1 – 3

Matematyka i statystyka w finansach
Rok akad. 2012/13, semestr letni
Podstawowe oznaczenia: zbiory liczbowe
Przypomnijmy kilka oznaczeń:
Zbiory liczbowe:
N = {1, 2, 3, . . .} to zbiór liczb naturalnych,
Z to zbiór liczb całkowitych . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , (Z, √
a nie C),
R to zbiór liczb rzeczywistych (takich, jak 0, 1, −2, 1,674, π, 2)
Zachodzi zawieranie N ⊂ Z ⊂ R
Podstawowe oznaczenia: przedziały
Przedziały:
(a, b) to przedział otwarty; zbiór liczb x spełniających warunek a < x < b,
[a, b] = ha, bi to przedział domknięty; zbiór liczb x spełniających warunek
a 6 x 6 b,
(a, b] = (a, bi to zbiór liczb x spełniających warunek a < x 6 b,
[a, b) = ha, b) to zbiór liczb x spełniających warunek a 6 x < b
(a, +∞) to zbiór liczb x spełniających warunek x > a,
[a, +∞) = ha, +∞) to zbiór liczb x spełniających warunek x ≥ a,
(−∞, b) to zbiór liczb x spełniających warunek x < b,
(−∞, b] = (−∞, bi to zbiór liczb x spełniających warunek x 6 b.
Podstawowe oznaczenia: przedziały
Przedziały:
(a, b) to przedział otwarty; zbiór liczb x spełniających warunek a < x < b,
[a, b] = ha, bi to przedział domknięty; zbiór liczb x spełniających warunek
a 6 x 6 b,
(a, b] = (a, bi to zbiór liczb x spełniających warunek a < x 6 b,
[a, b) = ha, b) to zbiór liczb x spełniających warunek a 6 x < b
(a, +∞) to zbiór liczb x spełniających warunek x > a,
[a, +∞) = ha, +∞) to zbiór liczb x spełniających warunek x ≥ a,
(−∞, b) to zbiór liczb x spełniających warunek x < b,
(−∞, b] = (−∞, bi to zbiór liczb x spełniających warunek x 6 b.
Podstawowe oznaczenia: suma (
P
Q
), iloczyn ( ), silnia
Przykład
6
X
i 2 = 32 + 42 + 52 + 62
i=3
25
Y
bk = b1 · b2 · b3 · . . . · b25
k=1
Przykład (Silnia)
Dla dowolnej liczby naturalnej n! (czyt. n silnia) oznacza liczbę
n! =
n
Y
k=1
na przykład 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Dodatkowo definiuje się 0! = 1.
k = 1 · 2 · . . . · n,
Podstawowe oznaczenia: suma (
P
Q
), iloczyn ( ), silnia
Przykład
6
X
i 2 = 32 + 42 + 52 + 62
i=3
25
Y
bk = b1 · b2 · b3 · . . . · b25
k=1
Przykład (Silnia)
Dla dowolnej liczby naturalnej n! (czyt. n silnia) oznacza liczbę
n! =
n
Y
k=1
na przykład 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Dodatkowo definiuje się 0! = 1.
k = 1 · 2 · . . . · n,
Macierze
Macierz to układ liczb tworzący prostokątną tablicę


A11 A12 . . . A1m
A21 A22 . . . A2m 


A= .
..
.. 
.
.
.
 .
.
.
. 
An1 An2 . . .
Anm
Powyższa macierz ma n wierszy oraz m kolumn. Liczba wierszy i liczba
kolumn określają wymiar (rozmiar) macierzy. Podana wyżej macierz ma
wymiar n × m.
Przykład


2 −4 5 7
Macierz B = −3 7 8 5  jest macierzą wymiaru 3 × 4. Wyrazem
1
2 3 −2
stojącym w drugim wierszu i trzeciej kolumnie jest B2,3 = 8.
Macierze
Macierz to układ liczb tworzący prostokątną tablicę


A11 A12 . . . A1m
A21 A22 . . . A2m 


A= .
..
.. 
.
.
.
 .
.
.
. 
An1 An2 . . .
Anm
Powyższa macierz ma n wierszy oraz m kolumn. Liczba wierszy i liczba
kolumn określają wymiar (rozmiar) macierzy. Podana wyżej macierz ma
wymiar n × m.
Przykład


2 −4 5 7
Macierz B = −3 7 8 5  jest macierzą wymiaru 3 × 4. Wyrazem
1
2 3 −2
stojącym w drugim wierszu i trzeciej kolumnie jest B2,3 = 8.
Działania na macierzach: transpozycja
Transpozycja to najprostsze działanie na macierzach. Operuje ono na jednej
macierzy. Wynikiem transpozycji na macierzy A wymiaru n × m jest macierz
AT = A0 wymiaru m × n taka, że
(AT )ji = A0ji = Aij
dla i = 1, 2, . . . , n oraz j = 1, 2, . . . , m, to znaczy

A11 A12 . . .
A21 A22 . . .

 ..
..
..
 .
.
.
An1 An2 . . .
T 
A1m
A11 A21 . . .
 A12 A22 . . .
A2m 


..  =  ..
..
..
 .
.
. 
.
Anm
A1m A2m . . .

An1
An2 

.. 
. 
Anm
(macierz ulega symetrii względem ukośnej prostej zawierającej główną
przekątną macierzy).
Matematycy macierz transponowaną do macierzy A zwykle oznaczają jako
AT , zaś ekonomiści i statystycy jako A0 .
Zachodzi równość A00 = A.
Działania na macierzach: transpozycja
Transpozycja to najprostsze działanie na macierzach. Operuje ono na jednej
macierzy. Wynikiem transpozycji na macierzy A wymiaru n × m jest macierz
AT = A0 wymiaru m × n taka, że
(AT )ji = A0ji = Aij
dla i = 1, 2, . . . , n oraz j = 1, 2, . . . , m, to znaczy

A11 A12 . . .
A21 A22 . . .

 ..
..
..
 .
.
.
An1 An2 . . .
T 
A1m
A11 A21 . . .
 A12 A22 . . .
A2m 


..  =  ..
..
..
 .
.
. 
.
Anm
A1m A2m . . .

An1
An2 

.. 
. 
Anm
(macierz ulega symetrii względem ukośnej prostej zawierającej główną
przekątną macierzy).
Matematycy macierz transponowaną do macierzy A zwykle oznaczają jako
AT , zaś ekonomiści i statystycy jako A0 .
Zachodzi równość A00 = A.
Działania na macierzach: transpozycja
Transpozycja to najprostsze działanie na macierzach. Operuje ono na jednej
macierzy. Wynikiem transpozycji na macierzy A wymiaru n × m jest macierz
AT = A0 wymiaru m × n taka, że
(AT )ji = A0ji = Aij
dla i = 1, 2, . . . , n oraz j = 1, 2, . . . , m, to znaczy

A11 A12 . . .
A21 A22 . . .

 ..
..
..
 .
.
.
An1 An2 . . .
T 
A1m
A11 A21 . . .
 A12 A22 . . .
A2m 


..  =  ..
..
..
 .
.
. 
.
Anm
A1m A2m . . .

An1
An2 

.. 
. 
Anm
(macierz ulega symetrii względem ukośnej prostej zawierającej główną
przekątną macierzy).
Matematycy macierz transponowaną do macierzy A zwykle oznaczają jako
AT , zaś ekonomiści i statystycy jako A0 .
Zachodzi równość A00 = A.
Działania na macierzach: transpozycja
Transpozycja to najprostsze działanie na macierzach. Operuje ono na jednej
macierzy. Wynikiem transpozycji na macierzy A wymiaru n × m jest macierz
AT = A0 wymiaru m × n taka, że
(AT )ji = A0ji = Aij
dla i = 1, 2, . . . , n oraz j = 1, 2, . . . , m, to znaczy

A11 A12 . . .
A21 A22 . . .

 ..
..
..
 .
.
.
An1 An2 . . .
T 
A1m
A11 A21 . . .
 A12 A22 . . .
A2m 


..  =  ..
..
..
 .
.
. 
.
Anm
A1m A2m . . .

An1
An2 

.. 
. 
Anm
(macierz ulega symetrii względem ukośnej prostej zawierającej główną
przekątną macierzy).
Matematycy macierz transponowaną do macierzy A zwykle oznaczają jako
AT , zaś ekonomiści i statystycy jako A0 .
Zachodzi równość A00 = A.
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Dwie macierze tego samego wymiaru n × m (obie muszą mieć tę samą
liczbę wierszy i obie muszą mieć tę samą liczbę kolumn) można dodawać
i odejmować:
(A + B)ij = Aij + Bij ,
dla i = 1, 2, . . . , n oraz

A11 A12
A21 A22

 ..
..
 .
.
(A − B)ij = Aij − Bij
j = 1, 2, . . . , m, to znaczy
 
B11 B12 . . .
. . . A1m


. . . A2m  B21 B22 . . .
..  ±  ..
..
..
..
.
.
.
.   .
Bn1 Bn2 . . .
. . . Anm
An1 An2

A11 ± B11
A21 ± B21

=
..

