Charakteryzacje grup hiperbolicznych i grup wirtualnie wolnych

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Marcin Kotowski
Nr albumu: 249015
Charakteryzacje grup
hiperbolicznych i grup wirtualnie
wolnych
Praca licencjacka
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
dra Andrzeja Nagórki
Instytut Matematyki
Wrzesień 2009
Oświadczenie kierującego pracą
Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierującego pracą
Oświadczenie autora (autorów) pracy
Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa
została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób
niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
Data
Podpis autora (autorów) pracy
Streszczenie
Praca poświęcona jest charakteryzacji grup hiperbolicznych i grup wirtualnie wolnych. Dla
każdej z tych klas grup przedstawiono kilka opisujących je geometrycznych oraz kombinatorycznych kryteriów. Pokazano analogie geometryczne między obiema klasami grup oraz
związek grup wirtualnie wolnych z językami bezkontekstowymi.
Słowa kluczowe
grupy hiperboliczne, grupy wirtualnie wolne, język bezkontekstowy, prezentacja Dehna
Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus)
11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna
20. Group theory and generalizations
20.F. Special aspects of infinite or finite groups
20.F65 Geometric group theory
Tytuł pracy w języku angielskim
Characterizations of hyperbolic groups and virtually free groups
Spis treści
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Prezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Graf Cayleya grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Grupy hiperboliczne i wirtualnie wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2. Grupy hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3. Grupy wirtualnie wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1. Grupy bezkontekstowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2. Quasi-izometrie z drzewami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3. δ-cienkie czworokąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4. Prezentacje grup wirtualnie wolnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3
Wprowadzenie
Praca poświęcona jest klasom grup hiperbolicznych i wirtualnie wolnych, w ujęciu geometrycznej teorii grup. Hiperboliczność grupy, pojęcie pochodzące od intuicji związanych z
geometrią hiperboliczną, przekłada się na szereg kombinatorycznych własności, takich jak
istnienie pewnych szczególnych prezentacji (tak zwanych prezentacji Dehna) czy nierówności
izoperymetryczne. Grupy wirtualnie wolne, mimo czysto algebraicznej definicji, również pozostają w ścisłym związku z geometrią i posiadają różnorodne geometryczne charakteryzacje,
częściowo analogiczne do tych dla grup hiperbolicznych. Z drugiej strony, narzędzi do opisu
tej klasy grup dostarcza teoria języków formalnych - w dowodzie jednego z geometrycznych
kryteriów kluczową rolę odgrywa zaskakujący związek grup wirtualnie wolnych z językami
bezkontekstowymi.
Struktura niniejszej pracy jest następująca - rozdział 1 zawiera wstępne pojęcia dotyczące prezentacji grup, grafów Cayleya oraz quasi-izometrii. W rozdziale 2 podajemy definicję
oraz podstawowe własności grup hiperbolicznych, w tym istnienie prezentacji Dehna. Główną
część pracy stanowi rozdział 3 - przedstawiamy w niej pojęcie grupy bezkontekstowej wraz
z niezbędnymi faktami z teorii automatów i języków formalnych, następnie zaś dowodzimy
geometrycznych kryteriów równoważnych byciu wirtualnie wolnym oraz podajemy opis tej
klasy grup w terminach ich prezentacji.
5
Rozdział 1
Pojęcia wstępne
1.1. Prezentacje grup
Zaczniemy od przypomnienia kilku pojęć związanych z grupami wolnymi i prezentacjami
grup. Ustalmy grupę G wraz ze zbiorem generatorów X. Ograniczymy się do badania grup,
które są skończenie generowane, tj. takich, dla których X jest zbiorem skończonym. Razem
ze zbiorem X będziemy rozpatrywać zbiór X −1 złożony z formalnych odwrotności elementów
−1 ). Słowem
X (tj. każdemu elementowi xi ∈ X odpowiada dokładnie jeden element x−1
i ∈X
zredukowanym nad X nazwiemy dowolne słowo o elementach ze zbioru X ∪ X −1 , w którym
nie występują podsłowa postaci xx−1 i x−1 x dla x ∈ X. Dla ustalonego zbioru X możemy
nad tym zbiorem utworzyć grupę wolną F (X), złożoną ze wszystkich słów zredukowanych
nad X. Równość elementów w, v ∈ F (X) będziemy zapisywać jako w = v.
Każda grupa G o zbiorze generatorów X jest obrazem F (X) przy epimorfizmie naturalnym
f : F (X) → G, G ' F (X)/kerf . Na odwrót, mając dowolny zbiór słów R ⊆ F (X) możemy
rozpatrzeć N (R), najmniejszą podgrupę normalną F (X) zawierającą R, oraz homomorfizm
ilorazowy f : F (X) → F (X)/N (R). Grupę F (X)/N (R) będziemy oznaczać jako hX|Ri.
Jeśli G = hX|Ri, to będziemy mówić o prezentacji G ze zbiorem generatorów X i zbiorem
relacji R. Przy ustalonej prezentacji możemy traktować G jako zbiór słów nad X, w którym
utożsamiamy każde słowo r ∈ R z jednością. Jeśli dwa słowa w, v ∈ F (X) reprezentują w G
ten sam element (czyli dla homomorfizmu ilorazowego f (w) = f (v)), będziemy to oznaczać
przez w =G v. Relacje z R będziemy czasem zapisywać jako równości słów, np. relację wv −1 =
1 jako w = v. Dla pustego zbioru relacji przyjmiemy oznaczenie hX|∅i = hXi.
Każda grupa G posiada prezentację hX|Ri - wystarczy ustalić zbiór generatorów X i
przyjąć R = kerf dla epimorfizmu f : F (X) → G. Przykładami prezentacji grup są prezentacje: F2 = F ({a, b}) = ha, bi, Z = ha, b|ab = bai, Z3 = ha|a3 i, Z2 ∗ Z3 = ha, b|a2 , b3 i. Dana
grupa może posiadać wiele różnych prezentacji, np. Z = hai i Z = ha, b|a3 = b2 , ab = bai.
Ograniczymy się do badania grup skończenie prezentowalnych, dla których można wybrać
skończony zbiór relacji R. Własności bycia skończenie generowanym i skończenie prezentowalnym nie przenoszą się na podgrupy, istnieją też grupy skończenie generowane, które nie
7
są skończenie prezentowalne. Przykładem takiej grupy jest Z o Z - podgrupa grupy bijekcji
R → R generowana przez przekształcenia f (x) = x + 1 i g(x) = πx.
1.2. Graf Cayleya grupy
Dla przestrzeni metrycznej (X, d) geodezyjną łaczącą punkty x, y ∈ X, d(x, y) = d nazwiemy
przekształcenie γ : [0, d] → X takie, że γ(0) = x, γ(d) = y oraz γ jest izometrią na swój
obraz, d(γ(t2 ), γ(t1 )) = |t2 − t1 |. Wszystkie rozważane przestrzenie będą przestrzeniami geodezyjnymi, to jest takimi, że dla dowolnych dwóch punktów istnieje łącząca je geodezyjna
(niekoniecznie wyznaczona jednoznacznie). Dalej będziemy utożsamiać geodezyjną γ z jej
obrazem w X.
Niech G będzie grupą o prezentacji hX|Ri. Normą elementu g ∈ G, ozn. |g|, będziemy
nazywać minimum długości słów nad X ∪ X −1 reprezentujących g. Z każdą grupą związana
jest w naturalny sposób przestrzeń metryczna zwana grafem Cayleya grupy.
