Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 14 [0.3cm] Fraktale

Transkrypt

Wprowadzenie do metod numerycznych
Wykład 14
Fraktale
Romuald Kotowski
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
Katedra Informatyki Stosowanej
Spis treści
1
Wstęp
2
Fraktale konstrukcyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Dywany Sierpińskiego
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Dodatek – wymiar Hausdorffa
Romuald Kotowski
Metody numeryczne W14
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Literatura
1
Barnsley M.F., Superfractals, Cambridge University Press, 2006
2
Kamiński W., Kotowski R., Tronczyk P., Użytkowanie
komputerów, Wydawnictwo PJWSTK, Warszawa, 2010
3
Kudrewicz J., Fraktale i chaos, WNT, 1993
4
Wikipedia
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wstęp
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) to zbiór punktów
płaszczyzny, dla którego dwa wymiary: wymiar topologiczny i
wymiar Hausdorffa – są różne. Dla fraktali wymiar Hausdorffa nie
jest liczbą całkowitą.
Pojęcie fraktal wprowadził do obiegu naukowego w latach
siedemdziesiątych XX wieku francuski informatyk i matematyk
Benoit Mandelbrot.
http://www.zgapa.pl/zgapedia/Fraktal.html
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wstęp
Rys. 1: Benoît B. Mandelbrot (ur. 20 listopada 1924 w Warszawie, zm. 14
października 2010 w Cambridge (Massachusetts) na raka trzustki) – francuski
matematyk, pochodzenia żydowskiego, urodzony w Polsce. Opisał sposób konstrukcji
zbioru, zwanego następnie zbiorem Mandelbrota, oraz wymyślił słowo fraktal.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wstęp
Benoît B. Mandelbrot urodził się w rodzinie litewskich Żydów
mieszkających po I wojnie światowej w Polsce. W latach 1936-1957
mieszkał we Francji. Pracował w Centre National de la Recherche
Scientifique (CNRS) w Paryżu, a następnie na Uniwersytecie w
Lille. Od 1957 pracował w USA dla firmy IBM, miał zatem dostęp
do najnowocześniejszych komputerów. Mandelbrot dotarł do prac
dwóch francuskich matematyków: Gastona Julii i Pierre’a Fatou,
którzy badali zachowanie się iteracji pewnych funkcji zespolonych.
Mandelbrot wykorzystał do tego celu komputery. Uzyskane przez
niego wykresy zostały nazwane fraktalami.
W 1993 został uhonorowany Nagrodą Wolfa w fizyce, a w 2003
został wyróżniony prestiżową Nagrodą Japońską. Otrzymał 16
tytułów doktora honoris causa.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wstęp
Przykłady fraktali
Konstrukcje matematyczne (zbiory punktów) znane obecnie pod
nazwą fraktale, są znane od dawna. Te już dziś klasyczne fraktale
to w szczególności:
zbiór Cantora,
krzywa Kocha,
trójkąt Sierpińskiego,
zbiory Julii,
paproć Barnsleya,
zbiór Mandelbrota.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wstęp
Jak już wspomnieliśmy, odkryty przez Mandelbrota zbiór nie był
pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej już istniała cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa z tym, że nikt nie
traktował ich inaczej niż jako ciekawostki matematyczne. Te
klasyczne fraktale: zbiór Cantora, krzywa Kocha, czy trójkąt
Sierpińskiego zostały zdefiniowane jeszcze w XIX wieku. Z kolei
fraktale otrzymane przez Mandelbrota są związane ze zbiorami
Julii, które pięćdziesiąt lat wcześniej badał Gaston Julia. Z kolei
zbiory takie jak zbiór Mandelbrota są atraktorami dla pewnych
odwzorowań, lecz nie mogą być uzyskane na drodze konstrukcji
klasycznych, jak to ma miejsce w przypadku klasycznych fraktali.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Fractus
Fractus – odmiana chmur stratus i cumulus o nieregularnych kształtach i wyraźnie
postrzępionym wyglądzie
Rys. 2: Chmury cumulus fractus i stratus fractus
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Zbiór Cantora (1883 r.)
Rys. 3: Zbiór Cantora
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Zbiór Cantora (1883 r.)
Konstrukcja
1
Domknięty odcinek [0, 1] dzielimy na trzy równe części i
usuwamy otwarty odcinek środkowy (1/3, 2/3);
2
Następnie, w analogiczny sposób, postępujemy z zachowanymi
odcinkami;
3
Otrzymany zbiór ma nieprzeliczalną liczbę punktów, jest
nigdzie gęsty (żaden punkt zbioru nie ma otoczenia, które
należałoby do zbioru), ale długość równą zeru;
4
Zbiór otrzymany w granicy tej procedury nazywamy zbiorem
Cantora.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
G. Cantor
Rys. 4: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
G. Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 1845 w Sankt
Petersburgu, zm. 6 stycznia 1918 w sanatorium w Halle) –
niemiecki matematyk.
