Liczby zespolone

Liczby zespolone
Denicja 1 Liczb¡ zespolon¡ nazywamy par¦ uporz¡dkowan¡ z = (a, b), gdzie
a, b ∈ IR. Zbiór wszystkich liczb zespolonych b¦dziemy oznacza¢ symbolem C.
I
Przykªad 1 Zaznacz na ukªadzie wspóªrz¦dnych liczby zespolone z1 = (1, 2)
i z2 = (−1, 1).
6b
qz1
q z2
a
Denicja 2 Dwie liczby zespolone z1 = (a1 , b1 ), z2 = (a2 , b2 ) nazywamy równymi,
gdy a1 = a2 i b1 = b2 .
Przykªad 2 Zaªó»my, »e liczby zespolone z1 = (1, 3 + x) i z2 = (y − 2, 4) s¡
równe. Obliczy¢ x i y .
Skoro z1 = z2 , to (1, 3 + x) = (y − 2, 4), wi¦c
½
1=y−2
3+x=4
St¡d
½
y=3
x=1
Denicja 3 Sum¡ dwóch liczb zespolonych z1 = (a1 , b1 ) i z2 = (a2 , b2 ) nazywamy liczb¦ zespolon¡ z = z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ), co zapisujemy w postaci
z = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ).
1
Denicja 4 Iloczynem dwóch liczb zespolonych z1 = (a1 , b1 ) i z = (a2 , b2 ) nazy-
wamy liczb¦ zepolon¡ z = z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ), co zapisujemy w
postaci
z = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
Przykªad 3 Niech z1 = (1, 2) i niech z2 = (2, 3). Wtedy
z1 + z2 = (1, 2) + (2, 3) = (1 + 2, 2 + 3) = (3, 5)
oraz
z1 z2 = (1, 2) · (2, 3) = (1 · 2 − 2 · 3, 1 · 3 + 2 · 2) = (−3, 7).
Twierdzenie 1 Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:
∀z1 ,z2 ∈ CI z1 + z2 = z2 + z1 .
Twierdzenie 2 Dodawanie liczb zespolonych jest ª¡czne:
∀z1 ,z2 ,z3 ∈ CI (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).
Twierdzenie 3 Mno»enie liczb zespolonych jest przemienne:
∀z1 ,z2 ∈ CI z1 z2 = z2 z1 .
Twierdzenie 4 Mno»enie liczb zespolonych jest ª¡czne:
∀z1 ,z2 ,z3 ∈ CI z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 .
Przykªad 4 Niech z1 = (a1 , 0) i niech z2 = (a2 , 0). Wtedy
z1 + z2 = (a1 + a2 , 0) oraz z1 z2 = (a1 a2 , 0).
St¡d wynika, »e liczb¦ zespolon¡ z = (a, 0) mo»emy uto»sami¢ z liczb¡
rzeczywist¡ a, czyli
∀a∈IR z = (a, 0) = a.
Denicja 5 Elementem zerowym nazywamy liczb¦ z = (0, 0), a elementem jednostkowym nazywamy liczb¦ zespolon¡ (1, 0).
Przykªad 5 Niech z = (a, b). Wtedy
z + (0, 0) = (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
z · (1, 0) = (a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b).
2
Denicja 6 Liczb¦ zespolon¡ z = (0, 1) nazywamy jednostk¡ urojon¡ i oznaczamy symbolem i.
Przykªad 6 Pomno»ymy liczb¦ i przez siebie. Wówczas
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0) = (−1, 0) = −1.
Zatem i2 = −1.
Twierdzenie 5 Ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) mo»na przedstawi¢ w postaci
z = a + bi, gdzie a, b ∈ IR i i jest jednostk¡ urojon¡.
Dowód.
Niech z = (a, b). Wtedy
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0)(0, 1) = a + bi.
Zatem z mo»na przedstawi¢ w postaci a + bi, gdzie a, b ∈ IR oraz i jest jednostk¡
urojn¡.
Denicja 7 Posta¢ z = a+bi nazywamy postaci¡ algebraiczn¡ liczby zespolonej.
Liczb¦ a nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ liczby z i oznaczamy Rez . Liczb¦ b
nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ liczby z i oznaczamy Imz .
Przykªad 7 Niech z = 2 + 4i. Wtedy Rez = 2 i Imz = 4.
Twierdzenie 6 Niech z1 = a1 + b1 i i niech z2 = a2 + b2 i. Wtedy
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
oraz
Dowód.
z1 z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i.
Niech z1 = a1 + b1 i oraz niech z2 = a2 + b2 i. Wówczas
z1 + z2 = (a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 i)
oraz
z1 z2 = (a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + a2 b1 i + b1 b2 i2 .
Poniewa» i2 = 1, wi¦c
z1 z2 = a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 ).
Przykªad 8 Obliczy¢ sum¦ i iloczyn liczb z1 = 2 + 3i i z2 = −1 + 0, 5i.
3
Poniewa» z1 = 2 + 3i i z2 = −1 + 0, 5i, wi¦c
z1 + z2 = (2 + 3i) + (−1 + 0, 5i) = 2 − 1 + (3 + 0, 5)i = 1 + 3, 5i
oraz
z1 z2
= (2 + 3i) · (−1 + 0, 5i) = 2 · (−1) + 2 · 0, 5i + 3 · (−1)i + 3 · 0, 5 · i2
= −2 + i − 3i − 1, 5 = −3, 5 − 2i.
Twierdzenie 7 Ró»nic¦ liczb zespolonych z1 = a1 +b1 i i z2 = a2 +b2 i obliczamy
ze wzoru
Dowód.
z = z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i.
Istotnie, niech z1 = a1 + b1 i oraz z2 = a2 + b2 i. Wtedy
z1 − z2 = (a1 + b1 i) − (a2 + b2 i) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i.
Przykªad 9 Niech z1 = 2 + 4i i z2 = −2 + 5i. Wtedy
z1 − z2 = (2 − (−2)) + (4 − 5)i = 4 − i.
Twierdzenie 8 Iloraz liczb zespolonych z1 = a1 + b1 i i z2 = a2 + b2 i, gdzie
z2 6= 0, obliczamy ze wzoru
z=
Dowód.
z1
a2 b1 − a1 b2
a1 a2 + b1 b2
+
i.
=
2
2
z2
a2 + b2
a22 + b22
Niech z1 = a1 + b1 i oraz niech z2 = a2 + b2 i. Wtedy
z1
a1 + b1 i
=
.
z2
a2 + b2 i
Pomno»ymy licznik i mianownik uªamka przez a2 − b2 i. Wtedy
z1
(a1 + b1 i)(a2 − b2 i)
a1 a2 − a1 b2 i + a2 b1 i − b1 b2 i2
.
=
=
z2
(a2 + b2 i)(a2 − b2 i)
a22 − b22 i2
Skoro i2 = −1, to
z1
a1 a2 + b1 b2 + (a2 b1 − a1 b2 )i
=
.
z2
a22 + b22
Zatem
a1 a2 + b1 b2
z1
a2 b1 − a1 b2
=
+
i.
z2
a22 + b22
a22 + b22
4
Przykªad 10 Niech z1 = 2 + 3i i niech z2 = 1 − i. Obliczy¢ z1 + z2 , z1 − z2 ,
z1 z2 i
z1
z2 .
Zatem
z1 + z2
z1 − z2
z1 z2
z1
z2
= (2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i;
= (2 + 3i) − (1 − i) = 1 + 4i;
= (2 + 3i) · (1 − i) = 2 − 3i2 + 3i − 2i = 5 + i;
(2+3i)(1+i)
2+2i+3i+3i2
= 2+3i
=
1−i = (1−i)(1+i) =
1−i2
2+5i−3
−1+5i
1
5
=
=
−
+
i.
1+1
2
2
2
Denicja 8 Niech z = a+bi. Liczb¡ sprz¦»on¡ do z nazywamy liczb¦ z = a−bi.
Przykªad 11 Niech z = 2 + 4i. Wtedy z = 2 − 4i.
Twierdzenie 9 Suma i iloczyn liczb sprz¦»onych jest liczb¡ rzeczywist¡.
Dowód.
Niech z = a + bi. Wtedy z = a − bi oraz
z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ∈ IR,
zz = (a + bi)(a − bi) = a2 − b2 i2 = a2 + b2 ∈ IR.
√
Denicja 9 Moduªem liczby zespolonej z = a+bi nazywamy liczb¦ |z| = a2 + b2 .
Przykªad 12 Niech z = 2 + 3i. Wtedy
|z| =
p
√
√
22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Denicja 10 Argumentem liczby zespolonej z ró»nej od 0 nazywamy ka»d¡
liczb¦ rzeczywist¡ α, która speªnia warunki
cos α =
b
a
, sin α =
.
|z|
|z|
Argument liczby zespolonej z oznaczamy symbolem argz .
Przykªad 13 Wyznaczy¢ moduª i argument liczby zespolonej z = 1 + i.
5
√
√
Oczywi±cie |z| = 12 + 12 = 2. Wtedy
1
1
cos α = √ , sin α = √ .
2
2
Zatem α =
π
4.
Twierdzenie 10 Ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ z mo»na przedstawi¢ w postaci z =
r(cos α + i sin α), gdzie r jest moduªem, a α jest argumentem liczby z .
Denicja 11 Posta¢ z = r(cos α+i sin α) nazywamy postaci¡ trygonometryczn¡
liczby zespolonej z .
Przykªad 14 Liczb¦ z = −2 + 2i sprowadzi¢ do postaci trygonometrycznej.
St¡d r = |z| =
p
√
√
(−2)2 + 22 = 8 = 2 2 oraz
−2
1
2
1
cos α = √ = −√ , sin α = √ = √ .
2 2
2
2 2
2
Zatem α = 34 π . Wobec tego
¶
µ
√
3
3
z = 2 2 cos π + i sin π .
4
4
¡
¢
Przykªad 15 Liczb¦ z = 2 cos π3 + i sin π3 sprowadzi¢ do postaci algebraicznej.
Poniewa» cos π3 =
1
2
i sin π3 =
√
3
2 ,
Ã
z=2
wi¦c
√ !
√
1
3
+i
= 1 + i 3.
2
2
Twierdzenie 11 Moduª iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi
moduªów tych liczb, a argument iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy
sumie argumentów, czyli
|z1 z2 | = |z1 | · |z2 |;
arg(z1 z2 ) = argz1 + argz2 .
¡
¢
¡
¡
¢
¡
¢¢
Przykªad 16 Niech z1 = 2 cos π3 + i sin π3 i niech z2 = 3 cos − π6 + i sin − π6 .
Obliczy¢ iloczyn tych liczb.
6
Niech z = ¡r(cos¢α + i sin α). Z poprzedniego twierdzenia wynika, »e r = 2 · 3 = 6
i α = π3 + − π6 = π6 . Zatem
³
π
π´
z = 6 cos + i sin
.
6
6
Twierdzenie 12 Moduª ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równy ilorazowi
moduªów tych liczb, a argument ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równy ró»nicy
argumentów, czyli
¯ ¯
¯ z1 ¯ |z1 |
¯ ¯=
¯ z2 ¯ |z2 | ;
µ ¶
z1
= argz1 − argz2 .
arg
z2
¡
¢
¡
¡
¢
¡
¢¢
Przykªad 17 Niech z1 = 2 cos π3 + i sin π3 i niech z2 = 3 cos − π6 + i sin − π6 .
Obliczy¢ iloraz tych liczb.
Niech z =
¡ r(cos
¢ α + i sin α). Z poprzedniego twierdzenia wynika, »e r =
α = π3 − − π6 = π2 . Zatem
z=
2
3
i
π
π´
2³
cos + i sin
.
3
2
2
Twierdzenie 13 (wzór de Moivre'a) Niech n ∈ IN. n-ta pot¦ga liczby zespolonej z = r(cos α + i sin α) wyra»a si¦ wzorem
z n = rn (cos nα + i sin nα).
√
Przykªad 18 Obliczy¢ ( 3 + i)5 .
