1.1 Liczby zespolone
Transkrypt
1.1 Liczby zespolone
1 IMiF, UTP 1.1 Liczby zespolone Zbiór liczb zespolonych C = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}. Postać algebraiczna z = a + bi, gdzie i2 = −1, a, b ∈ R, a = Re z – część rzeczywista, b = Im z – część urojona. Działania na liczbach zespolonych. Niech z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i. Wówczas 1. z1 = z2 ⇔ a1 = a2 oraz b1 = b2 2. z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i 3. z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 ) + (a1 · b2 + a2 · b1 )i. Przykład 1.1. a) 2a + 5b + 3ai = 11 − 6i ⇔ 2a + 5b = 11 oraz 3a = −6. Zatem a = −2, b = 3. b) Niech teraz z1 = 3 + 4i, z2 = 5 − 2i. Obliczymy z1 + z2 = (3 + 4i) + (5 − 2i) = 8 + 2i, z1 − z2 = (3 + 4i) − (5 − 2i) = −2 + 6i z1 · z2 = (3 + 4i) · (5 − 2i) = 15 − 6i + 20i − 8i2 = 23 + 14i 3 + 4i 3 + 4i 5 + 2i 15 + 6i + 20i + 8i2 7 + 26i 7 26 z1 = = · = = = + i. 2 z2 5 − 2i 5 − 2i 5 + 2i 25 − 4i 29 29 29 Definicja 1.2. Liczbą sprzężoną do liczby z = a + bi nazywamy liczbę z = a − bi. Sprzężenie sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu to odpowiednio suma, różnica, iloczyn i iloraz sprzężeń (o ile jest dobrze określone). Postać trygonometryczna: z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , gdzie r – odległość punktu z = (a, b) od początku układu współrzędnych, a ϕ – kąt między promieniem wodzącym punktu z a osią OX. oś urojona b rz r ϕ −ϕ a oś rzeczywista rz̄ Definicja 1.3. Modułem liczby z = a + bi nazywamy liczbę rzeczywistą |z| = √ a2 + b2 . Moduł – uogólnienie wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, geometrycznie – odległość (a, b) od (0, 0). Liczba rzeczywista ϕ ∈ [0, 2π) nazywana argumentem głównym liczby z jest jednoznacznie dla niej wyznaczona. Jeśli z = 0, to przyjmujemy ϕ = 0. Zauważmy, że z równości z = a + bi = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) dla z 6= 0 wynika, że kąt ϕ spełnia zależności: cos ϕ = a/|z| oraz sin ϕ = b/|z|. Twierdzenie 1.4. (Własności modułu) |z|2 = z · z̄; |z| = |z| oraz |z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |; ||z1 | − |z2 || ¬ |z1 − z2 |; |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |; z 1 z2 = |z1 | , jeżeli z2 6= 0. |z2 | 2 IMiF, UTP Przykład 1.5. Niech, tak jak wcześniej z1 = 3 + 4i, z2 = 5 − 2i. Obliczymy z1 = 3 − 4i, z2 = 5 + 2i z1 z2 = 7/29 − 26/29 i z1 + z2 = 8 − 2i, z1 − z2 = −2 − 6i, z1 · z2 = 23 − 14i, √ √ √ |z1 | = 9 + 16 = 5, |z2 | = 25 + 4 = 29 √ √ √ √ √ √ √ |z1 + z2 | = 64 + 4 = 2 17, |z1 − z2 | = 4 + 36 = 2 10, |z1 · z2 | = 529 + 196 = 725 = 5 29 Przykład 1.6. Rozwiąż równania lub nierówność a) |z − 1| = 2; b) |z + 3i| = 3; c) 1 < |z + 2| < 4; d) |z| − z = 1 + 2i; e) i(z − z) + i(z + z) = 2i − 3. Rozwiązanie. Niech z = x + iy. a) |x + iy − 1| = 2 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 4. R-nie opisuje okrąg o środku w punkcie (1, 0) i promieniu 2. b) |x + (y + 3)i| = 3 ⇔ x2 + (y + 3)2 = 9. Równanie opisuje okrąg o środku w (0, −3) i promieniu 3. c) 1 < |x + 2 + yi| < 4 ⇔ 1 < (x + 2)2 + y 2 < 16. Nierówności opisują pierścień kołowy o środku w punkcie √ √ (−2, 0) i promieniach 1 i 4.√ d) x2 + y 2 − x − iy = 1 + 2i ⇔ x2 + y 2 − x = 1 oraz −y = 2. Zatem y = −2 i x2 + 4 = 1 + x ⇔ x2 + 4 = 1 + 2x + x2 ⇔ x = 3/2. W konsekwencji z = 3/2 − 2i. e) 2iz = 2i − 3 ⇔ 2x = 2 oraz −2y = −3, więc z = 1 + 3i/2. Przykład 1.7.√a) Przedstawimy z1 = −1√+ i w postaci √ trygonometrycznej. Mamy a1 = −1, b1 = 1. Liczymy |z1 | = 2. Ponieważ cos ϕ1 = −1/ 2, sin ϕ1 = 1/ 2, więc ϕ1 = 3π/4. Zatem √ 3π 3π . z1 = 2 cos + i sin 4 4 √ √ √b) Niech z2 = 2 − 2 3 i. Mamy a2 = 2, b2 = −2 3. Liczymy |z2 | = 4. Ponieważ cos ϕ2 = 1/2, sin ϕ2 = − 3/2, więc ϕ2 = 5π/3. Zatem 5π 5π . + i sin z2 = 4 cos 3 3 Twierdzenie 1.8. Niech z1 = r1 cos ϕ1 + i sin ϕ1 oraz z2 = r2 cos ϕ2 + i sin ϕ2 . Wówczas z1 · z2 = r1 · r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) ! oraz ! z1 r1 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ) . = z2 r2 Wniosek 1.9 (wzór de Moivre’a.). Niech z = r cos ϕ + i sin ϕ . Wówczas z n = r n cos nϕ + i sin nϕ . 29π 5π 3π 5π + = = 2π + , więc 4 3 12 12 √ 5π 5π z1 · z2 = 4 2 cos + i sin 12 12 Przykład 1.10. Dla z1 i z2 z poprzedniego przykładu mamy oraz z18 1.2 = √ 8 2 3π 3π + i sin 8 · · cos 8 · 4 4 = 16 (cos 2π + i sin 2π) = 16. Funkcje zmiennej zespolonej Definicja 1.11. Funkcję f : A 7→ B, gdzie A i B są podzbiorami C nazywamy funkcją zmiennej zespolonej, o ile każdej liczbie z ∈ A przyporządkowana jest pewna liczba w ∈ B, tzn. f (z) = w. Zauważmy że, jeśli z = x + iy, to f (z) = f (x + iy) ≡ f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), gdzie u(x, y), v(x, y) to odpowiednio część rzeczywista i urojona liczby w. Uwaga. Przyporządkowanie to nie musi być jednoznaczne. 3 IMiF, UTP 1.2.1 Pierwiastek n-tego stopnia Definicja 1.12. Pierwiastkiem stopnia n z liczby z nazywamy każdą liczbę w spełniającą w n = z. Twierdzenie 1.13. Każda liczba zespolona z = |z| cos ϕ + i sin ϕ ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków jest postaci zk = ϕ + 2kπ |z| cos n q n ! ϕ + 2kπ + i sin n !! , k = 0, 1, . . . , n − 1. Pierwiastek n-tego stopnia można interpretować jako funkcję f (z) = √ n z przyjmującą n różnych wartości. Przykład 1.14. a) Rozwiąż równanie z 4 − 1 = 0 w zbiorze liczb zespolonych. Innymi słowy: wyznacz pierwiastki czwartego stopnia z jedynki. √ b) Znajdź pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 3 + i. Rozwiązanie. a) Dla z = 1 mamy a = 1, b = 0, |z| = 1 oraz ϕ = 0 (liczba rzeczywista leży na osi OX). Korzystając z powyższego twierdzenia mamy z0 = 1 · (cos 0 + i sin 0) = 1, z1 = cos(π/2) + i sin(π/2) = i, z2 = cos π + i sin π = −1, z3 = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = −i. A zatem pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są: 1, i, −1, −i. √ b) Mamy a = 3, b = 