Studiował w Darmstadt, Zurychu i Getyndze. Doktorat obronił w
1867 roku w Berlinie. Do jego nauczycieli należeli: Karl Weierstraß,
Ernst Eduard Kummer oraz Leopold Kronecker. Uczył w berlińskim
gimnazjum i ponad trzydzieści lat był profesorem uniwersytetu w
Halle (Saale). Był zaprzyjaźniony z Ryszardem Dedekindem. Cantor
miał znaczący udział w tworzeniu podwalin nowoczesnej
matematyki. W szczególności uchodzi za twórcę teorii mnogości.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Płatek Kocha
Płatek Kocha w iteracjach
(a) Pierwsza iteracja
(b) Druga iteracja
(c) Trzecia iteracja
Rys. 5: Płatek Kocha
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Płatek Kocha
Śnieżynka Kocha
Rys. 6: Śnieżynka Kocha
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Helge von Koch (1870 – 1924)
Rys. 7: Helge von Koch
Helge von Koch (ur. 25 stycznia 1870, zm. 11 marca 1924) – szwedzki matematyk,
twórca jednego z najbardziej znanych i zarazem jednego z pierwszych fraktali –
krzywej Kocha. Płatek Kocha skonstruował w 1904 r.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Dywany Sierpińskiego (1915 r.)
Konstrukcja dywanu Sierpińskiego
1
Dzielimy kwadrat na dziewięć identycznych (mniejszych)
kwadratów i usuwamy wnętrze kwadratu środkowego;
2
Następnie, w analogiczny sposób, postępujemy z zachowanymi
kwadracikami, itd.;
3
Otrzymany zbiór ma nieprzeliczalną liczbę punktów, jest
spójny, jest nigdzie gęsty (żaden punkt zbioru nie ma
otoczenia, które należałoby do zbioru), ale pole powierzchni
równą zeru;
4
Zbiór otrzymany w granicy tej procedury nazywamy dywanem
Sierpińskiego.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Kwadrat Sierpińskiego
Rys. 8: Konstrukcja (kwadratowego) dywanu Sierpińskiego
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Trójkąt Sierpińskiego
Rys. 9: Trójkątny dywan Sierpińskiego
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Trójkąt Pascala
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15
91
105
165
220
66
78
13
14
55
286
364
84
120
45
11
12
1
9
10
210
330
495
2002
462
792
210
924
3432
9
120
330
792
165
495
2002
1
10
45
55
1
12
66
286
1001
1
11
220
1287 715
3003
1
36
84
462
1
8
28
126
1716 1716
3003
7
56
252
1
21
70
126
715 1287
1001
35
56
1
6
15
35
28
36
5
20
21
1
10
15
7
1
4
6
5
8
3
10
6
1
1
3
4
78
364
1
13
91
455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455
1
14
105
1
15
1
Rys. 10: Trójkąt Pascala
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos
Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos.
Narysujmy trójkąt równoboczny ABC , i definiujmy D0 := punkt A. Następnie należy
wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B
lub C , rysujemy punkt w połowie odległości między Dn i wybranym punktem. Nowo
narysowany punkt oznaczamy przez Dn+1 . Każdy punkt Dn będzie należeć do trójkąta
Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru
D0 , D1 , . . ..
Jeśli wybieramy D0 nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego,
to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D0 należy do
trójkąta ABC , ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt Dn do tego trójkąta
nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów
skupienia ciągu (D0 , D1 , . . .).
Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą
konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta
Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Gra w chaos
Rys. 11: Wynik Gry w chaos Sierpińskiego w trójkącie
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Wacław Sierpiński (1882 – 1969)
Rys. 12: Wacław Sierpiński (1882 – 1969)
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
Wacław Sierpiński (1882 – 1969)
Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm.
21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z
czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był
jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej. Pozostawił
olbrzymi dorobek naukowy, obejmujący, poza wieloma książkami,
724 prace i komunikaty, 113 artykułów i 13 skryptów. Prace te
dotyczyły teorii liczb, analizy matematycznej, ogólnej i
deskryptywnej teorii mnogości, topologii mnogościowej, teorii miary
i kategorii oraz teorii funkcji zmiennej rzeczywistej. Szczególne
znaczenie mają jego prace na temat pewnika wyboru i hipotezy
continuum.
Decyzją Międzynarodowej Unii Astronomicznej w 1976 roku
imieniem Wacława Sierpińskiego został nazwany krater Sierpiński
na Księżycu.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiory Julii
Konstrukcja
1
2
3
Wybieramy funkcję o zmiennych zespolonych zn+1 = (zn )2 + c,
gdzie z, c ∈ C, czyli ma postać typu z = a + i b, a c jest stałą;
Wybieramy na płaszczyźnie (x, y ) dowolny punkt początkowy
(x0 , y0 ) i zapisujemy go jako startową liczbę zespoloną
z0 = x0 + i y0 ;
Wykonujemy iteracje: zn+1 = (zn )2 + c;
4
Jeśli punkt ucieka do nieskończoności, malujemy go na
wybrany przez siebie kolor, a jeśli nigdy nie ucieknie, malujemy
go na inny kolor.
