statyczne ciśnienie niszczące membranę z promieniowymi karbami

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3/4, 20 (1982)
STATYCZNE CIŚ NIENIE N ISZCZĄ CE MEMBRANĘ
Z PROMIEN IOWYMI KARBAMI
DANIEL B U G A J N Y ,
MARIAN O S W A L D ,
WACŁAW S Z Y Ć ,
Poznań
1. Wprowadzenie
Wyznaczanie obcią ż ńe niszczą cych dla cienkich membran utwierdzonych na brzegach
j obcią ż onych równomiernym jednostronnym ciś nieniem było przedmiotem licznych
badań teoretycznych i doś wiadczalnych. Rozwią zania teoretyczne budowane był y na bazie
duż ych odkształ ceń plastycznych membran z uwzglę dnieniem wzmocnienia materiał u,
zmiany gruboś ci membrany w procesie deformacji oraz róż nych zwią zkach fizycznych
teorii plastycznoś ci.
Jedną z podstawowych prac w tym zakresie przedstawił A. G LEYZAL [1]. Podał on
numeryczną metodę rozwią zania równań plastycznoś ci i równowagi opisują cych zachowanie się cienkiej okrą głej membrany w oparciu o eksperymentalnie okreś loną funkcję
uzależ niają ąc oktaedryczne naprę ż enia styczne od ką ta odkształ cenia postaciowego dla
konkretnego materiał u (stali) w próbie rozcią gania. Analizę A. Gleyzala rozwinę li N . A.
WEIL i N . N . NEWMARK [2] wprowadzają c nowe, udoskonalone prawo opisują ce zależ noś
ć mię dzy odkształ ceniami i przemieszczeniami dla duż ych ugię ć plastycznych.
Wymienione prace zmierzały do okreś lenia warunków kształ towania wytł oczek metodą
tł oczenia hydraulicznego. W pracy [3] uwzglę dniono dodatkowo anizotropowe wzmocnienie materiał u membrany w procesie deformacji. W. M . TRU SZIN A [4] wprowadził a do
rozważ ń
a niejednorodne wł asnoś ci materiał u wzdłuż promienia membrany. Z analizy
wyników powyż szych prac wynika wniosek, że powierzchnia membrany w procesie deformacji przyjmuje kształ t w przybliż eniu kulisty. Analizie plastycznej mał owyniosł ej
powłoki sferycznej poś wię cona jest praca M. DUSZEK [5], w której min. wykazano, że
obszar stanu błonowego w cienkiej powłoce przy duż ych ugię ciach obejmuje praktycznie
całą jej powierzchnię z wyją tkiem małego obszaru brzegowego. N a podstawie omówionych
wyż je prac moż na ustalić wartoś ci ciś nień niszczą cych gł adkie membrany.
W niniejszej pracy zaproponowano nieskomplikowany sposób okreś lania statycznego
ciś nienia niszczą cego dla membran posiadają cych ukł ad promieniowych karbów (rowków).
Membrany takie mają zastosowanie w zabezpieczeniach dekompresyjnych urzą dzeń i pomieszczeń zagroż onych wybuchem pyłów lub gazów. Wartoś ci statycznych ciś nień niszczą 14*
384
D . BU G AJN Y, M. OSWALD , W. SZYC
cych membrany stanowią podstawę do prawidł owego i funkcjonalnego zaprojektowania
ukł adów dekompresyjnych [6, 7].
Membrany z rowkami zapewniają właś ciwy mechanizm otwarcia- odsł onię cia otworu
dekompresyjnego, umoż liwiają y
c swobodny wypływ produktów spalania wybuchowego
nie dopuszczają c do nadmiernego wzrostu ciś nienia wewną trz chronionego obiektu.
Praca zuż yta na zniszczenie takiej membrany jest znacznie mniejsza od pracy niszczenia
analogicznych membran gł adkich, gdyż ugię cia membran z rowkami są ograniczone
dział aniem karbów.
2. Teoretyczne wyznaczenie wartoś ci statycznego ciś nienia niszczą cego
Przedmiotem rozważ ań jest cienka membrana wykonana z materiał u plastycznego
(np. stopy aluminium, mosią dz, mię kka stal). Membrana ma kształ t kołowy z ukł adem
promieniowych rowków o stał ej gł ę bokoś ci i profilu trójką tnym. W wyniku zastosowania
technologii wykonania rowków metodą wygniatania, membrana przyjmuje kształ t pokazany na rys. 1. Ś rodkow
a czę ść membrany (z wyją tkiem małego obszaru brzegowego)
Rys. 1
posiada kształ t zbliż ony do czaszy kulistej o niewielkiej wyniosł oś ci f0. W miarę wzrostu
ciś nienia wyniosł ość czaszy powię ksza się i w granicznym przypadku promień osią ga
wartość R. Przyję ty do rozważ ań schemat przedstawiono na rys. 2.
