garch - Grzegorz Szafrański Homepage

Modele GARCH
w Ekonometrii Finansowej
opracował: Grzegorz Szafrański (UŁ)
1
• Literatura:
Przygotowano na podstawie:
•
Bollerslev T., Engle R. F. and D. B. Nelson (1994), ARCH Models, Handbook of
Econometrics Vol. 4.
•
Engle, R. F. (2001), GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied
Econometrics, Journal of Economic Perspectives Vol. 15.
•
Enders W. (2004), Applied Econometric Time Series, Chapter 3, Wiley.
•
Brooks Ch. (2008), Chapter 8 Modelling Volatility and Correlation, Introductory
Econometrics for Finance, Cambridge.
•
Rauli Susmel (2009), Lecture3 GARCH models, Quantitative Methods in Finance
(FINA 8373), University of Houston.
•
Timo Teräsvirta (2009), An Introduction to Univariate GARCH Models, w Andersen
T., Davies R., Kreiss J., Mikosh T. (eds.), Handbook of Financial Time Series.
Inauguracyjne artykuły:
•
•
Engle, R.F. (1982), Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of
the Variance of U.K, Econometrica.
2
Bollerslev, T.P. (1986), Generalized Autoregresive Conditional Heteroscedasticity,
Journal of Econometrics.
•
Podstawowy problem ekonometrii finansowej
Jak mierzyć ryzyko inwestycji? Jaki jest wymagany zysk odpowiadający
danemu poziomowi ryzyka inwestycji?
Rentowność (yield) mierzymy logarytmicznymi stopami zwrotu
rt = ln(Pt /Pt-1)= ln(1+Rt) Rt.
Wygodnie jest założyć, że rt ~ N(μt,ζt2)
lub z innego rozkładu np. beta stabilnego (Mandelbrot 1963)
μt to wartość oczekiwana stopy zwrotu, ζt2 to miara ryzyka (volatility)
Z hipotezy rynku efektywnego (EMH) wynika, że μt|t-1 = 0
Założenie o stałym lub losowym (niezależnym) ryzyku inwestycji
ζt2 = const
jest trudne do utrzymania (Mandelbrot, Taylor 1967)
3
•
Dlaczego volatility jest tak ważne? Co jeśli nie jest stałe?
W modelu Markovitza do optymalizacji składników portfela
wykorzystuje się kowariancje (stóp zwrotu aktywów x i y):
cov(rx,ry) = ρx,yζxζy
Transakcja zabezpieczająca (hedge portfolio)
Ile kontraktów futures kupić na jeden kontrakt spot:
h = ρS,F ζS /ζF
Modele równowagi takie jak CAPM zakładają, że
μt – rft = β (μmt – rft ),
czy β = const? nie!!! βt = cov(rt,rmt)/ζmt2
W modelu ryzyka rynkowego (Value at Risk) VaR definiuje się jako:
VaR ,t = μt - u ζt
W wycenie opcji (model Blacka-Scholesa) do wyznaczenia ceny
wykorzystuje się wariancję instrumentu bazowego:
Ct = f(S, X, t 2, T, rf)
4
•
Momenty warunkowe i bezwarunkowe
Weźmy prosty (stacjonarny) autoregresyjny model stóp zwrotu.
rt = α + β rt-1 + ε t
εt jest i.i.d. N(0,ζ2), -1<β<1
Zauważmy, że momenty zwykłe są stałe:
E(rt) = α/(1-β) a Var(rt) = ζ2/(1-β2)
A momenty warunkowe – zwykle nie:
Et-1(rt) = α + β rt-1
Vart-1 (rt ) = Et-1[(rt –Et-1[rt])2] = Et-1[εt2]
5
•
Vart-1(rt) a nie Var(rt) jest właściwą miarą ryzyka inwestycji
Warunkowa
wariancja
Całkowita
wariancja
średnia
6
•
FAKTY stylizowane (dla stóp zwrotu)
1) „grube ogony” - Mandelbrot (1963): a nawet więcej leptokurtyczność
2) grupowanie wariancji - Mandelbrot (1963): “duże zmiany wykazują
tendencję do wywoływania dużych zmian (niezależnie od znaku)”
3) efekty dźwigni – Black (1976), Christie (1982): stopy zwrotu ujemnie
skorelowane ze zmianami wariancji stóp zwrotu.