.
An1 ± Bn1
A12 ± B12 . . .
A22 ± B22 . . .
..
..
.
.
An2 ± Bn2 . . .

B1m
B2m 

..  =
. 
Bnm

A1m ± B1m
A2m ± B2m 


..

.
Anm ± Bnm
(wyrazy macierzy stojące na tych samych miejscach zostają dodane lub
odjęte).
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Dwie macierze tego samego wymiaru n × m (obie muszą mieć tę samą
liczbę wierszy i obie muszą mieć tę samą liczbę kolumn) można dodawać
i odejmować:
(A + B)ij = Aij + Bij ,
dla i = 1, 2, . . . , n oraz

A11 A12
A21 A22

 ..
..
 .
.
(A − B)ij = Aij − Bij
j = 1, 2, . . . , m, to znaczy
 
B11 B12 . . .
. . . A1m


. . . A2m  B21 B22 . . .
..  ±  ..
..
..
..
.
.
.
.   .
Bn1 Bn2 . . .
. . . Anm
An1 An2

A11 ± B11
A21 ± B21

=
..

.
An1 ± Bn1
A12 ± B12 . . .
A22 ± B22 . . .
..
..
.
.
An2 ± Bn2 . . .

B1m
B2m 

..  =
. 
Bnm

A1m ± B1m
A2m ± B2m 


..

.
Anm ± Bnm
(wyrazy macierzy stojące na tych samych miejscach zostają dodane lub
odjęte).
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Przykład
Dodajemy dwie macierze wymiaru 2 × 3:
2 −4 5
2 4 4
+
=
−3 7 8
−2 0 1
=
2+2
−4 + 4 5 + 4
−3 + (−2) 7 + 0 8 + 1
=
4 0 9
−5 7 9
Przykład
Od jednej macierzy wymiaru 2 × 2 odejmujemy drugą, o tym samym
wymiarze:
1 2
3 −5
1 − 3 2 − (−5)
−2 7
−
=
=
7 −1
3 − 7 4 − (−1)
−4 5
3 4
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Przykład
Dodajemy dwie macierze wymiaru 2 × 3:
2 −4 5
2 4 4
+
=
−3 7 8
−2 0 1
=
2+2
−4 + 4 5 + 4
−3 + (−2) 7 + 0 8 + 1
=
4 0 9
−5 7 9
Przykład
Od jednej macierzy wymiaru 2 × 2 odejmujemy drugą, o tym samym
wymiarze:
1 2
3 −5
1 − 3 2 − (−5)
−2 7
−
=
=
3 4
7 −1
3 − 7 4 − (−1)
−4 5
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Przykład
Dodajemy dwie macierze wymiaru 2 × 3:
2 −4 5
2 4 4
+
=
−3 7 8
−2 0 1
=
2+2
−4 + 4 5 + 4
−3 + (−2) 7 + 0 8 + 1
=
4 0 9
−5 7 9
Przykład
Od jednej macierzy wymiaru 2 × 2 odejmujemy drugą, o tym samym
wymiarze:
1 2
3 −5
1 − 3 2 − (−5)
−2 7
−
=
=
3 4
7 −1
3 − 7 4 − (−1)
−4 5
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Przykład
Dodajemy dwie macierze wymiaru 2 × 3:
2 −4 5
2 4 4
+
=
−3 7 8
−2 0 1
=
2+2
−4 + 4 5 + 4
−3 + (−2) 7 + 0 8 + 1
=
4 0 9
−5 7 9
Przykład
Od jednej macierzy wymiaru 2 × 2 odejmujemy drugą, o tym samym
wymiarze:
1 2
3 −5
1 − 3 2 − (−5)
−2 7
−
=
=
3 4
7 −1
3 − 7 4 − (−1)
−4 5
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Przykład
Dodajemy dwie macierze wymiaru 2 × 3:
2 −4 5
2 4 4
+
=
−3 7 8
−2 0 1
=
2+2
−4 + 4 5 + 4
−3 + (−2) 7 + 0 8 + 1
=
4 0 9
−5 7 9
Przykład
Od jednej macierzy wymiaru 2 × 2 odejmujemy drugą, o tym samym
wymiarze:
1 2
3 −5
1 − 3 2 − (−5)
−2 7
−
=
=
3 4
7 −1
3 − 7 4 − (−1)
−4 5
Działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie
Przykład
Dodajemy dwie macierze wymiaru 2 × 3:
2 −4 5
2 4 4
+
=
−3 7 8
−2 0 1
=
2+2
−4 + 4 5 + 4
−3 + (−2) 7 + 0 8 + 1
=
4 0 9
−5 7 9
Przykład
Od jednej macierzy wymiaru 2 × 2 odejmujemy drugą, o tym samym
wymiarze:
1 2
3 −5
1 − 3 2 − (−5)
−2 7
−
=
=
3 4
7 −1
3 − 7 4 − (−1)
−4 5
Działania na macierzach: mnożenie macierzy przez liczbę
Macierz można pomnożyć przez liczbę. Jeśli A jest macierzą wymiaru
n × m, zaś a jest liczbą (liczbą rzeczywistą), to
(a · A)ij = (A · a)ij = a · Aij
dla i = 1, 2, . . . , n oraz

A11 A12
A21 A22

a· .
..
 ..
.
An1 An2
j = 1, 2, . . . , m, to znaczy
 
A11 A12 . . .
. . . A1m
A21 A22 . . .
. . . A2m 
 
..  =  ..
..
..
..
.
.
.
.   .
An1 An2 . . .
. . . Anm

a · A11 a · A12 . . .
a · A21 a · A22 . . .

= .
..
..
 ..
.
.
a · An1 a · An2 . . .

a · A1m
a · A2m 

.. 
. 
a · Anm
(każdy wyraz macierzy został pomnożony przez stałą a).

A1m
A2m 

..  · a =
. 
Anm
Działania na macierzach: mnożenie macierzy przez liczbę
Macierz można pomnożyć przez liczbę. Jeśli A jest macierzą wymiaru
n × m, zaś a jest liczbą (liczbą rzeczywistą), to
(a · A)ij = (A · a)ij = a · Aij
dla i = 1, 2, . . . , n oraz

A11 A12
A21 A22

a· .
..
 ..
.
An1 An2
j = 1, 2, . . . , m, to znaczy
 
A11 A12 . . .
. . . A1m
A21 A22 . . .
. . . A2m 
 
..
..  =  ..
..
..
.
.
.
.   .
An1 An2 . . .
. . . Anm

a · A11 a · A12 . . .
a · A21 a · A22 . . .

= .
..
..
 ..
.
.
a · An1 a · An2 . . .

a · A1m
a · A2m 

.. 
. 
a · Anm
(każdy wyraz macierzy został pomnożony przez stałą a).

A1m
A2m 

..  · a =
. 
Anm
Działania na macierzach: mnożenie macierzy przez liczbę
Przykład
Pomnóżmy macierz


2 −4
A = −3 2 
1
0
przez −3:

 

−3 · 2
−3 · (−4)
−6 12
−3 · 2  =  9 −6
−3 · A = A · (−3) = −3 · (−3)
−3 · 1
−3 · 0
−3 0
Działania na macierzach: mnożenie macierzy przez liczbę
Przykład
Pomnóżmy macierz


2 −4
A = −3 2 
1
0
przez −3:

 

−3 · 2
−3 · (−4)
−6 12
−3 · 2  =  9 −6
−3 · A = A · (−3) = −3 · (−3)
−3 · 1
−3 · 0
−3 0
Działania na macierzach: mnożenie macierzy przez liczbę
Przykład
Pomnóżmy macierz


2 −4
A = −3 2 
1
0
przez −3:

 

−3 · 2
−3 · (−4)
−6 12
−3 · 2  =  9 −6
−3 · A = A · (−3) = −3 · (−3)
−3 · 1
−3 · 0
−3 0
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Jeżeli macierz A ma wymiar n × m, zaś macierz B ma wymiar m × l to
można obliczyć iloczyn tych macierzy: A · B. Iloczyn ten jest macierzą
wymiaru n × l, przy czym
(A · B)ik =
m
X
Aij Bjk
j=1
dla i = 1, 2, . . . , n oraz k = 1, 2, . . . , l
Jeśli liczba kolumn macierzy A różni się od liczby wierszy macierzy B, to
mnożenia A · B nie da się wykonać.
A · B oraz B · A to zwykle nie to samo (mnożenie macierzy nie jest
przemienne). Często tylko jedno z tych mnożeń da się wykonać.
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Jeżeli macierz A ma wymiar n × m, zaś macierz B ma wymiar m × l to
można obliczyć iloczyn tych macierzy: A · B. Iloczyn ten jest macierzą
wymiaru n × l, przy czym
(A · B)ik =
m
X
Aij Bjk
j=1
dla i = 1, 2, . . . , n oraz k = 1, 2, . . . , l
Jeśli liczba kolumn macierzy A różni się od liczby wierszy macierzy B, to
mnożenia A · B nie da się wykonać.
A · B oraz B · A to zwykle nie to samo (mnożenie macierzy nie jest
przemienne). Często tylko jedno z tych mnożeń da się wykonać.
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Jeżeli macierz A ma wymiar n × m, zaś macierz B ma wymiar m × l to
można obliczyć iloczyn tych macierzy: A · B. Iloczyn ten jest macierzą
wymiaru n × l, przy czym
(A · B)ik =
m
X
Aij Bjk
j=1
dla i = 1, 2, . . . , n oraz k = 1, 2, . . . , l
Jeśli liczba kolumn macierzy A różni się od liczby wierszy macierzy B, to
mnożenia A · B nie da się wykonać.
A · B oraz B · A to zwykle nie to samo (mnożenie macierzy nie jest
przemienne). Często tylko jedno z tych mnożeń da się wykonać.
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Przykład
Dla macierzy


