Ciągi - dr Damian Wiśniewski

Ci¡gi liczbowe
Ekspresem do matury
dr Damian Wi±niewski
[email protected]
Plan dnia :
1
Wyraz ci¡gu
2
Ci¡g arytmetyczny
3
Przerwa
4
Ci¡g geometryczny
5
Du»e zadanka maturalne (zazwyczaj miks ci¡gu arytmetycznego
i geometrycznego).
Niech
n
oznacza liczb¦ naturaln¡ (liczby naturalne to liczby, którymi mo»emy
liczy¢ przedmioty, np. dwa laptopy, trzy godziny z matm¡, pi¦¢ dni grania na
kompie ...)
Ci¡g liczbowy to super wyj¡tkowa funkcja (dlatego ma swoj¡ nazw¦), której
dziedzin¡ jest zbiór liczb naturalnych (lub jego podzbiór). Warto±ci takiej funkcji
dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ci¡gu i oznaczamy na
przykªad
a1 , a2 , a3 , . . . .
Przykªady ci¡gów :
1
an =
2
dn =
3
cn =
3−n
2
√n
,
n+7
n
(−3)n
Wyznaczanie wyrazu ci¡gu
Zadanko maturalne. Dany jest ci¡g okre±lony wzorem
an = (−1)n ·
Policzy¢ wyraz
a2 i a5
2
−n
dla n ­ 1.
n2
tego ci¡gu.
Polecenie mo»e równie» brzmie¢: policzy¢ drugi i pi¡ty wyraz tego ci¡gu
Aby policzy¢
n=2
a2
wystarczy we wzorze ogólnym
an = (−1)n ·
i wykona¢ obliczenia.
Oczywi±cie analogicznie robimy w przypadku
a5 .
Jeszcze jedno zadanko. Dany jest ci¡g o wzorze ogólnym
cn = n + (−2)n .
Policzy¢ warto±¢ wyra»enia
c4 − c3 .
2−n
n2
podstawi¢
Przykªad wykresu ci¡gu
an =
n+1
n2
Wyznaczanie liczby wyrazów speªniaj¡cych okre±lone
warunki
1
Ci¡g
(an )
okre±lony jest wzorem
an =
2
3
n − 12.
Ile wyrazów tego ci¡gu jest mniejszych od 100?
2
Ci¡g
(an )
okre±lony jest wzorem
an = (n + 3)(n − 5) dla n ­ 1.
Jak jest liczba ujemnych wyrazów tego ci¡gu?
3
Ile wyrazów nieujemnych ma ci¡g okre±lony wzorem
dn = −n2 + 50n − 600
4
?
Ile wyrazów caªkowitych nieujemnych ma ci¡g o wzorze ogólnym
an =
24
− 4n
n
?
Ci¡g arytmetyczny
›abka Diana znajduje si¦ 3 metry od brzegu stawu. W linii prostej ma przed sob¡
97 listków lilii wodnej, ka»dy w odlegªo±ci 0,15 m od poprzedniego. Diana
zastanawia si¦ jak daleko oddali si¦ od brzegu, je±li b¦dzie skaka¢ po kolejnych
listkach a» do ostatniego. ›abce wydaje si¦, »e to kawaª drogi, chciaªaby jednak
od nas pozna¢ odpowied¹ na jej przemy±lenia.
Ci¡g arytmetyczny
Wzór ogólny ci¡gu arytmetycznego
an = a1 + (n − 1) · r
Przykªadowe zadanka maturalne
1
W ci¡gu arytmetycznym
wyraz tego ci¡gu
(an )
mamy :
a5 = 13, a20 = 58.
Znale¹¢ wzór na
(an ).
Znale¹¢/wyznaczy¢ wzór ogólny ci¡gu arytmetycznego, to znaczy policzy¢
jego pierwszy wyraz
a1
i ró»nic¦
r,
a nast¦pnie wstawi¢ te dwie warto±ci do
wzoru ogólnego.
2
W ci¡gu arytmetycznym
a2 = 11 i a4 = 7.
(an ),
okre±lonym dla
n ­ 1,
dane s¡ dwa wyrazy:
Ile wynosi suma czterech pocz¡tkowych wyrazów tego
ci¡gu?
3
Wyznaczy¢ wzór ogólny ci¡gu arytmetycznego
(an ),
którego trzema
pocz¡tkowymi wyrazami s¡ 2, −1, −4.
4
Wyznaczy¢ 78. z kolei liczb¦ trzycyfrow¡, która przy dzieleniu przez 5 daje
reszt¦ 2.
5
Pokaza¢, »e ci¡g
an =
2n−1
3 jest arytmetyczny.
Wzór na wyraz ±rodkowy w ci¡gu arytmetycznym
an−1 +an+1
an =
Komentarz. W powy»szym wzorze
a7 +a9
s¡siedzi, np.
a8 =
2
an
2
oznacza wyraz ±rodkowy,
an−1 , an+1
to jego
. Wzorek jest bardzo przydatny wtedy, gdy nie znamy
dwóch konkretnych wyrazów danego ci¡gu.
Uwaga. Ten wzór mo»na uogólni¢! Jedynym wymogiem (oprócz tego, »eby ci¡g
byª arytmetyczny!) jest faktycznie to, »eby pewien wyraz byª ±rodkowy wzgl¦dem
innych. Przykªadowo, prawdziwa jest zale»no±¢
a11 =
a8 + a14
2
.
Przykªadowe zadania.
1
Liczby 2x
+ 1, 6, 16x − 7
s¡ w podanej kolejno±ci pierwszym, drugim i trzecim
wyrazem ci¡gu arytmetycznego. Oblicz
2
Znale¹¢ warto±ci liczby
x
wiedz¡c, »e
x.
