) =
[
{{w0 , w1 , w2 , ...} : (wm : m ∈ {0} ∪ N) ∈ KJ (T, x)},
przy czym
KJ (T, x) = {(wm : m ∈ {0} ∪ N), w0 = x :
∀m∈{0}∪N {wm+1 ∈ T (wm )} i (3.4) zachodzi}.
(b) Jeśli (X, T ) jest (J ,Γ)-rozpraszający na X, wówczas (X,WJ ;T ) jest
wielowartościowym układem dynamicznym, gdzie dla każdego x ∈ X,
WJ ;T (x) =
[
{{w0 , w1 , w2 , ...} : (wm : m ∈ {0} ∪ N) ∈ WJ (T, x)},
przy czym
WJ (T, x) = {(wm : m ∈ {0} ∪ N), w0 = x : ∀m∈{0}∪N {wm+1 ∈ T (wm )}}.
(c) Jeśli (X, T ) jest ściśle (J ,Γ)-rozpraszający na X, wówczas (X,SJ ;T )
jest wielowartościowym układem dynamicznym, gdzie dla każdego x ∈ X,
SJ ;T (x) =
{{w0 , w1 , w2 , ...} : (wm : m ∈ {0} ∪ N) ∈ SJ (T, x)}
[
przy czym
SJ (T, x) = {(wm : m ∈ {0} ∪ N), w0 = x : ∀m∈{0}∪N {wm+1 ∈ T [m+1] (w0 )}}.
Uwaga 3.26 . Warto zauważyć, że:
(a) Jeśli (X, T ) jest (J ,Γ)-rozpraszający na X, wówczas dla X0 = X
układ (X, T ) jest słabo (J , Γ; X0 )-rozpraszający na X oraz ∀x∈X0 {KJ ;T (x) =
WJ ;T (x)}.
(b) Jeśli (X, T ) jest ściśle (J ,Γ)-rozpraszający na X, wówczas (X, T )
jest (J ,Γ)-rozpraszający na X oraz ∀x∈X {WJ ;T (x) ⊂ SJ ;T (x)}.
65
W przestrzeniach quasi-gauge, wykorzystując idee C. Berge [43] oraz E.
Kleina i A.C. Thompsona [44], definiujemy pojęcia odwzorowań domkniętych
a także zbiorów domkniętych następująco.
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie lewo K-ciągowo zupełną przestrzenią quasigauge.
(A) Wielowartościowy układ dynamiczny (X, T ) nazywamy lewo quasidomkniętym, jeśli dla dowolnych ciągów (wm : m ∈ N) i (vm : m ∈ N) w X,
spełniających warunek
∀m∈N {vm ∈ T (wm )},
takich, że ciąg (wm : m ∈ N) jest lewo zbieżny do każdego punktu zbioru
W ∈ 2X oraz ciąg (vm : m ∈ N) jest lewo zbieżny do każdego punktu zbioru
V ∈ 2X , zachodzi własność
∃v∈V ∀w∈W {v ∈ T (w)}.
(B) Dla dowolnego podzbioru E ⊂ X, definiujemy lewe quasi-domknięcie
E, jako zbiór
clL (E) = {w ∈ X : ∃(wm :m∈N)⊂E ∀α∈A ∀ε>0 ∃k∈N ∀m∈N;k6m {pα (w, wm ) < ε}}.
(C) Podzbiór E ⊂ X nazywamy lewo quasi-domkniętym w X, jeśli clL (E) =
E.
Podamy teraz główne rezultaty pracy [H9].
Twierdzenie 3.26 ([H9, Theorem 4.4]) . Niech (X, P), P = {pα :
X × X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie lewo K-ciągowo zupełną przestrzenią quasigauge i niech (X, T ) będzie wielowartościowym układem dynamicznym. Niech
J = {Jα : α ∈ A}, Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, będzie JP -rodziną na X i
niech Γ = {γα : α ∈ A}, γα : X → [0, ∞), α ∈ A, będzie rodziną odwzorowań.
Wówczas:
(A) (A1) Jeśli (X, T ) jest słabo (J ,Γ; X0 )-rozpraszający na X, to dla każdego x ∈ X0 i dla każdego procesu dynamicznego (wm : m ∈ {0} ∪ N) ∈
KJ (T, x), istnieje niepusty zbiór W ⊂ clL (X0 ) taki, że dla dowolnego
w ∈ W , proces (wm : m ∈ {0} ∪ N) jest lewo zbieżny do w.
(A2) Jeśli dodatkowo, dla pewnego q ∈ N, odwzorowanie T [q] (q-ta
iteracja T ) jest lewo quasi-domknięte w X, wówczas istnieje w ∈ W
takie, że w ∈ T [q] (w).
66
(B) (B1) Jeśli (X, T ) jest (J ,Γ)-rozpraszający na X, to dla każdego punktu
x ∈ X i dla każdego procesu dynamicznego (wm : m ∈ {0} ∪ N) ∈
WJ (T, x), istnieje niepusty zbiór W ⊂ X taki, że dla dowolnego w ∈
W , proces (wm : m ∈ {0} ∪ N) jest lewo zbieżny do w.
(B2) Jeśli dodatkowo, dla pewnego q ∈ N, odwzorowanie T [q] jest lewo
quasi-domknięte w X, wówczas istnieje w ∈ W takie, że w ∈ T [q] (w).
(C) (C1) Jeśli (X, T ) jest ściśle (J ,Γ)-rozpraszający na X, to dla każdego
x ∈ X i dla każdego uogólnionego ciągu iteracji (wm : m ∈ {0} ∪ N) ∈
SJ (T, x), istnieje niepusty zbiór W ⊂ X taki, że dla dowolnego w ∈ W ,
ciąg (wm : m ∈ {0} ∪ N) jest lewo zbieżny do w.
(C2) Jeśli dodatkowo, dla pewnego q ∈ N, odwzorowanie T [q] jest lewo
quasi-domknięte w X, wówczas, dla każdego x ∈ X, istnieją: uogólniony
ciąg iteracji (wm : m ∈ {0} ∪ N) ∈ SJ (T, x); niepusty zbiór W ⊂ X
oraz w ∈ X takie, że (wm : m ∈ {0} ∪ N) jest lewo zbieżny do każdego
punktu zbioru W oraz w ∈ T [q] (w).
Praca [H9] zawiera także liczne przykłady ilustrujące powyższe twierdzenie oraz porównania z wynikami znanymi w literaturze (por. [H9, Section
5]).
Praca [H10]
Uogólnienia twierdzeń Leadera o punktach stałych w przestrzeniach metrycznych zupełnych na przypadek przestrzeni jednostajnych Hausdorffa (niekoniecznie ciągowo zupełnych) zostały podane w pracy [H3] (por. Twierdzenie 3.8).
W pracy [H10], w przestrzeniach quasi-gauge (X, P), P = {pα : X ×X →
[0, ∞), α ∈ A}, ((X, P) nie muszą być przestrzeniami Hausdorffa ani ciągowo
zupełnymi), zdefiniowano uogólnione quasi-pseudoodległości J = {Jα : X ×
X → [0, ∞), α ∈ A}, skonstruowano quasi J -kontrakcje i słabe quasi J kontrakcje typu Leadera w tych przestrzeniach, a następnie udowodniono
twierdzenia o istnieniu punktów periodycznych i zbieżności iteracji Picarda
do tych punktów periodycznych.
Podamy obecnie niezbędne definicje i oznaczenia.
Definicja 3.49 ([H10, Definition 2.1]) . Niech (X, P), P = {pα :
X ×X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-gauge. Rodzinę J = {Jα :
α ∈ A} odwzorowań Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, nazywamy lewą (prawą) J -rodziną uogólnionych pseudoodległości na X (krótko, lewą (prawą)
J -rodziną na X), jeśli zachodzą następujące dwa warunki:
67
(J 1) ∀α∈A ∀x,y,z∈X {Jα (x, z) 6 Jα (x, y) + Jα (y, z)}; oraz
(J 2) dla dowolnych ciągów (um : m ∈ N) i (vm : m ∈ N) w X spełniających
∀α∈A { lim sup Jα (um , un ) = 0}
m→∞ n>m
(∀α∈A { lim sup Jα (un , um ) = 0})
m→∞ n>m
oraz
∀α∈A { lim Jα (vm , um ) = 0}
m→∞
(∀α∈A { lim Jα (um , vm ) = 0}),
m→∞
zachodzi
∀α∈A { lim pα (vm , um ) = 0}
m→∞
(∀α∈A {m→∞
lim pα (um , vm ) = 0}).
Uwaga 3.27 . Jeżeli (X, P), P = {pα : X × X → [0, ∞), α ∈ A}, jest
L
przestrzenią quasi-gauge, wówczas P ∈JL(X,P) oraz P ∈JR
(X,P) , gdzie J(X,P) =
{J : J jest lewą J -rodziną na X} i JR
(X,P) = {J : J jest prawą J -rodziną
na X}.
Wykorzystując lewe (prawe) J -rodziny, definiujemy nowego typu zupełność.
X × X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-gauge i niech J =
{Jα : α ∈ A} będzie lewą (prawą) J -rodziną na X.
(A) Ciąg (um : m ∈ N) w X nazywamy lewym (prawym) ciągiem J Cauchy’ego w X, jeśli
∀α∈A {m→∞
lim sup Jα (um , un ) = 0}
n>m
(∀α∈A {m→∞
lim sup Jα (un , um ) = 0}).
n>m
(B) Niech u ∈ X i niech (um : m ∈ N) będzie ciągiem w X. Powiemy, że
ciąg (um : m ∈ N) jest lewo (prawo) J -zbieżny do u, jeśli
L−J
lim um = u
m→∞
R−J
(m→∞
lim um = u),
R−J
gdzie limL−J
m→∞ um = u ⇔ ∀α∈A {limm→∞ Jα (u, um ) = 0} (limm→∞ um = u ⇔
∀α∈A {limm→∞ Jα (um , u) = 0}).
68
(C) Powiemy, że ciąg (um : m ∈ N) w X jest lewo (prawo) J -zbieżny w
X, jeśli
L−J
R−J
S(u
6= ∅ (S(u
6= ∅),
m :m∈N)
m :m∈N)
L−J
R−J
gdzie S(u
= {u ∈ X : limL−J
m→∞ um = u} (S(um :m∈N) = {u ∈ X :
m :m∈N)
limR−J
m→∞ um = u}).
(D) Jeśli każdy lewy (prawy) ciąg J -Cauchy’ego (um : m ∈ N) w X jest
L−J
R−J
lewo (prawo) J -zbieżny w X (tj. S(u
6= ∅ (S(u
6= ∅)), wówczas
m :m∈N)
m :m∈N)
(X, P) nazywamy lewo (prawo) ciągowo J -zupełną przestrzenią quasi-gauge.
Uwaga 3.28 . (a) Istnieją przykłady przestrzeni quasi-gauge (X, P) i
lewej (prawej) J -rodziny J na X, J 6= P, takie, że (X, P) jest lewo (prawo)
ciągowo J -zupełna, a nie jest lewo (prawo) ciągowo P-zupełna (odsyłamy
tutaj Czytelnika do [H10, Section 5]).
(b) Warto zauważyć, że jeśli ciąg (wm : m ∈ N) jest lewo (prawo) J L−J
L−J
R−J
R−J
zbieżny w X, wówczas S(w
⊂ S(v
(S(w
⊂ S(v
) dla
m :m∈N)
m :m∈N)
m :m∈N)
m :m∈N)
dowolnego podciągu (vm : m ∈ N) ciągu (wm : m ∈ N).