2 −4
A = −3 2  ,
1
0
obliczyć A · B

2
A·B = −3
1
B=
2 5
−3 1
oraz B · A.



−4 2 · 2 + (−4) · (−3) 2 · 5 + (−4) · 1
2
5
2 ·
= (−3) · 2 + 2 · (−3) (−3) · 5 + 2 · 1 =
−3 1
0
1 · 2 + 0 · (−3)
1·5+0·1


16
6
= −12 −12
2
5
B · A – nie istnieje (liczba kolumn macierzy B 6= liczba wierszy macierzy A).
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Przykład
Dla macierzy


2 −4
A = −3 2  ,
1
0
obliczyć A · B

2
A·B = −3
1
B=
2 5
−3 1
oraz B · A.



2 · 2 + (−4) · (−3) 2 · 5 + (−4) · 1
−4 2
5
2 ·
= (−3) · 2 + 2 · (−3) (−3) · 5 + 2 · 1 =
−3 1
1 · 2 + 0 · (−3)
1·5+0·1
0


16
6
= −12 −12
2
5
B · A – nie istnieje (liczba kolumn macierzy B 6= liczba wierszy macierzy A).
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Przykład
Dla macierzy


2 −4
A = −3 2  ,
1
0
obliczyć A · B

2
A·B = −3
1
B=
2 5
−3 1
oraz B · A.



2 · 2 + (−4) · (−3) 2 · 5 + (−4) · 1
−4 2
5
2 ·
= (−3) · 2 + 2 · (−3) (−3) · 5 + 2 · 1 =
−3 1
1 · 2 + 0 · (−3)
1·5+0·1
0


16
6
= −12 −12
2
5
B · A – nie istnieje (liczba kolumn macierzy B 6= liczba wierszy macierzy A).
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Przykład
Dla macierzy


2 −4
A = −3 2  ,
1
0
obliczyć A · B

2
A·B = −3
1
B=
2 5
−3 1
oraz B · A.



2 · 2 + (−4) · (−3) 2 · 5 + (−4) · 1
−4 2
5
2 ·
= (−3) · 2 + 2 · (−3) (−3) · 5 + 2 · 1 =
−3 1
1 · 2 + 0 · (−3)
1·5+0·1
0


16
6
= −12 −12
2
5
B · A – nie istnieje (liczba kolumn macierzy B 6= liczba wierszy macierzy A).
Działania na macierzach: mnożenie macierzy
Przykład
Dla macierzy


2 −4
A = −3 2  ,
1
0
obliczyć A · B

2
A·B = −3
1
B=
2 5
−3 1
oraz B · A.



2 · 2 + (−4) · (−3) 2 · 5 + (−4) · 1
−4 2
5
2 ·
= (−3) · 2 + 2 · (−3) (−3) · 5 + 2 · 1 =
−3 1
1 · 2 + 0 · (−3)
1·5+0·1
0


16
6
= −12 −12
2
5
B · A – nie istnieje (liczba kolumn macierzy B 6= liczba wierszy macierzy A).
Działania na macierzach: własności
Działania na macierzach mają wiele ważnych własności. Oto niektóre z nich:
(A + B) + C = A + (B + C ),
A + B = B + A,
(A · B) · C = A · (B · C ),
ale nie zawsze A · B = B · A
(A ± B)T = AT ± B T ,
(a · A)T = a · AT ,
(A · B)T = B T · AT ,
a · (A ± B) = a · A ± a · B,
C · (A ± B) = C · A ± C · B,
(A ± B) · C = A · C ± B · C
Macierze kwadratowe, macierze jednostkowe
Macierz kwadratowa to macierz, która ma tyle samo kolumn, co wierszy,
czyli macierz wymiaru n × n dla pewnego n ∈ N.
Wśród macierzy kwadratowych wymiaru n × n szczególnie ważna jest
macierz identycznościowa (jednostkowa) oznaczana I lub In lub Id. Jest to
macierz, w której na głównej(przekątnej występują jedynki, a wszędzie
1 gdy i = j
indziej zera, to znaczy Iij =
.
0 gdy i 6= j
Przykład
Oto macierze identycznościowe


 1 0
1 0 0
0 1
1 0 
, 0 1 0, 
0 0
0 1
0 0 1
0 0
kilku wymiarów

 1 0
0 0 
0 1
0 0
, 0 0
1 0 
0 0
0 1
0 0
(od
0
0
1
0
0
2 × 2do 5 × 5):
0 0
0 0

0 0
.
1 0
0 1
Macierze kwadratowe, macierze jednostkowe
Macierz kwadratowa to macierz, która ma tyle samo kolumn, co wierszy,
czyli macierz wymiaru n × n dla pewnego n ∈ N.
Wśród macierzy kwadratowych wymiaru n × n szczególnie ważna jest
macierz identycznościowa (jednostkowa) oznaczana I lub In lub Id. Jest to
macierz, w której na głównej(przekątnej występują jedynki, a wszędzie
1 gdy i = j
indziej zera, to znaczy Iij =
.
0 gdy i 6= j
Przykład
Oto macierze identycznościowe


 1 0
1 0 0
0 1
1 0 
, 0 1 0, 
0 0
0 1
0 0 1
0 0
kilku wymiarów

 1 0
0 0 
0 1
0 0
, 0 0
1 0 
0 0
0 1
0 0
(od
0
0
1
0
0
2 × 2do 5 × 5):
0 0
0 0

0 0
.
1 0
0 1
Macierze jednostkowe, macierze odwrotne
Jeśli macierz I jest macierzą identycznościową wymiaru n × n oraz macierz
A ma n wierszy, to I · A = A. Jeśli macierz A ma n kolumn, to A · I = A.
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A wymiaru n × n jest taka
macierz kwadratowa A−1 wymiaru n × n, dla której zachodzi
A · A−1 = A−1 · A = I .
Przykład
Macierzą odwrotną do macierzy A =
−5 2
−1
A =
, gdyż
3 −1
1 2
3 5
jest macierz
1 2
−5 2
−5 2
1 2
1 0
·
=
·
=
= I.
3 5
3 −1
3 −1
3 5
0 1
Macierze jednostkowe, macierze odwrotne
Jeśli macierz I jest macierzą identycznościową wymiaru n × n oraz macierz
A ma n wierszy, to I · A = A. Jeśli macierz A ma n kolumn, to A · I = A.
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A wymiaru n × n jest taka
macierz kwadratowa A−1 wymiaru n × n, dla której zachodzi
A · A−1 = A−1 · A = I .
Przykład
Macierzą odwrotną do macierzy A =
−5 2
−1
A =
, gdyż
3 −1
1 2
3 5
jest macierz
1 2
−5 2
−5 2
1 2
1 0
·
=
·
=
= I.
3 5
3 −1
3 −1
3 5
0 1
Macierze jednostkowe, macierze odwrotne
Jeśli macierz I jest macierzą identycznościową wymiaru n × n oraz macierz
A ma n wierszy, to I · A = A. Jeśli macierz A ma n kolumn, to A · I = A.
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A wymiaru n × n jest taka
macierz kwadratowa A−1 wymiaru n × n, dla której zachodzi
A · A−1 = A−1 · A = I .
Przykład
Macierzą odwrotną do macierzy A =
−5 2
−1
A =
, gdyż
3 −1
1 2
3 5
jest macierz
1 2
−5 2
−5 2
1 2
1 0
·
=
·
=
= I.
3 5
3 −1
3 −1
3 5
0 1
Macierze odwrotne, wyznacznik
Dla każdej macierzy kwadratowej istnieje co najwyżej jedna macierz do niej
odwrotna.
Jeśli istnieje macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A, wówczas
mówimy, że macierz A jest odwracalna (nieosobliwa).
Jeśli nie istnieje macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A, wówczas
mówimy, że macierz A jest nieodwracalna (osobliwa).
Do stwierdzenia, czy macierz kwadratowa A jest odwracalna (oraz do
wyznaczania macierzy odwrotnej A−1 ) przydatny jest wyznacznik macierzy.
Macierze odwrotne, wyznacznik
Dla każdej macierzy kwadratowej istnieje co najwyżej jedna macierz do niej
odwrotna.
Jeśli istnieje macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A, wówczas
mówimy, że macierz A jest odwracalna (nieosobliwa).
Jeśli nie istnieje macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A, wówczas
mówimy, że macierz A jest nieodwracalna (osobliwa).
Do stwierdzenia, czy macierz kwadratowa A jest odwracalna (oraz do
wyznaczania macierzy odwrotnej A−1 ) przydatny jest wyznacznik macierzy.
Ślad macierzy kwadratowej
W przypadku macierzy kwadratowej można wyznaczyć jej ślad oraz
wyznacznik.
Ślad macierzy kwadratowej to suma wyrazów na jej głównej przekątnej:
Jeśli A jest macierzą kwadratową wymiaru n × n, to jej śladem (ozn.
trace(A) lub Tr(A)) jest liczba
Tr(A) =
n
X
Akk .
k=1
Przykład


1 2 3
Wyznaczmy ślad macierzy A = 4 5 6.
7 8 9


1 2 3
Tr(A) = Tr 4 5 6 = 1 + 5 + 9 = 15.
7 8 9
Ślad macierzy kwadratowej
W przypadku macierzy kwadratowej można wyznaczyć jej ślad oraz
wyznacznik.
Ślad macierzy kwadratowej to suma wyrazów na jej głównej przekątnej:
Jeśli A jest macierzą kwadratową wymiaru n × n, to jej śladem (ozn.
trace(A) lub Tr(A)) jest liczba
Tr(A) =
n
X
Akk .
k=1
Przykład


1 2 3
Wyznaczmy ślad macierzy A = 4 5 6.
7 8 9


1 2 3
Tr(A) = Tr 4 5 6 = 1 + 5 + 9 = 15.
7 8 9
Ślad macierzy kwadratowej
W przypadku macierzy kwadratowej można wyznaczyć jej ślad oraz
wyznacznik.
Ślad macierzy kwadratowej to suma wyrazów na jej głównej przekątnej:
Jeśli A jest macierzą kwadratową wymiaru n × n, to jej śladem (ozn.
trace(A) lub Tr(A)) jest liczba
Tr(A) =
n
X
Akk .
k=1
Przykład


1 2 3
Wyznaczmy ślad macierzy A = 4 5 6.
7 8 9


1 2 3
Tr(A) = Tr 4 5 6 = 1 + 5 + 9 = 15.
7 8 9
Ślad macierzy kwadratowej
W przypadku macierzy kwadratowej można wyznaczyć jej ślad oraz
wyznacznik.
Ślad macierzy kwadratowej to suma wyrazów na jej głównej przekątnej:
Jeśli A jest macierzą kwadratową wymiaru n × n, to jej śladem (ozn.
trace(A) lub Tr(A)) jest liczba
Tr(A) =
n
X
Akk .
k=1
Przykład


1 2 3
Wyznaczmy ślad macierzy A = 4 5 6.
7 8 9


1 2 3
Tr(A) = Tr 4 5 6 = 1 + 5 + 9 = 15.
7 8 9
Wyznacznik macierzy kwadratowej 2 × 2
Formalna definicja wyznacznika dowolnej macierzy kwadratowej wymaga
wiedzy z zakresu algebry liniowej i wykracza poza zakres naszego wykładu.
Ograniczymy się jedynie do przedstawienia sposobu obliczania
i wykorzystywania wyznacznika w rachunku macierzy. A11 A12
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A =
wymiaru 2 × 2
A21 A22
nazywamy liczbę
A11 A12 A11 A12
= A11 · A22 − A12 · A21
det A = det
=
A21 A22 A21 A22
Przykład
Wyznaczmy wyznacznik macierzy A =
1
4
.
−2 −3
1
4
det A = det
= 1 · (−3) − 4 · (−2) = 5.
−2 −3
Wyznacznik macierzy kwadratowej 2 × 2
Formalna definicja wyznacznika dowolnej macierzy kwadratowej wymaga
wiedzy z zakresu algebry liniowej i wykracza poza zakres naszego wykładu.
Ograniczymy się jedynie do przedstawienia sposobu obliczania
i wykorzystywania wyznacznika w rachunku macierzy. A11 A12
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A =
wymiaru 2 × 2
A21 A22
nazywamy liczbę
A11 A12 A11 A12
= A11 · A22 − A12 · A21
det A = det
=
A21 A22 A21 A22
Przykład
Wyznaczmy wyznacznik macierzy A =
1
4
.
−2 −3
1
4
det A = det
= 1 · (−3) − 4 · (−2) = 5.
−2 −3
Wyznacznik macierzy kwadratowej 2 × 2
Formalna definicja wyznacznika dowolnej macierzy kwadratowej wymaga
wiedzy z zakresu algebry liniowej i wykracza poza zakres naszego wykładu.
Ograniczymy się jedynie do przedstawienia sposobu obliczania
i wykorzystywania wyznacznika w rachunku macierzy. A11 A12
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A =
wymiaru 2 × 2
A21 A22
nazywamy liczbę
A11 A12 A11 A12
= A11 · A22 − A12 · A21
det A = det
=
A21 A22 A21 A22
Przykład
Wyznaczmy wyznacznik macierzy A =
1
4
.
−2 −3
1
4
det A = det
= 1 · (−3) − 4 · (−2) = 5.
−2 −3
Wyznacznik macierzy kwadratowej 2 × 2
Formalna definicja wyznacznika dowolnej macierzy kwadratowej wymaga
wiedzy z zakresu algebry liniowej i wykracza poza zakres naszego wykładu.
Ograniczymy się jedynie do przedstawienia sposobu obliczania
i wykorzystywania wyznacznika w rachunku macierzy. A11 A12
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A =
wymiaru 2 × 2
A21 A22
nazywamy liczbę
A11 A12 A11 A12
= A11 · A22 − A12 · A21
det A = det
=
A21 A22 A21 A22
Przykład
Wyznaczmy wyznacznik macierzy A =
1
4
.
−2 −3
1
4
det A = det
= 1 · (−3) − 4 · (−2) = 5.
−2 −3
Wyznacznik macierzy kwadratowej 3 × 3
Dla macierzy wymiaru 1 × 1 jest jeszcze łatwiej: det(A11 ) = A11 , np.
det(5) = 5, natomiast trudniej jest dla macierzy
 wymiaru 3 ×3.
A11 A12 A13
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = A21 A22 A23  wymiaru
A31 A32 A33
3 × 3 nazywamy liczbę

 A11 A12 A13 A11 A12 A13
det A = det A21 A22 A23  = A21 A22 A23 =
A31 A32 A33 A31 A32 A33
= A11 · A22 · A33 + A12 · A23 · A31 + A13 · A21 · A32
−A11 · A23 · A32 − A12 · A21 · A33 − A13 · A22 · A31 .
Wyznacznik macierzy kwadratowej 3 × 3
Dla macierzy wymiaru 1 × 1 jest jeszcze łatwiej: det(A11 ) = A11 , np.
det(5) = 5, natomiast trudniej jest dla macierzy
 wymiaru 3 ×3.
A11 A12 A13
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = A21 A22 A23  wymiaru
A31 A32 A33
3 × 3 nazywamy liczbę
 
A11 A12 A13 A11 A12 A13
det A = det A21 A22 A23  = A21 A22 A23 =
A31 A32 A33 A31 A32 A33
= A11 · A22 · A33 + A12 · A23 · A31 + A13 · A21 · A32
−A11 · A23 · A32 − A12 · A21 · A33 − A13 · A22 · A31 .
Wyznacznik macierzy 3 × 3: metoda Sarrusa
Pomocna do zapamiętania wzoru na wyznacznik macierzy wymiaru 3 × 3
jest tzw. metoda Sarrusa:
Z prawej strony macierzy dopisujemy dwie pierwsze kolumny, wymnażamy
wyrazy o tym samym kolorze, a otrzymane iloczyny bierzemy z odpowiednim
znakiem (+ lub −):


A11 A12 A13 A11 A12
A21 A22 A23  A21 A22
A31 A32 A33 A31 A32
+
–


A11 A12 A13 A11 A12
A21 A22 A23  A21 A22
A31 A32 A33 A31 A32
det A = + A11 · A22 · A33 + A12 · A23 · A31 + A13 · A21 · A32
− A11 · A23 · A32 − A12 · A21 · A33 − A13 · A22 · A31 .
Metoda ta dotyczy wyłącznie macierzy wymiaru 3 × 3.
Wyznacznik macierzy kwadratowej 3 × 3
Przykład


1 −2 4
5
7 .
Obliczmy wyznacznik macierzy A =  3
−3 0 −1

1 −2 4
5
7 =
det A = det  3
−3 0 −1

= 1 · 5 · (−1) + (−2) · 7 · (−3) + 4 · 3 · 0
−1 · 7 · 0 − (−2) · 3 · (−1) − 4 · 5 · (−3) = 91.
Wyznacznik macierzy kwadratowej 3 × 3
Przykład


