Klucz odpowiedzi

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2007/2008
Klucz odpowiedzi:
KONKURS PRZEDMIOTOWY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH
Przedmiot: MATEMATYKA
ETAP SZKOLNY
Zadania zamknięte
1
1
D
2
1
B
3
1
A
4
1
A
5
1
B
6
1
A
7
1
C
8
1
C
9
1
D
10
1
C
11
1
C
12
1
A
13
1
C
14
1
C
Zadania otwarte
UWAGA
1. Jeżeli uczeń popełnił błąd rachunkowy w obrębie danego kryterium, to otrzymuje za
to kryterium 0 punktów.
2. Jeżeli uczeń pomimo tego błędu, tok rozumowania ma poprawny, to otrzymuje dalsze
punkty zgodnie z kryteriami.
3. Jeżeli uczeń w wyniku obliczeń, końcowy wynik ma nielogiczny lub niezgodny
z warunkami zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
4. W obliczeniach jednostka może być pominięta.
Liczba
pkt.
Zad Odpowiedzi
15.
Przedstawienie liczby 33333 3 w postaci (3 ⋅ 11111)
lub przedstawienie liczby 27 ⋅ 111113 w postaci 3 3 ⋅ 111113
Przedstawienie różnicy w postaci 33333 3 - 33333 3
3
3
lub 3 3 ⋅ 111113 - 3 3 ⋅ 111113 lub (3 ⋅ 11111) - (3 ⋅ 11111)
Poprawny wynik
=0
3
1
1
1
RAZEM
16.
Obliczenie wartości licznika podanego wyrażenia
1
⎛ 1⎞
2 ⋅ (− 8) + 12 : ⎜ − 1 ⎟
2
⎝ 5⎠
− 2,4 :
1 2
42 − 8 ⋅ 2
3 5
Obliczenie wartości mianownika podanego wyrażenia
Za poprawny wynik
8
= −
25
3
1
1
1
Strona 1 z 4
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2007/2008
Obliczenie
4
8
⋅x = −
5
25
2
x= −
5
1
Zapisanie wyrażenia
(− 2)2 − 2
5
1
Poprawny wynik
3
3 lub 3,6.
5
1
RAZEM
17.
Rozpisanie
np.: 3 ⋅ 2 5 − 5 ⋅ 3 5
Poprawny wynik
−9 5
1
1
RAZEM
18.
19.
20.
6
Oznaczenie niewiadomej:
x – szukana liczba
Ułożenie równania:
x+5 3
=
x + 12 4
Rozwiązanie równania:
x = 16
RAZEM
Oznaczenie niewiadomej:
x – wiek Szymona w chwili obecnej
Ułożenie równania:
x + 3 = 3( x − 3)
Rozwiązanie równania:
x=6
Obliczenie: za cztery lata Szymon będzie miał pięć razy więcej lat, niż
miał cztery lata temu.
RAZEM
Zauważenie, że suma kątów wewnętrznych w trzech trójkątach wynosi
3 ⋅ 180 o
2
1
1
1
3
1
1
1
1
4
1
Strona 2 z 4
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2007/2008
21.
22.
Wykorzystanie faktu, że kąty wierzchołkowe mają równe miary:
Np. Oznaczenie odpowiednio kątów przy wierzchołku W w każdym
z trójkątów przez α , β i γ .
2α + 2 β + 2γ = 360 o
czyli
(1) α + β + γ = 180 o .
Jeśli s oznacza sumę szukanych (zaznaczonych) kątów, to sumy miar
wszystkich kątów wynoszą:
(2) s + α + β + γ = 3 ⋅ 180 o .
Obliczenie sumy szukanych (zaznaczonych) kątów z zależności (1) i (2)
s = 360 o .
RAZEM
1
1
Zauważenie, że
pola małego kwadratu równa się pola dużego
4
7
kwadratu.
1
1
Np. Pm = Pd
4
7
7
Zauważenie, że pole dużego kwadratu stanowi pola małego kwadratu.
4
4
lub Pm = Pd
7
Zapisanie stosunku pól
3
Pm
4
6
Pd
7
Obliczenie
3
Pm
1
4
=
6
2
Pd
7
RAZEM
Cztery zakrzywione odcinki to ćwierć okręgi, razem tworzą one pełny
okrąg o średnicy 1 m. Łączna długość zakrzywionych części wynosi
π m.
Każdy z czterech odcinków prostych jest równy podwojonemu
promieniowi, czyli ma długość
1 m ( 4 x 1 m = 4 m)
1
1
1
4
1
1
1
1
4
1
1
Strona 3 z 4
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2007/2008
23.
24.
Długość taśmy wynosi (π + 4)m .
Uwaga:
Wartości przybliżone uznajemy za poprawne tylko w przypadku, gdy
przybliżenie wykonano poprawnie i zapisano ze znakiem „ ≈ ”.
RAZEM
Łącząc środki czterech rur, tworzymy kwadrat o boku 1 m, czyli polu
1 m2.
Aby obliczyć pole zamalowanego obszaru, musimy odjąć cztery ćwiartki
1
koła; zestawione razem tworzą one pełne koło o promieniu m , a zatem
2
2
π 2
⎛1⎞
łączne pole jest równe π ⋅ ⎜ ⎟ =
m.
4
⎝2⎠
Pole zamalowanego obszaru równa się
⎛ π⎞ 2
⎜1 − ⎟ m .
4⎠
⎝
Uwaga:
Wartości przybliżone uznajemy za poprawne tylko w przypadku, gdy
przybliżenie wykonano poprawnie i zapisano ze znakiem „ ≈ ”.
RAZEM
Poprawny rysunek wraz z oznaczeniami:
DW = CW .
1
3
1
1
1
3
1
x
Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkątów AWD i WBC otrzymujemy:
2
30 2 + x 2 = (50 − x ) + 40 2
1
Rozwiązanie równania:
x = 32
1
Obliczenie odległości od źródełka:
Źródełko znajduje się w odległości 32 metrów od wieży AD i 18 metrów
od wieży BC.
RAZEM
1
4
Jeżeli uczeń poprawnie rozwiązał zadanie inną niż podana w schemacie rozwiązania metodą
otrzymuje maksymalną liczbę punktów za to zadanie.
Strona 4 z 4