Przedstawimy jeszcze dwa pomocnicze pojęcia.
Definicja 3.51 ([H10, Definicja 3.1]) . Niech (X, P), P = {pα : X ×
X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-qauge. Niech rodzina J =
{Jα : α ∈ A} odwzorowań Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, będzie lewą
(prawą) J -rodziną na X. Jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ) (tj.
T : X → X) nazywamy lewo (prawo) J -dopuszczalnym, jeśli dla każdego
w0 ∈ X i ciągu (wm = T [m] (w0 ) : m ∈ {0} ∪ N) spełniającego warunek
∀α∈A { lim sup Jα (wm , wn ) = 0}
m→∞ n>m
(∀α∈A {m→∞
lim sup Jα (wn , wm ) = 0})
n>m
istnieje w ∈ X takie, że
∀α∈A { lim Jα (w, wm ) = 0} (∀α∈A { lim Jα (wm , w) = 0}).
m→∞
m→∞
Warto zauważyć, że jeśli (X, P) jest lewo (prawo) ciągowo J -zupełną
przestrzenią quasi-gauge, wówczas (X, T ) jest lewo (prawo) J -dopuszczalny.
Kolejna definicja stanowi pewne uogólnienie zwykłej ciągłości odwzorowania.
69
X ×X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-gauge, niech T : X → X i
niech q ∈ N. Odwzorowanie T [q] nazywamy lewo (prawo) P-quasi-domkniętym,
jeśli każdy ciąg (wm : m ∈ N) w T [q] (X), lewo (prawo) P-zbieżny w X (czyL−P
R−P
li S(w
6= ∅ (S(w
6= ∅)) posiadający podciągi (vm : m ∈ N) i
m :m∈N)
m :m∈N)
(um : m ∈ N) spełniające warunek ∀m∈N {vm = T [q] (um )}, ma następującą
własność: ∃w∈S L−P
{w = T [q] (w)} (∃w∈S R−P
{w = T [q] (w)}).
(wm :m∈N)
(wm :m∈N)
Główne rezultaty pracy [H10] są następujące.
X × X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-qauge, niech rodzina
J = {Jα : α ∈ A} odwzorowań Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, będzie lewą
(prawą) J -rodziną na X i niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem
dynamicznym, T : X → X. Załóżmy, że:
(H1) (X, T ) jest lewo (prawo) J -dopuszczalny na X; oraz
(H2) T jest quasi J -kontrakcją typu Leadera na X, tj. ∀x,y∈X ∀α∈A ∀ε>0 ∃η>0
∃r∈N ∀s,l∈N {Jα (T [s] (x), T [l] (y)) < ε + η ⇒ Jα (T [s+r] (x), T [l+r] (y)) < ε}.
Wówczas:
(A) Dla każdego w0 ∈ X ciąg (wm = T [m] (w0 ) : m ∈ {0}∪N) jest lewo (praL−P
R−P
wo) P-zbieżny w X; tj. (a1 ) ∀w0 ∈X {S(w
m :m∈{0}∪N) 6= ∅} (∀w 0 ∈X {S(w m :m∈{0}∪N) 6=
∅}).
(B) Załóżmy, że: (B1) dla pewnego q ∈ N, odwzorowanie T [q] jest lewo
(prawo) P-quasi-domknięte na X. Wówczas: (b1 ) F ix(T [q] ) 6= ∅; (b2 )
L−P
∀w0 ∈X ∃w∈F ix(T [q] ) {w ∈ S(w
m =T [m] (w 0 ):m∈{0}∪N) } (∀w 0 ∈X ∃w∈F ix(T [q] ) {w ∈
R−P
S(wm =T [m] (w0 ):m∈{0}∪N) }); (b3 ) ∀α∈A ∀w∈F ix(T [q] ) {Jα (w, T (w)) = Jα (T (w), w) =
0}.
(C) Załóżmy, że: (C1) (X, P) jest przestrzenią Hausdorffa; oraz (C2) istnieje
q ∈ N takie, że F ix(T [q] ) 6= ∅. Wówczas: (c1 ) dla pewnego w ∈ X maL−P
my F ix(T [q] ) = F ix(T ) = {w}; (c2 ) ∀w0 ∈X {w ∈ S(w
m =T [m] (w 0 ):m∈{0}∪N) }
R−P
(∀w0 ∈X {w ∈ S(wm =T [m] (w0 ):m∈{0}∪N) }); oraz (c3 ) ∀α∈A {Jα (w, w) = 0}.
X × X → [0, ∞), α ∈ A}, będzie przestrzenią quasi-qauge, niech rodzina
J = {Jα : α ∈ A} odwzorowań Jα : X × X → [0, ∞), α ∈ A, będzie lewą
(prawą) J -rodziną na X i niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem
dynamicznym, T : X → X. Załóżmy, że:
70
(H3) (X, T ) jest lewo (prawo) J -dopuszczalny na X; oraz
(H4) T jest słabą quasi J -kontrakcją typu Leadera na X, tj. ∃x∈X ∀α∈A ∀ε>0
∃η>0 ∃r∈N ∀s,l∈N {Jα (T [s] (x), T [l] (x)) < ε + η ⇒ Jα (T [s+r] (x), T [l+r] (x)) <
ε}.
Wówczas:
(D) Dla w0 = x ciąg (wm = T [m] (w0 ) : m ∈ {0} ∪ N) jest lewo (prawo)
L−P
R−P
P-zbieżny w X; tj. (d1 ) S(w
m :m∈{0}∪N) 6= ∅ (S(w m :m∈{0}∪N) 6= ∅).
(E) Załóżmy, że: (E1) dla pewnego q ∈ N, odzworowanie T [q] jest lewo
(prawo) P-quasi-domknięte na X. Wówczas:
(e1 ) F ix(T [q] ) 6= ∅;
L−P
(e2 ) ∃w∈F ix(T [q] ) {w ∈ S(w
m =T [m] (w 0 ):m∈{0}∪N) }
R−P
(∃w∈F ix(T [q] ) {w ∈ S(wm =T [m] (w0 ):m∈{0}∪N) }), gdzie w0 = x.
Praca [H10] zawiera także przykłady ilustrujące powyższe twierdzenia.
3.2.8
Uogólnione pseudoodległości J : X × X → [0, ∞)] generujące
G-uogónione metryki rozmyte N : X ×X ×[0, ∞) → [0, 1] i V Guogólnione metryki rozmyte N : X × X × (0, ∞) → [0, 1] oraz
punkty stałe dla jednowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach rozmytych (X, M, ∗) (praca [H11])
Praca [H11]
Przestrzenie metryczne rozmyte zostały wprowadzone przez I. Kramosila
i J. Michalka [85].
Definicja 3.53 ([H11, Definition 2.1]) . [85] Układ (X, M, ∗) nazywamy przestrzenią metryczną rozmytą, jeśli X jest ustalonym zbiorem, ∗ jest
ciągłą t-normą i M : X 2 ×[0, ∞) → [0, 1] jest zbiorem rozmytym spełniającym
następujące warunki:
(M1) ∀x,y∈X {M (x, y, 0) = 0};
(M2) ∀x,y∈X {∀t>0 {M (x, y, t) = 1} ⇔ x = y};
(M3) ∀x,y∈X ∀t>0 {M (x, y, t) = M (y, x, t)};
71
(M4) ∀x,y,z∈X ∀t,s>0 {M (x, z, t + s) > M (x, y, t) ∗ M (y, z, s)}; oraz
(M5) M (x, y, ·) : [0, ∞) → [0, 1] jest lewostronnie ciągła, dla każdego x, y ∈
X.
M nazywamy metryką rozmytą na X.
W przestrzeniach tych znane są następujące pojęcia.
Definicja 3.54 ([H11, Definition 2.2]) . (A) [86] Ciąg (xm : m ∈ N)
w X nazywamy ciągiem Cauchy’ego w sensie Grabca (krótko, G-Cauchy’ego),
jeśli
∀t>0 ∀p∈N {m→∞
lim M (xm , xm+p , t) = 1}.
(B) [86] Ciąg (xm : m ∈ N) w X nazywamy ciągiem zbieżnym do x ∈ X,
jeśli
∀t>0 { lim M (xm , x, t) = 1}.
m→∞
tj.
∀t>0 ∀ε>0 ∃m0 ∈N ∀m>m0 {M (xm , x, t) > 1 − ε}.
Ponieważ ∗ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] jest ciągła, więc na mocy (M 4) otrzymujemy natychmiast, że granica jest wyznaczona jednoznacznie.
(C) [86] Przestrzeń metryczną rozmytą, w której każdy ciąg G-Cauchy’ego
jest zbieżny, nazywamy zupełną w sensie Grabca (krótko, G-zupełną).
W 1989, M. Grabiec [86], w przestrzeniach metrycznych rozmytych (zdefiniowanych w sensie I. Kramosila i J. Michalka), wykazał następujące rozszerzenie rezultatu Banacha.
Twierdzenie 3.29 ([H11, Theorem 2.1]) . ([86]) Niech (X, M, ∗) będzie G-zupełną przestrzenią metryczną rozmytą taką, że:
∀x,y∈X { lim M (x, y, t) = 1}.
t→∞
Niech jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ), T : X → X, spełnia następujący warunek
(G1) ∃k∈(0,1) ∀x,y∈X ∀t>0 {M (T (x), T (y), kt) > M (x, y, t)}.
Wówczas T ma jedyny punkt stały.
Inną definicję przestrzeni metrycznych rozmytych wprowadzili A. George
i P. Veeramani [88].
72
Definicja 3.55 ([H11, Definition 2.3]) . [88] Układ (X, M, ∗) nazywamy przestrzenią metryczną rozmytą, jeśli X jest ustalonym zbiorem, ∗ jest
ciągłą t-normą i M : X 2 × (0, ∞) → [0, 1] jest zbiorem rozmytym spełniającym następujące warunki:
(M1) ∀x,y∈X ∀t>0 {M (x, y, t) > 0};
(M2) ∀x,y∈X {∀t>0 {M (x, y, t) = 1} ⇔ x = y};
(M3) ∀x,y∈X ∀t>0 {M (x, y, t) = M (y, x, t)};
(M4) ∀x,y,z∈X ∀t,s>0 {M (x, z, t + s) > M (x, y, t) ∗ M (y, z, s)}; oraz
(M5) M (x, y, ·) : (0, ∞) → [0, 1] jest ciągła, dla każdego x, y ∈ X.
M nazywamy metryką rozmytą na X.
Dla powyżej zdefiniowanych przestrzeni wprowadzone zostały następujące
pojęcia.
Definicja 3.56 ([H11, Definition 2.4]) . (A) [88] Niech (X, M, ∗)
będzie przestrzenią metryczną rozmytą. Kulą otwartą B(x, r, t) dla t > 0
o środku w x ∈ X i promieniu r, 0 < r < 1, nazywamy zbiór
B(x, r, t) = {y ∈ X : M (x, y, t) > 1 − r}.
Rodzinę {B(x, r, t) : x ∈ X, 0 < r < 1, t > 0} nazywamy układem sąsiedztw
dla topologii Hausdorffa na X, która jest indukowana przez metrykę rozmytą
M.
(B) [87] Ciąg (xm : m ∈ N) w X jest ciągiem Cauchy’ego w sensie George
i Veeramani’ego (krótko, GV -Cauchy) jeśli
∀ε>0 ∀t>0 ∃m0 ∈N ∀n,m>m0 {M (xn , xm , t) > 1 − ε}.
(C) [87] Przestrzeń metryczną rozmytą, w której każdy GV -Cauchy ciąg
