Ćwiczenie na warsztaty KFnRD w ICM

Ćwiczenie na warsztaty KFnRD w ICM
Daniel K. Wójcik
November 28, 2011
1. Statystyka prądu w kanałach jonowych.
Wprowadzenie W błonie komórki nerwowej znajdują sie kanały jonowe,
białka, które w zależności od sytuacji (np. różnicy potencjałów po
obu stronach błony) mogą się otwierać lub zamykać z pewnym prawdopodobieństwem. W danej chwili każdy kanał jest albo otwarty, albo
zamknięty. Płynący przez niego prąd wynosi ḡP (V − E), gdzie E jest
Figure 1:
Otwieranie i zamykanie się kanału jonowego w błonie
komórkowej(Hille 1992, za Dayanem i Abbottem, rozdz. 5, rys. 7).
tzw. potencjałem odwrócenia charakteryzującym dany kanał, ḡ jest
przewodnością otwartego kanału, P określa stan kanału — zamknięty
(0) lub otwarty (1), V to potencjał błonowy (≡ różnica potencjałów
między wnętrzem komórki a płynem zewnątrzkomórkowym; często na
zewnątrz przyjmujemy V = 0, wtedy w środku w stanie spoczynku jest
−70mV ).
Kiedy mamy populację kanałów o takich samych własnościach, z których
każdy otwiera i zamyka się niezależnie od pozostałych, prąd płynący
przez błonę jest proporcjonalny do liczby otwartych kanałów N i wynosi
I = N ḡ(V − E).
Liczba otwartych kanałów w każdej chwili czasu jest zmienną losową,
zatem N (t) jest funkcją losową. Jeżeli wielokrotnie powtórzymy doświadczenie lub symulację, za każdym razem dostaniemy inny przebieg tej
1
funkcji. Takie pojedyncze przebiegi nazywamy realizacjami procesu
stochastycznego albo funkcjami próbnymi.
Dla ustalenia uwagi rozważmy jeden z najprostszych kanałów jonowych,
kanał potasowy K + . Ten kanał składa się z 4 podjednostek (bramek)
i otwarty jest tylko wtedy, kiedy wszystkie 4 bramki są otwarte. Czyli
mamy pięć stanów kanału numerowanych liczbą otwartych bramek od
0 do 4 (+1). Opisać dynamikę takiego kanału możemy przy pomocy
Figure 2: Prąd płynący przez błonę komórkową przy rosnącej liczbie kanałów
jonowych (Dayan i Abbott, rozdz. 5, rys. 12).
równań kinetycznych na prawdopodobieństwa pk znalezienia układu w
danym stanie k (patrz rysunek 2):
ṗ1
ṗ2
ṗ3
ṗ4
ṗ5
=
=
=
=
=
βn p2 − 4αn p1
4αn p1 + 2βn p3 − (βn + 3αn )p2
3αn p2 + 3βn p4 − (2βn + 2αn )p3
2αn p3 + 4βn p5 − (3βn + αn )p4
αn p4 − 4βn p5 .
Tylko kiedy kanał znajduje się w stanie 5 przewodzi prąd.
Kiedy kanałów jest bardzo dużo, M ≫ 1, wówczas wartość oczekiwana
liczby otwartych bramek wynosi n,
ṅ = βn (1 − n) − αn n,
co znaczy, że każda bramka przeskakuje między stanami otwartym i
zamkniętym, a prawdopodobieństwo otwarcia kanału (przy założeniu
2
niezależności bramek) wynosi n4 i odpowiada to p5 (analogicznie p1 =
(1 − n)4 , itd.).
Kiedy liczba kanałów w modelowanym/badanym kawałku błony rośnie,
wówczas prąd wyliczany z równań
I = n4 ḡ(V − E)
ṅ = βn (1 − n) − αn n
(1)
(2)
jest coraz bliższy rzeczywistemu prądowi
I = N ḡ(V − E).
Zadanie
(a) Napisać program symulujący powyższy model kanału potasowego.