Definicja 1.2.1. Niech G będzie grupą o prezentacji hX|Ri. Grafem Cayleya G nazywamy
graf C(G) o zbiorze wierzchołków G i zbiorze krawędzi {(g, h) : ∃x ∈ X ∪ X −1 gh−1 = x}
Metrykę zadajemy jako długość najkrótszej ścieżki łączącej punkty w grafie. Dla punktów
odpowiadających elementom G metryka ta pokrywa się z metryką słowa d(g, h) = |gh−1 |.
Metryka ta jest lewoniezmiennicza, tzn. dla dowolnych g0 , g, g 0 ∈ G d(g, g 0 ) = d(g0 g, g0 g 0 ).
Przykładowe grafy Cayleya różnych grup ukazują rysunki 1.1 i 1.2. Sformułowana powyżej
definicja grafu Cayleya dla grupy G zależy jawnie od wyboru określonej prezentacji - dla
dwóch różnych prezentacji grupy Z otrzymujemy różne grafy.
Rysunek 1.1: Grafy Cayleya Z dla dwóch różnych prezentacji: Z = hai i Z = ha, b|ab = ba, a3 = b2 i
Właściwym pojęciem do badania geometrii grafów Cayleya jest pojęcie quasi-izometrii.
Graf Cayleya jest przestrzenią geodezyjną, a dla takich przestrzeni pojęcie quasi-izometrii
pokrywa się z pojęciem zgrubnej równoważności występującym w zgrubnej geometrii [Roe02].
Intuicyjnie quasi-izometryczność odpowiada następującej własności: przestrzenie metryczne
X, Y są quasi-izometryczne, gdy wyglądają „tak samo” widziane z dużej odległości.
Definicja 1.2.2. Niech (X, d), (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi. Powiemy, że przekształcenie (niekoniecznie ciągłe) f : X → Y jest quasi-izometrią, gdy istnieją stałe λ, A, C ­
0 takie, że:
• ∀x, y ∈ X
1
λ d(x, y)
− C ¬ d(f (x), f (y)) ¬ λd(x, y) + C, λ > 0,
8
Rysunek 1.2: Graf Cayleya grupy wolnej F2 = ha, bi
• ∀y ∈ Y ∃x ∈ X d(y, f (x)) ¬ A
Przykłady:
1. przekształcenie f : R → Z, f (x) = [x], przyporzadkowujące liczbie jej część całkowitą, jest quasi-izometrią; quasi-izometria w drugą stronę zadana jest po prostu przez
włożenie Z → R; quasi-izometryczność tych przestrzeni odpowiada intuicji, że liczby
całkowite widziane z dużej odległości zagęszczają się i asymptotycznie wypełniają całą
prostą
2. jeśli H ¬ G jest podgrupą skończonego indeksu w G, to włożenie H ,→ G jest quasiizometrią (patrz dowód tw. 3.2.1)
Łatwo pokazać, że jeśli istnieje quasi-izometria f : X → Y , to istnieje także quasiizometria g : Y → X. Powiemy, że przestrzenie X i Y są quasi-izometryczne, jeśli istnieją
quasi-izometrie f : X → Y, g : Y → X. Relacja quasi-izometryczności jest relacją równoważności. Przykładowo, wszystkie przestrzenie ograniczone są quazi-izometryczne z przestrzenią
jednopunktową.
Wybór prezentacji grupy wpływa na kształt samego grafu Cayleya, jednak klasa quasiizometrii grafu od tego wyboru nie zależy, tj. grafy C(G) i C(G)0 otrzymane dla dwóch
różnych prezentacji hX1 |R1 i i hX2 |R2 i są quasi-izometryczne.
Fakt 1.2.1. Rozpatrzmy grupę G wraz z dwiema prezentacjami hX1 |R1 i i hX2 |R2 i. Niech
C(G) = (C(G), d1 ) będzie grafem Cayleya G z metryką pochodzącą od pierwszej prezentacji i
analogicznie dla C(G)0 = (C(G)0 , d2 ). Wówczas C(G) i C(G)0 są quasi-izometryczne.
Dowód. Szukaną quasi-izometrią jest id : C(G) → C(G)0 .Ponieważ dla i = 1, 2 di (gx, gy) =
di (x, y), wystarczy pokazać, że dla każdego g ∈ G i pewnej stałej C
9
1
C d1 (e, g)
¬ d2 (e, g) ¬
Cd1 (e, g). Każdy generator xi ∈ X2 możemy wyrazić przez generatory ze zbioru X1 . Przyjmijmy c1 = max{d1 (e, xi ) : xi ∈ X2 }. Wtedy d2 (e, g) = |g|2 ¬ c1 |g|1 = c1 d1 (e, g). Analogicznie, kładąc c2 = max{d2 (e, xi ) : xi ∈ X1 } otrzymujemy d2 (e, g) ­
1
c2 d1 (e, g).
Wystarczy więc
przyjąć C = max{c1 , c2 }.
Ponieważ będą nas interesowały jedynie własności grup niezmiennicze ze względu na quasiizometrie, nie będziemy dalej jawnie rozróżniać grupy G i jej grafu Cayleya C(G), przyjmując,
że mówiąc o geometrycznych własnościach G rozpatrujemy jej graf Cayleya dla dowolnie
wybranej prezentacji.
1.3. Grupy hiperboliczne i wirtualnie wolne
Zajmiemy się porównaniem geometrycznych i kombinatorycznych charakteryzacji grup wirtualnie wolnych i grup hiperbolicznych.
Definicja 1.3.1. Grupa G jest wirtualnie wolna, gdy posiada podgrupę wolną skończonego
indeksu, tj. gdy istnieje H ¬ G taka, że |G : H| < ∞ i H jest wolna.
Oczywiście najprostszym przykładem grupy wirtualnie wolnej jest jakakolwiek grupa
wolna. Poniżej podajemy inne przykłady takich grup:
1. dowolny produkt Z × F , gdzie F jest grupą skończoną
2. grupa P SL(2, Z) (tj. SL(2, Z)/{I, −I}); jest ona izomorficzna z grupą Z2 ∗Z3 = ha, b | a2 , b3 i,
która jest wirtualnie wolna (p. sekcja 3.2) - izomorfizm jest zadany przez przyporządkowanie: S 7→ a, ST 7→ b dla macierzy [Apo90]:
S=
0
1
−1 0
!
,T =
1 1
!
0 1
Pojęciu i własnościom grup hiperbolicznych poświęcony jest następny rozdział.
10
Rozdział 2
Grupy hiperboliczne
Poniższy rozdział zawiera podstawowe pojęcia i fakty dotyczące grup hiperbolicznych. Szczegółowe omówienie grup hiperbolicznych można znaleźć w [Hyp91].
Do zdefiniowania grupy hiperbolicznej posłuży nam własność „cienkich trójkątów”. Rozważmy w grafie Cayleya G trzy punkty a, b, c i łączące je geodezyjne [a, b], [b, c], [c, a]. O tak
powstałym trójkącie geodezyjnym powiemy, że jest δ-cienki dla pewnej stałej δ > 0, jeśli
każdy punkt x z odcinka [a, b] jest odległy od sumy boków [b, c], [c, a] o co najwyżej δ, i
analogicznie dla punktów z dwóch pozostałych boków. Innymi słowy, każdy bok δ-cienkiego
trójkąta zawiera się w δ-otoczeniu dwóch pozostałych boków.
a
c
b
Rysunek 2.1: δ-hiperboliczny trójkąt
Definicja 2.0.2. Grupa G jest δ-hiperboliczna, gdy istnieje stała δ ­ 0, dla której wszystkie
trójkąty geodezyjne w grafie Cayleya G są δ-cienkie. Grupę nazwiemy hiperboliczną, gdy jest
δ-hiperboliczna dla pewnej stałej δ.