4) inne – Bollerslev, Engle, Nelson (1994)
• efekty świąt i weekendów – wariancja w poniedziałek większa niż w
piątek,
• oczekiwane wydarzenia – wysoka zmienność w dniu ogłoszeń
wiadomości.
• ujemna relacja między wariancją a autokorelacją stóp zwrotu,
• dodatnia korelacja między volatility różnych instrumentów,
• wspólne czynniki zmian cen różnych aktywów (z różnych rynków).
7
ARCH Model - Engle(1982)
Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity
εt
2
yt
βxt
εt ~N( 0,ζ t )
ζ
Vart 1(εt ) Et 1(ε ) ω
q
2
t
αi εt2 1
2
t
ω α(L)ε 2
i 1
•Wg Cambell, Lo, MacKinley (1997) należy do modeli nieliniowych
względem wariancji: yt = g(εt-1, εt-2, …)+ εth(εt-1, εt-2, …)
•ARCH jest modelem AR dla kwadratów składników losowych.
νt εt2 ζ t2
Jeżeli przyjmiemy, że:
εt2
ω α(L)ε 2 vt
Cechy:
1. pomimo, że reszty są nieskorelowane, to nie są niezależne
(grupowanie wariancji),
2. Z nierówności Jensena wynika, że
κ(εt )
E(ε 4 t )/E(ε 2 t )2
3
8
Efekty ARCH
εt
Inny sposób zapisu:
ut ht
ut ~N( 0 ,1 )
q
ht
ω
αi εt2 1
i 1
Testowanie efektów ARCH
• nieformalnie korelogram dla kwadratów reszt LjungBox Q,
• formalnie test Engle’a (1982) TR2~χ2q (rozkład asymptotyczny
– wymagane ok. 200 obserwacji)
H 0:α1
εˆt2
α2
... αq
0
α0 α1εˆt2 1 α2 εˆt2 2 ... αi εt2 q
Problemy z tą specyfikacją:
• nieujemność
ω 0 αi 0 i
• stacjonarność,
• oszczędność specyfikacji a dopasowanie (wybór q)
q
αi 1
i 1
9
GARCH – Bollerslev (1986), Taylor(1986)
Uogólnienie modelu – model GARCH(q,p):
q
ζ t2
Jeżeli przyjmiemy, że:
εt2
ω
p
αi ε 2 t
β j ζ 2t
i
i 1
j 1
ω α(L)ε 2
β(L)ζ 2
υt
ε 2t
j
ζ 2t
ω (α( L) β(L))ε 2
β(L)υ
υt
to kwadrat składnika losowego jest generowany przez ARMA (max(p,q),p)
Problemy z tą specyfikacją w praktyce występują rzadziej:
( L)
( L) 1
• rzadziej występuje nieujemność,
• stacjonarność (pierwiastki wielomianu poza kołem jednostkowym),
• uzyskano oszczędność specyfikacji (zwykle wybór p=1 i q=1),
• brak asymetrii (efekty dźwigni).
10
GARCH (1,1)
Dalej zajmiemy się tylko modelami pierwszego rzędu (p=1, q=1)
ζ t2
ω α1ε 2 t
β1ζ 2 t
1
1
Podstawiając rekurencyjnie:
ζ t2 1
ω α1ε 2 t
β1ζ 2 t
2
2
Otrzymujemy ARCH(∞):
ζ t2
ω( 1 β1
β12
...) α1ε 2 t 1( 1 β1 L
β12 L2
...) β1 ζ 02
Wariancja i kurtoza w modelu GARCH(1,1) nie zawsze istnieją:
E(ε t ) ω/( 1 α1
2
β1 )
4
E(ε t )
( 1 α1
3ω 2( 1 α1 β1 )
2
2
β1 )( 1 β1 2α1 β1 3α1 )
1+β1<1 jest warunkiem koniecznym stacjonarności,
3 12+2 1β1+β12<1 jest warunkiem istnienia kurtozy.
Integrated GARCH = IGARCH to typowa sytuacja w modelowaniu volatility:
1
=1
11
Estymacja metodą największej wiarygodności (MNW)
Funkcję wiarygodności buduje się na podstawie teoretycznego rozkładu
składnika losowego np. dla rozkładu normalnego i prostej regresji liniowej:
f ( yt
1
2
x,
2 t
)
1
2
exp
1 ( yt
2
x )2
1
2 t
2
Zwykle wariancja jest stała, a kwadrat reszt zależy tylko od parametrów
równania dla średniej.
