Zadania z przedmiotu Matematyka Dyskretna, I semestr

Zadania z przedmiotu
Matematyka Dyskretna, I semestr
seria 5
1. Przypuśćmy, że 64 przedmioty zostaly umieszczone w dziewieciu
pudelkach.
,
(1) Wykaż, że jedno z pudelek zawiera co najmniej 8 przedmiotów;
(2) Wykaż, że jeśli dwa pudelka sa, puste, to jakieś pudelko zawiera przynajmniej dziesieć
, przedmiotów.
2. Udowodnić, że w dowolnej grupie osób istnieja, osoby o tej samej liczbie znajomych (w tej grupie).
3. Niech A bedzie
dziesiecioelementowym
podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 50}. Wykaż, że A ma dwa
,
,
czteroelementowe podzbiory, majace
równe
sumy elementów.
,
4. Wykazać, że wśród dowolnych n + 1 liczb calkowitych istnieja para liczb różniacych
sie, o
,
wielokrotność n.
5. Dany jest zbiór zlożony z dziesieciu
liczb naturalnych dwucyfrowych. Udowodnić, że w tym
,
zbiorze istnieja, dwa niepuste rozlaczne
podzbiory
takie, że sumy liczb obu podzbiorów sa równe.
,
6. Zalóżmy, że danych jest n + 1 różnych liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 2n}. Udowodnić, że wśród tych
liczb
(1) istnieje para liczb, których suma jest równa 2n + 1;
(2) istnieja, dwie liczby wzglednie
pierwsze;
,
(3) istnieje liczba, która jest wielokrotnościa, innej liczby.
7. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n pewna jej wielokrotność ma postać 99...9000...0 .
8. Wykaż, że jeśli dziesieć
, nieujemnych liczb calkowitych ma sume, 101, to musza, być wśród nich
trzy, których suma wynosi co najmniej 31.
9. Niech (n1 , n2 , n3 , . . . , n24 ) bedzie
permutacja, liczb 1, 2, 3, . . . , 24.
,
(1) Wykaż, że musza, istnieć cztery kolejne wyrazy tej permutacji mniejsze od 20;
(2) Wykaż, że musza, istnieć trzy kolejne wyrazy tej permutacji, których suma wynosi co najmniej
38;
(3) Wykaż, że musi istnieć pieć
, kolejnych wyrazów tej permutacji, których suma wynosi co najmniej 61;
10. Niech A bedzie
podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 149, 150} zlożonym z 25 liczb. Wykaż, że istnieja,
,
dwie rozlaczne
pary
elementów zbioru A, majace
te same same sumy.
,
,
11. Na plaszczyznie danych jest 5 punktów kratowych (tzn. punktów o obu wspólrzednych
calkowitych).
,
Udowodnić, że środek jednego z odcinków laczacych te punkty jest również punktem kratowym.
12. Udowodnić, że dla dowolnych 2n−1 + 1 podzbiorów zbioru n-elementowego zawsze znajda, sie,
dwa zbiory rozlaczne
(n > 1).
,
13. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych podzielnych przez 2009 i których
ostatnimi cyframi sa, 2008.
14. W prostok
3 × 4 wybrano 6 punktów. Udowodnić, że pewne dwa punkty sa, odlegle o nie
,
√ acie
wiecej
niż 5.
,
15. Sosnowy las, skladajacy
sie, z 4500 drzew, rośnie na obszarze w ksztalcie kwadratu o boku
,
dlugości 1 km. Każde z drzew ma średnice, nie wieksz
a, niż 0, 5 m. Wykazać, że w pewnym prostokacie
,
,
10 m × 20 m nie rośnie żadne drzewo.