Hiperboliczność nie zależy od wyboru prezentacji grupy (z dokładnością do zmiany stałej
δ), gdyż jest niezmiennikiem quasi-izometrii.
Fakt 2.0.1. Hiperboliczność grupy jest niezmiennikiem quasi-izometrii, tj. jeśli G i H są
quasi-izometryczne, to G jest hiperboliczna wtedy i tylko wtedy, gdy H jest hiperboliczna.
11
Dowód. Patrz [Hyp91].
Przykłady grup hiperbolicznych:
1. każda grupa skończona
2. grupy wolne; graf Cayleya grupy wolnej przy trywialnej prezentacji hX|∅i jest drzewem,
a łatwo pokazać, że każde drzewo jest 0-hiperboliczne
3. grupy podstawowe zwartych rozmaitości Riemanna o ujemnej krzywiźnie sekcyjnej
[CFKP97]
4. grupy losowe w modelu gęstościowym są hiperboliczne z prawdopodobieństwem dążącym do 1 [Oll05]
5. pewne klasy tzw. grup małych skreśleń (small cancellation groups) [Oll05]
Niekiedy badając grupy hiperboliczne wygodniej jest korzystać z innego warunku równoważnego δ-cienkości trójkątów. Zauważmy na początek, że dla dowolnego trójkąta geodezyjnego ∆ o wierzchołkach x, y, z istnieje odpowiadający mu trójkąt euklidesowy ∆0 wraz z
izometrią f : ∆ → ∆0 przeprowadzającą boki ∆ na boki ∆0 . W trójkąt ∆0 możemy wpisać
okrąg, styczny do boków w punktach p0x , p0y , p0z . Przeciwobrazy tych punktów przy izometrii f
oznaczymy przez px , py , pz . Trójkąt ∆0 możemy ”zgnieść” do figury T będącej sumą trzech odcinków o wspólnym wierzchołku (rys. 2.3), w ten sposób, że wierzchołki trójkąta przechodzą
na zewnętrzne wierzchołki odcinków, punkty p0x , p0y , p0z przechodzą na wspólny wierzchołek w
środku, a każdy z odcinków pomiędzy wierzchołkiem trójkąta a sąsiednim punktem styczności
okręgu wpisanego jest odwzorowywany izometrycznie na odpowiedni odcinek w T . Oznaczmy
to odwzorowanie przez g : ∆0 → T . Widać, że jeśli g(p) = g(q), czyli punkty p, q są zgniatane
w jeden, to p i q leżą na dwóch bokach o wspólnym wierzchołku i są od tego wierzchołka
równoodległe.
Rysunek 2.2: Trójkąt geodezyjny ∆ można izometrycznie przekształcić na trójkąt euklidesowy ∆0 ,
„zgniatany” następnie do figury T .
Definicja 2.0.3. Trójkąt ∆ nazwiemy δ-chudym, gdy posiada następującą własność: dla h :
∆ → T, h = g ◦ f , g, f - jak wyżej, jeśli h(p) = h(q), to d(p, q) ¬ δ.
12
Fakt 2.0.2. Grupa jest hiperboliczna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje δ 0 , dla której każdy
trójkąt geodezyjny jest δ 0 -chudy.
Dowód. Patrz [Hyp91].
Hiperboliczność posiada również czysto kombinatoryczny opis w terminach prezentacji
grupy. Własnością charakteryzującą grupy hiperboliczne jest posiadanie skończonej prezentacji pozwalającej skrócić dowolne słowo reprezentujące jedynkę do słowa pustego przez redukcję jego podsłów za pomocą danych relacji.
Definicja 2.0.4. Prezentacją Dehna grupy G nazwiemy prezentację hX|u1 = w1 , . . . , un =
wn i o następującej własności: dla każdego i zachodzi |wi | < |ui | oraz jeśli w =G e, to w
zawiera jako podsłowo któreś ze słów ui .
Twierdzenie 2.0.1. Grupa jest hiperboliczna wtedy i tylko wtedy, gdy posiada prezentację
Dehna.
Dowód. Udowodnimy tu implikację „⇒” - dowód implikacji przeciwnej można znaleźć w
[Hyp91].
Słowo w nazwiemy k-lokalnie geodezyjnym, jeśli każde jego podsłowo długości ¬ k jest
geodezyjne. Niech każdy trójkąt geodezyjny w G będzie δ-chudy, co na mocy faktu ?? jest
równoważne hiperboliczności - pokażemy, że żadne słowo reprezentujące jedynkę nie jest 2δ +
2-lokalnie geodezyjne. Prezentację Dehna możemy wtedy otrzymać, przyjmując za relacje
wszystkie równości postaci u = v, |v| < |u| ¬ 2δ + 3. Jeśli słowo w reprezentuje jedynkę i
|w| > 2δ + 2, to w zawiera podsłowo u, |u| ¬ 2δ + 2, które nie jest geodezyjne, tj. dla pewnego
v |v| < |u| i u =G v. Ponieważ |v| < |u|, dysponujemy w prezentacji relacją u = v, a więc w
istocie otrzymana prezentacja jest prezentacją Dehna.
Pozostaje pokazać, że w grupie δ-hiperbolicznej słowo reprezentujące jedynkę nie jest
2δ + 2-geodezyjne. Przypuśćmy, że istniałoby słowo w takie, że w 6= e, w =G e i w jest 2δ + 2lokalnie geodezyjne. Wtedy |w| ­ 4δ +4. Rozpatrzmy w grafie Cayleya pętlę γ o początku w e
etykietowaną słowem w. Oznaczmy przez v punkt leżący na γ najdalej od e - z 2δ + 2-lokalnej
geodezyjności wynika, że d(e, v) ­ 2δ + 2. Możemy więc oznaczyć na γ punkty v1 i v2 leżące
za i przed v w odległości 2δ + 1 każdy.
Rozpatrzmy trójkąty geodezyjne T1 , T2 o wierzchołkach odpowiednio e, v1 , v i e, v2 , v oraz
jednym z boków [v1 , v] i [v, v2 ]. Niech u1 , u2 oznaczją punkty przechodzące przy izometrii z
trójkątem euklidesowym na punkty styczności do okręgów wpisanych. Mamy wtedy d(e, vi ) −
d(e, v) = d(vi , ui ) − d(ui , v). Zachodzi także d(ui , v) ­ δ + 1 - gdyby d(ui , v) < δ + 1, to z
nierówności trójkąta d(v1 , u1 )+δ+1 > d(v1 , u1 )+d(u1 , v) ­ d(v1 , v) = 2δ+1, czyli d(v1 , u1 ) >
δ + 1 > d(u1 , v). Stąd d(e, v1 ) − d(e, v) = d(v1 , u1 ) − d(u1 , v) > 0, a więc d(e, v1 > d(e, v)) sprzeczność z wyborem punktu v jako najbardziej odległego od e.
Skoro d(ui , v) ­ δ + 1, to istnieją na odcinkach [u1 , v], [v, u2 ] punkty u01 , u02 takie, że
d(u01 , v) = d(v, u02 ) = δ+1. Oznaczmy teraz przez v 0 punkt leżący na wspólnym boku trójkątów
T1 i T2 i odległy od v o dokładnie δ + 1. Przy zgnieceniu każdego z trójkątów T1 , T2 do figury
13
Rysunek 2.3: Ilustracja dowodu twierdzenia 2.0.1
z rysunku 2.3 punkty u01 , v 0 i u02 , v 0 przechodzą na ten sam punkt. Trójkąty geodezyjne w G są
δ-chude, więc oznacza to, że d(u01 , v 0 ) = d(v 0 , u02 ) ¬ δ, czyli d(u01 , u02 ) ¬ 2δ. Jednak punkty u01 i
u02 są położone na pętli γ w odległości co najmniej 2δ + 2, a więc z założenia o 2δ + 2-lokalnej
geodezyjności d(u01 , u02 ) ­ 2δ + 2. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Jako przykład rozpatrzmy grupę podstawową 2-precla, G = ha, b, c, d|aba−1 b−1 = cdc−1 d−1 i.
Prezentacją Dehna dla tej grupy jest prezentacja o relacjach postaci u = v, |v| = 3, |u| = 5,
gdzie uv −1 jest dowolnym cyklicznym przesunięciem słowa aba−1 b−1 dcd−1 c−1 . Graf Cayleya
G można przedstawić jako pokrycie płaszczyzny hiperbolicznej ośmiokątami etykietowanymi
słowem aba−1 b−1 dcd−1 c−1 - słowa reprezentujące jedynkę odpowiadają pętlom idącym po
krawędziach wielokątów. Można pokazać, że każda taka pętla musi przechodzić przez przez
jakiś „najbardziej zewnętrzny” ośmiokąt i zawierać pięć spośród jego ośmiu krawędzi - a
wtedy można ją skrócić, przebywając tę samą drogę trzema krawędziami (co odpowiada np.
zastosowaniu relacji aba−1 b−1 d = cdc−1 itp.) [Oll05].
14
Rozdział 3
Grupy wirtualnie wolne
3.1. Grupy bezkontekstowe
Grupa wirtualnie wolna posiada podgrupę wolną skończonego indeksu, której grafem Cayleya
jest drzewo. Udowodnimy twierdzenie będące geometrycznym odpowiednikiem tego faktu:
grupa jest wirtualnie wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest quasi-izometryczna z drzewem.
W dowodzie wykorzystamy związek grup wirtualnie wolnych z językami bezkontekstowymi,
opisany w pracy [Mul83]; stamtąd także pochodzą przytoczone niżej bez dowodu fakty i
twierdzenia.
Na początek omówimy nieformalnie kilka pojęć z teorii automatów i języków formalnych
- ich szczegółowe i ścisłe omówienie, formalne dowody opisanych własności itd. można znaleźć w [HU03]. Dla ustalonego skończonego zbioru symboli Σ, nazywanego alfabetem, zbiór
wszystkich słów o symbolach z Σ oznaczymy przez Σ∗ . Językiem L nad Σ nazwiemy dowolny
zbiór słów o symbolach z Σ, L ⊆ Σ∗ .
Automatem skończonym nazywamy krotkę hQ, qI , F, ∆i, gdzie skończony zbiór Q nazwiemy zbiorem stanów automatu, qI ∈ Q - stanem początkowym automatu, F ⊆ Q zbiorem stanów końcowych, a ∆ ⊆ Q × Σ × Q - relacją przejścia. Przetwarzanie przez automat słowa w = w1 w2 . . . wn ∈ Σ∗ przebiega następująco: automat rozpoczyna pracę w stanie
początkowym qI . W k-tym kroku wczytuje symbol wk i jeśli znajduje się w jakimś stanie
q, wybiera jedno z dostępnych przejść (q, wk , p) ∈ ∆ i przechodzi do stanu p (jeśli nie ma
żadnego dostępnego przejścia, automat kończy pracę w stanie q). Formalnie bieg automatu
na słowie w stanowi ciąg elementów δk ∈ ∆, δk = (qk , wk , qk+1 ), q1 = qI . Jeśli będąc w stanie
q i wczytawszy symbol wk automat ma do wyboru więcej niż jedno dopuszczalne przejście,
mówimy o niedeterminizmie - automat niedeterministycznie „wybiera” jedno z przejść, tj. z
każdym słowem może być związane wiele różnych biegów. Bieg automatu kończy się po wczytaniu ostatniego symbolu wn . Powiemy, że automat akceptuje słowo w, jeśli istnieje taki bieg
automatu, że po zakończeniu przetwarzania w znajduje się on w jednym ze stanów końcowych.
W przeciwnym wypadku automat odrzuca w. Językiem akceptowanym lub rozpoznawanym
przez automat nazwiemy zbiór wszystkich słów przez niego akceptowanych.
15
Rysunek 3.1: Automat skończony nad alfabetem Σ = {a} rozpoznający język o własności „nieparzyście wiele a”. Stan q1 jest stanem początkowym, q2 - stanem końcowym.
Silniejszą wersją automatu skończonego jest automatem ze stosem, który poza skończonym zbiorem stanów dysponuje dodatkowo pamięcią w postaci stosu. Ze stosem związany jest
alfabet stosowy Γ. w kazdym kroku automat może położyć symbol z Γ na wierzchołku stosu
lub zdjąć symbol z wierzchołka stosu, może również uzależnić wybór przejścia od symbolu
znajdującego się aktualnie na wierzchołku stosu. Formalnie, relacja przejścia automatu jest
podzbiorem Q × Σ × Γ × Q × Γ, gdzie (q, a, γ, p, γ 0 ) ∈ ∆ należy rozumieć jako „ jeśli automat
znajduje się w stanie q, wczytał symbol a, a na wierzchołku stosu znajduje się symbol γ, to
automat przechodzi do stanu p i zastępuje symbol γ symbolem γ 0 ”. Pojęcie języka akceptowanego można zdefiniować dwojako: automat akceptuje słowo, gdy po jego przeczytaniu
znajdzie się w stanie końcowym, albo gdy zakończy pracę z pistym stosem (definicje te są
równoważne). Język nazwiemy bezkontekstowym, jeśli jest on rozpoznawany przez pewien
automat ze stosem.
Języki bezkontekstowe można równoważnie definiować za pomocą gramatyki bezkontekstowej. Gramatyką bezkontekstową C nazwiemy krotkę hV, Σ, S, P i, gdzie V jest skończonym zbiorem zmiennych, Σ - zbiorem symboli końcowych, S ∈ V - zmienną początkową,
a P - zbiorem reguł gramatyki. Każda reguła jest wyrażeniem postaci X → α, gdzie X
jest jedną ze zmiennych, a α - dowolnym ciągiem symboli ze zbioru V ∪ Σ. Reguły stosuje się do przepisywania słów następująco - dla ciągu symboli α ∈ (V ∪ Σ)∗ , w którym
występuje choć jedna zmienna, możemy dla dowolnego wystąpienia zmiennej X w α zastosować jedną z reguł X → α0 i zastąpić X ciągiem symboli α0 , resztę słowa pozostawiając
bez zmian (α = α1 Xα2 → α1 α0 α2 ). Jeśli istnieje ciąg aplikacji reguł gramatyki taki, że
α0 → α1 → α2 → · · · → αn , αi ∈ (V ∪ Σ)∗ , będziemy to oznaczać przez α0 →∗ αn . Słowo
w ∈ Σ∗ nazwiemy wyprowadzalnym ze zmiennej X, jeśli X →∗ w, a dowolny ciąg powyższej
postaci - wyprowadzeniem w z X. Językiem generowanym przez C (ozn. L(C)) nazwiemy
zbiór wszystkich słów wyprowadzalnych ze zmiennej początkowej S. Język bezkontekstowy
to język generowany przez pewną gramatykę bezkontekstową - definicja ta jest równoważna
definicji przez automat ze stosem, tj. dla każdego języka rozpoznawanego przez automat ze
stosem istnieje generująca go gramatyka bezkontekstowa i na odwrót [HU03].