jest zbieżny, nazywamy przestrzenią zupełną w sensie A. George i P. Veeramani’ego (krótko, GV -zupełną).
W 2002, V. Gregori i A. Sapena [87] podali następujące rozszerzenie wyniku Banacha w przestrzeniach metrycznych rozmytych zdefiniowanych w
sensie A. George i P. Veeramani’ego.
73
Twierdzenie 3.30 ([H11, Theorem 2.2]) . ([87]) Niech (X, M, ∗) będzie GV -zupełną przestrzenią metryczną rozmytą, w której każdy ciąg kontraktywny (xm : m ∈ N) w X, tj. spełniający warunek
∃k∈(0,1) ∀t>0 ∀m∈N {
1
1
− 1 6 k(
− 1)},
M (xm+1 , xm+2 , t)
M (xm , xm+1 , t)
jest ciągiem GV -Cauchy’ego. Niech jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ),
T : X → X, spełnia warunek kontrakcyjny:
1
1
(G2) ∃k∈(0,1) ∀x,y∈X ∀t>0 { M (T (x),T
− 1 6 k( M (x,y,t)
− 1)}.
(y),t)
Wówczas T ma jedyny punkt stały.
W pracy [H11], w przestrzeniach metrycznych rozmytych (X, M, ∗) (określonych zarówno w sensie I. Kramosila i J. Michalka jak i w sensie A. George
i P. Veeramani’ego), definiujemy nowe uogólnione metryki rozmyte N : X 2 ×
(0, ∞) → [0, 1], które rozszerzają metryki rozmyte M : X 2 × (0, ∞) → [0, 1].
Wprowadzamy także nowego typu N -G-zupełność i N -GV -zupełność przestrzeni (X, M, ∗). Następnie, zainspirowani ideami M. Grabca oraz V. Gregori
i A. Sapena, konstruujemy nowe G-kontrakcje i GS-kontrakcje typu Banacha
względem uogólnionych metryk rozmytych N . W pracy podajemy także warunki gwarantujące istnienie punktów stałych oraz zbieżność ciągów iteracji
Picarda do tych punktów stałych dla G-kontrakcji i GS-kontrakcji.
Rozpoczniemy od zaprezentowania naszych definicji i wyniku w przestrzeniach metrycznych rozmytych w sensie I. Kramosila i J. Michalka [85].
Definicja 3.57 ([H11, Definition 3.1]) . Niech (X, M, ∗) będzie przestrzenią metryczną rozmytą (w sensie I. Kramosila i J. Michalka). Wówczas
odwzorowanie N : X 2 × [0, ∞) → [0, 1] nazywamy G-uogólnioną metryką
rozmytą na X, jeśli następujące trzy warunki są spełnione:
(N1) ∀x,y,z∈X ∀t,s>0 {N (x, z, t + s) > N (x, y, t) ∗ N (y, z, s)};
(N2) dla każdego x, y ∈ X, N (x, y, ·) : [0, ∞) → [0, 1] jest lewostronnie
ciągła; oraz
(N3) dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X takich, że
∀t>0 ∀p∈N {m→∞
lim N (xm , xm+p , t) = 1},
oraz
∀t>0 {m→∞
lim N (xm , ym , t) = 1},
zachodzi
∀t>0 {m→∞
lim M (xm , ym , t) = 1}.
74
Uwaga 3.29 . Jeśli (X, M, ∗) jest przestrzenią metryczną rozmytą, wówczas metryka rozmyta M jest G-uogólnioną metryką rozmytą na X. Jednakże
istnieją G-uogólnione metryki rozmyte na X, które nie są metrykami rozmytymi na X (szczegóły, Przykłady 3.18 i 3.19).
Definicja 3.58 ([H11, Definition 3.2]) . (A) Ciąg (xm : m ∈ N) w X
nazywamy ciągiem N -G-Cauchy’ego w sensie Grabca (krótko, N -G-Cauchy’ego),
jeśli
∀t>0 ∀p∈N { lim N (xm , xm+p , t) = 1}.
m→∞
(B) Ciąg (xm : m ∈ N) w X nazywamy N -zbieżnym do x ∈ X, jeśli
∀t>0 { lim N (xm , x, t) = 1}.
m→∞
(C) Przestrzeń metryczną rozmytą (X, M, ∗) nazywamy N -G-zupełną, jeśli dla każdego ciągu N -G-Cauchy’ego (xm : m ∈ N) w X, istnieje x ∈ X
taki, że
(NC) ∀t>0 {limm→∞ N (xm , x, t) = limm→∞ N (x, xm , t) = 1}.
Stwierdzenie 3.3 Niech (X, M, ∗) będzie przestrzenią metryczną rozmytą i niech N : X 2 × [0, ∞) → [0, 1] będzie G-uogólnioną metryką rozmytą na
X. Wówczas dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi następująca własność:
{∀t>0 {N (x, y, t) = 1 ∧ N (y, x, t) = 1} ⇒ {x = y}}.
Pierwszy główny rezultat pracy [H11] formułujemy następująco.
Twierdzenie 3.31 ([H11, Theorem 3.1]) . Niech (X, M, ∗) będzie przestrzenią metryczną rozmytą i niech N : X 2 × [0, ∞) → [0, 1] będzie Guogólnioną metryką rozmytą taką, że:
∀x,y∈X { lim N (x, y, t) = 1}.
t→∞
Niech jednowartościowy układ dynamiczny (X, T ), T : X → X, będzie N -Gkontrakcją typu Banacha, tzn. niech T spełnia warunek:
(B1) ∃k∈(0,1) ∀x,y∈X ∀t>0 {N (T (x), T (y), kt) > N (x, y, t)}.
Załóżmy, że przestrzeń (X, M, ∗) jest N -G-zupełna. Wówczas:
(i) T ma dokładnie jeden punkt stały w ∈ X;
(ii) ∀x∈X ∀t>0 {limm→∞ M (xm , w, t) = 1}, gdzie (xm = T [m] (x0 ) : x0 = x,
m ∈ N);
(iii) ∀t>0 {N (w, w, t) = 1}.
75
W przestrzeniach metrycznych rozmytych w sensie A. George i P. Veeramani’ego, uogólnione metryki rozmyte N oraz N -GV zupełność definiujemy
następująco.
Definicja 3.59 ([H11, Remark 3.2]) Niech (X, M, ∗) będzie przestrzenią metryczną rozmytą. Odwzorowanie N : X 2 × (0, ∞) → [0, 1] nazywamy
GV -uogólnioną rozmytą metryką na X, jeśli następujące trzy warunki zachodzą:
(NGV 1) ∀x,y,z∈X ∀t,s>0 {N (x, z, t + s) > N (x, y, t) ∗ N (y, z, s)};
(NGV 2) dla każdego x, y ∈ X, N (x, y, ·) : (0, ∞) → [0, 1] jest ciągła;
(NGV 3) dla dowolnych ciągów (xm : m ∈ N) i (ym : m ∈ N) w X takich, że
∀ε>0 ∀t>0 ∃m0 ∈N ∀n>m>m0 {N (xm , xn , t) > 1 − ε},
oraz
∀t>0 ∀ε>0 ∃m0 ∈N ∀m>m0 {N (xm , ym , t) > 1 − ε},
mamy
∀t>0 ∀ε>0 ∃m0 ∈N ∀m>m0 {M (xm , ym , t) > 1 − ε}.
Definicja 3.60 ([H11, Remark 3.3]) Niech (X, M, ∗) będzie przestrzenią metryczną rozmytą i niech odwzorowanie N : X 2 × (0, ∞) → [0, 1] będzie
GV -uogólnioną rozmytą metryką.
(A) Ciąg (xm : m ∈ N) w X nazywamy ciągiem N -Cauchy’ego w sensie A.
George i P. Veeramani’ego (krótko, N -GV -Cauchy), jeśli
∀ε>0 ∀t>0 ∃m0 ∈N ∀n>m>m0 {N (xm , xn , t) > 1 − ε}.
(B) Przestrzeń (X, M, ∗) nazywamy N -GV -zupełną, jeśli dla każdego ciągu
N -GV -Cauchy’ego (xm : m ∈ N) w X, istnieje x ∈ X taki, że
∀t>0 {m→∞
lim N (xm , x, t) = m→∞
lim N (x, xm , t) = 1}.
Drugi główny rezultat pracy [H11] jest następujący.
Twierdzenie 3.32 ([H11, Theorem 3.2]) . Niech (X, M, ∗) będzie przestrzenią metryczną rozmytą i niech N : X 2 × (0, ∞) → [0, 1] będzie GV uogólnioną metryką rozmytą taką, że każdy N -rozmyty kontraktywny ciąg,
tzn. dowolny ciąg (xm : m ∈ N) w X spełniający warunek
∃k∈(0,1) ∀t>0 ∀m∈N {
1
1
− 1 6 k(
− 1)}
N (xm+1 , xm+2 , t)
N (xm , xm+1 , t)
76
jest ciągiem N -GV -Cauchy’ego. Niech jednowartościowy układ dynamiczny
(X, T ), T : X → X będzie N -GS-kontrakcją typu Banacha (w sensie V.
Gregori i V. Sapiena), tj. odwzorowaniem T spełniającym warunek
1
1
− 1 6 k( N (x,y,t)
− 1)}.
(B2) ∃k∈(0,1) ∀x,y∈X ∀t>0 { N (T (x),T
(y),t)
Załóżmy, że przestrzeń (X, M, ∗) jest N -GV -zupełna. Wówczas:
(i) T ma dokładnie jeden punkt stały w ∈ X;
(ii) ∀x∈X ∀t>0 {limm→∞ M (xm , w, t) = 1}, gdzie (xm = T [m] (x0 ) : x0 = x,
m ∈ N);
(iii) ∀t>0 {N (w, w, t) = 1}.
Na zakończenie podamy kilka istotnych przykładów ilustrujących rezultaty pracy [H11]. Zamieszczamy również porównania naszych wyników ze
znanymi w literaturze.
Prezentację rozpoczniemy od przypomnienia pojęcia standardowej przestrzeni metrycznej rozmytej indukowanej przez metrykę d.
Przykład 3.17. ([H11, Example 4.1]) [87, Def. 2.5] Niech (X, d) będzie
przestrzenią metryczną. Niech ∗ będzie zwykłym iloczynem a ∗ b = a · b na
[0, 1]. Wówczas trójka (X, Md , ∗), gdzie
(M D) Md (x, y, t) =
t
,
t+d(x,y)
x, y ∈ X
jest przestrzenią metryczną rozmytą (w sensie A. George i P. Veeramani’ego) zwaną w literaturze standardową przestrzenią metryczną rozmytą).
Md nazywamy standardową metryką rozmytą na X.
Przykład 3.18. ([H11, Example 4.2]) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech E ⊂ X będzie dowolnie ustalonym, ograniczonym i
domkniętym zbiorem zawierającym co najmniej dwa różne punkty. Niech
c, k > 0, k > c > δ(E), gdzie δ(E) = sup{d(x, y) : x, y ∈ E}, będą dowolnie
ustalone. Wówczas definiujemy odwzorowanie J : X ×X → [0, ∞) za pomocą
wzoru:


 d(x, y) jeśli {x, y} ∩ E = {x, y}

 c
jeśli x ∈
/ E∧y ∈E
J(x, y) =

k
jeśli x ∈ E ∧ y ∈
/E



c + k jeśli {x, y} ∩ E = ∅.
Odwzorowanie J jest asymetryczną uogólnioną pseudoodległością na przestrzeni metrycznej X (w pracy [H11] zawarte zostały szczegółowe wyliczenia).
77
Przykład 3.19. ([H11, Example 4.3]) Niech (X, d) będzie przestrzenią
metryczną. Niech ∗ będzie ciągłą t-normą daną wzorem: a ∗ b = a · b i niech
(X, Md , ∗) będzie standardową przestrzenią metryczną rozmytą (Przykład
3.17). Niech J : X × X → [0, ∞) będzie uogólnioną pseudoodległością na X
(Przykład 3.18). Wówczas NJ , gdzie
NJ (x, y, t) =
t
, x, y ∈ X,
t + J(x, y)
jest GV -uogólnioną metryką rozmytą na X.
Przykład 3.20. ([H11, Example 4.4]) Niech (X, Md , ∗) będzie standardową przestrzenią metryczną rozmytą, gdzie X = [0, 1], ∗ będzie ciągłą t-normą
daną wzorem: a ∗ b = ab. Niech
NJ (x, y, t) =
t
,
t + J(x, y)
gdzie





d(x, y)
2
J(x, y) =
 3



5
jeśli
jeśli
jeśli
jeśli
{x, y} ∩ E = {x, y}
x∈
/ E∧y ∈E
x∈E∧y ∈
/E
{x, y} ∩ E = ∅
oraz E = [0, 83 ] ⊂ X.
Niech (X, T ) będzie jednowartościowym układem dynamicznym postaci



