lista 3 - Aragorn

Zadania z przedmiotu
Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr
seria 3
√
√
1. (a) Wykazać, że dla dodatniej liczby wymiernej a zbiór Q( a) = {x + y a | x, y ∈ Q} wraz
ze zwyklymi dzialaniami dodawania
liczb jest cialem.
√
√
√
i mnożenia
3
3
3
(b) Wykazać, że zbiór Q( 2) = x + y 2 + z 4 | x, y, z ∈ Q wraz ze zwyklymi dzialaniami
dodawania i mnożenia liczb jest cialem.
2. (a) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q → Q spelniajace
warunek f (x + y) = f (x) + f (y) dla
,
x, y ∈ Q.
(b) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q → Q spelniajace
warunki: f (x + y) = f (x) + f (y) oraz
,
f (xy) = f (x)f (y) dla x, y ∈ Q.
√
√
2) → Q( 2) spelniajace
warunki: f (x + y) = f (x) +
(c) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q( √
,
f (y) oraz f (xy) = f (x)f (y) dla x, y ∈ Q( 2).
(d) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R → R spelniajace
warunki: f (x + y) = f (x) + f (y) oraz
,
f (xy) = f (x)f (y) dla wszystkich x, y ∈ R.
3. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzily równości:
b
a
(a) a(4 − 3i)2 + b(1 + i)2 = 7 − 12i,
(b) 2−3i
+ 2+3i
= 1,
(c)
4−i
a 1+i
+ b 1−2i
= 1 − i.
3−i
4. Przedstawić w postaci trygonometrycznej nastepuj
ace
liczby zespolone (bez pomocy tablic):
,
,
a)
c)
d)
e)
−1, i, −i;
b) 1 + i, 1 − i, −1 + i,
√
√
√
√
1 + i 3, 1 − i 3, −1 + i 3, −1 − i 3;
√
√
√
√
√
√
√
√
6 + 2 + i( 6 − 2),
6 − 2 + i( 6 + 2);
p
p
p
p
√
√
√
√
2 + 3 + i 2 − 3,
2 − 3 + i 2 + 3.
1,
−1 − i;
5. Zobrazować na plaszczyźnie nastepuj
ace
zbiory:
,
,
a) A = {z ∈ C | |z − i| < 1},
b) B = {z ∈ C | | re z + im z| < 1},
c) C = {z ∈ C | | zi + 5| > 3},
d) D = {z ∈ C | |2iz + 4| < 32 i arg z ≤ 43 π},
e) E = {z ∈ C | 1 < |z + 1 − i| < 2 i 0 < im iz < 2}.
6. Przedstawić nastepuj
ace
liczby zespolone w postaci a + bi, (a, b ∈ R):
,
,
√
√
1√
1
c) ( 3 + i)30
d) (1 +
3 + i)24
a) (1 + i)1000
b) (1 + i 3)100
2
2
!40
√ !12
√
√
1+i 3
3+i
e) (2 − 2 + i)12
f)
g)
.
1+i
1−i
7. Wykazać, że jeśli z ∈ C oraz z + z −1 = 2 cos ϕ, to dla dowolnej liczby calkowitej m
z m + z −m = 2 cos mϕ.
8. Wykazać, że dla dowolnych liczb z1 , z2 ∈ C
(1) ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 |;
(2) |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |, wtedy i tylko wtedy, gdy wektory na plaszczyźnie zespolonej
reprezentowane przez liczby z1 i z2 maja, jednakowy kierunek i zwrot.
(3) |z1 + z2 | = ||z1 | − |z2 || wtedy i tylko wtedy, gdy wektory na plaszczyźnie zespolonej
reprezentowane przez liczby z1 i z2 maja, jednakowy kierunek i przeciwny zwrot.
1
9. Wykazać, że
(1) jeśli |z| < 1, to |z 2 − z − i| < 3;
(2) jeśli |z| ≤ 2, to 1 ≤ |z 2 − 5| ≤ 9.
10. Wyrazić w postaci wielomianów od sin x i cos x nastepuj
ace
funkcje: a) sin 4x, b) cos 4x,
,
,
c) sin 5x, d) cos 5x.
11. Wykazać równości:
[n/2]
X
n
k
(1) cos nx =
(−1)
cosn−2k x · sin2k x;
2k
k=0
[(n−1)/2]
X
n
k
cosn−2k−1 x · sin2k+1 x;
(2) sin nx =
(−1)
2k
+
1
k=0
"m−1 #
X 2m
1
1
2m
(3) cos2m x = 2m−1
cos(2m − 2k)x +
(wsk.: skorzystać z zadania 3);
2
k
2 m
k=0
12. Zapisać w postaci a + bi elementy nastepuj
acych
zbiorów:
,
,
q
√
√
√
√
4
6
6
4
a)
i
b)
−4
c)
64
d)
8 3i − 8
e)
√
3
1+i
13. Rozwiazać
równania
,
a) z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0
d) (z+i)n +(z−i)n = 0
b) z 2 + (2i − 7)z + 13 − i = 0
c) (z + 1)n + (z − 1)n = 0
e) z 4 +(15+7i)z 2 +8−15i = 0
f ) z 4 −(18+4i)z 2 +77−36i = 0.
√
14. Wykazać, że: a) zbiór Un = n 1 pierwiastków stopnia n z jedynki jest grupa;, b) jeśli
d = NWD(r, s), to Ur ∩ Us = Ud ; c) jeśli NWD(r, s) = 1, to każdy pierwiastek stopnia rs z
jedynki można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu pierwiastka stopnia r i pierwiastka
stopnia s.