Ustalmy dla grupy G prezentację hX|Ri. Zbiór słów reprezentujących jedynkę w G tworzy
16
język nad alfabetem X ∪ X −1 . Grupę nazwiemy bezkontekstową, jeśli dla pewnej prezentacji
język ten językiem bezkontekstowym - własność ta nie zależy od wyboru prezentacji [Mul83].
Najprostszym przykładem grupy bezkontekstowej jest grupa wolna o dwóch generatorach,
F2 = ha, bi. Oczywiście słowo reprezentuje jedynkę w F2 , jeśli można je skrócić do słowa
pustego redukcjami postaci: a−1 a → , b−1 b → , aa−1 → , bb−1 → . Automat ze stosem
rozpoznający ten język ma jeden stan i działa następująco: po wczytaniu dowolnego symbolu
umieszcza ten symbol na wierzchołku stosu. Kiedykolwiek symbol zostanie położony na swojej
odwrotności, automat zdejmuje ze stosu oba symbole. Automat akceptuje słowo, gdy zakończy
pracę z pustym stosem, a więc gdy wczytane słowo faktycznie reprezentuje jedynkę w F2 .
g2
g1
u2
g3
u1
g6
u3
g4
g5
Rysunek 3.2: Triangulacja wielokąta. Słowa czytane wokół pętli dają relacje prawdziwe w G
Od strony geometrycznej własność bezkontekstowości wiąże się z pojęciem k-triangulacji.
Dla dowolnego wielokąta na płaszczyźnie, którego krawędzie są poetykietowane generatorami
grupy G, rozpatrzmy jego triangulację, której wszystkie wierzchołki są wierzchołkami wielokąta. Krawędziom trójkątów przyporządkowujemy słowa ui nad alfabetem złożonym z generatorów G, tak, aby słowa czytane wokół każdej pętli w tej triangulacji dawały relację prawdziwą w G (patrz rys. 3.3). Jeśli max|ui | ¬ k, to taką triangulację nazwiemy k-triangulacją.
Wielokąty o jednym lub dwóch wierzchołkach uznajemy za striangulowane.
Definicja 3.1.1. Grupa G ma własność k-triangulacji dla pewnej stałej k, jeśli dla każdej
pętli w grafie Cayleya G odpowiadający jej wielokąt dopuszcza k-triangulację. Powiemy, że
grupa ma własność triangulacji, gdy ma własność k-triangulacji dla pewnego k.
Korzystając z definicji bezkontekstowości przez gramatyki nietrudno udowodnic poniższe
stwierdzenie:
Lemat 3.1.1. Grupa jest bezkontekstowa wtedy i tylko wtedy, gdy posiada własność k-triangulacji
dla pewnej stałej k.
Dowód. „⇒”: niech C będzie gramatyką bezkontekstową dla G = hX|Ri, G = L(C). Dla
każdej gramatyki bezkontekstowej C istnieje gramatyka C 0 (o tym samym zbiorze symboli
końcowych Σ i być może innym zbiorze zmiennych V ) taka, że L(C 0 ) = L(C) oraz C 0 jest w
17
postaci normalnej Chomsky’ego, tzn. wszystkie jej reguły są postaci X → Y Z, Y, Z ∈ V lub
X → a, a ∈ Σ, oraz wszystkie zmienne są użyteczne, tj. dla każdej zmiennej X ∈ V istnieje
słowo w ∈ L(C 0 ) takie, że X występuje w pewnym wyprowadzeniu w [HU03]. Dalej możemy
więc założyć, że C jest w postaci normalnej Chomsky’ego.
Jeśli X →∗ w1 , X →∗ w2 , w1 , w2 ∈ Σ∗ , to w1 =G w2 . Skoro X jest użyteczna, istnieją dla
pewnych α1 , α2 ∈ (V ∪ Σ)∗ wyprowadzenia S →∗ α1 Xα2 →∗ vw1 u i S →∗ α1 Xα2 →∗ vw2 u.
W takim razie vw1 u =G e =G vw2 u, skąd w1 =G w2 .
Rozpatrzmy pętlę w grafie Cayleya G, której odpowiada wielokąt o krawędziach etykietowanych słowem w ∈ L(C), |w| ­ 4. W wyprowadzeniu w pierwszą regułą musi być
S → XY dla pewnych zmiennych X, Y . Możemy więc podzielić pętlę na dwa słowa w1 i w2 ,
w = w1 w2 , X →∗ w1 , Y →∗ w2 . Dla dowolnej zmiennej Z ∈ V niech uZ oznacza dowolne
najkrótsze słowo wyprowadzalne z Z. Niech k = maxZ∈V |uZ |. Pokażemy, że wielokąt posiada
k-triangulację.
Jeśli |w1 | = |w2 | = 1, to wielokąt uznajemy za striangulowany. Rozpatrzmy przypadek
|w1 | ­ 2, |w2 | ­ 2. Prowadzimy w wielokącie krawędź od początku słowa w1 do początku słowa
w2 (rysunek 3.1) i etykietujemy ją słowem uX . Ponieważ X →∗ w1 i X →∗ uX , w1 =G uX ,
−1 −1
−1
=G e.
a więc w1 u−1
X =G e. Analogicznie, w1 w2 =G e, więc uX w2 =G uX w1 =G (w1 uX )
W ten sposób otrzymujemy dwa wielokąty, jeden etykietowany słowem w1 uX , a drugi w2 uX ,
o mniejszej liczbie krawędzi. Jeśli z kolei |w1 | = 1, |w2 | ­ 2 (lub na odwrót), to w1 jest
symbolem alfabetu, więc istnieje wyprowadzenie: S → XY → xY → xY1 Y2 → xw21 w22 . W
takim wypadku prowadzimy krawędż o etykiecie uY2 od początku słowa w22 do jego końca.
W ten sposób otrzymaliśmy dwa wielokąty o mniejszej liczbie krawędzi. Każdy z nich
posiada jedną krawędź etykietowaną słowem uX dla pewnej zmiennej X. Możemy iterować
wyżej opisaną procedurę do tych wielokątów, traktując uX jak symbol alfabetu. Tą metodą
indukcyjnie otrzymujemy k-triangulacje wyjściowego wielokąta.
Rysunek 3.3: Dowód lematu 3.1.1. Słowo w posiada wyprowadzenie postaci S → XY →∗ w1 w2 .
„⇐”: załóżmy, że dla pewnego k dla każdej pętli w grafie Cayleya G istnieje k-triangulacja.
Skonstruujemy gramatykę bezkontekstową C taką, że w ∈ L(C) ⇔ w =G e. Dla każdego słowa
u takiego, że |u| ¬ k, wprowadzamy zmienną Au - w ten sposób otrzymujemy skończony
18
zbiór zmiennych. Jeśli u =G vz, to wprowadzamy regułę Au → Av Az . Jeśli u =g x, x ∈ X,
to wprowadzamy regułę Au → x. Dodatkowo wprowadzamy regułę Ae → , a za symbol
startowy przyjmujemy Ae .
Jest jasne, że jeśli Ae →∗ w, to w =G e, gdyż reguły gramatyki odpowiadają równościom
prawdziwym w G. Pozostaje wykazać, że każde słowo reprezentujące jedynkę jest wyprowadzalne z Ae . Rozpatrzmy dowolne słowo w takie, że w =g e, oraz pętlę etykietowaną w i
odpowiadający jej wielokąt. Z założenia wielokąt ten posiada k-triangulację. Wykażemy przez
indukcję po ilości trójkątów w triangulacji, że jeśli boki wielokąta mają etykiety u1 , . . . , un ,
to Ae →∗ Au1 . . . Aun . Jeśli jest tylko jeden trójkąt, o bokach etykietowanych generatorami
x, y, z, to mamy wyprowadzenia: Ae → Ax Ax−1 → Ax Ay Az .
Jeśli w triangulacji jest więcej niż jeden trójkąt, to łatwo pokazać, że istnieje w niej
trójkąt, którego dwa boki pokrywają się z sąsiednimi bokami wielokąta. Jeśli boki te są etykietowane generatorami x, y i oznaczymy z = xy, to możemy zapisać słowo w w postaci
w = w1 xyw2 = w1 zw2 . Niech w1 = x1 . . . xn , w2 = y1 . . . ym . Wielokąt etykietowany słowem
w1 zw2 ma mniejszą liczbę trójkątów, niż wyjściowy wielokąt, więc z założenia indukcyjnego
istnieje wyprowadzenie Ae →∗ Ax1 . . . Axn Az Ay1 . . . Aym . Stąd natychmiast dostajemy wyprowadzenia Ax1 . . . Axn Az Ay1 . . . Aym → Ax1 . . . Axn Ax Ay Ay1 . . . Aym → x1 . . . xn xyy1 . . . ym =
w1 xyw2 = w.
Rysunek 3.4: Dowód lematu 3.1.1. Indukcja po liczbie trójkątów w triangulacji
Przedstawiony fakty stanowią wstęp do dowodu głównego twierdzenia tego rozdziału,
podającego związek grup bezkontekstowych z wirtualnie wolnymi. Dowód twierdzenia, korzystający z tzw. teorii końców grup Stallingsa, został podany w [Mul83] przy dodatkowym,
technicznym założeniu tzw. dostępności. Założenie to można opuścić, gdyż każda grupa skończenie prezentowalna, a z takimi mamy tu do czynienia, jest dostępna [Dun85].
Twierdzenie 3.1.1. Grupa jest bezkontekstowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest wirtualnie wolna.
19
3.2. Quasi-izometrie z drzewami
Posługując się przytoczonymi faktami dotyczącymi bezkontekstowości i istnienia k-triangulacji
możemy udowodnić zapowiedzianą wcześniej charakteryzację: grupa jest wirtualnie wolna
wtedy i tylko wtedy, gdy jest quasi-izometryczna z drzewem.
Fakt 3.2.1. Własność triangulacji jest niezmiennkiem quasi-izometrii, tzn. jeśli G i H są
quasi-izometryczne, to G ma własność triangulacji wtedy i tylko wtedy, gdy ma ją H (być
może dla innej stałej k).
Dowód. Przypuśćmy, że H posiada własność k-triangulacji. Niech B będzie pętlą w G o
wierzchołkach x1 , . . . , xn , a f : G → H - quasi-izometrią. Jeśli d(x, y) = 1, to d(f (x), f (y)) ¬
A, więc obraz f (B) jest, po ewentualnym połączeniu f (xi ) i f (xi+1 ) odcinkami długości
¬ A, pętlą w H. Pętla ta posiada k-triangulację, której wierzchołki mogą nie być punktami
f (xi ). Dla każdej ścieżki między f (xi ) a f (xi+1 ) wykonujemy więc następującą operację dla krawędzi triangulacji, których któryś koniec leży pomiędzy f (xi ) a f (xi+1 ), przenosimy
ten koniec do punktu f (xi ). W ten sposób otrzymujemy nową triangulację, w której długości
krawędzi zwiększają się co najwyżej o A, a wszystkie wierzchołki leżą w punktach f (xi ). Jeśli
d(f (xi ), f (xj )) ¬ k + A, to d(xi , xj ) ¬ λ(k + A + C), a więc otrzymaliśmy k 0 -triangulację
wyjściowej pętli dla k 0 = λ(k + A + C).
Twierdzenie 3.2.1. Grupa G jest wirtualnie wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest quasiizometryczna z drzewem.
Dowód. „⇒” Niech H będzie podgrupą wolną G o skończonym indeksie n. Wybierzmy dowolnie reprezentantów g1 , . . . , gn warstw H w G. Dla każdego g ∈ G mamy g = gi h dla pewnego
i i h ∈ H (ozn. g = gi h(g)). Szukaną quasi-izometrią jest przekształcenie f : G → H, f (g) =
h(g). Niech C = maxi,j |gi gj−1 |. Nierówność dG (g, g 0 ) ¬ λdH (f (g), f (g 0 )) + C jest jasna, gdyż
dG (g, g 0 ) = dG (gi h, gj h0 ) = dG (gj−1 gi h, h0 ) ¬ dG (gi gj−1 h, h) + dG (h, h0 ) ¬ C + λdH (h, h0 ), bo
generatory H możemy wyrazić przez generatory G, zwiększając przy tym długość słowa co
najwyżej λ razy dla pewnej stałej λ.
Niech R = max |gi |. Mamy ∀h ∈ H ∃g ∈ G dH (h, f (g)) ¬ R. Pozostaje pokazać, że
dH (f (g), f (g 0 )) ¬ λ0 dG (g, g 0 )+C 0 dla pewnych stałych λ0 , C 0 . Oznaczmy przez B(e, 4R) kulę w
G o środku w e i promieniu 4R. Jedynie dla skończenie wielu h ∈ H B(e, 4R)∩h·B(e, 4R) 6= ∅
- niech K = max{|h|H : B(e, 4R) ∩ h · B(e, 4R) 6= ∅}.
Rozpatrzmy dowolne g, g 0 ∈ G takie, że dG (g, g 0 ) ¬ R oraz f (g) = h, f (g 0 ) = h0 . Mamy
wtedy dG (h, h0 ) ¬ dG (h, g) + dG (g, g 0 ) + dG (g 0 , h0 ) = dG (h, gi h) + dG (g, g 0 ) + dG (g 0 , gj h0 ) ¬ 3R.
Stąd h·B(e, 4R)∩h0 ·B(e, 4R) 6= ∅, a więc z definicji dH (h, h0 ) = |hh0−1 |H ¬ K. Otrzymaliśmy
więc, że jeśli dG (g, g 0 ) ¬ R, to dH (f (g), f (g 0 )) ¬ K, a ponieważ graf Cayleya jest przestrzenią
geodezyjną, to wynika stąd, iż dH (f (g), f (g 0 )) ¬
K
0
R dG (g, g )
+ K.
„⇐” Łatwo pokazać, że drzewa posiadają własność k-triangulacji dla k = 0. W dowolnej
pętli w drzewie któreś dwa wierzchołki się powtarzają - w odpowiadającym pętli wieloką20
cie łączymy je krawędzią etykietowaną . Powtarzający się wierzchołek rozdziela pętlę na
dwie, które indukcyjnie triangulujemy krawędziami etykietowanymi . Stąd każda pętla w
drzewie ma 0-triangulację. Ponieważ G jest quasi-izometryczna z drzewem, posiada własność
k-triangulacji (lemat 3.2.1). Lemat 3.1.1 implikuje więc, że G jest bezkontekstowa, a twierdzenie 3.1.1 - że wobec tego jest wirtualnie wolna.
Jako ilustrację wykazanego twierdzenia pokażemy, że grupa Z2 ∗Z3 = ha, b | a2 , b3 i jest wirtualnie wolna. Graf Cayleya tej grupy przedstawia rysunek 3.5. Możemy wprost wskazać podgrupę wolną indeksu 6 - jest ona generowana przez elementy: {baba, b−1 ab−1 a, abab, ab−1 ab−1 }
i izomorficzna z grupą wolną o 2 generatorach. Graf tej podgrupy powstaje przez przeprowadzenie par trójkątów w grafie Cayleya Z2 ∗ Z3 w punkty (patrz rysunek 3.5) i oczywiście jest
drzewem, co daje quasi-izometrię, o jakiej mowa w twierdzeniu.
b-1
b
a
e
b-1
b
Rysunek 3.5: Graf Cayleya grupy Z2 ∗ Z3
Z pokazanego twierdzenia wynika wprost, że każda grupa wirtualnie wolna jest hiperboliczna. Ponieważ drzewa są 0-hiperboliczne, a hiperboliczność jest niezmiennikiem quasiizometrii, każda grupa wirtualnie wolna, jako quasi-izometryczna z drzewem, jest hiperboliczna. Odwrotne zawieranie nie zachodzi, o czym świadczy przykład wspomnianej w rozdziale
2 grupy podstawowej 2-precla. G = ha, b, c, d|aba−1 b−1 = cdc−1 d−1 i, która jest hiperboliczna,
a nie jest wirtualnie wolna.
21
3.3. δ-cienkie czworokąty
Omówimy teraz kolejną geometryczną własność równoważną byciu wirtualnie wolnym. Grupy
hiperboliczne definiowaliśmy poprzez własność „δ-cienkich trójkątów” - grupy wirtualnie
wolne charakteryzuje podobna własność „δ-cienkich czworokątów”.
Definicja 3.3.1. Przestrzeń metryczna X ma własność δ-cienkich czworokątów, gdy istnieje
δ o następującej własności: dla dowolnego (niekoniecznie geodezyjnego) czworokąta abcd któreś dwa przeciwległe boki są δ-bliskie, tzn. istnieją x ∈ [a, b], y ∈ [c, d] (lub x ∈ [b, c], y ∈ [d, a])
takie, że d(x, y) ¬ δ
Fakt 3.3.1. Własność δ-cienkich czworokątów jest niezmiennikiem quasi-izometrii, tzn. jeśli
X i Y są quasi-izometryczne, to X ma własność δ-cienkich czworokątów wtedy i tylko wtedy,
gdy ma ją Y .
Dowód. Przypuśćmy, że Y ma własność δ-cienkich czworokątów. Niech f : X → Y i g :
Y → X będą quasi-izometriami i d(x, f (g(x))) ¬ C. Niech A = abcd będzie czworokątem w
X. Jeśli d(x, y) = 1, to d(f (x), f (y)) ¬ A, więc obraz f (A) po ewentualnym uzupełnieniu
odcinkami długości ¬ A jest czworokątem. Bez straty ogólności istnieją punkty y1 ∈ ab i
y2 ∈ cd takie, że d(y1 , y2 ) ¬ δ, zwiększając ewentualnie δ o stałą ¬ 2A możemy przyjąć,
że y1 , y2 ∈ f (A). Jeśli f (x1 ) = y1 , f (x2 ) = y2 , to mamy d(g(y1 ), g(y2 )) ¬ λδ + D oraz
d(x, g(f (x)) ¬ C), skąd d(x1 , x2 ) ¬ 2C +λδ+D. Stąd X ma własność δ 0 -cienkich czworokątów
dla δ 0 = 2C + λδ + D.
Wobec twierdzenia 3.2.1, aby otrzymać postulowaną charakteryzację, pozostaje pokazać
następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.3.1. Grupa G jest quasi-izometryczna z drzewem wtedy i tylko wtedy, gdy
ma własność δ-cienkich czworokątów dla pewnej δ > 0.
Dowód. „⇒” Na mocy lematu 3.3.1 wystarczy pokazać, że drzewa mają własność δ-cienkich
czworokątów. W drzewie dowolny czworokąt abcd ma postać ścieżki, na której leżą wierzchołki
w dowolnej kolejności, oraz cały czworokąt jest zawarty w sumie pewnych trzech odcinków.
Stąd łatwo zauważyć, że przy dowolnym położeniu wierzchołków na ścieżce któreś dwa przeciwległe odcinki czworokąta mają niepuste przecięcie, czyli de facto są 0-bliskie.
„⇐” Załóżmy, że G ma własność δ-cienkich czworokątów dla pewnej δ > 0. O podzbiorze X ⊆ G powiemy, że jest k-spójny, jeśli ∀x, y ∈ X istnieje ciąg wierzchołków x =
x0 , x1 , . . . , xm = y taki, że d(xi , xi+1 ) ¬ k. Jeśli X jest k-spójny, to dla x, y ∈ X k-ścieżką
od x do y nazwiemy dowolną sciężkę złożoną z odcinków długości co najwyżej k łączących
punkty xi ∈ X.
Połóżmy R = 10δ i oznaczmy Bn = {x ∈ G : nR ¬ d(x, e) ¬ (n + 1)R)} (Bn jest pierścieniem o promieniu R). Każdy ze zbiorów Bn podzielmy na 5δ-spójne składowe Un,1 , . . . , Un,kn .
22
Zauważmy, że jeśli x, y leżą w tej samej 5δ-spójnej składowej oraz x, y ∈ Bn , to dowolna
5δ-ściezka łącząca x i y może przechodzić jedynie przez zbiory Bn−1 , Bn , Bn+1 .
Tak określone Ui,j tworzą pokrycie G. Nerwem pokrycia {Ui,j } nazwiemy graf N , którego
wierzchołkami są elementy pokrycia {Ui,j }, a wierzchołki U1 , U2 są połączone krawędzią, jeśli
U1 ∩ U2 6= ∅.
x2
y2
z2
x1
y1
z1
e
Rysunek 3.6: Nerw pokrycia Ui,j jest drzewem
Nerw pokrycia {Ui,j } jest drzewem. Istotnie, gdyby w N istniała pętla, w szczególności
istniałyby w N wierzchołki Uk+1,i , Uk,j1 .Uk,j2 takie, że zarówno Uk,j1 , jak i Uk,j2 są w N
połączone krawędzią z Uk+1,i . Niech więc x1 ∈ Uk,j1 ∩Uk+1,i , y1 ∈ Uk+1,i ∩Uk+1,i . Ponieważ x1 i
x2 leżą w tej samej 5δ-spójnej składowej, istnieje 5δ-scieżka o wierzchołkach x01 , . . . , x0n ∈ Uk,j1
(p. rys. 3.6). Rozpatrzmy geodezyjną łączącą x1 (odp. x2 ) z e i wybierzmy na niej ostatni
punkt z1 leżący jeszcze w Uk,j1 (odp. z2 w Uk,j2 ). Zauważmy, że d(xi , zi ) ­ R − 1, i = 1, 2.
