16 lutego 2007 Zadania z badaen operacyjnych dla III roku

16 lutego 2007
Prof. Andrzej Cegielski, WMIiE UZ
Zadania z badań operacyjnych dla III roku informatyki i ekonometrii (lista 1)
1. (Zagadnienie diety) Dziecko potrzebuje tygodniowo co najmniej 120 jednostek witaminy A, 60 jednostek witaminy D, 36 jednostek witaminy C oraz 180 jednostek witaminy E. Witaminy te sa¾ zawarte w dwóch produktach
P1 i P2 .Poniewaz· nadmiar witaminy A moz·e dziecku zaszkodzić, nalez·y dostarczyć jej w ilości co najwyz·ej 240
jednostek. Zawartości witamin w jednostce produktu oraz ceny produktów podane sa¾ w poniz·szej tabeli.
witaminy
A
D
C
E
cena
zaw. wit. w j. p.
P1
P2
6
3
1
3
9
1
6
6
12
18
Nalez·y zakupić produkty P1 i P2 w ilościach zapewniajacych
¾
tygodniowe zapotrzebowanie na witaminy, dla
których koszt zakupu jest najmniejszy. Przedstawić powyz·szy problem jako zadanie programowania liniowego.
Przedstawić geometrycznie zbiór rozwiazań
¾
dopuszczalnych oraz poziomice funkcji celu oraz wyznaczyć geometrycznie rozwiazanie
¾
optymalne.
2. Z bel papieru (pó÷
fabrykaty) o szerokości 210 cm nalez·y wyprodukować co najmniej 30 rolek o szerokości 62 cm,
60 rolek o szerokości 55 cm, 60 rolek o szerokości 40 cm. Zadaniem producenta jest zminimalizować liczbe¾ uz·ytych
bel tak, aby by÷y zachowane podane liczby poszczególnych produkowanych rolek. Sformu÷ować powyz·szy problem
jako zadanie programowania liniowego ca÷
kowitoliczbowego. Wskazówka: Wyznaczyć wszystkie rodzaje pocie¾
cia beli na rolki o podanej szerokości, dla których powsta÷a reszta jest odpadem (tzw. rozkrojów efektywnych).
Co moz·na przyjać
¾ jako zmienne decyzyjne? Jak określić funkcje¾ celu i ograniczenia?
3. Tartak otrzyma÷zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Kaz·dy komplet sk÷ada sie¾ z 7 belek
o d÷ugości 0,7 m oraz 4 belek o d÷
ugości 2,5 m. Nalez·y zrealizować zamówienie tak, aby odpad powsta÷y w wyniku
ciecia
¾
d÷uz·yc o d÷
ugości 5,2 m by÷minimalny. Sformu÷ować powyz·szy problem jako zadanie programowania
liniowego ca÷kowitoliczbowego.
4. W zak÷adzie z wielozmianowa¾organizacja¾pracy istnieje nastepuj
¾ ace
¾ minimalne zapotrzebowanie na pracowników:
w godzinach 000 400 3 osoby, w godzinach 400 800 8 osób, w godzinach 800 1200 10 osób, w godzinach
1200 1600 8 osób, w godzinach 1600 2000 14 osób, w godzinach 2000 2400 5 osób. Praca dla pojedynczego
pracownika rozpoczyna sie¾ o 000 ; 400 ; 800 ; 1200 ; 1600 ; 2000 i trwa 8 godzin. Sformu÷ować zadanie programowania
liniowego ca÷kowitoliczbowego polegajace
¾ na minimalizacji ogólnej liczby pracowników w zak÷
adzie przy zadanych
ograniczeniach. Wskazówka: Zastanowić sie,
¾ co przyjać
¾ jako zmienne decyzyjne w tym problemie? Jak określić
funkcje¾ celu i ograniczenia?
5. Towarzystwo lotnicze posiada n typów samolotów, które obs÷uguja¾ m tras. Znane sa¾ nastepuj
¾ ace
¾ wielkości :
pj –cena przelotu jednej osoby na j-tej trasie,
kij –koszty przelotu samolotu typu i na j-tej trasie,
ai –liczba posiadanych samolotów typu i,
cij –dopuszczalna liczba pasaz·erów w samolocie typu i na j-tej trasie,
qj –spodziewana liczba pasaz·erów na j-tej trasie.
Sformu÷ować zadanie programowania liniowego ca÷kowitoliczbowego polegajacego
¾
na u÷
oz·eniu planu przelotów,
przy którym przy zadanych ograniczeniach zysk towarzystwa lotniczego jest maksymalny. Wskazówka: Jako
zmienne decyzyjne przyjać
¾ liczby samolotów poszczególnych typów przeznaczonych do obs÷ugi poszczególnych
tras. Aby to zadanie sformu÷
ować jako ZPL nalez·y wprowadzić jednak pewne pomocnicze zmienne wyraz·ajace
¾
liczby faktycznie przewoz·onych pasaz·erów na poszczególnych trasach.
6. (Optymalny koszyk towarów ) Konsument dysponuje gotówka¾ w wysokości 100 z÷i moz·e za nia¾ nabyć dwa towary
P1 (chleb) i P2 (mleko), na które obowiazuj
¾ a¾ ceny, odpowiednio, 1; 50 z÷/kg i 2 z÷/l . Konsumentowi przypisana
jest funkcja uz·yteczności u : R2+ ! R, przy czym u(x; y) = xy oznacza stopień jego zadowolenia wynikajacy
¾
z nabycia x kg chleba i y l mleka. Celem konsumenta jest zakup (w ramach jego moz·liwości …nansowych)
takich ilości chleba i mleka, dla których uz·yteczność jest najwieksza.
¾
Przedstawić opisane zadanie jako problem
programowania matematycznego i rozwiazać
¾ go gra…cznie. Jak zmieni sie¾ rozwiazanie,
¾
gdy funkcja uz·yteczności
przybierze postać u(x; y) = minfx; yg.
7. (Optymalny portfel akcji) Inwestor ma zamiar utworzyć portfel z÷oz·ony z dwóch akcji A1 i A2 , majacych
¾
odpowiednio średnie stopy zwrotu R1 = 0; 1 i R2 = 0; 2 oraz ryzyko s1 = 0; 1 i s2 = 0; 3. Korelacja miedzy
¾
tymi
akcjami wynosi 12 = 0; 5. Funkcja uz·yteczności inwestora ma postać u(s; R) = s + 2R. Inwestor powinien
utworzyć portfel maksymalizujacy
¾ funkcje¾ uz·yteczności. Sformu÷ować powyz·szy problem w postaci zadania minimalizacji z ograniczeniami. Wykonać odpowiedni rysunek przedstawiajacy
¾ zbiór rozwiazań
¾
dopuszczalnych i
poziomice funkcji celu oraz wyznaczyć geometrycznie rozwiazanie
¾
optymalne.