Dla modelu GARCH logarytm funkcji wiarygodności zależy dodatkowo od
warunkowej wariancji, która jest sparametryzowana:
L
T
1
ln ( 2π)
2
2
T
ln ht
t 1
1
2
T
(u t )2
ut
εt
ht
t 1
Minimalizacja po podstawieniu za wariancję równania GARCH odbywa się
względem parametrów równania średniej i wariancji.
12
EGARCH – Nelson (1991)
Nelson, D.B. (1991), "Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New
Approach," Econometrica.
ln ζ
2
t
ω γut
1
α( ut
2 π ) β ln ζ
1
2
t 1
ut
εt
ht
Omija problemy związane z nieujemnością, wprowadza efekty dźwigni ( < 0)
GJR-GARCH – asymetryczny GARCH
Glosten, L.R., R. Jagannathan and D. Runkle (1993), "Relationship between
the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on
Stocks," Journal of Finance.
ζ 2t
ω αi ε 2 t
1
δε 2 t 1 I(εt
1
0 ) β1ζ 2 t 1 , δ
0
Non-linear ARCH – NARCH
Higgins and Bera (1992), Hentschel (1995)
ζ γt
ω α1|εt
1
κ|γ
β1ζ γ t
1
13
Funkcja odpowiedzi na newsy 
0.14
GARCH
GJR
Value of Conditional Variance
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-1
-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Value of Lagged Shock
Źródło: Brooks (2002)
14
Efekty asymetrii - testowanie
Szacujemy wybrany model warunkowej wariancji np. GARCH(1,1).
Konstruujemy wystandaryzowane reszty:
hˆt , ut ~N( 0,1 )
uˆt
εˆt
hˆt
ω α1εˆt2 1
•
Najprościej jest wykonać regresję:
•
Inny sposób to użyć indykatora
(Engle, Ng 1993)
•
β1hˆt
1
uˆt2
uˆt2
χ1 I (uˆt
χ0
χ1uˆt
χ0
1
ε1t
1
0) ε2t
Aby uwzględnić łączny wpływ rozmiaru
szoków i asymetrii musimy oszacować:
uˆt2
χ0
χ1 I (uˆt
1
0)
χ 2uˆt 1 I (uˆt
1
0)
χ 3uˆt
1
ε3t
Statystyka TR2 ma asymptotyczny rozkład χ2 z 3 st. swobody
15
Threshold ARCH (TARCH)
Rabemananjara, R. and J.M. Zakoian (1993), “Threshold ARCH Models and
Asymmetries in Volatilities,”Journal of Applied Econometrics.
ζ 2t
ω α 1 I(εt
1
κ)ε 2 t
1
α 1 I(εt
1
κ)ε 2 t
1
β1ζ 2 t
1
Switching ARCH (SWARCH)
Hamilton, J. D. and R. Susmel (1994), "Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity and Changes in Regime," Journal of Econometrics.
Wiele modeli ARCH, które są przełączane za pomocą łańcucha Markowa.
Inne przykłady:
PGARCH,
QARCH,
STARCH,
FIGARCH,
Factor ARCH: Engle, Ng, Rotschild (1990)
16
ARCH w średniej (G)ARCH-M
Engle, R.F., D. Lilien and R. Robins (1987), “Estimating Time Varying Risk
Premia in the Term Structure: the ARCH-M Model,” Econometrica.
Wyjaśnienie ekonomiczne (premia za ryzyko):
Ryzyko instrumentu negatywnie wpływa na jego cenę. Wynika to z faktu, że
wraz ze wzrostem niepewności przyszłych zysków rośnie wymagana stopa
zwrotu jak w model ICAPM (Merton 1973, 1980).
βxt
yt
δζ
q
ζ 2t
ω
p
αi ε 2 t
i 1
εt
2
t
β j ζ 2t
i
j
j 1
Do równania średniej wprowadzamy warunkową wariancję GARCH
(lub odchylenie standardowe, lub logarytm wariancji - EGARCH), δ>0.
17
Rozkłady inne niż normalny
Podstawowy model GARCH zwykle nie wystarcza do empirycznej kurtozy
i/lub opisu ekstremalnych zdarzeń (ważne w metodzie VaR). Dlatego zamiast
rozkładu normalnego używa się rozkładów z grubymi ogonami.