Zał oż ono, że membrana posiada wstę pną krzywiznę kulistą o promieniu R o, a jej brzegi
są utwierdzone bez moż liwośi cprzemieszczeń w kierunku promieniowym. Wynikają stą d
nastę pują ce zależ nośi cgeometryczne:
J?o = (2.1)
_
• 4/0
sin©
0O = aresin
STATYCZNE CIŚ NIENI
E NISZCZĄ E
C
385
Poł udnik czaszy o dł ugoś ci począ tkowej ©0R 0 pod wpł ywem ciś nienia niszczą ceg
o osią g
a
:
graniczną dł ugość 0R, stąd wydł uż enie wzglę dne okreś lone jest zależ noś cią
9R
(2.2)
e r =
— 1.
©0^0
Podstawiając tu R okreś lone z (2.1) otrzymujemy po przekształ ceniach zwią zek
(2.3) sin© = C- 0,
gdzie
(2.4) C= a
( 1 + £
) 0 R
.
Ponieważ graniczny kąt © nie osią g
a duż ych wartoś ci (nie przekracza nj6) moż na z wystarczają cą dokł adnoś cią przyjąć przybliż ony zwią zek
sin© ~ © (2.5)
—- .
Biorąc pod uwagę (2.3) otrzymuje się
(2.6) • Q= j / 6 ( l - O .
W czaszy kulistej obcią ż one
j ciś nieniem p wystę puj
ą naprę ż eni
a stanu bł onowego
* ' = * * = - 27T>
(2- 7) stąd po uwzglę dnieniu zwią zków (2.1), (2.4) i (2.6) otrzymamy
(2.8) p = ~
W powyż szy
m wzorze okreś lenia wymagają jeszcze <xę i sr dla stanu granicznego.
Wybierzmy do rozważ ań element membrany wskazany na rys. 1 zawierają cy fragment
karbu (rys. 3). N a dnie karbu wystą pi efekt spię trzenia naprę ż eń
, przy czym' zał oż ono,
że stan naprę ż eni
a jest pł aski a karb wpł ywa jedynie na wartość skł adowej obwodowej:
Rys. 3
386
D . BU G AJN Y, M. OSWALD, W. SZYC
(2.9)
h
* h0 '
gdzie ak jest efektywnym współ czynnikiem koncentracji naprę ż eii.
G raniczną wartość naprę ż eń obwodowych moż na uzyskać doś wiadczalnie w wyniku
próby rozcią gania pł askiej próbki z poprzecznym karbem o identycznej geometrii (rys. 4).
W próbie tej wyznacza się wartość a„, przy czym naprę ż enie na dnie karbu wynosi
h
(2.10) ffrt- ff.- r- O^.
Rys. 4
Przyjmują c, że graniczną wartość naprę ż enia w strefie dna karbu okreś a l naprę ż enie zredukowane wyznaczone wg hipotezy maksymalnej energii odkształ cenia postaciowego,
otrzymuje się zależ noś : ć
(2.H) ^ f ared = V<ńk + <T?k- 0vk<trk = <*nk •
I L i ) y U'fw ' XJ/ n I rU till'
Wprowadzają c do (2.11) zależ nośi c(2.9) i (2.10) otrzymujemy zwią zek pomię dzy naprę ż eniami granicznymi (niszczą cymi) w membranie i w rozcią ganej próbce:
(2.12) _
ff
Współ czynnik ock wyznaczyć moż na w oparciu o granicę wytrzymał oś ci R m wyznaczonej
w próbie rozcią gania próbki bez karbu:
(2.13) atk = ^ .
Zwią zek fizyczny mię dzy odkształ ceniami i naprę ż eniami przy jednoosiowym rozcią ganiu przyjmiemy wg [8] w postaci:
(2.14) B
(a):
gdzie a„ jest stał ą materiał ową , natomiast n — nieparzystą liczbą naturalną ; obie te wielkoś ci m oż na okreś lić doś wiadczalnie dla konkretnego materiał u.
W pł askim stanie naprę ż enia wystę pują cym w powł oce sferycznej (a, = a^) zależ noś
ć
(2.14) przyjmuje postać:
(2.15)
387
STATYCZNE CIŚ NIENI
E NISZXZACE
W powyż szych zwią zkach E jest moduł em sprę ż ystoś i c wyznaczanym w począ tkowym ,
prostoliniowym odcinku krzywej rozcią gania, v jest liczbą Poissona.
Wyznaczenie ciś nienia niszczą cego ze wzoru (2.8) poprzedzone musi być wyznaczeniem
stał ych materiał owych n, a„, E, v oraz a„ i R m w oparciu o statyczną próbę rozcią gania,
a nastę pnie okreś lenie,wartoś i c xk ze wzoru (2.13), a, p z (2.12) oraz e r z (2.15).
3. Badania wł asnoś ci materiał u
Przedmiotem badań był a blacha aluminiowa PAlr, walcowana na zim no, o gruboś ci
nominalnej 1 mm, w stanie rekrystalizowanym. W pierwszej kolejnoś ci przeprowadzon o
próby rozcią gania pię ciu typowych próbek pł askich wyznaczają c charakterystyki a — e
z pomiarów tensometrycznych oraz wartoś ci granicy wytrzymał oś ci- na rozcią ganie R,„.
W wyniku badań ustalono nastę pują ce ś rednie wartoś ci stał ych m ateriał owych:
R,„ = 115,5 M N / m 2 , 4
E = 6,933 • 10 M N / m 2 , v = 0.34.
Ś redni
a charakterystyka a — s przy rozcią ganiu przedstawiona został a n a rys. 5 linią
cią gł ą .
krzywa teoretyczn a
la„ =1.09- 10 2 ' ;E=
14.0
Ex10" :
Rys. 5
Charakterystykę a- e aproksymuje się wzorem (2.14) odpowiednio okreś lają c wartoś ci
stał ych a„ i n. Wyznaczono w ten sposób:
24
n = 9, a„ = 1, 09- 10 .
Przebieg funkcji (2.14) dla tych wartoś ci przedstawiony jest n a rys. 5 linią przerywaną .
Z kolei przeprowadzono próby rozcią gania dla próbek pł askich posiadają cych poprzeczny karb, którego profil okreś lają wartoś ci co = jr/ 6, g = 0,15 m m . Badan e był y
trzy rodzaje karbów o gł ę bokoś ciach hk = 0,4; 0,5; 0,6 mm. W wyniku tych bad ań wyznaczono wartoś ci naprę ż eń niszczą cych. Ś redni
e z pię ciu pomiarów wynoszą odpowiedn io:
a„= 90,1; 79,9 i 73,7 M N / m 2 .
4. Przykł ady obliczeń
D la przykł adowego obliczenia ciś nienia niszczą cego przyję to nastę pują ce dan e geometryczne m em bran :
388
D . BU G AJN V,, M. OSWALD , W. SZ YC
Tablica I
1.
Ilk [mm]
2.
o„ [M N / m 2 ]
3.
oek wzór (2.13)
4.
o? [M N / m ]
(2.12)
0,4
0,5
0,6
90,1
79,9
73,7
1,282
1,445
1,567
98,992
90,072
84,038
2
14,39- 10"
3
6,60- 10-
3
3,88- 10-
5.
*, (2.15)
6.
/ o [mm]
7,1
8,0
8,8
7.
i?o [mm]
1696
1505
1354
8.
@o (2.1)
0,0915
0,1032
0,1147
9.
p [M N / m 2 ]
0,3612
0,2421
0,1930
3
— membrana okrą gł a o promieniu a — 155 mm, gruboś ci h = 0,94 mm, z szesnastoma
karbami o gł ę bokoś ciach 0,4; 0,5 i 0,6 mm i wstę pnymi wyniosłoś ciami f0 odpowiednio
7,1; 8,0 i 8,8 mm,
— membrana kwadratowa o boku b ~ 230 mm, gruboś ci, iloś ci karbów i ich gł ę bokościach jak poprzednio, oraz o wstę pnych wyniosłoś ciach odpowiednio 6,7; 7,6 i 8,4 mm.
Wyniki obliczeń dla membrany okrą głej zestawiono w tablicy I.
Rozważ ania teoretyczne przedstawione w rozdziale 2 dotyczyły wyłą cznie membran
okrą gł ych. W odniesieniu do membran kwadratowych zastosowano tą samą metodykę
obliczeń wprowadzają c zamiast wymiaru a promień zastę pczy az wynikają cy z równoważ nośi cpól powierzchni membrany kwadratowej i okrą gł ej:
az = bii- ^ = 129,8 mm.
Wyniki obliczeń dla membran kwadratowych zestawiono w tablicy II.
Tablica II
Pozycje 1 - 5 jak w tablicy I.
6.
/o
7.
6,7
7,6
8,4
R o (2.1)
1261
1112
1007
8.