T (x) = 

0
3
x
2
3
8
−
3
4
dla x ∈ [0, 12 ]
dla x ∈ ( 12 , 43 ] , x ∈ X.
dla x ∈ ( 34 , 1]
Wówczas:
A. J jest uogólnioną pseudoodległością na X (Przykład 3.18), NJ jest
GV -uogólnioną metryką rozmytą na X (Przykład 3.19).
B. Odwzorowanie T jest NJ -GS-kontrakcją typu Banacha, tj. T spełnia
warunek (B2).
C. T nie jest kontrakcją typu Banacha (zdefiniowaną w sensie V. Gregori
i A. Sapena), tj. T nie spełnia warunku (G2). Rzeczywiście, przypuśćmy,
że T jest kontrakcją typu Banacha (zdefiniowaną w sensie V. Gregori i A.
Sapena). Wówczas istniałoby k0 ∈ (0, 1) takie, że
∀t>0 ∀x,y∈X {
1
1
− 1 6 k0 [
− 1]}.
Md (T (x), T (y), t)
Md (x, y, t)
78
W szczególności, dla x0 = 1/2 i y0 = 3/4, z definicji T , mamy T (x0 ) = 0,
T (y0 ) = 3/8. Stąd d(T (x0 ), T (y0 )) = 3/8. Co więcej d(x0 , y0 ) = 1/4 i w
konsekwencji, dla dowolnego t > 0, z (M D) i z powyższego przypuszczenia
otrzymalibyśmy
t + 3/8
1
3/8
=
−1=
−1
t
t
Md (T (x), T (y), t)
1
t + 1/4
1/4
6 k0 [
− 1] = k0
− 1 = k0
.
Md (x, y, t)
t
t
Zatem 3/2 6 k0 , co jest niemożliwe (przypominamy, że k0 ∈ (0, 1)).
D. Trójka (X, Md , ∗) jest standardową GV -zupełną przestrzenią metryczną rozmytą.
E. Przestrzeń metryczna rozmyta (X, Md , ∗) jest N -GV -zupełna.
F. Każdy N -rozmyty kontraktywny ciąg (xm : m ∈ N) jest ciągiem N GV -Cauchy’ego.
G. Wszystkie założenia Twierdzenia 3.32 są spełnione.
Punkt w = 0 jest punktem stałym odwzorowania T w X. Co więcej,
dla każdego x ∈ X, ciąg (xm = T m (x0 ) : x0 = x, m ∈ N) spełnia warunek
∀m>3 {xm = 0}. Stąd, na mocy (M D), otrzymujemy ∀t>0 {limm→∞ M (xm , x, t) =
t
= 1}, W konsekwencji, dla każdego x ∈ X, ciąg (xm =
limm→∞ t+d(0,x
m)
m
T (x0 ) : x0 = x, m ∈ N) jest zbieżny (w standardowej przestrzeni metrycznej rozmytej (X, Md , ∗)) do w.
Uwaga 3.30 (a) Twierdzenia 3.31 i 3.32 uogólniają Twierdzenia 3.29 i
3.30.
(b) Wprowadzenie pojęcia uogólnionych metryk rozmytych jest istotne.
Jeśli X oraz T będą takie jak w Przykładzie 3.20, wówczas T jest NJ -GSkontrakcją typu Banacha, a nie jest kontrakcją typu Banacha ze względu na
Md (Przykład 3.20 B-C).
79
3.2.9
Podsumowanie
Dążenie do uzyskania dogodnych narzędzi i metod badawczych dzięki którym,
dla jedno- i wielowartościowych układów dynamicznych w różnego typu przestrzeniach odległościowych, uzyskano by nowe twierdzenia dotyczące istnienia
i jedyności punktów stałych, periodycznych, końcowych i punktów najlepszej
bliskości wraz z warunkami zbieżności do tychże punktów ciągów iteracyjnych
i procesów dynamicznych, było głównym celem podjętych badań. Inspiracją
były idee zapoczątkowane przez S. Banacha, R. Caccioppoli’ego i K. Fana
(w przestrzeniach metrycznych), I. Vályi’a (w przestrzeniach jednostajnych)
oraz D. Tataru, O. Kada, T. Suzuki’ego, W. Takahashi’ego, L.-J. Lina oraz
W.-S. Du (w przestrzeniach metrycznych). W rezultacie, wprowadzone uogólnione pseudoodległości przyniosły trzy wymierne korzyści:
1) trafny dobór (niekoniecznie symetrycznych, niekoniecznie ciągłych i
niekoniecznie znikających na przekątnej) odwzorowań realizujących odległości w warunkach kontrakcyjnych, pozwala pominąć ciągłość badanych jedno- i wielowartościowych układów dynamicznych;
2) wprowadzone użyteczne metody badawcze pozwoliły uogólnić pojęcia
zupełności bądź ciągowej zupełności rozważanych przestrzeni;
3) zestawienie pojęć i twierdzeń podanych powyżej, wskazuje, że pomimo
osłabienia bądź odrzucenia pewnych założeń, tezy twierdzeń pozostają
niezmienione i dotyczą istnienia, jedyności, zbieżności i aproksymacji.
80
4
4.1
Omówienie pozostałych osiągnięć badawczych
Lista publikacji niewchodzących w skład osiągnięcia naukowego
[D1] K. Włodarczyk, D. Klim, R. Plebaniak, Existence and uniqueness of
endpoints of closed set-valued asymptotic contractions in metric spaces,
Journal of Mathematical Analysis and Applications 328 (2007), no. 1,
46-57.
[D2] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, C. Obczyński, Endpoints of set-valued
dynamical systems of asymptotic contractions of Meir-Keeler type and
strict contractions in uniform spaces, Nonlinear Analysis 67 (2007), no.
6, 1668-1679.
[D3] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, C. Obczyński, The uniqueness of endpoints for set-valued dynamical systems of contractions of Meir-Keeler
type in uniform spaces, Nonlinear Analysis 67 (2007), no. 12, 3373-3383.
[D4] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Generalized contractions of Meir-Keeler
type, endpoints, set-valued dynamical systems and generalized pseudometrics in uniform spaces, Nonlinear Analysis 68 (2008), no. 11, 34453453.
[D5] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Endpoint theory for set-valued nonlinear
asymptotic contractions with respect to generalized pseudodistances in
uniform spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications
339 (2008), no. 1, 344-358.
[D6] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Quasi-asymptotic contractions, set-valued
dynamic systems, uniqueness of endpoints and generalized pseudodistances in uniform spaces, Nonlinear Analysis 70 (2009), no. 2, 10591068.
[D7] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Corrigendum to: ”Quasi-asymptotic contractions, set-valued dynamic systems, uniqueness of endpoints and generalized pseudodistances in uniform spaces”, Nonlinear Analysis 70
(2009), no. 5, 2143-2144.
[D8] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, A. Banach, Best proximity points for
cyclic and noncyclic set-valued relatively quasi-asymptotic contractions
in uniform spaces, Nonlinear Analysis 70 (2009), no. 9, 3332-3341.
81
[D9] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, A. Banach, Erratum to: ”Best proximity points for cyclic and noncyclic set-valued relatively quasi-asymptotic
contractions in uniform spaces” [Nonlinear Analysis (2008),
doi: 10.1016/j.na.2008.04.037] [MR2503079], Nonlinear Analysis 71 (2009),
no. 7-8, 3585-3586.
[D10] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, M. Doliński, Cone uniform, cone locally
convex and cone metric spaces, endpoints, set-valued dynamic systems
and quasi-asymptotic contractions, Nonlinear Analysis 71 (2009), no.
10, 5022-5031.
[D11] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, C. Obczyński, Convergence theorems,
best approximation and best proximity for set-valued dynamic systems
of relatively quasi-asymptotic contractions in cone uniform spaces, Nonlinear Analysis 72 (2010), no. 2, 794-805.
[D12] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Periodic point, endpoint, and convergence theorems for dissipative set-valued dynamic systems with generalized pseudodistances in cone uniform and uniform spaces, Fixed Point
Theory Applications 2010, Art. ID 864536, 1-32.
[D13] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Kannan-type contractions and fixed points in uniform spaces, Fixed Point Theory Applications 2011, 2011:90,
1-24.
[D14] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Fixed points and endpoints of contractive set-valued maps in cone uniform spaces with generalized pseudodistances, Fixed Point Theory Applications 2012, 2012:176, 1-15.
[D15] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Asymmetric structures, discontinuous
contractions and iterative approximation of fixed and periodic points,
Fixed Point Theory Applications 2013, 2013:128, 1-15.
[D16] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, New completeness and periodic points of
discontinuous contractions of Banach-type in quasi-gauge spaces without Hausdorff property, Fixed Point Theory Applications 2013, 2013:289,
1-27.
[D17] K. Włodarczyk, R. Plebaniak, Dynamic processes, fixed points, endpoints, asymmetric structures, and investigations related to Caristi, Nadler, and Banach in uniform spaces, Abstract Applied Analysis 2015,
Art. ID 942814, 1-16.
82
[D18] M. Gabeleh, R. Plebaniak, Multivalued SK-contractions with respect
to b-generalized pseudodistances, Fixed Point Theory Applications 2015,
2015:50, 1-20.
83
4.2
Krótkie omówienie wyników publikacji niewchodzących w skład osiągnięcia naukowego
W pracy [D1] badane są asymptotyczne punkty stałe dla wielowartościowych
układów dynamicznych zdefiniowanych w przestrzeni metrycznej. Wprowadzona została koncepcja wielowartościowych asymptotycznych kontrakcji układów (M, T ), gdzie M jest przestrzenią metryczną. W pracy podane są warunki gwarantujące zarówno istnienie jedynego punktu końcowego układu
(M, T ), jak i zbieżności do tegoż punktu wszystkich uogólnionych ciągów