• rozkład t - Bollerslev (1987)
Parametr rozkładu t („liczba stopni swobody”), czyli v jest szacowany za
pomocą MNW:
lt
ln( (0.5(v 1)) (0.5v) 1 (v 2)
1/ 2
(1 zt (v 2) 1 )
( v 1) / 2
) 0.5 ln(
gdzie Γ jest funkcją gamma z v stopniami swobody. Gdy v→∞, rozkład jest
zbieżny do rozkładu normalnego.
• uogólniony rozkład błędów (GED) - Nelson (1991)
lt
v
ln 2
λ
λ
1
1
v
2
v
1
Γ
ν
1
e
1
3
2 Γ
Γ
ν
ν
u
0 .5 t
λ
v
1
18
2
t
)
Zrealizowana zmienność (RV)
French, Schwert and Stambaugh’s (1987):
s 2t
1
k
k
rt 2 1
i 1
Stochastic volatility (SV/SVOL)
Jacquier, E., Polson, N., Rossi, P. (1994), Bayesian analysis of stochastic
volatility models, Journal of Business and Economic Statistics.
Heston, S.L. (1993), A closed-form solution for options with stochastic volatility
with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies
ζt
ln ζ t
ω βζ t
1
ω β ln ζ t
υt
1
υt
19
Data
PRAW MW
. 10
. 05
. 00
-. 05
-. 10
-. 15
-. 20
1985
1990
1995
2000
2005
PMETAW
.2
.1
.0
-. 1
-. 2
-. 3
1985
1990
1995
2000
2005
POILAPSPW
.6
.4
.2
.0
-. 2
-. 4
1985
1990
1995
2000
Paper Presented at
FindEcon2009
2005
20
Wielowymiarowe GARCHe
Dlaczego wiele wymiarów w GARCH?
1. Ryzyko rynkowe to ryzyko portfela aktywów (a nie
pojedynczego aktywa).
2. Macierz kowariancji jest zmienna. Hedging.
3. Efekt zarażania (contagion) na rynkach finansowych
Należy analizować volatility w modelu wielorównaniowym
np:
rt
ut
β0
t 1
β1rt
1
ut
~ N (0, H t )
Poszukiwanie oszczędnej specyfikacji dla Ht:
h11t
c11
a11u12t
a12 u 22t
a13 u1t u 2 t
b11 h11t
1
b12 h22 t
h22 t
c 21
a 21u12t
a 22 u 22t
a 23 u1t u 2 t
b21 h11t
1
b22 h22 t
1
b23 h12 t
1
h12 t
c31
a 31u12t
a 32 u 22t
a 33 u1t u 2 t
b31 h11t
1
b32 h22 t
1
b33 h12 t
1
1
b13 h12 t
1
21
Diagonalny VECH Bollerslev, Engle i Wooldridge (1988)
h11t
Można uprościć do:
h22t
h12t
0
2
u
1 1t
0
2
u
1 2t
0
u
1
1
u
1 1t 1 2 t 1
h
2 11t 1
2
h22t
1
h
2 12t 1
I zapisać w oszczędnej formie:
vech (H t )
V0
V1vech (ε t 1ε t 1 ' ) V2 vech (H t 1 ) vech
Problemy:
a b
b d
(a b d )
dużo parametrów (nieistotne), więc macierze parametrów V
można przedstawić jako skalary (jeśli αi = βi = i)
ujemnie określona m. kowariancji – BEKK (Engle i Kroner , 1995)
Ht
AA B
B C Ht 1C
t 1 t 1
22
Scalar VECH
Conditional Correlation
Cor(PFANDBW,PINDUW)
1.0
V1 =0.098
(10.46)
0.8
0.6
0.4
V2 =0.918
(129.6)
0.2
0.0
-0.2
1985
1990
1995
2000
2005
Cor(PFANDBW ,POILAPSPW )
1.00
Cor(PINDUW ,POILAPSPW )
1.2
0.75
0.8
0.50
0.4
0.25
0.0
0.00
-0.4
-0.25
-0.50
-0.8
1985
1990
1995
2000
2005
Paper Presented at
FindEcon2009
1985
1990
1995
2000
2005
23
Diagonal (rank1) VECH
Conditional Correlation
Cor(PFANDBW,PINDUW)
0.049312 0.080672 0.105898
V1=
0.131977 0.173246
0.227419
.8
.6
.4
.2
0.879290 0.846524 0.805552
V2=
0.814978 0.775533
0.737997
.0
-.2
-.4
1985
1990
1995
2000
2005
Cor(PFANDBW,POILAPSPW)
1.2
Cor(PINDUW,POILAPSPW)
1.00
0.75
0.8
0.50
0.4
0.25
0.00
0.0
-0.25
-0.4
-0.50
1985
1990
1995
2000
2005
Paper Presented at
FindEcon2009
1985
1990
1995
2000
2005
24
Diagonal BEKK
Conditional Correlation
Cor(PFANDBW,PINDUW)
B1 =0.134
B2 =0.382
B3 =0.538
C1=0.982
C2=0.936
C3=0.890
.8
.6
.4
.2
.0
1985
1990
1995
2000
2005
Cor(PFANDBW,POILAPSPW)
.8
Cor(PINDUW,POILAPSPW)
1.2
.6
0.8
.4
0.4
.2
0.0
.0
-0.4
-.2
-.4
-0.8
1985
1990
1995
2000
2005
1985
Paper Presented at
FindEcon2009
1990
1995
2000
2005
25
Jak dotąd macierz korelacji zmieniały się w czasie pod wpływem
zmian w Ht.
Model CCC (model o stałej korelacji), Bollerlsev (1990)
Ht
Dt RDt
Model DCC (model dynamicznej warunkowej korelacji)
Engle (2002) w wersji mean-reverting
Ht
Rt
Qt
diag{Qt }
1/ 2
Dt R t Dt
Qt diag{Qt }
1/ 2
(I L M) Lε t 1ε t 1 ' M  Qt
1
 iloczyn Hadamarda, ε standaryzo wane reszty GARCH
26
Cov(PFANDBW,POILAPSPW)
Cov(PINDUW,POILAPSPW)
.0012
Var(POILAPSPW)
Cov(PFANDBW,POILAPSPW)
.004
Cov(PINDUW,POILAPSPW)
.0012 .07
.004
.0010 .06
.0010
CCC
.003
.0008
.0008
.0006
.002
.003
.05
.04
.0006
.0004
.0004
.001
.0002
.002
.03
.02
.001
.0002 .01
Conditional Covariance
.0000
1985
1990
Var(PFANDBW)
1995
2000
2005
.000
.0000 .00
1985
1990
1995
2000
.000
2005
1985 19851990 19901995 19952000 20002005 2005
1985
1990
1995
2000
.0025
.0020
1
0.066281
0.284874 0.131393
.0015
R=
.0010
1
L= 0.127144
0.273860
.0005
0.325837
1
.0000
1985
1990
1995
2000
2005
Co v(P FANDB W,P INDUW)
Var(PINDUW)
.0010
.005
.0008
.004
.0006
.003
.0004
.002
.0002
.001
0.814687
M= 0.784019
.0000
0.659090
.000
1985
1990
1995
2000
2005
1985
Cov(PFANDBW,POIL APS PW)
.0012
1990
1995
2000
2005
Cov(P INDUW,POIL APSPW)
.004
Va r(P OILA PSPW)
.07
.06
.0010
.003
.05
.0008
.04
.0006
.002
.03
.0004
.02
.001
.0002
.01
.0000
.000
1985
1990
1995
2000
2005
.00
1985
1990
1995
2000
2005
Paper Presented at
FindEcon2009
1985
1990
1995
2000
2005
27
2005
DCC
RHO12
.8
.6
.4
.2
L =0.047
(2.06)
.0
1985
1990
1995
2000
2005
2000
2005
2000
2005
RHO13
.6
.4
M =0.788
(5.10)
.2
.0
-. 2
1985
1990
1995
RHO23
.6
.4
.2
.0
-. 2
1985
1990
Paper Presented at
FindEcon2009
1995
28
general DCC (statist. insignificant)
RHO12
.8
.6
.4
.2
L=
0.042604 0.041762 0.045609
0.039693 0.063320
0.446411
.0
1985
1990
1995
2000
2005
2000
2005
2000
2005
RHO13
.8
.6
.4
0.599094 0.770503 0.844011
M=
0.949608 0.576957
0.078864
.2
.0
-. 2
1985
1990
1995
RHO23
.6
.4
.2
.0
-. 2
1985
1990
Paper Presented at
FindEcon2009
1995
29