Wyznaczniki - Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Wyznaczniki - Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA
Wyznaczniki
ALEXANDER DENISJUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Oblicz wyznacznik macierzy 2 × 2:
3 5 ,
(1) 5
3
cos α sin α ,
(2) − sin α cos α a + bi c + di
,
(3) −c + di a − bi
1 2 ,
(4) 3 4
Ćwiczenie
2. Oblicz
wyznacznik macierzy 3 × 3:
1 2 3
(1) 5 1 4,
3 2 5
0 2 2
(2) 2 0 2,
2 2 0
a b c (3) b c a,
c a b
−1 5 4
(4) 3 −2 0,
−1 3 6
1 2 3
(5) 4 5 6,
7 8 9
cos α sin β ,
(5) sin
α
cos
β
cos α + i sin α
(6) 1
ab bd
.
(7) ac cd
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
1
,
cos α − i sin α
0 a 0
b c d,
0 e 0
sin α cos α 1
sin β cos β 1,
sin γ cos γ 1 1
0
1
+
i
,
0
1
i
1 − i −i
1
1 ε ε2 √
2
ε
1 ε , gdzie ε = − 12 + i 23 ,
ε ε2 1 1 1 1 1 ε ε2 , gdzie ε = cos 4 π + i sin 4 π.
3
3
1 ε2 ε P
σ(τ1 τ2 . . . τn )a1τ1 a2τ2 . . . anτn :
Ćwiczenie 3. Oblicz wyznacznik, korzystając ze wzoru det A =
τ ∈Sn
0 0 0 0 1
1 0 2 a
0 0 0 1 1
2 0 b 0 ,
(5) (1) 0 0 1 1 1,
3 c 4 5 0 1 1 1 1
d 0 0 0
1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 a 3 0 5 a b c 1 d
0 b 0 2
,
(6) 0 0 1 0 0,
(2) 0 1 0 0 0 1 2 c 3
0 0 0 d
1 0 0 0 0 a11 a12 a13 a14 a15 1 0 0 0 0 a21 a22 a23 a24 a25 0 1 0 0 0 (3) a31 a32 0
0
0 ,
(7) a b 1 c d.
a41 a42 0
0
0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 a51 a52 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 2 1
(4) 0 0 3 2 1,
0 4 3 2 1
1
5 4 3 2 1
2
ALEXANDER DENISJUK
Ćwiczenie 4. Oblicz wyznaczniki używając operacji elementarnych:
1001 1002 1003 1004
1
2
3
4 1002 1003 1001 1002
−3 2 −5 13
,
(9) (1) ,
1001 1001 1001 999 1 −2 10 4 1001 1000 998 999 −2 9 −8 25
27 44
7
40 55
6
9
4 −4
20 64
1
21 40
0 −2 6
6 (10) ,
8
9 −1 −6,
(2) 7
13 −20 −13 24
1 −1 −2 4
5 46 45 −55 84
−7 0 −9 2 −2
4 −2 0
5
3
30 20 15 12
2
−2
1 ,
(11) 20 15 12 15
3 −1
−2 1
,
(3) 2
3 −6
−3
15 12 15 20
12 15 20 30
4 3 3 5
1 1 1
3 4 3 2
,
12 13 2 11 (12) 3 2 5 4
1 2 3
2
(4) 1
1
1 ,
2 4 2 3
2 11 21 13 1
3
2
4
5 2
3
2
4 −3 2 −4
1 −1 1
−2 ,
(13) 1
5 −2 −3 −7
3
−1
3
,
(5) 2
9 3 −1 −1 4
−3 4
−3 0 −8 −13
14 13
3
−13
−7 −4 2
1 5 3 5 −4
10
,
(14) 3 1 2 9 8
21
23
0
−23
7
12
−2
−6
(6) −1 7 −3 8 −9,
3 4 2 4 7
6 3 8 −4
1 8 3 3 5
5 6 4
2 ,
(15)
0 3 4
4 4 −1 0 −1 8
2 2 3 7 5 2 3 4 1 −4 6 3 2 5 7 3 2 2 4 6 −5
,
(7) 1 6 5 4
1 2 2 1 1 2 (16)
1 7 6 6 5 7 −3 2 4 6 ,
2 1 1 2 2 1 4 5 2 3
−5 −7 −2 2 −2 16 1
2
3
4 5
0
−1 0
0
4
0 −5 0 3
4 5
2
0 −2 0
2
0
4 5.
(17) −1 −2 0
,
(8) 4
6 −1 15 −5
6
−1 −2 −3 0 5
5 −4 10
1
14
6
−1 −2 −3 −4 0
3
0 −2 0
3
0
Ćwiczenie
2
4
(1) a
3
5. Oblicz wyznaczniki rozwijając je według wybranego wiersza lub kolumny:
5 a 2 −1
−3 4 1
4 b 4 −3
−2 3 2
,
,
(2) b c d
2 c 3 −2
4 d 5 −4
−1 4 3
Ćwiczenie 6. Rozwiąż układ równań metodą Cramera
(
2x1 − x2 = 1,
(1)
x + 16x2 = 17;
( 1
x1 cos α + x2 sin α = cos β,
(2)
−x1 sin α + x2 cos α = sin β;


x1 + x2 + x3 = 6,
(3) −x1 + x2 + x3 = 0,


x1 − x2 + x3 = 2;
(
2x1 + 5x2 = 1,
(4)
3x1 + 7x2 = 2;


2x1 + x2 + x3 = 3,
(5) x1 + 2x2 + x3 = 0,


x + x2 + 2x3 = 0;
 1

2x1 + 3x2 + 5x3 = 10,
(6) 3x1 + 7x2 + 4x3 = 3,


x1 + 2x2 + 2x3 = 3;
Wyznaczniki
Ćwiczenie
1
(1)
0
5
(2) 0
0
2
(3) 3
0
1
(4)
3
1
(5)
3
1
(6)
2
7. Oblicz macierz odwrotną, używając metodę dopełnień

1 0
3
,
0 1
1
(7)

3 0
0 0


3 0 ,
6 0
0 1
0 −2
(8)

0 0
0 3
1 1,
1 3
2 7
0 2
(9)
0
0 0
,
2
1 1
(10) 0 1
2
,
5
0 3
cos α
3
(11)
,
sin α
7
3
algebraicznych (A−1 =

0
0,
1

0
2,
5
0
0,
7
0
0,
3
− sin α
.
cos α
1
t
det A AD ):
E-mail address: [email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk