zestaw 6

Logika i Teoria Mnogości 2016/17
ZESTAW 6
Zadanie 6.1
R ⊂ X × X jest relacja.
˛ Jako R0 określamy relacje˛ (X × X) \ R. Prosz˛e sprawdzić czy zachodzi: ­
(R0 )−1 = (R−1 )0 ,
(R2 )0 = (R0 )2 ,
(R ◦ S)0 = (R0 ◦ S 0 ).
Zadanie 6.2
R ⊂ X × X jest relacja.
˛ Prosz˛e podać konieczne i wystarczajace
˛ warunki by zachodziło R0 = R−1 . ¬
Zadanie 6.3
Niech f : X → Y oraz niech A ⊂ X i B ⊂ Y . Przez f (A) oznaczamy obraz zbioru A, a przez f −1 (B)
przeciwobraz zbioru B .
Prosz˛e udowodnić wzory:
1. jeśli A1 ⊂ A2 , to f (A1 ) ⊂ f (A2 ); ¬
2. jeśli B1 ⊂ B2 , to f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 ); ¬
3. f (A1 ) \ f (A2 ) ⊂ f (A1 \ A2 ) oraz f −1 (B1 ) \ f −1 (B2 ) = f −1 (B1 \ B2 ); ¬
4. f f −1 (B) ⊂ B oraz A ⊂ f −1 f (A); ¬
5. f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B ; ¬
6. f : X → Y, g : Y → Z i h = g ◦ f to h−1 (C) = f −1 (g −1 (C)) dla każdego C ⊂ Z ; ¬
Zadanie 6.4
Prosz˛e pokazać, że w powyższych wzorach znak inkluzji nie może być zastapiony
˛
znakiem równości. ( ¬
za każdy przykład)
Zadanie 6.5
Które znaki inkluzji w 6.3 moga˛ być zastapione
˛
znakiem równości, gdy funkcja f jest różnowartościowa
(bijekcja) ? ¬
Zadanie 6.4
Prosz˛e pokazać, że odwzorowanie B : N × N → N jest bijekcja:
˛ ¬
B(n, m) =
n+m+1
2
+ n,