iteracji odwzorowania T : M → 2M . W pracy zawarte również zostały przykłady ilustrujące główne idee i rezultaty, a także uwagi pokazujące fundamentalne różnice pomiędzy nimi a dobrze znanymi w literaturze wynikami.
Praca [D2] poświęcona jest nowego typu kontrakcjom gwarantującym istnienie i jedyność punktów końcowych dla wielowartościowych układów dynamicznych. Dokładniej, w przestrzeni jednostajnej wprowadzone zostały wielowartościowe układy dynamiczne asymptotycznych kontrakcji typu MeirKeelera i ścisłych kontrakcj. Oprócz istnienia i jedyności punktów końcowych,
główne rezultaty obejmują również zbieżność dowolnych uogólnionych ciągów
iteracji do tychże punktów końcowych. Otrzymane rezultaty zawierają dobrze
znane wyniki (dotyczące asymptotycznych punktów stałych dla odwzorowań
jednowartościowych w przestrzeniach metrycznych) uzyskane przez A. Meira i E. Keelera, W. Kirka, T. Suzuki’ego. W pracy zawarte również zostały
przykłady ilustrujące główne idee i rezultaty, a także uwagi pokazujące fundamentalne różnice pomiędzy nimi a dobrze znanymi w literaturze wynikami.
W pracy [D3], w przestrzeniach jednostajnych, wprowadzamy koncepcję
kontrakcji typu Meir-Kellera dla wielowartościowych układów dynamicznych.
Podajemy także warunki, gwarantujące istnienie i jedyność punktów końcowych dla tych wielowartościowych kontrakcji. Oczywiście warunki te zapewniają jednocześnie zbieżność do punktów końcowych uogólnionych ciągów
iteracji tych kontrakcji. Prezentowane w pracy rezultaty są nowe dla jedno- i
wielowartościowych układów dynamicznych w przestrzeniach jednostajnych,
lokalnie wypukłych i metrycznych.
W pracy [D4], w zupełnej przestrzeni jednostajnej Hausdorffa, wprowadzamy koncepcję W-rodziny uogólnionych pseudoodległości oraz Φ-rodziny
uogólnionych gauge odwzorowań. Za ich pomocą definiujemy wielowartościowe układy dynamiczne (W; Φ)-kontrakcji typu Meir–Keelera. Podajemy także założenia gwarantujące istnienie i jedyność punktów końcowych układów
84
(X, T ), gdzie X jest przestrzenią jednostajną Hausdorffa, zaś (X, T ) jest wielowartościowym układem dynamicznym. Główne rezultaty obejmują również
zbieżność dowolnych uogólnionych ciągów iteracji do tychże punktów końcowych. W pracy zawarte również zostały liczne przykłady.
W pracy [D5], zainspirowani ideami Banacha, Tarafdara i Yuana, wprowadzamy, w przestrzeniach jednostajnych, koncepcję V-rodzin V = {Vα : α ∈
A} uogólnionych pseudoodległości Vα : 2X → [0, ∞), α ∈ A. Definiujemy
także różnego rodzaju nieliniowe asymptotyczne kontrakcje wielowartościowych układów dynamicznych względem V-rodzin. Podajemy także warunki
gwarantujące istnienie i jedyność punktów końcowych (stacjonarnych) dla
wielowartościowych układów dynamicznych, a także zbieżność każdego ciągu
iteracji (w szczególności każdego dynamicznego procesu) do tych punktów
końcowych. W pracy zawarte zostały liczne przykłady ilustrujące główne rezultaty oraz pokazujące różnice pomiędzy naszymi wynikami a znanymi w
literaturze.
W pracach [D6] i [D7], dla wielowartościowych układów dynamicznych w
przestrzeniach jednostajnych wprowadzamy koncepcję quasi-asymptotycznych
kontrakcji względem pewnych uogólnionych pseudoodległości. Opisujemy także metodę która pozwala ustalić ogólne warunki gwarantujące istnienie i jedyność punktów końcowych (stacjonarnych) tych kontrakcji a także zbieżność każdego ciągu iteracji (w szczególności każdego dynamicznego procesu)
startującego w dowolnym punkcie do tychże punktów końcowych. Praca [D6]
zawiera liczne przykłady ilustrujące główne rezultaty oraz pokazujące różnice
pomiędzy naszymi wynikami a znanymi w literaturze.
W pracach [D8] i [D9] badamy istnienie punktów najlepszej bliskości
dla cyklicznych (tj. T : A → 2B i T : B → 2A ) oraz niecyklicznych (tj.
T : A → 2A i T : B → 2B ) odwzorowań wielowartościowych; tutaj A, B ∈ 2X .
Wprowadzamy koncepcję V-rodzin uogólnionych pseudoodległości na X, tj.
V = {Vα : 2X → [0, ∞], α ∈ A}, A-zbiór indeksów. Za ich pomocą definiujemy wielowartościowe układy dynamiczne relatywnie quasi-asymptotycznych
kontrakcji. Podajemy warunki istnienia punktów najlepszej bliskości, a także
założenia gwarantujące zbieżność uogólnionego ciągu iteracji tych kontrakcji,
startującego z dowolnego punktu przestrzeni X do tegoż punktu najlepszej
bliskości. Praca [D8] zawierają także przykłady ilustrujące główne rezultaty
oraz porównania z wynikami prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D10] zdefiniowane zostały nowego typu przestrzenie. Wprowadzamy koncepcję stożkowych pseudometryk oraz stożkowych przestrzeni
jednostajnych generowaną przez rodzinę stożkowych pseudometryk. W tych
85
nowych przestrzeniach, definiujemy i badamy nowego typu wielowartościowe
quasi-asymptotyczne kontrakcje, podając jednocześnie warunki gwarantujące istnienie i jedyność punktów końcowych tych kontrakcji, a także zbieżność do nich, uogólnionego ciągu iteracji startującego z dowolnego punktu
przestrzeni. Praca zawiera także przykłady ilustrujące główne rezultaty oraz
porównania z wynikami prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D11] kontynuowane są badania dotyczące stożkowych przestrzeni jednostajnych. Wykorzystując D-rodziny stożkowych pseudometryk definiujemy odległość między dwoma, niekoniecznie wypukłymi czy zwartymi
zbiorami A i B w przestrzeni X. Wprowadzamy także koncepcję cyklicznych
i niecyklicznych wielowartościowych układów dynamicznych dla D-relatywnie
quasi-asymptotycznych kontrakcji. Za ich pomocą udowadniamy twierdzenie
o punkcie najlepszej aproksymacji i punkcie najlepszej bliskości dla tego typu kontrakcji. Podajemy także warunki gwarantujące fakt, że dla dowolnego
punktu startującego każdy uogólniony ciąg iteracji tych kontrakcji (w szczególności każdy dynamiczny proces) jest zbieżny i jego granicą jest punkt najlepszej bliskości. Praca zawiera także przykłady ilustrujące główne rezultaty
oraz porównania z wynikami prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D12], w przestrzeniach stożkowych jednostajnych i w przestrzeniach jednostajnych, wykorzystując rodzinę uogólnionych pseudoodległości
oraz rodzinę, niekoniecznie półciągłych z dołu entropii, wprowadzamy trzy
rodzaje rozpraszających wielowartościowych układów dynamicznych. Badana jest również zbieżność procesów dynamicznych i uogólnionych ciągów iteracji rozpraszających układów dynamicznych do punktów periodycznych i
końcowych. Praca zawiera także przykłady ilustrujące główne rezultaty oraz
Praca [D13] zawiera wyniki badań dotyczących punktów stałych w przestrzeniach jednostajnych. Wykorzystując J -rodziny uogólnionych pseudoodległości, konstruujemy cztery rodzaje kontrakcji typu R. Kannana. Bazując
na technikach i metodach badania uogólnionych pseudoodległości, wykazujemy twierdzenia o istnieniu punktów stałych. Twierdzenia są uogólnieniem
dobrze znanych wyników R. Kannana. Rezultaty są nowe w przestrzeniach:
jednostajnych; lokalnie wypukłych; a nawet w metrycznych. Praca zawiera
także przykłady ilustrujące główne rezultaty oraz porównania z wynikami
prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D14], w stożkowych przestrzeniach jednostajnych, kontynuujemy badania dotyczące uogólnionych pseudoodległości. Wprowadzamy koncepcję nowych wielowartościowych odwzorowań kontraktywnych. Głównym
86
rezultatem pracy jest twierdzenie o istnieniu punktu stałego i końcowego
będące uogólnieniem rezultatu S.B. Nadlera. W pracy pokazujemy także,
sposób w jaki, w stożkowych przestrzeniach jednostajnych, nasze wcześniejsze twierdzenie o punktach stałym i końcowym, może być wykorzystane do
dowodu twierdzenie o istnieniu punktu stałego i końcowego dla nowego typu kontraktywnych odwzorowań. Praca zawiera także przykłady ilustrujące
główne rezultaty oraz porównania z wynikami prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D15], w przestrzeniach quasi-pseudometrycznych (X, p) (niekoniecznie Hausdorffa), wprowadzamy lewo quasi-domknięte odwzorowania
(uogólniające odwzorowania ciągłe) oraz uogólnione quasi-pseudoodległości
J : X × X → [0, ∞). Za ich pomocą, definiujemy i opisujemy nowe asymetrycznie struktury na X determinowane przez J (uogólniające asymetryczne struktury na X determinowane przez quasi-pseudometryki p). Ponadto
wprowadzamy nowe kontrakcje T : X → X wyrażone za pomocą J (uogólniające kontrakcje S. Banacha i I.A. Rusa). W pracy badamy sytuację, w której
(X, p) jest lewo ciągowo zupełna (w sensie I.L. Reilly’a, P.V. Subrahmanyama
i M.K. Vamanamurthy’ego), oraz kontrakcje T : X → X spełniające dodatkowy warunek, że T [q] jest lewo quasi-domknięte dla pewnego q ∈ N. W pracy
poszukujemy globalnego minimum dla odwzorowania x → J(x, T [q] (x)) oraz
podajemy twierdzenie dotyczące optymalnego aproksymacyjnego rozwiązania równania T [q] (x) = x. Praca zawiera także przykłady ilustrujące główne
rezultaty oraz porównania z wynikami prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D16], w przestrzeniach quasi-gauge (X, P) (w sensie A. Dugundji i I.L. Reilly), wprowadzamy koncepcję lewych (prawych) J -rodzin uogólnionych quasi-pseudodległości. Następnie wykorzystujemy J -rodziny do zdefiniowania nowego typu lewej (prawej) J -ciągowej zupełności, która rozszerza
zwykłą P-ciągową zupełność. Ponadto, za pomocą J -rodzin konstruujemy
bardziej ogólne kontrakcje niż kontrakcje S.Banacha i I.A. Rusa. Dla tego
typu nowych kontrakcji (niekoniecznie ciągłych ), podajemy warunki gwarantujące istnienie punktów periodycznych (gdy (X, P) nie jest Hausdorffa),
punktów końcowych (gdy (X, P) jest Hausdorffa), a także iteracyjną aproksymację tych punktów. Praca zawiera także przykłady ilustrujące główne
rezultaty oraz porównania z wynikami prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D17], w przestrzeniach jednostajnych (X, D) z symetrycznymi strukturami determinowanymi przez D-rodziny pseudometryk definiujących jednostajność w tych przestrzeniach, konstruujemy symetryczne i asymetryczne struktury determinowane przez J -rodziny uogólnionych pseudoodległości. Używając tych struktur, definiujemy wielowartościowe kontrakcje
87
typu Nadlera i wykazujemy nowe i ogólniejsze twierdzenia dotyczące istnienia punktów stałych i końcowych. Co więcej, definiujemy dwa rodzaje jednowartościowych kontrakcji typu Banacha i podajemy nową ogólniejszą wersję
twierdzenia Banacha dotyczącą jedyności i iteracyjnej aproksymacji punktu stałego. Kontrakcje definiowane w pracy [D17] niekoniecznie muszą być
ciągłe. Praca zawiera także przykłady ilustrujące główne rezultaty oraz porównania z wynikami prezentowanymi w literaturze.
W pracy [D18] wprowadzamy nową klasę wielowartościowych odwzorowań zwanych SK-kontrakcjami. Warunki je definiujące wyrażamy za pomocą
b-uogólnionych pseudoodległosci. Wykorzystując te nowego typu kontrakcje
badamy istnienie punktu najlepszej bliskości. Praca zawiera również pewne
nowe twierdzenia dotyczące punktów stałych w przestrzeniach b-metrycznych.
W pracy zamieszczone zostały przykłady ilustrujące główne rezultaty oraz
88
4.3
Udział w projektach badawczych
W latach 2011-2016 realizowałem następujące projekty badawcze, w ramach
których przyznawane były mi środki na działalność polegającą na prowadzeniu badań naukowych lub prac rozwojowych oraz zadań z nimi związanych,
służących rozwojowi młodych naukowców oraz uczestników studiów doktoranckich:
2011 rok - projekt zatytułowany ”Punkty stałe dla kontrakcji typu Subrahmanyam‘a w przestrzeniach quasi-metrycznych”.
2012 rok - projekt zatytułowany ”Punkty stałe dla odwzorowań wielowartościowych w uogólnionych przestrzeniach jednostajnych”.
2013 rok - projekt zatytułowany ”Iteracyjna aproksymacja punktów stałych i periodycznych, nieciągłe kontrakcje ze względu na niesymetryczne pseudoodległości ”.
2014 rok - projekt zatytułowany ”Punkty najlepszej bliskości dla wielowartościowych kontrakcji typu Meir-Kellera ze względu na niesymetryczne
pseudoodległości ”.
2015 -2016 - projekt zatytułowany ”Zastosowanie uogólnionych pseudoodległości w warunku kontrakcyjnym dla odwzorowań jednowartościowych w
PM-przestrzeniach Menger‘a”. Projekt jest w toku realizacji.
W latach 2014-2016 współpracowałem z Irańskim matematykiem Moosa
Gabeleh’em. Wynikiem tej współpracy są dwa artykuły. Jeden z nich został opublikowany pozycja [D15] na liście publikacji niewchodzących w skład
osiągnięcia naukowego. Drugi jest obecnie recenzowany.
4.4
Nagrody, wyróżnienia i stypendia naukowe
1. Nagroda Rektora zespołowa stopnia I za cykl publikacji dotyczących
pewnych zagadnień metrycznej i topologicznej teorii punktu stałego 2009 r.
2. Wyróżnienie Dziekana za wybitne osiągnięcia naukowe - 2013 r.
3. Wyróżnienie Dziekana za wybitne osiągnięcia naukowe - 2014 r.
4. Nagroda Rektora zespołowa stopnia pierwszego za cykl publikacji dotyczących nieliniowej analizy funkcjonalnej, teorii punktu stałego i topologii ogólnej - 2014 r.
89
4.5
Aktywny udział w konferencjach naukowych
W trakcie swej pracy naukowej brałem aktywny udział w trzech konferencjach
naukowych. Dwie z nich były konferencjami o charakterze krajowym, jedna
o charakterze międzynarodowym. Podczas jednej z krajowych konferencji,
byłem współorganizatorem sesji tematycznej poświęconej teorii punktu stałego. Poniżej przedstawiam chronologiczną listę konferencji wraz z istotnymi
szczegółami:
1. 5 Forum Polskiego Towarzystwa Matematycznego - Rzeszów 1620.09.2013
Tytuł referatu: ”Pseudoodległości, J -uogólnione kontrakcje i punkty
stałe w przestrzeniach jednostajnych”
2. Joint Meeting of the German Mathematical Society and the
Polish Mathematical Society - Poznań 17-20.09.2014
Tytuł referatu: ”A b-generalized pseudodistances and best proximity points for set-valued contractions of Nadler type in b-metric spaces”.
3. 6 Forum Polskiego Towarzystwa Matematycznego - Warszawa
7-12.09.2015
Współorganizacja (wraz z dr Dariuszem Wardowskim) sesji tematycznej zatytułowanej: ”Metryczna teoria punktu stałego i jej zastosowania”.
Tytuł referatu: ”Wielowartościowe SK-kontrakcje ze względu na buogólnione pseudoodległości ”.
4. 7 Forum Polish Mathematical Society - Olsztyn 12-17.09.2016
Współorganizacja (wraz z dr Dariuszem Wardowskim) sesji tematycznej zatytułowanej: ”Metryczna teoria punktu stałego i jej zastosowania”. (otrzymaliśmy zgodę na przeprowadzenie sesji).
90
4.6
Wskaźniki służące do oceny dorobku naukowego
Według bazy Journal Citation Reports, Sumaryczny Impact Factor publikacji
naukowych: .42,575.....
Liczba cytowań publikacji według bazy Web of Science (stan na dzień
30.06.2016):
wszystkie cytowania: .284...,
cytowania bez autocytowań: .200..
Index Hirscha opublikowanych publikacji według bazy Web of Science:
.10...
Użyto dostępnych w bazie Web of Science wartości Impact Factor najbliższych daty opublikowania.
91
Literatura
[1] M.M. Deza, E. Deza, Encyclopedia of Distances, Secound Edition,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg (2013).
[2] W.A. Kirk, N. Shahzad, Fixed Point Theory in Distance Spaces,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg (2014).
[3] J.P. Aubin, J. Siegel, Fixed points and stationary points of dissipative
multivalued maps, Proc. Amer. Math. Soc. 78 (1980) 391-398.
[4] J.P. Aubin, J.I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and
Sons, Inc., New York (1984).
[5] J.P. Aubin, H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Boston
(1990).
[6] G.X.-Z. Yuan, KKM Theory and Applications in Nonlinear Analysis,
Marcel Dekker, New York, (1999).
[7] S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leurs applications aux équations intégrales, Fund. Math. 3 (1922) 133-181.
[8] R. Caccioppoli, U teorema generale sull’esistenza di elementi uniti in una
transformazione funzionale, Rend. Accad. dei Lincei 11 (1930) 794-799.
[9] I. Vályi, A general maximality principle and a fixed point theorem in
uniform space, Periodica Mathematica Hungarica, vol. 16, no. 2 (1985)
127-134.
[10] D. Tataru, Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations with unbounded nonlinear terms, J. Math. Anal. Appl., vol. 163, no. 2 (1992)
345-392.
[11] O. Kada, T. Suzuki, W. Takahashi, Nonconvex minimization theorems
and fixed point theorems in complete metric spaces, Mathematica Japonica, vol. 44, no. 2 (1996) 381-391.
[12] T. Suzuki, Generalized distance and existence theorems in complete metric spaces, J. Math. Anal. Appl., vol. 253, no. 2 (2001) 440-458.
[13] L.-J. Lin, W.-S. Du, Ekeland’s variational principle, minimax theorems
and existence of nonconvex equilibria in complete metric spaces, J.
Math. Anal. Appl., vol. 323, no. 1, (2006) 360-370.
92
[14] P.V. Subrahmanyam, Remarks on some fixed point theorems related to
Banach’s contraction principle, J. Math. Phys. Sci. 8 (1974) 445-458;
Erratum, 9 (1975) 195.
[15] T.A. Burton, Integral equations, implicit functions, and fixed points,
Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996) 2383-2390.
[16] E. Rakotch, A note on contractive mappings, Proc. Amer. Math. Soc.
13 (1962) 459-465.
[17] M.A. Geraghty, An improved criterion for fixed points of contractions
mappings, J. Math. Anal. Appl. 48 (1974) 811-817.
[18] M.A. Geraghty, On contractive mappings, Proc. Amer. Math. Soc. 40
(1973) 604-608.
[19] J. Matkowski, Integrable solution of functional equations, Dissertationes
Math. 127 (1975).
