Algebra liniowa z geometria analityczna Lista 1: Dzia lania
Transkrypt
Algebra liniowa z geometria analityczna Lista 1: Dzia lania
Algebra liniowa z geometria̧ analityczna̧ Lista 1: Dzialania wewnȩtrzne. Grupy. Permutacje. 1. Narysować tabelkȩ dzialania w zbiorze A = {0, 1, 2, 3, 4}, zdefiniowanego wzorem: a · b = reszta z dzielenia liczby 2a − 3b przez 4 (dla dowolnych a, b ∈ A). 2. Sprawdzić, czy dzialanie · w zbiorze A (1) jest przemienne, (2) ma element neutralny, (3) jest la̧czne, jeśli: ( 0 gdy a + b jest liczba̧ parzysta̧, a) A = Z, a · b = dla dowolnych a, b ∈ A. 1 gdy a + b jest liczba̧ nieparzysta̧ b) A = R2 , (x1 , x2 ) · (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 − y2 ) dla dowolnych (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 . 3. Ile różnych dzialań wewnȩtrznych można określić w zbiorze zawieraja̧cym: a) jeden element, b) n elementów? Ile jest takich dzialań wewnȩtrznych, które dodatkowo sa̧ przemienne? 4. Podać przyklad dzialania wewnȩtrznego w zbiorze A = {a, b, c}, które a) jest przemienne ale nie jest la̧czne, b) jest la̧czne ale nie jest przemienne, c) jest przemienne i la̧czne, d) nie jest przemienne i nie jest la̧czne, e) ma element neutralny i jest przemienne, f) ma element neutralny i nie jest przemienne, g) ma element neutralny i każdy element posiada odwrotność. 5. Niech G bedzie zbiorem wszystkich funkcji f : R → R postaci f (x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R , i a 6= 0. a) Udowodnić, że G ze skladaniem funkcji jako dzialaniem tworzy grupe. , b) W grupie G obliczyć (5x + 3)−1 ◦ (3x + 2). 6. W zbiorze G = {r ∈ R : 0 ≤ r < 1} określono dzialanie r1 + r2 jeżeli r1 + r2 < 1 r1 · r2 = r1 + r2 − 1 jeżeli r1 + r2 ≥ 1 a) Udowodnić, że G z dzialaniem · tworzy grupe. , b) W grupie G obliczyć 43 · ( 59 )−1 . 7. Maja̧c dane permutacje σ = (13 24 32 45 56 61 ) i τ = (12 a) στ , b) τ σ, c) σ 4 , d) τ −1 , 2 3 4 5 6 ), obliczyć: 6 5 4 3 1 e) σ −3 τ 2 σ 2 , f) τ 2009 . 8. Wyznaczyć permutacjȩ σ ∈ S6 , jeżeli wiadomo, że σ(1) = 3, σ(3) = 2, σ −1 (4) = 5, σ 2 (2) = 4 i σ −2 (6) = 6. 9. Poniższe permutacje zapisać w postaci iloczynu (1) cykli rozla̧cznych, (2) transpozycji: a) (13 2 3 4 5 6 7 ), 5 6 7 4 1 2 10. Niech σ = (14 b) (11 2 3 4 5 6 7 8 ), 8 7 6 3 4 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 ). 7 6 5 1 9 2 3 8 c) (16 2 3 4 5 6 7 ), 5 7 2 1 3 4 d) (14 2 3 4 5 6 7 8 9 ). 7 2 8 9 1 6 3 5 Wyznaczyć permutacje, τ zbioru {1, 2, . . . , 8, 9} taka, , że σ −26 τ σ = (19 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 2 6 5 3 8 7 ). 11. Określić parzystość permutacji: a) (15 2 3 4 5 6 7 ), 6 4 7 2 1 3 b) (13 2 3 4 5 6 7 8 ), 5 2 1 6 4 8 7 d) (n1 2 3 ... n−2 n−1 n n−1 n−2 ... 3 2 1 ), c) (12 e) (1n 21 2 3 4 5 6 7 ), 4 1 7 6 5 3 3 4 ... n−1 n n−1 2 ... ... ... ). 12. Niech (G, ·) bȩdzie grupa̧ z elementem neutralnym e taka̧, że a2 = e dla każdego a ∈ G. Pokazać, że G jest grupa̧ abelowa̧. 13. Niech · bȩdzie dzialaniem wewnȩtrznym w zbiorze liczb rzeczywistych R takim, że (a · b) · c = a + b + c dla dowolnych liczb a, b, c ∈ R. Udowodnić, że dzialanie · jest zwyklym dodawaniem, tzn. a · b = a + b dla dowolnych a, b ∈ R.