0 o (2.D
0,1031
0,1170
0,1292
9.
P [M N / m ]
0,4362
0,2975.
0,2412
[mm]
2
STATYCZNE CIŚ NIENI
E NISZCZĄ CE
389
5. Badania doś wiadczalne membran
Badania przeprowadzono dla serii membran wykonanych z blachy aluminiowej PAlr
o parametrach mechanicznych i geometrycznych podanych w rozdział ach 3 i 4 niniejszej
pracy. Badano po 5 sztuk membran dla każ dej gł ę bokoś ci karbu, w ogólnej iloś ci 30
sztuk. Schemat stanowiska badawczego pokazano na rys. 6. Badana membrana 1 zamocowana jest na obwodzie do koł nierza zbiornika 2 przy pomocy pierś cienia 3 i ś rub 4.
Rys. 6
D o wnę trza zbiornika przewodem doprowadzają cym 5 tł oczony jest olej, powodują c powolny wzrost ciś nienia we wnę trzu zbiornika mierzony manometrem 6. Prę dkość wzrostu
1
ciś nienia nie przekraczał a wartoś ci 0,03 M P as" . W wyniku badań rejestrowano maksymalne ciś nienie odpowiadają ce zniszczeniu membrany. Ogólny widok stanowiska badawczego z założ oną membraną i zdemontowanym pierś cieniem mocują cym pokazano na fotografii (rys. 7). Zniszczenie membrany nastę pował o każ dorazowo w ten sposób, że w ś rod-
Rys. 7
390
D. BUOAJN Y, M . OSWALD, W. SZYC
Rys. 8
kowej czę ś ci czaszy inicjowane były promieniowe szczeliny propagują ce się wzdł uż jednego
lub kilku karbów. Wyglą d zewnę trzny zniszczonych membran pokazano na fotografiach
(rys. 8).
Wyniki przeprowadzonych badań zestawiono w tablicy III.
6. Porównanie wyników
Rezultaty obliczeń ciś nień niszczą cych p przedstawione w tablicach I i II zestawiono
z wartoś ciami ciś nień pst wyznaczonymi doś wiadczalnie i podanymi w tablicy III. Po-
S \ p rt
"~* i S ' R S 2 g;g 00 u- i f l m o ^ . 1 . t l . " > 0 0 t - CO r- < o \ • * r n ^T - i N N n o\ o o o" M
*
rf <S1 (N
o" O" O
. 1 . 1
• no — o
C3 g o * N N O" O O 1
1
1
t u t - oo \ o m N «!
—i
pl
©* o* o"
p , •
R o
J> S C p a ta o ™ O\ ifl r ł n M N 1 1 1' n 1
r^ 32 ' ^ 2 O W~l 4 » Tf
^- [ ^ t^|
T • ' ! • ]'
O\ l ^ T- H
f^ N r t o o" o" Pl N M
o" o o"
N oo oo co o o
d o o o
o
o
a1
^ S . S >coet e Ci ^ ,—, H L o o l Q — o" o\ c 4 < s «a m o \ n N H « »i rf
M oo m
- *" r>f c- l
n o m o «^ vi
f>" r f (S* o o u - i • * (S c- f
—
o u ^m
* N H f ii' t sc f
1
1 1 "n _ 1
g ^s . § ! G K S
u o,
S 1 —' • • i — ' r s l l
p o u i o o > n
O ł - < y 3 C N O t * ^
rh o o o •—
• m" ts" « ^ S • * J, o o o
Tf" r f M"
* ui » • t t m 'o
o" o" o" o" o* o"
11
11 * *
li (^ \ l/ »
1
[391]
392
D . BU G AJN Y, M . OSWALD, W. SZYC
równanie wyników zilustrowano graficznie dla membran okrą gł ych (rys. 9) i dla membran
kwadratowych (rys. 10).
N a rysunkach tych zaznaczono gwiazdkami wyniki poszczególnych prób doś wiadczalnych
oraz naniesiono granice przedział ów ufnoś ci. Linie cią głe ilustrują zależ noś
ć ś redniego
ciś nienia niszczą cego pst okreś lonego doś wiadczalnie od gł ę bokoś ci karbu hk . D la porównania przedstawiono linią przerywaną krzywą obrazują cą tę samą zależ noś
ć dla
ciś nienia obliczeniowego p.
Zadawalają ca zgodność krzywych teoretycznych z doś wiadczalnymi ś wiadczy o poprawnoś ci przyję tego modelu teoretycznego bazują cego na nieliniowym zwią zku a—e
oraz n a hipotezie maksymalnej energii odkształ cenia postaciowego.
