Paweł Szeptyński, TKI ZADANIE 34 Porównać nośność spręŜystą z

Paweł Szeptyński, TKI
ZADANIE 34
Porównać nośność spręŜystą z nośnością plastyczna układu.
Określić współczynnik zapasu całego układu i poszczególnych
prętów.
Dane:
P = 200kN
σ0 = 240MPa
A =10 cm2
1. Nośność spręŜysta.
Układ jest jednokrotnie wewnętrznie statycznie niewyznaczalny. Rozwiązujemy go metodą sił.
Układ podstawowy metody sił:
Stan x = 1 [-]
Stan P
[1/P]
δ 11 =
Pręt
1
2
3
4
5
6
7
N(x)
-0,632
0,000
-0,447
0,447
-0,447
0,000
-0,632
N(P)
0,500P
0,500P
-0,707P
0,707P
0,707P
-0,707P
-1,000P
L
4,000
4,000
2,828
2,828
2,828
2,828
4,000
EA
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
Nx ⋅ Nx
N ⋅ NP
ds ∆ 1P = ∫ x
ds
EA
EA
(u )
(u )
∫
1,598/EA
0,000/EA
0,565/EA
0,565/EA
0,565/EA
0,000/EA
1,598/EA
4,891/EA
-1,264P/EA
0,000P/EA
0,894P/EA
0,894P/EA
-0,894P/EA
0,000P/EA
2,528P/EA
2,158P/EA
Równanie kanoniczne metody sił:
L 

 δ11 + x  ⋅ x + ∆1P = 0
EA 

2,158 P
 4,891 6,325 
+
⋅ x = −

EA 
EA
 EA
⇒
x = −0,192 P
Widać więc, Ŝe najbardziej wytęŜonym prętem jest pręt nr 7. Ulegnie on uplastycznieniu jako pierwszy przy wartości siły:
0,879 P = σ 0 ⋅ A
Pręt
1
2
3
4
5
6
7
8
⇒
240 ⋅ 10 6 ⋅ 10 ⋅ 10 −4
P=
= 273kN
0,879
N [1/P]
σ [MPa]
0,621 169,533
0,500 136,500
-0,621 -169,533
0,621 169,533
0,793 216,489
-0,707 -193,011
-0,879
-240
-0,192 -52,416
2. Nośność plastyczna.
Cały układ zmieni się w mechanizm gdy uplastycznieniu ulegnie którykolwiek następny pręt.
Zatem siłą niszczącą będzie siła:
P = P + ∆P
Dla siły większej od P z pracy wyłączamy pręt nr 7. Korzystając z zasady superpozycji siły w pozostałych prętach będą
równe sile jaka powstaje przy uplastycznieniu pręta 7 i siłom od dodatkowej siły ∆P . Wyliczamy te dodatkowe siły (tym
razem juŜ dla kratownicy statycznie wyznaczalnej):
Pręt
1
2
3
4
5
6
7
8
σ [MPa]
169,533 + 1,500∆P/A
136,500 + 0,500∆P/A
-169,533
169,533
216,489 + 1,414∆P/A
-193,011 - 0,707∆P/A
-240
-52,416 - 1,581∆P/A
Szukamy, dla w którym pręcie siła potrzebna do osiągnięcia granicy plastyczności będzie najmniejsza:
10 ⋅ 10 −4
∆P = 240 ⋅ 10 − 169,533 ⋅ 10
= 46,978kN
1,500
(
6
)
6
10 ⋅ 10 −4
∆P = 240 ⋅ 10 − 136,500 ⋅ 10
= 207 kN
0,500
(
6
)
6
10 ⋅ 10 − 4
∆P = 240 ⋅ 10 − 216,489 ⋅ 10
= 16,627 kN
1,414
(
6
6
)
10 ⋅ 10 − 4
∆P = 240 ⋅ 10 − 193,011 ⋅ 10
= 66,462kN
0,707
(
6
6
)
10 ⋅ 10 − 4
∆P = 240 ⋅ 10 − 52,416 ⋅ 10
= 118,649 kN
1,581
(
6
6
)
Następny uplastycznieniu ulegnie pręt nr 6 – siła niszcząca cały układ (jego nośność plastyczna):
P = P + ∆P = 273kN + 16,6kN = 289,6
3. Współczynniki zapasu.
Współczynnik zapasu całego układu:
ku =
P 289,6kN
=
= 1,448
P
200kN
Nośność układu jest wykorzystana w
1
⋅ 100% = 69%
ku
Przy zniszczeniu całego układu napręŜenia w prętach i ostatecznie ich współczynniki zapasu są następujące: k =
Pręt
1
2
3
4
5
6
7
8
σ [MPa]
124,2
100
-124,2
124,2
158,6
-141,4
175,8
-38,4
σniszcz [MPa]
194,433
144,800
-169,533
169,533
240,000
-204,747
--240,000
-78,661
σ/σ0 [%]
52%
42%
52%
52%
66%
59%
73%
16%
σniszcz/σ0 [%]
81%
60,3%
70,6%
70,6%
100%
85,3%
100%
32,8%
k[-]
1,93
2,40
1,93
1,93
1,51
1,70
1,37
6,25
σ0
σ