1 −2 4
5
7 .
Obliczmy wyznacznik macierzy A =  3
−3 0 −1

1 −2 4
5
7 =
det A = det  3
−3 0 −1

= 1 · 5 · (−1) + (−2) · 7 · (−3) + 4 · 3 · 0
−1 · 7 · 0 − (−2) · 3 · (−1) − 4 · 5 · (−3) = 91.
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Wyznaczniki macierzy wyższych wymiarów oblicza się często wykorzystując
tzw. rozwinięcie Laplace’a:
Jeśli macierz A ma wymiar n × n, wówczas A(kl) ozanacza macierz powstałą
z macierzy A przez usunięcie k-tego wiersza i l-tej kolumny.
Dla dowolnego k ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie względem
k-tego wiersza):
det A =
n
X
(−1)k+l · Akl · det A(kl)
l=1
oraz dla dowolnego l ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie
względem l-tej kolumny):
n
X
det A =
(−1)k+l · Akl · det A(kl) .
k=1
Ponieważ macierze A(kl) mają wymiar (n − 1) × (n − 1), mniejszy, niż wymiar
macierzy A, więc powyższe wzory pozwalają obliczać wyznaczniki macierzy
wymiaru n × n, jeśli umiemy obliczać wyznaczniki mniejszych macierzy.
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Wyznaczniki macierzy wyższych wymiarów oblicza się często wykorzystując
tzw. rozwinięcie Laplace’a:
Jeśli macierz A ma wymiar n × n, wówczas A(kl) ozanacza macierz powstałą
z macierzy A przez usunięcie k-tego wiersza i l-tej kolumny.
Dla dowolnego k ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie względem
k-tego wiersza):
det A =
n
X
(−1)k+l · Akl · det A(kl)
l=1
oraz dla dowolnego l ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie
względem l-tej kolumny):
n
X
det A =
(−1)k+l · Akl · det A(kl) .
k=1
Ponieważ macierze A(kl) mają wymiar (n − 1) × (n − 1), mniejszy, niż wymiar
macierzy A, więc powyższe wzory pozwalają obliczać wyznaczniki macierzy
wymiaru n × n, jeśli umiemy obliczać wyznaczniki mniejszych macierzy.
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Wyznaczniki macierzy wyższych wymiarów oblicza się często wykorzystując
tzw. rozwinięcie Laplace’a:
Jeśli macierz A ma wymiar n × n, wówczas A(kl) ozanacza macierz powstałą
z macierzy A przez usunięcie k-tego wiersza i l-tej kolumny.
Dla dowolnego k ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie względem
k-tego wiersza):
det A =
n
X
(−1)k+l · Akl · det A(kl)
l=1
oraz dla dowolnego l ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie
względem l-tej kolumny):
n
X
det A =
(−1)k+l · Akl · det A(kl) .
k=1
Ponieważ macierze A(kl) mają wymiar (n − 1) × (n − 1), mniejszy, niż wymiar
macierzy A, więc powyższe wzory pozwalają obliczać wyznaczniki macierzy
wymiaru n × n, jeśli umiemy obliczać wyznaczniki mniejszych macierzy.
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Wyznaczniki macierzy wyższych wymiarów oblicza się często wykorzystując
tzw. rozwinięcie Laplace’a:
Jeśli macierz A ma wymiar n × n, wówczas A(kl) ozanacza macierz powstałą
z macierzy A przez usunięcie k-tego wiersza i l-tej kolumny.
Dla dowolnego k ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie względem
k-tego wiersza):
det A =
n
X
(−1)k+l · Akl · det A(kl)
l=1
oraz dla dowolnego l ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie
względem l-tej kolumny):
n
X
det A =
(−1)k+l · Akl · det A(kl) .
k=1
Ponieważ macierze A(kl) mają wymiar (n − 1) × (n − 1), mniejszy, niż wymiar
macierzy A, więc powyższe wzory pozwalają obliczać wyznaczniki macierzy
wymiaru n × n, jeśli umiemy obliczać wyznaczniki mniejszych macierzy.
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Wyznaczniki macierzy wyższych wymiarów oblicza się często wykorzystując
tzw. rozwinięcie Laplace’a:
Jeśli macierz A ma wymiar n × n, wówczas A(kl) ozanacza macierz powstałą
z macierzy A przez usunięcie k-tego wiersza i l-tej kolumny.
Dla dowolnego k ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie względem
k-tego wiersza):
det A =
n
X
(−1)k+l · Akl · det A(kl)
l=1
oraz dla dowolnego l ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi równość (rozwinięcie
względem l-tej kolumny):
n
X
det A =
(−1)k+l · Akl · det A(kl) .
k=1
Ponieważ macierze A(kl) mają wymiar (n − 1) × (n − 1), mniejszy, niż wymiar
macierzy A, więc powyższe wzory pozwalają obliczać wyznaczniki macierzy
wymiaru n × n, jeśli umiemy obliczać wyznaczniki mniejszych macierzy.
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Przykład

1 −2
3 5
Obliczmy wyznacznik macierzy A = 
0 −3
0 2
rozwinięcie
Laplace’a
względem
2-go
wiersza
P
(det A = 4l=1 (−1)2+l · A2,l · det A(2,l) ):
1
3
0
0
−2
5
−3
2
1
5
+ (−1) · 0 · 0
0
4
0
0
0
−2
−3
2
0 7 3
=
(−1)
·
3
·
−1
3 1
0 + (−1)6 · 7 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0

4 0
0 7
 stosując w tym celu
0 −1
0 3
1
0 + (−1)4 · 5 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0
4
0
0
0 −1
3 = −3 · 28 + 5 · 0 − 0 · (−7) + 7 · 0 = −84
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Przykład

1 −2
3 5
Obliczmy wyznacznik macierzy A = 
0 −3
0 2
rozwinięcie
Laplace’a
względem
2-go
wiersza
P
(det A = 4l=1 (−1)2+l · A2,l · det A(2,l) ):
1
3
0
0
−2
5
−3
2
1
5
+ (−1) · 0 · 0
0
4
0
0
0
−2
−3
2
0 7 3
=
(−1)
·
3
·
−1
3 1
0 + (−1)6 · 7 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0

4 0
0 7
 stosując w tym celu
0 −1
0 3
1
0 + (−1)4 · 5 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0
4
0
0
0 −1
3 = −3 · 28 + 5 · 0 − 0 · (−7) + 7 · 0 = −84
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Przykład

1 −2
3 5
Obliczmy wyznacznik macierzy A = 
0 −3
0 2
rozwinięcie
Laplace’a
względem
2-go
wiersza
P
(det A = 4l=1 (−1)2+l · A2,l · det A(2,l) ):
1
3
0
0
−2
5
−3
2
1
5
+ (−1) · 0 · 0
0
4
0
0
0
−2
−3
2
0 7 3
=
(−1)
·
3
·
−1
3 1
0 + (−1)6 · 7 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0

4 0
0 7
 stosując w tym celu
0 −1
0 3
1
0 + (−1)4 · 5 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0
4
0
0
0 −1
3 = −3 · 28 + 5 · 0 − 0 · (−7) + 7 · 0 = −84
Wyznacznik macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru
Przykład

1 −2
3 5
Obliczmy wyznacznik macierzy A = 
0 −3
0 2
rozwinięcie
Laplace’a
względem
2-go
wiersza
P
(det A = 4l=1 (−1)2+l · A2,l · det A(2,l) ):
1
3
0
0
−2
5
−3
2
1
5
+ (−1) · 0 · 0
0
4
0
0
0
−2
−3
2
0 7 3
=
(−1)
·
3
·
−1
3 1
0 + (−1)6 · 7 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0

4 0
0 7
 stosując w tym celu
0 −1
0 3
1
0 + (−1)4 · 5 · 0
−1
0
3 −2
4
−3
2
0
0
4
0
0
0 −1
3 = −3 · 28 + 5 · 0 − 0 · (−7) + 7 · 0 = −84
Własności wyznacznika macierzy
Dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzą własności:
det(AT ) = det A,
Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) składającą się z samych zer,
to det A = 0,
Jeśli macierz A ma dwa takie same wiersze (lub kolumny), to det A = 0,
Jeśli jeden wiersz macierzy powstaje z innego przez pomnożenie
wszystkich jego wyrazów przez tę samą liczbę, to det A = 0; (to samo
dla kolumn),
Jeśli jeden wiersz macierzy powstaje z kilku innych przez ich dodanie,
to det A = 0; (to samo dla kolumn),
Jeśli macierz B ma ten sam wymiar, co macierz A, to
det(A · B) = det A · det B, (ale zwykle det(A + B) 6= det A + det B),
Dla macierzy jednostkowej zachodzi det I = 1.
Wyznacznik macierzy a macierz odwrotna
Jeśli macierz kwadratowa A wymiaru n × n ma wyznacznik równy 0,
wówczas A jest osobliwa (nieodwracalna, nie istnieje macierz odwrotna A−1 .
Jeśli det A 6= 0, wówczas macierz A jest odwracalna (nieosobliwa) oraz dla
dowolnych k, l ∈ {1, 2, . . . n} zachodzi (A−1 )kl = det1 A · (−1)k+l · det A(lk)
(gdzie A(kl) ozanacza macierz powstałą z macierzy A przez usunięcie k-tego
wiersza i l-tej kolumny), czyli
det A(11)

− det A(12)
1

=
·
..
det A 
.
(−1)n+1 · det A(1n)

A−1
Ponadto det A−1 =
1
det A .
− det A(21)
det A(22)
..
.
(−1)n+2 · det A(2n)
...
...
..
.
...

