rozwiązanie

22OF_II_D
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
XXII OLIMPIADA FIZYCZNA (1972/1973). Stopień II, zadanie doświadczalne – D
Źródło:
Komitet Główny Olimpiady Fizycznej;
Andrzej Szymacha: Olimpiady Fizyczne XXI i XXII. WSiP, Warszawa 1975, str. 133 – 138;
Waldemar Gorzkowski, Andrzej Kotlicki: Olimpiada fizyczna. Wybrane zadania doświadczalne z rozwiązaniami. Stowarzyszenie Symetria i Własności Strukturalne. Poznań 1994, zad.
2, str. 35, 81 – 86.
Nazwa zadania:
Wyznaczanie współczynnika tarcia kulki stalowej o szkło
Działy:
Słowa kluczowe:
Mechanika
tarcie statyczne, kinetyczne, posuwiste, potoczyste, poślizgowe, współczynnik, prędkość liniowa, kątowa, ruch postępowy, obrotowy, prędkość, przyspieszenie, siła, II zasada dynamiki Newtona, moment bezwładności, równia pochyła, kula
Zadanie IV doświadczalne – D, zawody II stopnia, XXII OF1
Mając do dyspozycji:
− równie pochyłą o regulowanym kącie nachylenia (płyta szklana),
− stół,
− kulkę stalową,
− linijkę,
− pion,
− papier milimetrowy,
− kalkę maszynową,
− kilka arkuszy gładkiego papieru,
− szmatkę lekko zwilżoną olejem (do przecierania kulki),
wyznacz współczynnik tarcia poślizgowego lekko natłuszczonej stali o szkło.
Uzasadnij metodę postępowania, opisz wykonane doświadczenie, przedyskutuj przebieg
zjawiska, oszacuj błąd wyniku.
Uwaga 1. Gładki papier wraz z kalką połóż na podłodze tak, by kulka spadająca z równi zostawiła na papierze ślad w miejscu upadku.
Uwaga 2. Zwróć uwagę, że ruch kulki puszczonej swobodnie z równi dla pewnych kątów
odbywa się z poślizgiem, a dla pewnych bez poślizgu.
Rozwiązanie
Skorzystajmy z wyników teoretycznych zadania 3 z zawodów I stopnia poprzedniej, XXI
Olimpiady (zadanie znajduje się w bazie zadań na www.OF.szc.pl). Wykazaliśmy tam, że
dla α < arc tg
7
f
2
vk =
dla α > arc tg
7
f
2
vk = 2 gh (1 − f ctgα )
10
gh ,
7
(1)
(2)
1
Porównaj zadania o podobnej tematyce z olimpiad: XX OF, st. II – zad. T1: Ruch kulki na równi bez
poślizgu; XXI OF, st. I – zad. T3: Prędkość kulki staczającej się z równi pochyłej; VI MOF, – zad. T1:
Ruch walców staczających się z równi; XXIV OF, st. II – zad. D2 (dodatkowe): Wyznaczanie współczynnika tarcia posuwistego rurki o równię; XXVII OF, st. I – zad. T1: Ruch kulki na równi
z uwzględnieniem tarcia potoczystego i posuwistego; XXVII OF, st. III – zad. T2: Opis ruchu kulki
z uwzględnieniem tarcia posuwistego i potoczystego; XXX OF, st. I – zad. T4: Analiza ruchu z równi
kulki z tarciem tocznym; XXXI OF; st. wstępny – zad. D1: Wyznaczanie współczynnika statycznego
tarcia potoczystego stali o szkło.
Oprac. T. M. Molenda, IF US, 2011
– 1/ 5 –
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
22OF_II_D
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
Jak widać z powyższych wzorów, końcowa prędkość kulki u podstawy równi zależy od f
jedynie dla kątów nachylenia α wystarczająco dużych, mianowicie dla takich, dla których
występuje poślizg. Musimy więc nie tylko wykonać pomiar prędkości końcowej kulki przy
różnych nachyleniach równi. Wzory (1) i (2) można przekształcić w następującej postaci:
7
dla α < arctg f
2
dla α > arc tg
7
f
2
vk2
2
(1 −
) tgα = tgα ,
2 gh
7
(1 −
(1′)
v k2
) tgα = f .
2 gh
(2′)
Sporządzając wykres funkcji
F (α ) = (1 −
vk2
) tgα
2 gh
(3)
w zależności od tangensa kąta ߙ powinniśmy dostać przebieg taki jak na rysunku 1.
Mając taki wykres odczytujemy bezpośrednio wartość f, jako rzędną poziomego odcinka
7
wykresu. Część wykresu dla α < arc tg f nie ma wpływu na wyznaczenie liczbowej warto2
ści współczynnika tarcia, wystąpienie załamania wykresu upewni nas jedynie, że mierząc
wartości funkcji ‫ܨ‬ሺߙሻ na prawo od załamania mierzymy istotnie to, co powinniśmy.
F(α )
y=
2
x
7
f
0
tgα
Rys. 1
Rysunek 2 przedstawia, jak należy ustawić przyrządy, by móc zmierzyć wielkość F(α ).
Wielkościami, które mierzymy bezpośrednio, są h, s, H oraz d, należy więc wyrazić F(α )
przez te wielkości.
Dla rzutu ukośnego mamy:
d = vk t cos α
(4)
H = vk t sin α +
1 2
gt ,
2
(5)
co po eliminacji czasu spadania t daje związek:
H = d tgα +
Oprac. T. M. Molenda, IF US, 2011
1
d2
g 2
2 v k cos 2 α
– 2/ 5 –
(6)
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
22OF_II_D
z którego wyznaczymy
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
vk2
2g
v k2
d2
=
.
