Zadania + dynamika ruchu obrotowego

Zadania ilustrujące to, że II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ciała sztywnego
obowiązuje w ogólnym przypadku tylko dla momentów względem środka masy i środka
przyśpieszeń (punktu o zerowym przyspieszeniu).
Dla koła toczącego się po linii prostej zachodzi następujące twierdzenie:
Jeżeli w danej chwili prędkość kątowa jest równa zero, a jest tylko przyśpieszenie kątowe, to
środek obrotu pokrywa się ze środkiem przyśpieszeń (a jeśli nie, to nie).
(Chociaż ciało się w tej chwili nie kręci i każdy jego punkt nie ma prędkości kątowej, to możemy uważać za
środek obrotu punkt styku z podłożem, bo on jest środkiem obrotu w chwilach wcześniejszych i późniejszych)
Dowód:
Środek krzywizny koła porusza się po linii prostej równoległej do linii prostej podłoża, czyli jego przyśpieszenie
aO skierowane jest równolegle do podłoża. Jeżeli wprowadzimy układ odniesienia poruszający się z tym
przyśpieszeniem, to w tym układzie środek koła nie ma przyśpieszenia, czyli jest środkiem przyśpieszeń.
Dlatego punkt styku z podłożem ma przyśpieszenie ax’=-εr, skierowane równolegle do linii podłoża, i nie ma on
przyśpieszenia dośrodkowego ay’=0 (wedle ogólnej zasady, że przyśpieszenie styczne i dośrodkowe skierowane
są odpowiednio prostopadle i równolegle do odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyśpieszeń!). Jeżeli
teraz przejdziemy na inercjalny układ odniesienia związany z podłożem, to widać, że z symetrii toru (cykloida)
punktu, który akurat dotyka podłoża, wynika, że nie ma on składowej przyśpieszenia równoległej do podłoża,
czyli ax=a’+aO=0. Obliczamy stąd przy okazji przyśpieszenie środka koła aO=εr (ten wzór obowiązuje również,
gdy ω≠0, lub gdy toczenie nie jest po linii prostej). Jednocześnie, gdy ω=0, ay=ay’=0. Czyli punkt styku z
podłożem (środek prędkości) jest środkiem przyśpieszeń, czyli a=0.
Zadania, ciała startujące (ω=0):
A – dobrze, bo to środek obrotu/przyśpieszeń
B – dobrze, bo to środek masy
C – źle
m
B
C
Apropos: podczas opadania ciała w dół nitka wciąż będzie pozostawała
pionowa
A
A – dobrze, bo to środek obrotu/przyśpieszeń
B – dobrze, bo to środek masy
C – źle
m
m
B C
A
m
m
B
C
A
A – dobrze, bo to środek obrotu/przyśpieszeń
B – dobrze, bo to środek masy
C – źle
Ciała już poruszające się (ω≠0):
m
m
m
A – źle, bo środek obrotu nie jest środkiem
przyśpieszeń
B – dobrze, bo to środek masy
C – źle
D – dobrze, bo to środek przyśpieszeń
m
start
B
C
A
m
m
D
m
start
B
C
m
D
A
A – źle, bo środek obrotu nie jest środkiem
przyśpieszeń
B – dobrze, bo to środek masy
C – dobrze przez przypadek (bo przyśpieszenie
punktu C jest skierowane do środka masy)
D – dobrze, bo to środek przyśpieszeń
Uwagi:
Można udowodnić, że w toczącym się po linii prostej kole środek przyśpieszeń D znajduje
się na półokręgu o promieniu 0.5r, przechodzącym przez punkty A i C (styk z podłożem i
środek koła), przy czym gdy ω=0, to D=A, a gdy ω→0, to D=C. Współrzędne punktu D to
x=
a ω 2r
r,
a 2 + ω 4r 2
y=
a2
r
a 2 + ω 4r2
gdzie y liczone jest od środka koła.
Twierdzenie o pokrywaniu się środka przyspieszeń ze środkiem obrotu dla ω=0 można by
udowodnić dla dowolnego toczącego się kształtu po dowolnej linii, bo jakikolwiek punkt C
znajdujący się na linii prostej przechodzącej przez punkt styku A i prostopadłej do podłoża (w
punkcie styku) porusza się po krzywej, do której styczna w tym punkcie C jest równoległa do
stycznej do podłoża w punkcie styku A. A ponieważ ciało nie ma w tej chwili prędkości
kątowej, to dalsza część dowodu jest podobna.