Przyjąć
αn = 0.01 ∗ (V + 55)/(1 − exp(−0.1 ∗ (V + 55)))
βn = 0.125 ∗ exp(−0.0125 ∗ (V + 65))
jednostki: 1/ms dla potencjału w mV.
(b) Zasymulować następującą sytuację: układ jest w stanie równowagi
dla V = −100mV . Następnie na 20 ms przestawiamy potencjał
na +10mV , po czym przywracamy −100mV .
(c) Policzyć średnie odchylenie kwadratowe prądu płynącego przez
zadaną liczbę kanałów z odpowiednio dopasowanym (tak, żeby
średnie były równe) prądem średnim z równania (1) dla liczby
kanałów M od 1 do 100 i wykreślić w funkcji M .
Rozwiązania zadanie przyjmuję w postaci pdf — analiza i rysunki; kod
mnie nie interesuje.
2. Model neuronu “Całkuj i strzelaj” [UWAGA: Tylko dla osób, które
go nie robiły w zeszłym roku.] Rozważmy najprostszy model neuronu
zwany “całkuj i strzelaj” (ang. leaky integrate and fire, w skrócie LIF).
W modelu tym zakładamy, że prąd I napływający przez elektrodę lub
przez synapsy (wejścia z innych neuronów) powoduje zwiększenie potencjału błonowego v proporcjonalne do oporu błony R jednocześnie
ładując warstwę lipidową C. Możemy to zapisać równaniem
C
dv
v(t)
=−
+ I(t).
dt
R
3
Przyjmujemy tu, że potencjał spoczynkowy wynosi 0. Mnożąc to równanie przez R i wprowadzając stałą czasu τm = RC równanie przymuje
postać
dv
τm
= −v(t) + RI(t).
(3)
dt
Kiedy potencjał osiągnie wartość progową v = θ komórka generuje
potencjał czynnościowy, impuls, który jest przesyłany dalej, a następnie
resetuje potencjał błonowy do zera.
(a) Przyjmując stały prąd I(t) = I = const. wyznacz i narysuj częstość generacji potencjałów czynnościowych f w funkcji natężenia
prądu I (tzw. “Krzywa F-I”).
(b) Jak zmieni się zależność F-I, jeżeli po generacji każdego potencjału czynnościowego neuron nie reaguje na pobudzenie przez czas
refrakcji τref ? Wyznacz i narysuj.
Rozwiązać analitycznie lub numerycznie.
Wskazówki
(a) (Pokaż, że) Równanie (3) dla stałego I oraz dla warunku początkowego
v(t = 0) = 0 ma rozwiązanie
v(t) = RI(1 − e−t/τm ).
(b) Częstość generacji potencjałów czynnościowych jest odwrotnością
interwału między impulsami.
Równania różniczkowe Jeżeli ktoś się nie spotkał z pochodnymi, np.
dv/dt, czy z równaniami różniczkowymi to można o tym myśleć tak: o
pochodnej du/dt funkcji v(t) możemy myśleć jako o ilorazie różnicowym
dv
v(t + ∆) − v(t)
≈
dt
∆
gdzie ∆ jest “małe” (dowolnie bliskie 0). Wtedy równanie różniczkowe
dv
= f (v, t)
dt
możemy interpretować tak:
dv
v(t + ∆) − v(t)
=
= f (v, t)
dt
∆
4
czyli przybliżone wartości funkcji v w kolejnych czasach (co ∆) możemy wyznaczyć z następującego schematu:
v(t + ∆) = v(t) + f (v(t), t) · ∆.
Literatura pomocnicza
http://www.klab.caltech.edu/~koch/biophysics-book/membrane_equation.ps
http://www.klab.caltech.edu/~koch/biophysics-book/neuron_models.ps
http://icwww.epfl.ch/~gerstner/SPNM/node13.html
http://icwww.epfl.ch/~gerstner/SPNM/node14.html
http://icwww.epfl.ch/~gerstner/SPNM/node15.html
http://icwww.epfl.ch/~gerstner/SPNM/node26.html
5