(3x − 1, 4x, x 2 + 7)
tworz¡ rosn¡cy ci¡g
arytmetyczny.
3
x, y , 20 w podanej kolejno±ci
x + y = 13. Obliczy¢ x i y .
Liczby
»e
tworz¡ ci¡g arytmetyczny. Wiadomo te»,
Suma
n
- pocz¡tkowych wyrazów ci¡gu arytmetyczego
Sn =
a1 +an
2
·n
Cztery zadanka.
+ 17 + 21 + · · · + 61?
1
Ile wynosi suma liczb 13
2
Oblicz sum¦ wszystkich liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 8 daj¡
reszt¦ 5 i s¡ mniejsze od 200.
3
W niesko«czonym ci¡gu arytmetycznym
oraz ostatni wyraz
an
(an )
pierwszy wyraz
a1
jest równy 7
jest równy 89. Suma wszystkich wyrazów tego ci¡gu
jest równa 2016. Oblicz, ile wyrazów ma ten ci¡g.
4
an suma n-pocz¡tkowych wyrazów tego
Sn = 2n2 − n. Wyznaczy¢ wzór ogólny tego ci¡gu.
zapis S2 , a co S1 (ogólnie)?
Dla pewnego ci¡gu arytmetycznego
ci¡gu wyra»a si¦ wzorem
Wskazówka. Co oznacza
PRZERWA :D
Ci¡g geometryczny
Ci¡g geometryczny - wzorki
wzór ogólny
an = a1 · q n−1
an2 = an−1 · an+1 , n ­ 2
(
a1 (1−q n )
1−q , dla q 6= 1
Sn = a1 + a2 + · · · + an =
n · a1 ,
dla q = 1
wzór na wyraz ±rodkowy :
Wybrane zadania.
1
W rosn¡cym ci¡gu geometrycznym
a5 = 4, a7 = 9.
Policzy¢
a8 .
Wa»ne pytanie! O co chodzi ze sªówkiem rosn¡cy??
2
W ci¡gu geometrycznym
(an )
wyraz
a1 = 5,
natomiast iloraz
q = −2.
Suma
dziesi¦ciu pocz¡tkowych wyrazów tego ci¡gu jest równa ...
3
Ci¡g
4
Liczby 8, 3x
(27, 18, x + 5)
− 4, 2
jest geometryczny. Obliczy¢
x.
w podanej kolejno±ci s¡ pierwszym, drugim i trzecim
wyrazem ci¡gu geometrycznego. Ile mo»e wynosi¢
x?
Zadanie nie¹le punktowane
1
(najªatwiejsze zadanie za 4 punkty w historii) Ci¡g
arytmetyczny, a ci¡g
2
Ci¡g
(x, 42, y , z)
(9, x, 19) jest
x, y , z .
jest geometryczny. Oblicz
(a + 4, a + 8, 16) jest arytmetyczny,
a, b, c .
a ci¡g
(a, b, 36, c)
jest
geometryczny. Oblicz
3
Dany jest niesko«czony rosn¡cy ci¡g arytmetyczny
a5 = 18.
Wyrazy
a1 , a3
oraz
a13
(an ),
dla
n­1
taki, »e
tego ci¡gu s¡ odpowiednio pierwszym,
drugim i trzecim wyrazem pewnego ci¡gu geometrycznego. Wyznacz wzór na
n-ty
4
wyraz ci¡gu
(an ).
W niesko«czonym ci¡gu arytmetycznym
(an ),
okre±lonym dla
n ­ 1,
suma
jedenastu pocz¡tkowych wyrazów tego ci¡gu jest równa 187. ‘rednia
arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewi¡tego wyrazu tego ci¡gu, jest
równa 12. Wyrazy
a1 , a3 , ak
ci¡gu
(an ),
w podanej kolejno±ci, tworz¡ nowy
(bn ). Oblicz k .
(m − 4, 2m − 1, 3m + 2)
ci¡g - trzywyrazowy ci¡g geometryczny
5
Wyka», »e dla ka»dego
m
ci¡g
jest arytmetyczny.
Historyczne pereªki + zadanko ode mnie
(matura 1919/20) Suma sze±ciu pierwszych wyrazów post¦pu
geometrycznego jest 189, a suma nat¦pnych sze±ciu jest 12096. Jaki to
post¦p?
(matura 1921/22) Trzy liczby tworz¡ post¦p geometryczny; suma ich równa
si¦ 28, a iloczyn ±redniego wyrazu i sumy dwóch skrajnych równa si¦ 160. Co
to za liczby?
(matura 1925/26, prol humanistyczny) Cztery liczby tworz¡ post¦p
geometryczny. Odejmuj¡c od nich kolejno 3, 4, 5
1
2 , 8 otrzymamy post¦p
arytmetyczny. Jakie liczby tworz¡ post¦p geometryczny?
W turnieju w piªkarzyki w Olsztynie nagradzano dru»yny (= 2 osoby), które
zaj¦ªy miejsca od pierwszego do szóstego. Na nagrody przeznaczono 2730 zª.
T¦ pul¦ pieni¦dzy rozdzielano wg zasady, »e kolejne dru»yny otrzymuj¡
czwart¡ cz¦±¢ nagrody dru»yny, która zaj¦ªa miejsce o jeden wy»sze. Czy
graczom dru»yny, która zdobyªa pi¡te miejsce, zwróciª si¦ wydatek na
przejazd ulgowy, trwaj¡cy 35 minut, komunikacj¡ miejsk¡ na i z miejsca
rozgrywania turnieju?
DZI†KUJ† ZA UWAG†!
Macie matematyczne pytania? Piszcie na: [email protected] lub
odnajd¹cie mnie na fb!