[20] J. Matkowski, Fixed point theorems for mappings with a contractive
iterate at a point, Proc. Amer. Math. Soc. 62 (1977) 344-348.
[21] J. Matkowski, Nonlinear contractions in metrically convex space, Publ.
Math. Debrecen 45 (1994) 103-114.
[22] W. Walter, Remarks on a paper by F. Browder about contraction, Nonlinear Anal. 5 (1981) 21-25.
[23] J. Dugundji, Positive definite functions and coincidences, Fund. Math.
90 (1976) 131-142.
[24] M.R. Tasković, A generalization of Banach’s contractons principle, Publ.
Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 23 (37) (1978) 171-191.
[25] J. Dugundji, A. Granas, Weakly contractive maps and elementary domain invariance theorems, Bull. Greek Math. Soc. 19 (1978) 141-151.
[26] F.E. Browder, On the convergence of successive approximations for nonlinear equations, Indag. Math. 30 (1968) 27-35.
[27] M.A. Krasnosel’skiı̆, G.M. Vaı̆nikko, P.P. Zabreı̆ ko, Ya.B. Rutitski ı̆i,
V.Ya Stetsenko, Approximate Solution of Operator Equations, WoltersNoordhoof Publishing, Groningen (1972).
[28] D.W. Boyd, J.S.W. Wong, On nonlinear contractions, Proc. Amer.
Math. Soc. 20 (1969) 458-464.
93
[29] A. Mukherjea, Contractions and completely continuous mappings, Nonlinear Anal. 1 (1977) 235-247.
[30] A. Meir, E. Keeler, A theorem on contraction mappings, J. Math. Anal.
Appl. 28 (1969) 326-329.
[31] S. Leader, Equivalent Cauchy sequences and contractive fixed points in
metric spaces, Studia Math. 66 (1983) 63-67.
[32] J. Jachymski, Equivalence of some contractivity properties over metrical
structures, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997) 2327-2335.
[33] J. Jachymski, On iterative equivalence of some classes of mappings, Ann.
Math. Sil. 13 (1999) 149-165.
[34] J. Jachymski, I. Jóźwik, Nonlinear contractive conditions: a comparison and related problems, in: Fixed Point Theory and its Applications,
Banach Center Publ. 77, Warsaw 2007, 123-146.
[35] E. Tarafdar, An approach to fixed-point theorems on uniform spaces,
Trans. Amer. Math. Soc. 191 (1974) 209-225.
[36] L. Ćirić, A new fixed-point theorem for contractive mapping, Publ. Inst.
Mat. (Beograd) (N.S.) 30 (44) (1981) 25-27.
[37] J. Jachymski, Equivalent conditions and the Meir-Keeler type theorems,
J. Math. Anal. Appl. 194 (1995) 293-303.
[38] J. Matkowski, Fixed point theorems for contractive mappings in metric
spaces, Časopis Pěst. Mat. 105 (1980) 341-344.
[39] T. Suzuki, Several fixed point theorems concerning τ -distance, Fixed
Point Theory Appl. 2004, (2004) 195-209.
[40] T. Suzuki, Meir-Keeler contractions of integral type are still Meir-Keeler
contractions, Inter. J. Math. Math. Sc. Article ID 39281 (2007) 1-6.
[41] T. Suzuki, Subrahmanyam’s fixed point theorem, Nonlinear Anal. 71
(2009) 1678-1683.
[42] T. Suzuki, A definitive result on asymptotic contractions, J. Math. Anal.
Appl. 335 (2007) 707-715.
[43] C. Berge, Topological Spaces, Oliver & Boyd, Edinburg, UK (1963).
94
[44] E. Klein, A.C. Thompson, Theory of Correspondences: Including Applications to Mathematical Economics, Canadian Mathematical Society
Series of Monographs and Advanced Texts, John Wiley & Sons, New
York, NY, USA (1984).
[45] J. Caristi, Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 215
(1976),241-251.
[46] I. Ekeland, On the variational principle, J. Math. Anal. Appl. 47 (1974)
324-353.
[47] N. Mizoguchi, A generalization of Brøndsted’s results and its applications, Proc. Amer. Math. Soc. 108 (1990) 707-714.
[48] Y. Feng, S. Liu, Fixed point theorems for multi-valued contractive mappings and multi-valued Caristi type mappings, J. Math. Anal. Appl. 317
(2006) 103-112.
[49] J. Jachymski, Caristi’s fixed point theorem and selections of set-valued
contractions, J. Math. Anal. Appl. 227 (1998) 55-67.
[50] K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter,
Berlin, New York, 1992.
[51] S.B. Nadler, Multi-valued contraction mappings, Pacific J. Math. 30
(1969) 475-488.
[52] V. Berinde, M. Păcurar, The role of the Pompeiu-Hausdorff metric in
fixed point theory, Creal. Math. Inform. 22 (2013) 143-150.
[53] W. A. J. Luxemburg, On the convergence of successive approximations
in the theory of ordinary differential equations. II, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 61 = Indag. Math. 20 (1958) 540-546.
[54] C.F.K. Jung, On a generalized complete metric spaces, Bull. Amer.
Math. Soc. 75 (1969) 113-116.
[55] H. Covitz, S.B. Nadler, Jr., Multi-valued contraction mappings in generalized metric spaces, Israel J. Math. 8 (1970) 5-11.
[56] S. Czerwik, Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 46 (2) (1998) 263-276.
95
[57] S. L. Singh, B. Prasad, Some coincidence theorems and stability of iterative procedures, Comp.Math. with Appl. 55 (2008) 2512-2520.
[58] K. Fan, Extensions of two fixed point theorems of F.E. Browder, Math.
Z. 112 (1969) 234-240.
[59] C. Di Bari, T. Suzuki, C. Vetro, Best proximity for cyclic Meir-Keeler
contractions, Nonlinear Anal. vol. 69, no. 11, (2008) 3790–3794.
[60] A.A. Eldred, W.A. Kirk, P. Veeramani, Proximal normal structure and
relatively nonexpansive mappings, Studia Math. 171 (2005) 283-293.
[61] A.A. Eldred, P. Veeramani, Existence and convergence of best proximity
points, J. Math. Anal. Appl. 323 (2006) 1001-1006.
[62] W.K. Kim, S. Kum, K.H. Lee, On general best proximity pairs and
equilibrium pairs in free abstract economies, Nonlinear Anal. 68 (2008)
2216-2227.
[63] W.K. Kim, K.H. Lee, Existence of best proximity pairs and equilibrium
pairs, J. Math. Anal. Appl. 316 (2006) 433-446.
[64] W.A. Kirk, S. Reich, P. Veeramani, Proximal retracts and best proximity
pair theorems, Numer. Funct. Anal. Optim. 24 (2003) 851-862.
[65] W.A. Kirk, P.S. Srinivasan, P. Veeramani, Fixed points for mappings
satisfying cyclical contractive conditions, Fixed Point Theory 4 (2003)
79-89.
[66] P.S. Srinivasan, P. Veeramani, On best proximity pair theorems and
fixed-point theorems, Abstr. Appl. Anal. 2003:1 (2003) 33-47.
[67] M.A. Al-Thagafi, N. Shahzad, Best proximity pairs and equilibrium pairs for Kakutani multimaps, Nonlinear Anal. 70(3) (2009) 1209-1216.
[68] S.S. Basha, P. Veeramani, Best proximity pair theorems for multifunctions with open fibres, J. Approx. Theory 103 (2000) 119-129.
[69] J.B. Prolla, Fixed point theorems for set valued mappings and existence
of best approximants, Numer. Funct. Anal. Optim. 5 (1982-83) 449-455.
[70] V.M. Sehgal, S.P. Singh, A generalization to multifunctions of Fan’s best
approximation theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 102 (1988) 534-537.
96
[71] A. Abkar, M. Gabeleh, The existence of best proximity points for multivalued non-self-mappings, Revista de la Real Academia de Ciencias
Exactas, Fisicas y Naturales. Serie A. Mathematicas, Volume 107, Issue
2 (2013) 319-325.
[72] W.A. Wilson, On quasi-metric spaces. Amer. J. Math.53 (1931) 675–684.
[73] G.E. Albert, A note on quasi-metric spaces. Bull. Amer. Math. Soc.47
(1941) 479–482.
[74] H. Ribeiro, Sur les espaces a métrique faible. Portugaliae Math.4 (1943)
21–40.
[75] M. Balanzat, Sobre la metrización de los espacios cuasi métricos. Gaz.
Mat. Lisboa 50 (1951) 91–94.
[76] P. Fletcher, W.F. Lindgren, Transitive quasi-uniformities. J. Math.
Anal. Appl.39 (1972) 397–405.
[77] C.W. Patty, Bitopological spaces. Duke Math. J.34 (1967) 387–391.
[78] R.W. Heath, A note on quasi-metric spaces. Notices Amer. Math. Soc.18
(1971) 786.
[79] J.C. Kelly, Bitopological spaces. Proc. London Math. Soc. 13 (1963)
71-89.
[80] I.L. Reilly, P.V. Subrahmanyam, M.K. Vamanamurthy, Cauchy sequences in quasi-pseudo-metric spaces. Monatsh. Math. 93 (1982) 127-140.
[81] J.B. Diaz, B. Margolis, A fixed point theorem of the alternative for
contractions on a generalized complete metric space, Bull. Amer. Math.
Soc. 74 (1968) 305-309.
[82] B. Margolis, On some fixed points theorems in generalized complete
metric spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968) 275-282.
[83] I.L. Reilly, Quasi-gauge spaces. J. London Math. Soc.(2) 6 (1973) 481487.
[84] I.L. Reilly, A generalized contraction principle, Bull. Austral. Math. Soc.
10 (1974) 349-363.
[85] I. Kramosil, J. Michalek, Fuzzy metric and statistical metric spaces,
Kibernetika 11 (1975) 336-344.
97

Autoreferat - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Transkrypt

Podobne dokumenty

25 wrzesień 2016 10:05 Duch z przestrzenią spotyka się w

Pobierz streszczenie

Interbiuro_Prezentacja_Web_POL_28_08_15

Studia niestacjonarne

do przestrzeni unitarnych Zadanie 1. Niech X będzie przestrzenią

dr hab. Marian Turzański, prof UKSW

pytania na egzamin magisterski