√
√
Niech z = 3 + i. Wtedy r = 3 + 1 = 2 oraz
√
3
1
cos α =
, sin α = .
2
2
¡
¢
St¡d α = π6 . Zatem z = 2 cos π6 + sin π6 . Z poprzedniego twierdzenia wynika,
»e
¡
¢
¡
¢
z 5 = 25 ³cos 5 π6 + i´sin 5 π6 = 32 − cos π6 + i sin π6
√
√
= 32 − 23 + i 12 = −16 3 + 16.
7
√
Przykªad 19 Obliczy¢ (2 − 2i 3)3 .
√
√
√
Niech z = 2 − 2i 3. St¡d r = 4 + 12 = 16 = 4. Ponadto
√
√
1
2 3
3
2
cos α = = , sin α = −
=− .
4
2
4
2
Zatem α = 53 π , sk¡d
µ
¶
5
5
z = 4 cos π + i sin π .
3
3
Wobec tego
µ
¶
5
5
z 3 = 43 cos 3 π + i sin 3 π = 64(cos 5π+i sin 5π) = 64(cos π+i sin π) = −64.
3
3
Denicja 12 Pierwiastkiem liczby zespolonej z = a + bi 6= 0 nazywamy ka»d¡
liczb¦ w speªniaj¡c¡ równanie wn = z .
Twierdzenie 14 Ka»da liczba zespolona z 6= 0 ma dokªadnie n ró»nych pierwiastków stopnia n. Pierwiastki te wyra»aj¡ si¦ wzorem
¶
µ
√
α + 2kπ
α + 2kπ
n
wk = r cos
+ i sin
,
n
n
gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1.
Przykªad 20 Znale¹¢ pierwiastki liczby
√
4
−16.
Niech z = −16. Wtedy z = 16(cos π + i sin π). Zatem r = 16 i α = π .
Pierwiastki 4-go stopnia wyra»aj¡ si¦ wzorem
µ
¶
√
π + 2kπ
π + 2kπ
4
wk = 16 cos
+ i sin
,
4
4
gdzie k = 0, 1, 2, 3. Zatem
³√
√ ´
√
√
¡
¢
w0 = 2 cos π4 + i sin π4 = 2 22 + i sin 22 = 2 + i 2;
³ √
√ ´
¡
¢
¡
¢
w1 = 2 cos π+2π
+ i sin π+2π
= 2 cos 43 π + i sin 34 π = 2 − 22 + i sin 22
4
4
√
√
= − 2 + i 2;
³ √
√ ´
¡
¢
¡
¢
2
2
π+4π
5
5
w2 = 2 cos π+4π
+
i
sin
=
2
cos
π
+
i
sin
π
=
2
−
−
i
sin
4
4
4
4
2
2
√
√
= − 2 − i 2;
³√
√ ´
¡
¢
¡
¢
2
2
π+6π
7
7
w3 = 2 cos π+6π
+
i
sin
=
2
cos
π
+
i
sin
π
=
2
−
i
sin
4
4
4
2
2
√
√4
=
2 − i 2.
8
Przykªad 21 Obliczy¢
√
6
−27.
Niech z = −27 = 27(cos π + i sin π).
p
√
Przykªad 22 Obliczy¢ 2 − i 12.
Przykªad 23 Rozwi¡za¢ równanie x2 + 1 = 0.
Najpierw obliczymy ∆. Zatem
∆ = 0 − 4 = −4 = 4i2 ,
sk¡d
Wobec tego x1 =
√
0−2i
2
= −i i x2 =
∆ = 2i.
0+2i
2
= i.
Przykªad 24 Rozwi¡za¢ równanie x2 + 2x + 3 = 0.
√
√
Poniewa» ∆ = 4 − 12 = −8 = 8i2 , wi¦c ∆ = 2i 2. Zatem
√
√
√
√
2
2
x1 = −2−2i
= −1 − i 2 i x2 = −2+2i
= −1 + i 2.
2
2
Przykªad 25 Rozwi¡za¢ równanie z 4 − 2z 2 + 4 = 0.
9