1, |z| = 2 oraz ϕ = π/6. Korzystając z powyższego twierdzenia mamy √ √ √ π 13 25 π 13 25 3 3 3 , z1 = 2 · cos π + i sin π , z2 = 2 · cos π + i sin π . + i sin z0 = 2 · cos 18 18 18 18 18 18 1.2.2 Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej Definicja 1.15. Funkcję zmiennej zespolonej f (z) = ez , gdzie dla z = x + yi, ez = ex (cos y + i sin y), nazywamy funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej. ez1 Dla liczb zespolonych zachodzi: ez1 · ez2 = ez1 +z2 , z2 = ez1 −z2 , ez 6= 0, ez+2πi = ez . Ostatni warunek e oznacza, że funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej jest funkcją okresową o okresie zespolonym 2πi . Przykład 1.16. Policzymy wartość wyrażenia e1−πi . Mamy e1−πi = e1 (cos(−π) + i sin(−π)) = e (cos π − i sin π) = −e. Definicja 1.17. Postacią wykładniczą (biegunową) liczby zespolonej z = |z| cos ϕ+i sin ϕ jest z = |z|eiϕ . √ Przykład 1.18. Znajdziemy postaci wykładnicze dla z1 = 1 + i i z2 = −1 − i. Mamy |z1 | = |z2 | = 2, ϕ1 = π/4, ϕ2 = 5π/4. A zatem √ √ z1 = 2eiπ/4 , z2 = 2e5πi/4 . Zauważmy, że postać wykładnicza jest wygodna dla mnożenia i dzielenia liczb. Dla powyższego przykładu: √ iπ/4 √ iπ/4 √ 5πi/4 2e z1 3πi/2 = √ 5πi/4 = e−iπ = −1. z1 · z2 = 2e · 2e = 2e = −2i, z2 2e Twierdzenie 1.19 (Wzory Eulera). eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, w szczególności, dla ϕ = π eiπ + 1 = 0. Ponadto, eiϕ + e−iϕ eiϕ − e−iϕ cos ϕ = sin ϕ = . 2 2i Z powyższych wzorów wynika, że sinus i cosinus są okresowe o okresie 2π i przyjmują wartości w C. Przykład 1.20. Wyznaczymy wartość cos(2i). Mamy 1 −2 1 2i2 2 e + e−2i = e + e2 . cos(2i) = 2 2 Zauważmy, że liczba cos(2i) jest rzeczywista i jest większa od jeden. 4 IMiF, UTP 1.2.3 Logarytm zespolony Definicja 1.21. Funkcją logarytmiczną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) = ln z = ln |z| + i(ϕ + 2kπ), k ∈ Z. Zauważmy, że funkcja logarytm przyjmuje nieskończenie wiele wartości (jest funkcją wieloznaczną), gdyż daje różne wartości dla różnych wartości k. Dla k = 0 otrzymujemy wartość (gałąź) główną logarytmu oznaczoną czasami przez Ln. √ Przykład 1.22. Wyznaczymy ln(−1) oraz ln(1 + i). Ponieważ −1 = 1 · eiπ oraz 1 + i = 2eiπ/4 więc ln(−1) = ln 1 + i(π + 2kπ) = iπ + 2kπi, ln(1 + i) = ln 1.2.4 √ k ∈ Z, Ln(−1) = iπ 1 π π + 2kπ = ln 2 + i + 2kπ , 2+i 4 2 4 k ∈ Z. Wielomiany o współczynnikach zespolonych Definicja 1.23. Wielomianem stopnia n ∈ N o współczynnikach zespolonych nazywamy funkcję zmiennej zespolonej z postaci W (z) = an zn + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 , gdzie a0 , a1 , . . . , an ∈ C, przy czym an 6= 0. Wielomianem zerowym nazywamy funkcję W (z) = 0 dla z ∈ C. Twierdzenie 1.24 (Podstawowe twierdzenie algebry). Każdy wielomian W stopnia n w dziedzinie zespolonej ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając krotności) i daje się zapisać w postaci W (z) = an (z − z1 ) · · · (z − zn ), gdzie z1 , . . . , zn są wszystkimi pierwiastkami wielomianu W . Z twierdzenia wynika w szczególności, że każdy trójmian kwadratowy W (z) = az 2 + bz + c, gdzie a, b, c ∈ C i a 6= 0, daje się zapisać w postaci W (z) = a(z − z1 )(z − z2 ), gdzie pierwiastki z1 , z2 wyrażają się wzorami −b + δ1 −b + δ2 z1 = , z2 = , 2a 2a a δ1 , δ2 są pierwiastkami stopnia drugiego równania b2 − 4ac = 0. Przykład 1.25. Rozwiąż równania w zbiorze liczb zespolonych. a) z 2 + 16 = 0 b) z 2 + 2z + 2 = 0 c) iz 2 + (2 − 2i)z − i − 2 = 0 d) z 2 − 3z + 3 + i = 0. Rozwiązanie. a) Mamy z 2 = −16 = 16 · (−1) = 42 · i2 = (4i)2 , więc z1 = 4i, z2 = −4i. b) Mamy ∆ = −4 = 22 · i2 = (2i)2 , więc z1 = −2 − 2i −2 + 2i = −1 − i oraz z2 = = −1 + i. 2 2 c) Policzmy ∆ = (2 − 2i)2 − 4i(−i − 2) = −8i − 4 + 8i = −4 = (2i)2 czyli δ1 = 2i, δ2 = −2i. A stąd −2 + 2i − 2i −2 + 2i + 2i = 2 + i oraz z2 = = i. z1 = 2i 2i d) Mamy ∆ = −3 − 4i. Ponieważ cos ϕ = −3/5, sin ϕ = −4/5, więc bez tablic nie potrafimy znaleźć wartości kąta ϕ. Innym sposobem znajdziemy pierwiastki z ∆. Poszukamy x, y ∈ R takich, że (x + iy)2 = −3 − 4i, 2 tzn. x2 − y 2 = −3 oraz 2xy = −4 ⇔ y = − , x4 + 3x2 − 4 = 0. x A stąd x = 1 i y = −2 lub x = −1 i y = 2. W konsekwencji, z1 = 2 − i, z2 == 1 + i. 5 IMiF, UTP Zadania 1. Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiory liczb z spełniających podane warunki: a) Im (1 + 2i)z − 3i < 0 d) 1 ¬ |z + i| < 3 b) Rez 3 c) Re(z + i) 2 e) |z| = Rez + 1. 2. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby: a) (2 + i)(4 − i) + (1 + 2i)(3 + 4i); d) b) (1 + 2i)i + 4i(1 − 16i) − (1 + i)2 ; (i + 2)(2i + 1) 2 + 3i ; 1 − 4i (1 + 3i)(8 − i) ; (2 + i)2 (1 − i)2 f) . (−2 + 2i)2 i63 c) e) i135 ; 3. Znajdź liczby rzeczywiste x i y spełniające podane równania: a) x(2 + 3i) + y(5 − 2i) = −8 + 7i; 1 + yi c) = 3i − 1; x − 2i b) (2 − yi) · (x + 3i) = 7 + 11i; x + iy 9 − 2i d) = . x − iy 9 + 2i 4. Rozwiąż równania w zbiorze liczb zespolonych: a) z 2 = 4z; b) 2z + z = 6 − 5i; d) |z| − z = 1 + 2i; e) zz + (z − z) = 3 + 2i; 2 − 3i 7+i = ; z+3 z f ) i(z + z) + i(z − z) = 2i − 3. c) 5. Zapisz podane liczby w postaci trygonometrycznej: a) z = 5; √ e) z = 3 − i; b) z = i; √ d) z = 1 + i 3; √ h) z = −1 + i 3. c) z = 7 + 7i; √ g) z = − 3 − i; f ) z = −1 + i; 6. Oblicz √ 10 a) (1 + i) ; e) 60 b) ( 3 − i) ; √ (−2 3 + 2i)12 √ . f) (− 3 − i)99 √ !15 −1 + i 3 ; 1−i √ c) (2 3 − 2i)8 ; d) √ !30 1+i 3 1−i 7. Oblicz pierwiastki podanego stopnia a) z = i, n = 2; d) z = 1 − i, n = 4; b) z = 1, n = 4; e) z = −27i, n = 3; 8. Zapisz podane liczby w postaci wykładniczej: a) z = −1; b) z = 1 + i; 9. Oblicz a) cos(1 + i); b) ln(−i); c) ln(1 − i); √ c) z = 1 − i 3; √ d) ln( 3 + i); c) z = −1, n = 3; f ) z = 2 + 2i, n = 3. √ d) z = − 3 + i. e) e2−i ; f ) sin(1 + 2i). 10. Rozwiąż równania a) z 2 + 25 = 0; b) z 2 − 4z + 13 = 0; c) z 2 + 25 = 6z; d) z 4 − 5z 2 − 36 = 0; √ e) z 2 + 3z + 3 − i = 0; f ) z 2 + (1 − i)z − i = 0; g) z 4 − 4i 3z 2 − 16 = 0.