0,6
Rys. 9
0.5
h,([mml
0,6
Rys. 10
W trakcie prób zaobserwowano dość duży rozrzut wyników doś wiadczalnych, szczególnie dla membran okrą gł ych. Rozrzut ten spowodowany jest niejednorodnoś cią i anizotropowoś cią materiał u (blachy walcowanej), a także sposobem mocowania brzegów
membrany umoż liwiają cy
m nieznaczne wysuwanie się materiał u w kierunku doś rodkowym
w czasie próby.
Zgodność teorii przyję tej w zasadzie dla membran okrą gł ych z wynikami badań membran kwadratowych wskazuje na prawidł owość przyję cia promienia zastę pczego wynikają cego z równoważ nośi powierzchni.
c
Mają c na uwadze praktyczne zastosowanie membran w otworach dekompresyjnych,
należy przeprowadzić także dodatkowe badania dynamiczne, które ostatecznie okreś ą l
przydatność i zakres stosowania membran.
STATYCZNE CIŚ NIENI
E NISZCZĄ CE 393
Literatura cytowana w tekś cie
t . A. G LEYZAL, Plastic Deformation of a Circular Diaphragm Under Pressure, J. of Applied M echanics
1948, vol. 15, n o. 33.
2. N . A. WEIL and N . N . N EWMARK, L arge Plastic Deformations of Circular Membranes, J. of Applied
Mechanics, 1955, vol. 22, n o . 4.
3. T P AH J lt iy ^ H O H T , JKecmKO n/ iacmunecKuu auanu3 Me.uSpan c ynemoM ynpowwiuH, H 3B. AH C C C P ,
MexaH H Ka, 4, 1965.
4 . B . M . TpyiiiH H A, BoAbtuue decp~0Mauuu Kpyzjioii jneMÓpaitu us njiacmuuecKu Heodnopoditoso Mamepuasia,
TpyflM VI I I Bcecoio3Hofl KOHcbepemniH n o Teopmi oSojKMeK H nJiacTHH, PocTOB- Ha- floHy, 1971,
189—194, „ H ayi< a"3 1973.
5. M. DUSZEK, Plastic Analysis of Shallow Spherical Shells at Moderately L arge Deflections, Proceedings
Second IU TAM Symposium on the Theory of Thin Shells, Copenhagen, September 1967, SpringerVerlag Berlin—H eidelberg—N ew York 1969.
6. W. BARTKNECHT, Explosionen, Springer- Verlag, Berlin—H eildeberg—N ew York 1978.
7. VD I — RICHTLINIEN, Druckentlastung von Staubexplosionen, VD I 3673, Jun i 1979.
8. H . KAUDERER, Nichtlineare Mechanik, Springer- Verlag, Berlin—G ottingen—H eidelberg 1958.
P e 3 IO M e
C T AT I M E C K O E JJABJIEH H E P A3P yiI I AI O m H E M E M E P AH Y C P AflH AJI BH BI M H
I I A3AM H
B pa6oTe npeflCTaBJieno TeopeTKraecKyio mopfiiib Hcnom>30BaHyio H U H onpefleneH H H aaBneH H H p a 3pyrxiaiomero Kpyrjibie H KBanpaTHŁie MeivtSpaHbi c HaqaJiBHoft MaJioft BŁ.my*nrHoił H paflHajiBHHMH n a 3aMH. H cnoJib3yeTca SKcnepHMeHTanbHo onpefleneH H yio HejiHHeHHyio xapaKTepucTH Ky MaTepiiajia H T H 1
noT63y 3H eprn n H3MeHeHHfi tbopMbi. 34)$eKTHBHbift Koaijp^HUHSH ' KOHqeHipaiiHH HanpHH- ceHMH o n p eH3 HcnbiTaHHii Ha pacra>KeH H e. Pe3yjiBTaTbi BbmacjieH H ii cpaBHeHŁi c pa3pymaiomH M H flaonpefleneHHbiMH SKcnepHMeirraJibHO rHflpaBJiniecKOM
Summary
STATIC BU RSTIN G PRESSU RE F OR TH E MEMBRAN E WITH RAD IAL G ROOVES
The theoretical model for evaluating bursting pressure for circular and quadratic squared membranes
with small initial deflection and radial grooves is presented. The use is made of experimentally obtained
nonlinear material characteristic and distortion energy theory. The effective stress concentration factor
is developed on the basis of tension material tests. The results are compared with bursting pressures obtained
experimentally by hydraulic method.
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 13 paź dziernika 1981 roku
15 Mech. Teorct. i Stos. 3—4/ 82