sL JE P Π ≤ cm47,5m 10 895 mN101,2 25,1 5,3m64,3N10 500 E 25

Zwymiarować przekrój poprzeczny słupa. Przekrój skrzynkowy, kwadratowy o boku zewnętrznym: 2a ,
-materiałowe: E = 2,1 ⋅ 1011 Pa , Re = 240 MPa , Rh = 180 MPa
wewnętrznym: a . Dane:
-współczynnik bezpieczeństwa: sw =3,5
, P = 500 kN
, L = 5,2 m
Szukane: a
P = 500 kN
Przekrój poprzeczny (inna skala)
2a
L = 5,2 m
a
Rozwiązanie:
Sens wprowadzenia współczynnika bezpieczeństwa jest taki, Ŝe chcemy się zabezpieczyć przed
wystąpieniem siły krytycznej „z zapasem 3,5 razy”, czyli: P ≤ Pkr / sw
( sw ≤ Pkr / P )
Gdy nie wprowadzamy wprost sw to mamy warunek projektowania: P ≤ Pkr , czyli domyślnie współczynnik
bezpieczeństwa = 1.
Smukłość graniczna dla danego materiału: λ gr = Π E
= Π 210
= 107,31
Rh
0,18
Nie mamy jeszcze zaprojektowanego przekroju, czyli brak smukłości naszego słupa λ , nie ma z czym
porównywać λgr . Nie wiemy czy korzystać ze wzoru Eulera ( λ > λgr ), czy z innych propozycji (TJ lub JO)
gdy: λ < λgr
Wymiarowanie przeprowadzimy metodą prób i błędów.
ZałoŜymy, Ŝe siła krytyczna jest siłą Eulerowską, a na końcu sprawdzimy czy załoŜenie jest słuszne, czyli
czy: λ > λgr , jeśli nie to wykorzystamy wzór TJ
Π2 E J
Zał.:
Pkr = PE
⇒
P≤ 2
(1)
Lw sw
Moment bezwładności centralny główny: Jy = Jy = J = [(2a)4 – a4] /12 = 1,25 a4
Dla tego przekroju kaŜdy centralny moment bezwładności jest teŜ głównym i zawsze taki sam, czyli jest to
teŜ moment minimalny.
Długość wyboczeniowa słupa:
Lw = 0,7 ⋅ L = 0,7 ⋅ 5,2m = 3,64m
Przekształcając nierówność (1) otrzymamy warunek dla a:
a≥4
P L2w s w
=4
500 ⋅ 10 3 N ⋅ 3,64 2 m 2 ⋅ 3,5
=4
895
m = 5,47 cm
10 8
1,25 Π 2 E
1,25 Π 2 2,1 ⋅ 1011 N m 2
Przyjęto: a = 5,5 cm
Trzeba sprawdzić czy λ > λgr , bo wtedy ma słuszność wzór Eulera, z którego skorzystaliśmy.
Minimalny promień bezwładności: i min =
4
= 1,25a
= 0,646 a = 3,55 cm
F
3a 2
Smukłość słupa:
λ = Lw/imin = 364/3,55 = 102,53 < 107,31 = λgr
Jak widać z ostatniej nierówności nie moŜna było dla przyjętego a=5,5cm zastosować wzoru Eulera.
Dla przyjętego a (i co za tym idzie λ) zastosujemy wzór Tetmajera-Jasińskiego:
λ
102,53 

NapręŜenie krytyczne:
σ TJ = R e − (R e − R h )
= 240 − 60
MPa = 182,67 MPa
λ gr 
107,31 
J
Siła krytyczna:
P kr = σ TJ ⋅ F = 182,67 ⋅10 6 N/m 2 ⋅ 3 ⋅5,52 10–4 m2 = 1657,75 kN
Stosunek sił P kr / P = 3,3155 a powinien być większy od sw = 3,5 czyli nie jest spełniony warunek
projektowania. Trzeba zwiększyć przekrój (zwiększyć Pkr).
Przyjęto:
a = 5,6 cm
Minimalny promień bezwładności: i min =
4
= 1,25a
= 0,646 a = 3,6148 cm
F
3a 2
Smukłość słupa:
λ = Lw/imin = 364/3,6148 = 100,7 < 107,31 = λgr
Jak widać smukłość zmalała, bo powiększyliśmy przekrój.
Dla przyjętego a (i co za tym idzie λ) zastosujemy wzór Tetmajera-Jasińskiego:
λ
100,7 

NapręŜenie krytyczne:
σ TJ = R e − (R e − R h )
= 240 − 60
MPa = 183,7 MPa
λ gr 
107,31
J
Siła krytyczna:
P kr = σ TJ ⋅ F = 183,7 ⋅10 6 N/m 2 ⋅ 3 ⋅5,62 10–4 m2 = 1728,25 kN
Stosunek sił P kr / P = 3,456 a powinien być większy od sw = 3,5 czyli jeszcze nie jest spełniony warunek
projektowania. Trzeba znowu zwiększyć przekrój (zwiększyć Pkr).
Przyjęto:
a = 5,7 cm
Minimalny promień bezwładności: i min =
4
= 1,25a
= 0,646 a = 3,6793 cm
F
3a 2
Smukłość słupa:
λ = Lw/imin = 364/3,6793 = 98,931 < 107,31 = λgr
Jak widać smukłość zmalała, bo powiększyliśmy przekrój.
Dla przyjętego a (i co za tym idzie λ) zastosujemy wzór Tetmajera-Jasińskiego:
λ
98,931

NapręŜenie krytyczne:
σ TJ = R e − (R e − R h )
= 240 − 60
MPa = 184,685 MPa
λ gr 
107,31 
J
Siła krytyczna:
P kr = σ TJ ⋅ F = 184,685 ⋅10 6 N/m 2 ⋅ 3 ⋅5,72 10–4 m2 = 1800,12 kN
Stosunek sił P kr / P = 3,6 jest większy od sw = 3,5 czyli jest spełniony warunek projektowania.
Ostatecznie przyjęto: a = 5,7 cm