(−1)1+n · det A(n1)
2+n
(−1)
· det A(n2) 


..

.
det A(nn)
Wyznacznik macierzy a macierz odwrotna
Jeśli macierz kwadratowa A wymiaru n × n ma wyznacznik równy 0,
wówczas A jest osobliwa (nieodwracalna, nie istnieje macierz odwrotna A−1 .
Jeśli det A 6= 0, wówczas macierz A jest odwracalna (nieosobliwa) oraz dla
dowolnych k, l ∈ {1, 2, . . . n} zachodzi (A−1 )kl = det1 A · (−1)k+l · det A(lk)
(gdzie A(kl) ozanacza macierz powstałą z macierzy A przez usunięcie k-tego
wiersza i l-tej kolumny), czyli
det A(11)

− det A(12)
1

=
·
..
det A 
.
(−1)n+1 · det A(1n)

A−1
Ponadto det A−1 =
1
det A .
− det A(21)
det A(22)
..
.
(−1)n+2 · det A(2n)
...
...
..
.
...

(−1)1+n · det A(n1)
2+n
(−1)
· det A(n2) 


..

.
det A(nn)
Wyznacznik macierzy a macierz odwrotna
Jeśli macierz kwadratowa A wymiaru n × n ma wyznacznik równy 0,
wówczas A jest osobliwa (nieodwracalna, nie istnieje macierz odwrotna A−1 .
Jeśli det A 6= 0, wówczas macierz A jest odwracalna (nieosobliwa) oraz dla
dowolnych k, l ∈ {1, 2, . . . n} zachodzi (A−1 )kl = det1 A · (−1)k+l · det A(lk)
(gdzie A(kl) ozanacza macierz powstałą z macierzy A przez usunięcie k-tego
wiersza i l-tej kolumny), czyli
det A(11)

− det A(12)
1

=
·
..
det A 
.
(−1)n+1 · det A(1n)

A−1
Ponadto det A−1 =
1
det A .
− det A(21)
det A(22)
..
.
(−1)n+2 · det A(2n)
...
...
..
.
...

(−1)1+n · det A(n1)
2+n
(−1)
· det A(n2) 


..

.
det A(nn)
Wyznacznik macierzy a macierz odwrotna
Jeśli macierz kwadratowa A wymiaru n × n ma wyznacznik równy 0,
wówczas A jest osobliwa (nieodwracalna, nie istnieje macierz odwrotna A−1 .
Jeśli det A 6= 0, wówczas macierz A jest odwracalna (nieosobliwa) oraz dla
dowolnych k, l ∈ {1, 2, . . . n} zachodzi (A−1 )kl = det1 A · (−1)k+l · det A(lk)
(gdzie A(kl) ozanacza macierz powstałą z macierzy A przez usunięcie k-tego
wiersza i l-tej kolumny), czyli
det A(11)

− det A(12)
1

=
·
..
det A 
.
(−1)n+1 · det A(1n)

A−1
Ponadto det A−1 =
1
det A .
− det A(21)
det A(22)
..
.
(−1)n+2 · det A(2n)
...
...
..
.
...

(−1)1+n · det A(n1)
2+n
(−1)
· det A(n2) 


..

.
det A(nn)
Macierz odwrotna do macierzy wymiaru 2 × 2
Przykład
1 −3
Wyznaczyć (jeśli istnieje) macierz odwrotną do macierzy A =
.
2 −4
Ponieważ det A = 1 · (−4) − (−3) · 2 = 2 6= 0, więc macierz A−1 istnieje oraz
1
1
det A(11) − det A(21)
−4 3
−2 1, 5
−1
A =
·
=
.
= ·
−2 1
−1 0, 5
− det A(12) det A(22)
det A
2
Ogólnie, jeśli A jest macierzą wymiaru 2 × 2 oraz det A 6= 0, to
1
1
A22 −A12
A22 −A12
−1
A =
·
=
·
.
−A21 A11
−A21 A11
det A
A11 · A22 − A12 · A21
Macierz odwrotna do macierzy wymiaru 2 × 2
Przykład
1 −3
Wyznaczyć (jeśli istnieje) macierz odwrotną do macierzy A =
.
2 −4
Ponieważ det A = 1 · (−4) − (−3) · 2 = 2 6= 0, więc macierz A−1 istnieje oraz
1
1
det A(11) − det A(21)
−4 3
−2 1, 5
−1
A =
·
=
.
= ·
−2 1
−1 0, 5
− det A(12) det A(22)
det A
2
Ogólnie, jeśli A jest macierzą wymiaru 2 × 2 oraz det A 6= 0, to
1
1
A22 −A12
A22 −A12
−1
A =
·
=
·
.
−A21 A11
−A21 A11
det A
A11 · A22 − A12 · A21
Macierz odwrotna do macierzy wymiaru 2 × 2
Przykład
1 −3
Wyznaczyć (jeśli istnieje) macierz odwrotną do macierzy A =
.
2 −4
Ponieważ det A = 1 · (−4) − (−3) · 2 = 2 6= 0, więc macierz A−1 istnieje oraz
1
1
det A(11) − det A(21)
−4 3
−2 1, 5
−1
A =
·
=
.
= ·
−2 1
−1 0, 5
− det A(12) det A(22)
det A
2
Ogólnie, jeśli A jest macierzą wymiaru 2 × 2 oraz det A 6= 0, to
1
1
A22 −A12
A22 −A12
−1
A =
·
=
·
.
−A21 A11
−A21 A11
det A
A11 · A22 − A12 · A21
Funkcje liniowe wielu zmiennych
W szkole średniej uczono nas o funkcjach liniowych, czyli o funkcjach
postaci f (x) = a · x (na przykład f (x) = 5x) lub ogólniej o funkcjach
postaci f (x) = a · x + b (na przykład f (x) = 5x + 3).
Okazuje się, że wiele zależności w ekonomii i przyrodzie ma charakter
liniowy, przy czym liczba zmiennych (argumentów funkcji), które wpływają
na daną wielkość (wartość funkcji) jest zwykle większa, niż jeden.
Na przykład funkcja liniowa
f (x, y , z, t) = 3 · x − 5,4 · y + 6,3 · z + 8 · t
jest funkcją liniową czterech zmiennych: x, y , z, t. Zapisujemy to
następująco: f : R4 → R, co oznacza, że argumentami funkcji są cztery
liczby, a wartością jedna liczba.
Wartością funkcji może być więcej niż jedna liczba, na przykład funkcja
f : R3 → R2 dana wzorem
f (x, y , z) = (x + y , y − z)
trzem liczbom: x, y , z przyporządkowuje wektor składający się z dwóch
liczb: x + y oraz y − z.
Funkcje liniowe wielu zmiennych
W szkole średniej uczono nas o funkcjach liniowych, czyli o funkcjach
postaci f (x) = a · x (na przykład f (x) = 5x) lub ogólniej o funkcjach
postaci f (x) = a · x + b (na przykład f (x) = 5x + 3).
Okazuje się, że wiele zależności w ekonomii i przyrodzie ma charakter
liniowy, przy czym liczba zmiennych (argumentów funkcji), które wpływają
na daną wielkość (wartość funkcji) jest zwykle większa, niż jeden.
Na przykład funkcja liniowa
f (x, y , z, t) = 3 · x − 5,4 · y + 6,3 · z + 8 · t
jest funkcją liniową czterech zmiennych: x, y , z, t. Zapisujemy to
następująco: f : R4 → R, co oznacza, że argumentami funkcji są cztery
liczby, a wartością jedna liczba.
Wartością funkcji może być więcej niż jedna liczba, na przykład funkcja
f : R3 → R2 dana wzorem
f (x, y , z) = (x + y , y − z)
trzem liczbom: x, y , z przyporządkowuje wektor składający się z dwóch
liczb: x + y oraz y − z.
Funkcje liniowe wielu zmiennych
W szkole średniej uczono nas o funkcjach liniowych, czyli o funkcjach
postaci f (x) = a · x (na przykład f (x) = 5x) lub ogólniej o funkcjach
postaci f (x) = a · x + b (na przykład f (x) = 5x + 3).
Okazuje się, że wiele zależności w ekonomii i przyrodzie ma charakter
liniowy, przy czym liczba zmiennych (argumentów funkcji), które wpływają
na daną wielkość (wartość funkcji) jest zwykle większa, niż jeden.
Na przykład funkcja liniowa
f (x, y , z, t) = 3 · x − 5,4 · y + 6,3 · z + 8 · t
jest funkcją liniową czterech zmiennych: x, y , z, t. Zapisujemy to
następująco: f : R4 → R, co oznacza, że argumentami funkcji są cztery
liczby, a wartością jedna liczba.
Wartością funkcji może być więcej niż jedna liczba, na przykład funkcja
f : R3 → R2 dana wzorem
f (x, y , z) = (x + y , y − z)
trzem liczbom: x, y , z przyporządkowuje wektor składający się z dwóch
liczb: x + y oraz y − z.
Funkcje liniowe wielu zmiennych
W szkole średniej uczono nas o funkcjach liniowych, czyli o funkcjach
postaci f (x) = a · x (na przykład f (x) = 5x) lub ogólniej o funkcjach
postaci f (x) = a · x + b (na przykład f (x) = 5x + 3).
Okazuje się, że wiele zależności w ekonomii i przyrodzie ma charakter
liniowy, przy czym liczba zmiennych (argumentów funkcji), które wpływają
na daną wielkość (wartość funkcji) jest zwykle większa, niż jeden.
Na przykład funkcja liniowa
f (x, y , z, t) = 3 · x − 5,4 · y + 6,3 · z + 8 · t
jest funkcją liniową czterech zmiennych: x, y , z, t. Zapisujemy to
następująco: f : R4 → R, co oznacza, że argumentami funkcji są cztery
liczby, a wartością jedna liczba.
Wartością funkcji może być więcej niż jedna liczba, na przykład funkcja
f : R3 → R2 dana wzorem
f (x, y , z) = (x + y , y − z)
trzem liczbom: x, y , z przyporządkowuje wektor składający się z dwóch
liczb: x + y oraz y − z.
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Użyte symbole R2 , R3 oznaczają odpowiednio zbiory par oraz trójek liczb
rzeczywistych, czyli wektorów odpowiedniej długości. Ogólnie, Rn to zbiór
wektorów długońci n, czyli układów n liczb rzeczywistych.
Wektor, będący elementem Rn mażna traktować jako wiersz – macierz
3
wymiaru 1 ×
n (np.
(1, −5, 6) ∈ R ) lub jako kolumnę – macierz wymiaru
n × 1 (np.
1
−5
6
= (1, −5, 6)T ∈ R3 ).
Funkcją liniową f : Rm → Rn nazywamy każdą funkcję postaci
f (x1 , . . . , xm ) = (y1 , . . . , yn ),
gdzie
y1 = A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
y2 = A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
yn = An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
+ A1m · xm
+ A2m · xm
+ Anm · xm
dla pewnych liczb Aij , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Użyte symbole R2 , R3 oznaczają odpowiednio zbiory par oraz trójek liczb
rzeczywistych, czyli wektorów odpowiedniej długości. Ogólnie, Rn to zbiór
wektorów długońci n, czyli układów n liczb rzeczywistych.
Wektor, będący elementem Rn mażna traktować jako wiersz – macierz
3
wymiaru 1 ×
n (np.
(1, −5, 6) ∈ R ) lub jako kolumnę – macierz wymiaru
n × 1 (np.
1
−5
6
= (1, −5, 6)T ∈ R3 ).
Funkcją liniową f : Rm → Rn nazywamy każdą funkcję postaci
f (x1 , . . . , xm ) = (y1 , . . . , yn ),
gdzie
y1 = A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
y2 = A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
yn = An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
+ A1m · xm
+ A2m · xm
+ Anm · xm
dla pewnych liczb Aij , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Użyte symbole R2 , R3 oznaczają odpowiednio zbiory par oraz trójek liczb
rzeczywistych, czyli wektorów odpowiedniej długości. Ogólnie, Rn to zbiór
wektorów długońci n, czyli układów n liczb rzeczywistych.
Wektor, będący elementem Rn mażna traktować jako wiersz – macierz
3
wymiaru 1 ×
n (np.
(1, −5, 6) ∈ R ) lub jako kolumnę – macierz wymiaru
n × 1 (np.
1
−5
6
= (1, −5, 6)T ∈ R3 ).
Funkcją liniową f : Rm → Rn nazywamy każdą funkcję postaci
f (x1 , . . . , xm ) = (y1 , . . . , yn ),
gdzie
y1 = A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
y2 = A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
yn = An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
+ A1m · xm
+ A2m · xm
+ Anm · xm
dla pewnych liczb Aij , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Funkcją afiniczną f : Rm → Rn nazywamy każdą funkcję postaci
f (x1 , . . . , xm ) = (y1 , . . . , yn ),
gdzie
y1 = A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
y2 = A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
yn = An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
+ A1m · xm + c1
+ A2m · xm + c2
+ Anm · xm + cn
dla pewnych liczb Aij oraz ci , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Często w zastosowaniach zarówno funkcje liniowe, jak i afiniczne nazywa się
po prostu funkcjami liniowymi, bez wprowadzania jakiegokolwiek podziału
(tak, jak to było w szkole z funkcjami liniowymi jednej zmiennej).
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Funkcją afiniczną f : Rm → Rn nazywamy każdą funkcję postaci
f (x1 , . . . , xm ) = (y1 , . . . , yn ),
gdzie
y1 = A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
y2 = A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
yn = An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
+ A1m · xm + c1
+ A2m · xm + c2
+ Anm · xm + cn
dla pewnych liczb Aij oraz ci , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Często w zastosowaniach zarówno funkcje liniowe, jak i afiniczne nazywa się
po prostu funkcjami liniowymi, bez wprowadzania jakiegokolwiek podziału
(tak, jak to było w szkole z funkcjami liniowymi jednej zmiennej).
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Do opisu funkcji liniowych przydatny jest przedstawiony wcześniej rachunek
macierzy. Zauważmy, że używając mnożenia macierzy równości
y1 = A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
y2 = A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
yn = An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
można zapisać jako
  
y1
A11 A12 . . .
y2  A21 A22 . . .
  
 ..  =  ..
..
..
.  .
.
.
yn
An1 An2 . . .
+ A1m · xm
+ A2m · xm
+ Anm · xm
  
A1m
x1
 x2 
A2m 
  
..  ·  .. 
.   . 
Anm
xm
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Podobnie
y1 = A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
y2 = A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
yn = An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
można zapisać jako
  
y1
A11 A12 . . .
y2  A21 A22 . . .
  
 ..  =  ..
..
..
.  .
.
.
yn
An1 An2 . . .
+ A1m · xm + c1
+ A2m · xm + c2
+ Anm · xm + cn
    
A1m
x1
c1




A2m   x2  c2 

..  ·  ..  +  .. 




.
.
.
Anm
xm
cn
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Funkcję afiniczną f : Rm → Rn można zatem opisać wzorem
f (x)T = A · xT + cT ,
gdzie x = (x1 , x2 , . . . , xm ) oraz c = (c1 , c2 , . . . , cn ), zaś macierz


A11 A12 . . . A1m
A21 A22 . . . A2m 


A= .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 
An1 An2 . . .
nazywamy macierzą funkcji afinicznej f .
Anm
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Przykład
Funkcja f : R3 → R2 dana jest wzorem f (x, y , z) = (x + y − 3, y − z + 2).
Wyznaczyć macierz funkcji f .
Ponieważ
 
x
x +y −3
1 1 0
−3
=
· y  +
,
y −z +2
0 1 −1
2
z
1 1 0
więc macierzą funcji f jest
.
0 1 −1
Funkcje liniowe wielu zmiennych
Przykład
Funkcja f : R3 → R2 dana jest wzorem f (x, y , z) = (x + y − 3, y − z + 2).
Wyznaczyć macierz funkcji f .
Ponieważ
 
x
−3
x +y −3
1 1 0
,
=
· y  +
2
y −z +2
0 1 −1
z
1 1 0
więc macierzą funcji f jest
.
0 1 −1
Układy równań liniowych
Często zachodzi potrzeba wyznaczenia takich wartości argumentów, dla
których dana funkcja liniowa przyjmuje zadaną wartość. Prowadzi to do
konieczności rozwiązanie układu równań liniowych postaci
A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
+ A1m · xm = b1
+ A2m · xm = b2
+ Anm · xm = bn
czyli
A · x T = bT .
Układ taki może nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny), mieć nieskończenie
wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) lub mieć dokładnie jedno rozwiązanie
(układ oznaczony).
Układy równań liniowych
Często zachodzi potrzeba wyznaczenia takich wartości argumentów, dla
których dana funkcja liniowa przyjmuje zadaną wartość. Prowadzi to do
konieczności rozwiązanie układu równań liniowych postaci
A11 · x1 + A12 · x2 + . . .
A21 · x1 + A22 · x2 + . . .
...
An1 · x1 + An2 · x2 + . . .
+ A1m · xm = b1
+ A2m · xm = b2
+ Anm · xm = bn
czyli
A · x T = bT .
Układ taki może nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny), mieć nieskończenie
wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) lub mieć dokładnie jedno rozwiązanie
(układ oznaczony).
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Istnieje wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych.
Można tak, jak w szkole, używając jednego z równań wyznaczyć jedną z
niewiadomych x1 , x2 , . . . , xm w zależności od pozostałych niewiadomych i
wstawiać ją do pozostałych równań. W ten sposób następuje redukcja o
jeden zarówno liczby równań, jak i niewiadomych.
Inna matoda (zwana metodą eliminacji Gaussa) polega na zmniejszaniu
liczby niewiadomych poprzez dodawanie i odejmowanie równań stronami
oraz mnożeniu stronami równań przez liczbę (tzw. operacje elementarne).
Kolejna metoda polega na wykorzystaniu macierzy odwrotnej.
Rozwiązaniem układu równań A · xT = bT jest xT = A−1 · bT . Metoda ta
ma zastosowanie, gdy istnieje macierz odwrotna A−1 , czyli gdy macierz A
jest kwadratowa (układ ma tyle samo równań, co niewiadomych) oraz
det A 6= 0. Gdy liczba równań jest mniejsza, niż liczba niewiadomych, układ
ma zawsze zero lub nieskończenie wiele rozwiązań. Podobnie się dzieje, gdy
równań, co niewiadomych jest tyle samo, ale det A = 0.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Istnieje wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych.
Można tak, jak w szkole, używając jednego z równań wyznaczyć jedną z
niewiadomych x1 , x2 , . . . , xm w zależności od pozostałych niewiadomych i
wstawiać ją do pozostałych równań. W ten sposób następuje redukcja o
jeden zarówno liczby równań, jak i niewiadomych.
Inna matoda (zwana metodą eliminacji Gaussa) polega na zmniejszaniu
liczby niewiadomych poprzez dodawanie i odejmowanie równań stronami
oraz mnożeniu stronami równań przez liczbę (tzw. operacje elementarne).
Kolejna metoda polega na wykorzystaniu macierzy odwrotnej.
Rozwiązaniem układu równań A · xT = bT jest xT = A−1 · bT . Metoda ta
ma zastosowanie, gdy istnieje macierz odwrotna A−1 , czyli gdy macierz A
jest kwadratowa (układ ma tyle samo równań, co niewiadomych) oraz
det A 6= 0. Gdy liczba równań jest mniejsza, niż liczba niewiadomych, układ
ma zawsze zero lub nieskończenie wiele rozwiązań. Podobnie się dzieje, gdy
równań, co niewiadomych jest tyle samo, ale det A = 0.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Istnieje wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych.
Można tak, jak w szkole, używając jednego z równań wyznaczyć jedną z
niewiadomych x1 , x2 , . . . , xm w zależności od pozostałych niewiadomych i
wstawiać ją do pozostałych równań. W ten sposób następuje redukcja o
jeden zarówno liczby równań, jak i niewiadomych.
Inna matoda (zwana metodą eliminacji Gaussa) polega na zmniejszaniu
liczby niewiadomych poprzez dodawanie i odejmowanie równań stronami
oraz mnożeniu stronami równań przez liczbę (tzw. operacje elementarne).
Kolejna metoda polega na wykorzystaniu macierzy odwrotnej.
Rozwiązaniem układu równań A · xT = bT jest xT = A−1 · bT . Metoda ta
ma zastosowanie, gdy istnieje macierz odwrotna A−1 , czyli gdy macierz A
jest kwadratowa (układ ma tyle samo równań, co niewiadomych) oraz
det A 6= 0. Gdy liczba równań jest mniejsza, niż liczba niewiadomych, układ
ma zawsze zero lub nieskończenie wiele rozwiązań. Podobnie się dzieje, gdy
równań, co niewiadomych jest tyle samo, ale det A = 0.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Istnieje wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych.
Można tak, jak w szkole, używając jednego z równań wyznaczyć jedną z
niewiadomych x1 , x2 , . . . , xm w zależności od pozostałych niewiadomych i
wstawiać ją do pozostałych równań. W ten sposób następuje redukcja o
jeden zarówno liczby równań, jak i niewiadomych.
Inna matoda (zwana metodą eliminacji Gaussa) polega na zmniejszaniu
liczby niewiadomych poprzez dodawanie i odejmowanie równań stronami
oraz mnożeniu stronami równań przez liczbę (tzw. operacje elementarne).
Kolejna metoda polega na wykorzystaniu macierzy odwrotnej.
Rozwiązaniem układu równań A · xT = bT jest xT = A−1 · bT . Metoda ta
ma zastosowanie, gdy istnieje macierz odwrotna A−1 , czyli gdy macierz A
jest kwadratowa (układ ma tyle samo równań, co niewiadomych) oraz
det A 6= 0. Gdy liczba równań jest mniejsza, niż liczba niewiadomych, układ
ma zawsze zero lub nieskończenie wiele rozwiązań. Podobnie się dzieje, gdy
równań, co niewiadomych jest tyle samo, ale det A = 0.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Przykład
Rozwiążmy
układ równań

2x + y − 3z = −5

czyli
x − 2y = −3


z −x =2
Ponieważ

−1
2
1 −3
 1 −2 0  =
−1 0
1

    
2
1 −3
x
−5
 1 −2 0  · y  = −3
−1 0
1
z
2

 

−2 −1 −6
−2 −1 −6
1
−1 −1 −3 = −1 −1 −3 ,
1
−2 −1 −5
−2 −1 −5
więc
  
  
x
−2 −1 −6
−5
y  = −1 −1 −3 · −3 ,
z
−2 −1 −5
2
czyli x = 1, y = 2 oraz z = 3.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Przykład
Rozwiążmy
układ równań

2x + y − 3z = −5

czyli
x − 2y = −3


z −x =2
Ponieważ

−1
2
1 −3
 1 −2 0  =
−1 0
1

    
2
1 −3
x
−5
 1 −2 0  · y  = −3
−1 0
1
z
2

 

−2 −1 −6
−2 −1 −6
1
−1 −1 −3 = −1 −1 −3 ,
1
−2 −1 −5
−2 −1 −5
więc
  
  
x
−2 −1 −6
−5
y  = −1 −1 −3 · −3 ,
z
−2 −1 −5
2
czyli x = 1, y = 2 oraz z = 3.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Przykład
Rozwiążmy
układ równań

2x + y − 3z = −5

czyli
x − 2y = −3


z −x =2
Ponieważ

−1
2
1 −3
 1 −2 0  =
−1 0
1

    
2
1 −3
x
−5
 1 −2 0  · y  = −3
−1 0
1
z
2

 

−2 −1 −6
−2 −1 −6
1
−1 −1 −3 = −1 −1 −3 ,
1
−2 −1 −5
−2 −1 −5
więc
  
  
x
−2 −1 −6
−5
y  = −1 −1 −3 · −3 ,
z
−2 −1 −5
2
czyli x = 1, y = 2 oraz z = 3.
Wzory Cramera
W przypadku, gdy układ ma tyle samo równań, co niewiadomych oraz
det A 6= 0, wówczas układ równań A · xT = bT , gdzie x = (x1 , x2 , . . . , xn )
jest nieznane i poszukiwane oraz b = (b1 , b2 , . . . , bn ) jest znane można
rozwiązać wykorzystując tzw. wzory Cramera:
xi =
det Axi
det A
dla i = 1, 2, . . . , n,
Gdzie macierz Axi jest macierzą powstałą poprzez zastąpienie i-tej kolumny
macierzy A kolumną bT .
Wzory Cramera
Przykład
Jeszcze
raz rozwiążmy układ równań


    

2
1 −3
x
−5
2x + y − 3z = −5





1 −2 0 · y = −3
czyli
x − 2y = −3


−1 0
1
z
2
z −x =2
−5 1
−3 −2
2
0
x=
2
1
1 −2
−1 0
−3
0 1
1
= =1
1
−3
0 1
2
1
1 −2
−1 0
z = 1
2
1 −2
−1 0
2 −5
1 −3
−1 2
y = 1
2
1 −2
−1 0
−5
−3
2
3
= =3
1
−3
0 1
−3
0 1
2
= =2
1
−3
0 1
Wzory Cramera
Przykład
Jeszcze
raz rozwiążmy układ równań


    

2
1 −3
x
−5
2x + y − 3z = −5





1 −2 0 · y = −3
czyli
x − 2y = −3


−1 0
1
z
2
z −x =2
−5 1
−3 −2
2
0
x = 2
1
1 −2
−1 0
−3
0 1
1
= =1
1
−3
0 1
2
1
1 −2
−1 0
z = 1
2
1 −2
−1 0
2 −5
1 −3
−1 2
y = 1
2
1 −2
−1 0
−5
−3
2
3
= =3
1
−3
0 1
−3
0 1
2
= =2
1
−3
0 1
Wzory Cramera
Przykład
Jeszcze
raz rozwiążmy układ równań


    

2
1 −3
x
−5
2x + y − 3z = −5





1 −2 0 · y = −3
czyli
x − 2y = −3


−1 0
1
z
2
z −x =2
−5 1
−3 −2
2
0
x = 2
1
1 −2
−1 0
−3
0 1
1
= =1
1
−3
0 1
2
1
1 −2
−1 0
z = 1
2
1 −2
−1 0
2 −5
1 −3
−1 2
y = 1
2
1 −2
−1 0
−5
−3
2
3
= =3
1
−3
0 1
−3
0 1
2
= =2
1
−3
0 1
Wzory Cramera
Przykład
Jeszcze
raz rozwiążmy układ równań


    

2
1 −3
x
−5
2x + y − 3z = −5





1 −2 0 · y = −3
czyli
x − 2y = −3


−1 0
1
z
2
z −x =2
−5 1
−3 −2
2
0
x = 2
1
1 −2
−1 0
−3
0 1
1
= =1
1
−3
0 1
2
1
1 −2
−1 0
z = 1
2
1 −2
−1 0
2 −5
1 −3
−1 2
y = 1
2
1 −2
−1 0
−5
−3
2
3
= =3
1
−3
0 1
−3
0 1
2
= =2
1
−3
0 1