2 g 4 ( H − d tgα ) cos 2 α
(7)
Rys. 2 (rys. z: A. Szymacha: Olimpiady Fizyczne XXI i XXII. WSiP, Warszawa 1975).
Korzystając z oczywistego związku h = s sin α pozostawiając (7) do (3) dostajemy:
d2
F (α ) = tgα −
,
4 s ( H cos α − d sin α ) cos 2 α
sin α =
h
.
s
(8)
(9)
Same pomiary powinny wyglądać następująco:
1. Mierzymy s i H, które są ustalone dla całego doświadczenia.
2. Na podłodze kładziemy co najmniej dwa arkusze papieru przełożone kalką maszynową.
3. Zaznaczamy na papierze (przez dociśnięcie) punkt, do którego dotyka ciężarek pionu.
4. Ustalamy nachylenie równi i mierzymy dokładnie wysokość h.
5. Puszczamy z wierzchołka równi lekko natłuszczoną kulkę. Kulka uderzając w papier odciśnie ślad w miejscu uderzenia.
6. Nie zmieniając żadnych parametrów, puszczamy kulkę kilka lub kilkanaście razy.
7. Zwiększamy nachylenie równi i znów dokładnie mierzymy h.
8. Ponownie puszczamy kulkę i sprawdzamy, czy ślad jest dostatecznie oddalony od poprzednich, tak byśmy nie mieli wątpliwości, któremu kolejnemu pomiarowi odpowiadają
ślady na papierze (dla większej pewności możemy ewentualnie przesunąć papier równolegle w bok).
9. Wykonujemy jednakową liczbę doświadczeń dla każdej wysokości h, zmieniając od czasu do czasu arkusze papieru, i zaznaczamy przy każdej grupie śladów, jej wysokości h
one odpowiadają.
10. Przystępujemy do opracowania wyników.
Ślady kul na papierze odpowiadające spuszczeniu kuli z ustalonej wysokości h wykazują
pewien rozrzut. Rysujemy na papierze prostą dzielącą dany zbiór punktów na dwie liczebnie
równe grupy i mierzymy odległość tej prostej od punktu wyznaczonego przez pion - odpowiada to obliczeniu średniej wartości d. Uzyskane wartości wykorzystujemy do sporządzenia
Oprac. T. M. Molenda, IF US, 2011
– 3/ 5 –
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
22OF_II_D
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
tabelki wyników. Podajemy przykładowo wyniki otrzymane na typowym zestawie, jaki mieli
do dyspozycji uczniowie.
s = 87 cm, H = 78 cm
Nr
h, cm
d, cm
sinα
α
cosα
tgα
F
1
12,0
48,0
0,138
7°55΄
0,99
0,139
0,043
2
15,5
53,2
0,177
10°10΄
0,98
0,179
0,055
3
19,0
57,1
0,217
12°36΄
0,97
0,224
0,068
4
23,5
61,4
0.270
15°40΄
0,96
0,280
0,081
5
27,0
63,1
0,312
18°05΄
0,945
0,325
0,095
6
33,0
64,9
0,380
22°20΄
0,920
0,410
0,114
7
37,5
65,3
0,430
25°20΄
0,905
0,470
0,119
8
40,0
65,9
0,460
27°20΄
0,89
0,515
0,106
9
45,5
64,6
0,520
31°30΄
0,85
0,610
0,112
10
51,0
61,5
0,585
35°50΄
0,81
0,720
0,113
Odczytując z odpowiednich kolumn wartości tgα i F, sporządzamy wykres funkcji F,
w zależności od tgα . Wykres ten przedstawia rysunek 3.
Rys. 3 (rys. z: A. Szymacha: Olimpiady Fizyczne XXI i XXII. WSiP, Warszawa 1975), gdzie
1
cos 2 α
F (α ) = tgα −
4 s ( H cos α − d sin α )
d2
Oprac. T. M. Molenda, IF US, 2011
– 4/ 5 –
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
22OF_II_D
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
Widać wyraźnie, że pierwsze 5 punktów układa się bardzo blisko krzywej teoretycznej
2
odpowiadającej staczaniu bez poślizgu. Dokładniej, dla tej części wykresu y = 1,03 ⋅ x . Nie7
pewność pomiarowa współczynnika kierunkowego w stosunku do wartości teoretycznej 2/7
wynosi zaledwie 3 %. Przekonuje nas to o niewielkim wpływie oporów powietrza
i o stosunkowo dużej dokładności pomiaru. Dlatego też rozsądne będzie przyjąć dla względnej niepewności pomiarowej współczynnika tarcia również 3 %. Ostatecznie współczynnik
tarcia natłuszczonej stali o szkło zmierzony w tym doświadczeniu, wynosi
f = 0,113 ± 0,003,
a kąt graniczny, powyżej którego występuje poślizg,
α gr = 21°.
Na zakończenie zwróćmy uwagę, że dobra zgodność otrzymanych wyników z modelem
teoretycznym opartym na założeniu, że występuje tylko jeden współczynnik tarcia, wskazuje,
iż różnica między statycznym a kinetycznym współczynnikiem tarcia natłuszczonej stali
o szkło jest niezauważalnie mała.
Oprac. T. M. Molenda, IF US, 2011
– 5/ 5 –
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl