W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego

2015-10-26
W3 - Niezawodność elementu
nienaprawialnego
Henryk Maciejewski
Jacek Jarnicki
Jarosław Sugier
www.zsk.iiar.pwr.edu.pl
Niezawodność elementu
nienaprawialnego
1. Model niezawodności elementu
nienaprawialnego
2. Miary niezawodności – charakterystyki liczbowe i
funkcyjne
3. Rozkłady zmiennych losowych stosowane w
opisie niezawodności elementów
1
2015-10-26
Model niezawodnościowy elementu
nienaprawialnego
Element zaczyna pracę w chwili
0 i po pewnym czasie zwanym
czasem życia (life time) ulega
uszkodzeniu. Nie rozważamy co
się dzieje z elementem po
uszkodzeniu.
e
uszkodzenie
0
Czas życia potraktujemy jako
dodatnią, ciągłą zmienną
losową T – określamy w ten
sposób model
niezawodnościowy elementu
nienaprawialnego.
czas życia
czas
zmienna losowa T
W dalszej części postawimy pytania:
1. Jakie miary charakteryzujące losowy charakter czasu
życia wygodnie użyć, inne niż dystrybuanta F(t), czy
gęstość f(t)?
(rozważymy tu miary funkcyjne i miary liczbowe)
2. Jakich rozkładów zmiennych losowych użyć do
modelowania czasu życia?
3. Jak wyznaczyć charakterystyki niezawodnościowe
(funkcyjne, liczbowe) na podstawie wyników
eksperymentu?
2
2015-10-26
Funkcyjne i liczbowe charakterystyki
niezawodności elementu
Założenie: modelem czasu życia elementu jest
dodatnia zmienna losowa T (F(0)=0)
o dystrybuancie F(t) i gęstości f(t)
Określimy charakterystyki niezawodności:
1. Funkcja niezawodności (Reliability function)
2. Funkcja intensywności uszkodzeń
3. Średni czas życia (mean life time, mean time to
failure, MTTF)
Funkcja niezawodności (Reliability function)
Funkcja niezawodności R(t) podaje
prawdopodobieństwo zdarzenia, że element „przeżyje”
chwilę t:
𝑅 𝑡 =𝑃 𝑇≥𝑡
Własność – wynika z prawdopodobieństwa zdarzenia
dopełniającego:
𝑅 𝑡 =𝑃 𝑇 ≥𝑡 =1−𝑃 𝑇 <𝑡 =1−𝐹 𝑡
3
2015-10-26
Funkcja intensywności uszkodzeń (hazard function,
failure rate, mortality rate,…)
Funkcja intensywności uszkodzeń (t) jest
zdefiniowana jako granica (o ile istnieje)
prawdopodobieństwa warunkowego, że uszkodzenie
nastąpi w przedziale
(t, t+], pod warunkiem, że nie nastąpiło do chwili t:
1
𝜆 𝑡 = lim 𝑃 𝑡 < 𝑇 ≤ 𝑡 + ∆ | 𝑇 > 𝑡
Δ→0 ∆
chwila t
uszkodzenie
0
czas
zmienna losowa T
Własności (t)
𝜆 𝑡 =
Jeśli (t) = , wtedy:
𝑓(𝑡)
1 − 𝐹(𝑡)
𝑅 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡
𝑅′(𝑡)
𝜆 𝑡 =−
𝑅(𝑡)
𝑅 𝑡 = 𝑒−
𝑡
0𝜆
przedział czasu
o długości Δ
To jest funkcja niezawodności
dla rozkładu wykładniczego 
rozkład bez pamięci
((t) =  - nie zależy od t).
𝑢 𝑑𝑢
chwila t
0
uszkodzenie
czas
zmienna losowa T
przedział czasu
o długości Δ
4
2015-10-26
W praktyce funkcja intensywności uszkodzeń dla wielu obiektów
technicznych ma przebieg pokazany na rysunku
λ(t)
t
0
docieranie
normalna
eksploatacja
starzenie
„Krzywa wannowa” (Bathtub curve)
Szczególna rola rozkładu wykładniczego
Rozkład wykładniczy opisany jest przy pomocy
dystrybuanty (dla  >0):
𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒 −𝜆𝑡
(dla t>0, F(t)=0 dla t0)
Wyznaczamy (t) dla rozkładu wykładniczego:
𝜆 𝑡 =−
𝑒 −𝜆𝑡 ′
𝑅′ 𝑡
−𝜆𝑒 −𝜆𝑡
= − −𝜆𝑡 = − −𝜆𝑡 = 𝜆
𝑅 𝑡
𝑒
𝑒
Funkcja intensywności uszkodzeń dla rozkładu
wykładniczego jest funkcją stałą.
5
2015-10-26
Szczególna rola rozkładu wykładniczego
Rozważamy problem: element o czasie życia opisanym
rozkładem wykładniczym przepracował czas t. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że będzie działał jeszcze przez czas ?
𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 + 𝜏 𝑇 > 𝑡) =
𝑃(𝑇 ≥ 𝑡 + 𝜏) 𝑅(𝑡 + 𝜏)
=
𝑃(𝑇 > 𝑡)
𝑅(𝑡)
Dla rozkładu wykładniczego:
𝑒 −𝜆(𝑡+𝜏)
𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 + 𝜏 𝑇 > 𝑡) =
= 𝑒 −𝜆𝜏 = 𝑅(𝜏)
𝑒 −𝜆𝑡
Prawdopodobieństwo to zależy jedynie od długości przedziału 
a nie jego położenia na osi czasu.
Własność braku pamięci rozkładu wykładniczego.
Średni czas życia (mean life time, mean time to failure,
MTTF)
Nie zawsze jest potrzebne wyrażanie niezawodności przy
pomocy funkcji. Czasem wystarczy bardziej zagregowany
opis w postaci liczby.
Średni czas życia określamy jako wartość średnią
(oczekiwaną) zmiennej losowej T:
∞
𝑇𝐹𝐹 = 𝐸 𝑇 =
𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
0
Własność:
∞
𝑇𝐹𝐹 =
𝑅 𝑡 𝑑𝑡
0
6
2015-10-26
Przykład
Dla rozkładu wykładniczego (𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒 −𝜆𝑡 ) :
∞
𝑇𝐹𝐹 =
∞
𝑅 𝑡 𝑑𝑡 =
0
0
1
𝑒 −𝜆𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑒 −𝜆𝑡
𝜆
∞
0
=
1
𝜆
Rozkłady zmiennych losowych stosowane
w opisie niezawodności elementu
Rozkład wykładniczy
dystrybuanta:
𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒 −𝜆𝑡
gęstość rozkładu: 𝑓 𝑡 = 𝜆𝑒 −𝜆𝑡
(dla t0)
𝜆 > 0 - parametr rozkładu
1
średni czas życia: 𝑇𝐹𝐹 = 𝜆
1
wariancja: Var(T) = 𝜆2
własność braku pamięci
7
2015-10-26
Rozkład wykładniczy dla =1
gęstość
dystrybuanta
funkcja intensywności
uszkodzeń
Rozkład wykładniczy dla różnych  = 0.5, 1, 2
8
2015-10-26
Rozkład Weibulla
dystrybuanta:
𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒 −(𝜆𝑡)
gęstość rozkładu: 𝑓 𝑡 = 𝜆𝛽 𝜆𝑡
𝛽
𝛽−1 −(𝜆𝑡)𝛽
𝑒
(dla t>0, F(0)=0)
>0 –
1
𝜆
to parametr skali
>0 – parametr kształtu (=1  rozkład wykładniczy)
średni czas życia: 𝑇𝐹𝐹 =
Γ 1+
1
𝛽
𝜆
Rozkład Weibulla dla  = 1 i różnych wartości 
9
2015-10-26
Rozkład Weibulla dla  = 1 i różnych wartości 
<1  hazard maleje
>1  rośnie (dla =2 – rośnie liniowo)
1
𝜆
Rozkład Weibulla dla scale = = 2 i różnych wartości 
1
𝜆
1
to czas, po którym uszkodzi się 1 − 𝑒  63.2% elementów
10
2015-10-26
Rozkład gamma
gęstość rozkładu:𝑓 𝑡 =
𝜆𝛽
Γ(β)
𝑡 𝛽−1 𝑒 −𝜆𝑡
(dla t>0, F(0)=0)
>0 –
1
𝜆
to parametr skali
>0 – parametr kształtu (=1  rozkład wykładniczy)
średni czas życia: 𝑇𝐹𝐹 =
𝛽
𝜆
Rozkład Erlanga dla =n=2,3,… (suma n zmiennych
losowych o rozkładzie wykładniczym)
1
Rozkład gamma dla scale = 𝜆 = 0.5 i różnych wartości 
11
2015-10-26
1
Rozkład gamma dla scale = 𝜆 = 0.5 i różnych wartości 
Funkcja intensywności uszkodzeń dąży monotonicznie do 𝜆
Rozkład normalny
gęstość rozkładu: 𝑓 𝑡 =
1
2π𝜎
𝑒
(𝑡−𝜇)2
2𝜎2
dla tR
R – średnia
>0 – odchylenie standardowe
średni czas życia: 𝑇𝐹𝐹 = 
Var(T) = 2
12
2015-10-26
Rozkład normalny dla  = 2 i różnych wartości  (sd)
Rozkład normalny dla  = 2 i różnych wartości  (sd)
13
2015-10-26
Narzędzia do rysowania funkcji rozkładów w
systemie R
R Project for Statistical Computing
www.r-project.org
Funkcje dla rozkładu Weibulla:
dweibull – gęstość
pweibull – dystrybuanta
rweibull – wartość losowa z rozkładu
qweibull – kwantyl z rozkładu
Inne rozkłady: [dprq]exp, norm, lnorm, gamma, unif, …
Narzędzia do rysowania funkcji rozkładów w
systemie R
Przykład – rysujemy funkcje rozkładu Weibulla
dweibull(x, shape, scale)
Parametr kształtu = p
Parametr skali = 1/
Przykład programu w języku R:
14