Rozważmy teraz czworokąt o wierzchołkach x1 , x2 , z2 , z1 i bokach będących kolejno: 5δscieżką od x1 do x2 , geodezyjną od x2 do z2 , odcinkiem złożonym z geodezyjnych od z2
do e i od e do z1 oraz geodezyjną od z1 do x1 . Czworokąt jest δ-cienki, więc któreś dwa
przeciwległe boki są połączone odcinkiem długości co najwyżej δ. Gdyby tymi bokami były
[x1 , x2 ] i [z2 , z1 ], mielibyśmy dla pewnego m i punktów y1 ∈ [z2 , z1 ], y2 ∈ [x0m , x0m+1 ]:
d(x0m , e) ¬ d(x0m , y2 ) + d(y2 , y1 ) + d(y1 , e) ¬ 5δ + δ + (k − 1)R = (k − 1)R + 6δ < kR
co przeczy temu, że x0m ∈ Uk+1,i .
Zatem [x2 , z2 ] i [z1 , x1 ] są δ-bliskie, a więc istnieją punkty y1 ∈ Uk,j1 , y2 ∈ Uk,j2 takie, że
d(y1 , y2 ) ¬ δ. Stąd x1 i x2 leżą w tej samej 5δ-spójnej składowej, czyli Uk,j1 = Uk,j2 .
Udowodnimy teraz, że średnice składowych Ui,j są wspólnie ograniczone. Niech x1 , x2 ∈
23
x1
x2
y1
y2
e
Rysunek 3.7: Elementy pokrycia Ui,j są wspólnie ograniczone
Uk,i . Rozważmy geodzyjne łączące x1 , x2 z e i wybierzmy na nich punkty y1 , y2 ∈ Uk−4,j
(N jest drzewem, więc istotnie punkty te leżą w jednej 5δ-spójnej składowej). Rozważmy
czworokąt o wierzchołkach x1 , x2 , y2 , y1 oraz bokach: 5δ-ścieżka od x1 do x2 , geodezyjna od
x2 do y2 , 5δ-ścieżka od y2 do y1 oraz geodezyjna od y1 do x1 (p. rys. 3.7). Czworokąt ten jest
δ-cienki. Boki x1 x2 , y2 y1 nie mogą być δ-bliskie, gdyż 5δ-ścieżka od x1 do x2 leży co najmniej
w zbiorze Bk−1 , a 5δ-ścieżka od y2 do y1 - co najwyżej w zbiorze Bk−3 . Tak więc ścieżki te są
odległe co najmniej o R. Stąd δ-bliskie muszą być odcinki y1 x1 , x2 y2 . Ponieważ długości obu
tych odcinków nie przekraczają 5R, stąd otrzymujemy d(x1 , x2 ) ¬ 10R + δ, a więc średnica
dowolnej składowej nie przekracza 10R + δ.
Ponieważ średnice elementów pokrycia Ui,j są wspólnie ograniczone, odwzorowanie G →
N , przyporządkowujące elementowi g ∈ G wierzchołek nerwu odpowiadającemu składowej
Ui,j , w której leży g, jest quasi-izometrią. Skonstruowaliśmy więc quasi-izometrię G z drze
wem, co kończy dowód.
Warto przy okazji zwrócić uwagę na kwestię, dlaczego w definicji własności δ-cienkich
czworokątów mówiliśmy, inaczej niż przy hiperboliczności, o dowolnych czworokątach, a nie
jedynie geodezyjnych. Gdybyśmy żądali jedynie, by geodezyjne czworokąty były δ-cienkie,
tak otrzymane pojęcie pokrywałoby się z hiperbolicznością, tj. hiperboliczność implikuje δcienkość czworokątów geodezyjnych. Dla czworokąta geodezyjnego abcd prowadzimy geodezyjną przekątną ac i dla trójkątów abc, bcd oznaczamy na odcinkach ab, ac, ad punkty styczności okręgów wpisanych x1 , x2 , y1 , y2 (jak w fakcie 2.0.2). Bez straty ogólności załóżmy, że
d(a, x1 ) ¬ d(a, y1 ) (patrz rys. ). Wybierzmy na boku bc punkt z tak, by d(c, y1 ) = d(c, z).
Wtedy na mocy faktu 2.0.2 d(z, y1 ) ¬ δ oraz d(y1 , y2 ) ¬ δ, więc razem d(z, y2 ) ¬ 2δ, czyli
czworokąt jest 2δ-cienki.
24
a
y2
x1
d
y1
z
x2
b
c
Rysunek 3.8: Hiperboliczność implikuje δ-cienkość czworokątów geodezyjnych
3.4. Prezentacje grup wirtualnie wolnych
Na koniec wspomnimy o czysto kombinatorycznej właśności grup wirtualnie wolnych analogicznej do charakteryzacji grup hiperbolicznych przez prezentacje Dehna. Grupa jest hiperboliczna, jeśli posiada prezentację, której równości pozwalają zredukować każde słowo
reprezentujące jedynkę do słowa pustego. Grupy wirtualnie wolne cechuje silniejsza własność
- grupa jest wirtualnie wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma prezentację, której równości pozwalają zredukować każde słowo do słowa geodezyjnego (tj. najkrótszego słowa reprezentującego
dany element grupy). Geometrycznie oznacza to istnienie stałej k takiej, że każde słowo klokalnie geodezyjne (tzn. takie, że każde jego podsłowo długości ¬ k jest geodezyjne) samo
jest geodezyjne [Gil07].
Prostą ilustrację powyższego faktu stanowi wirtualnie wolna grupa Z2 ∗ Z3 z prezentacją
ha, b|a2 = 1, b2 = b−1 i(p. sekcja 3.2). Rozpatrując graf Cayleya tej grupy, przedstawiony
na rysunku 3.5, łatwo przekonać się, iż dowolną niegeodezyjną ścieżkę w tym grafie można
skrócić przez trywialne redukcje słów aa−1 , bb−1 ) albo zastępując pewne wystąpenie b2 przez
b−1 lub b−2 przez b - wynika to z faktu, że każda niegeodezyjna ścieżka musi w pewnym
miejscu albo wykorzystać dwa razy pod rząd tę samą krawędż (aa−1 , bb−1 ), albo dwie różne
krawędzie jednego z trójkątów (b2 , b−2 ).
25
Bibliografia
[Apo90] T. M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer,
New York, 1990
[CFKP97] J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, W. R. Parry, Hyperbolic geometry, Flavors
of Geometry, MSRI Publications, Volume 31, 1997
[Dun85] M. Dunwoody, The accessibility of finitely presented groups, Invent. Math. 81 (1985),
449-457
[Gil07] R. H. Gilman, S. Hermiller, D. F. Holt, S. Rees, A characterization of virtually free
groups, Arch. Math. 89 (2007), 289-295.
[HU03] J. E. Hopcroft, J. D. Ullman, Wprowadzenie do teorii automatów, języków i obliczeń,
PWN 2003
[Hyp91] J.M.Alonso, T.Brady, D.Cooper, V.Ferlini, M.Lustig, M.Mihalik, M.Shapiro, H.
Short,Notes on word-hyperbolic groups, w: Group Theory from a Geometric Viewpoint,
World Scientific, 1991
[Mul83] D. E. Muller, P. E. Schupp, Groups, the Theory of Ends, and Context-Free Languages, J. Comput. Syst. Sci, Volume 26, 1983, 295-310
[Oll05] Y. Ollivier, A January 2005 invitation to random groups
[Roe02] J. Roe, Lectures on Coarse Geometry, American Mathematical Society, 2002
27