5
Zbiór Julii to granica między punktami-więźniami, a punktami
uciekającymi do nieskończoności.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiory Julii
Konstrukcja
Jak poznać, czy punkt ucieknie, czy nie? Raczej trudno byłoby
przeprowadzić nieskończoną liczbę iteracji. Standardowo rozwiązuje
się to tak:
1
przyjmuje się pewną maksymalną liczbę iteracji;
2
po każdej iteracji sprawdzamy, czy zachodzi warunek |zn | > 2;
3
jeśli zachodzi, to punkt na pewno ucieknie, a jeśli nie po
wykonaniu maksymalnej liczby iteracji to jest więźniem.
Ciekawsze obrazy można uzyskać uzależniając kolor pixela od
szybkości z jaką dany punkt ucieka. Przy odpowiednio dobranej
palecie można uzyskać niesamowite wyniki. . .
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiory Julii
Rys. 13: c = −0.7 − i 0.3
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiory Julii
Rys. 14: c = −0.86 − i 0.22
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiory Julii
Rys. 15: c = 0.32 − i 0.052
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiory Julii
Rys. 16: Zbiory Julii
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiory Julii
Zbiory Julii wyższych rzędów
1
Julia: zn+1 = zn2 + c
2
Cubic Julia:zn+1 = zn3 + c
3
Quadratur Julia: zn+1 = zn4 + c
4
Penta Julia: zn+1 = zn5 + c
5
Hexa Julia: zn+1 = zn6 + c
6
Hepta Julia: zn+1 = zn7 + c
http://members.lycos.co.uk/ququqa2/Fractalspl/JuliaO.html
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Gaston Julia (1893 – 1978
Rys. 17: Gaston Julia (1893-1978)
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Gaston Julia (1893 – 1978
Gaston Maurice Julia (ur. 3 lutego 1893 w Sidi Bel Abbes w
Algierii, zm. 19 marca 1978 w Paryżu) – matematyk francuski,
jeden z prekursorów teorii systemów dynamicznych, profesor École
Polytechnique.
Brał udział jako żołnierz w I wojnie światowej, w walkach stracił
nos i do końca życia nosił skórzaną przepaskę. Najbardziej znaną
jego pracą matematyczną jest Mémoire sur l’itération des fonctions
rationnelles (Traktat o iteracji funkcji wymiernych), w której opisał
własności fraktala nazwanego później zbiorem Julii.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Zauważmy, że dla pewnych stałych c odpowiadające im zbiory Julii
są albo spójne, albo nie.
(a) Zbiór Julii niespójny
c = 0.45 − i 0.31
(b) Zbiór Julii spójny
c = −0.82 − i 0.1
Rys. 18: Zbiory Julii: niespójny i spójny
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Benoit B. Mandelbrot zadał sobie pytanie „Jaki jest zbiór tych
parametrów c, dla których odpowiedni zbiór Julii jest spójny?” Dał
odpowiedź wykorzystując grafikę komputerową.
W roku 1979 pierwsze szkice tego zbioru uzyskane w niskiej
rozdzielczości drukowano jeszcze na drukarce igłowej. . .
Jest to chyba nie tylko najsławniejszy, ale i najbardziej tajemniczy
fraktal!
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Rys. 19: Zbiór Mandelbrota
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Rys. 20: Zbiór Mandelbrota jest nie tylko samopodobny, ale lokalnie jest podobny do
odpowiedniego zbioru Julii, czego dowiódł niedawno chiński matematyk Tan Lei
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Rys. 21: Zbiór Mandelbrota jako mapa zbiorów Julii
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Rys.
22: Kotowski
Wycinki zbioru
Mandelbrota
Romuald
Metody
numeryczne W14
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Definicja fraktali wg. Mandelbrota
1
nie są określone wzorem matematycznym, a tylko zależnością
rekurencyjną;
2
mają cechę samopodobieństwa (część fraktala jest podobna do
całego fraktala);
3
są obiektami, których wymiar nie jest liczbą całkowitą.
Mandelbrot uważał, że w naturze wszystkie obiekty geometryczne
maja naturę fraktalną. Twory idealne, jak figury definiowane w
geometrii (koło, linia prosta,. . . ), są jedynie uproszczonymi
modelami natury.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Zbiór Mandelbrota
Definicja fraktali wg. Mandelbrota
Pojęcie wymiaru jest pojęciem trudnym i ma wiele definicji. Tu
przytoczymy tylko kilka przykładów wymiaru fraktalnego:
log 2
= 0.630929753,
log 3
log 4
= 1.261859507,
=
log 3
log 8
=
= 1.892789261
log 3
WCantor =
WKoch
WSierp
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Przestrzeń fraktali
Metryka Hausdorffa
(X , ρ) – dowolna przestrzeń metryczna zupełna;
A, B – zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni X ;
x, y – elementy przestrzeni X , przy czym x ∈ A i y ∈ B;
%(x, y ) – odległość między elementami x i y .
d (x, B) = min{%(x, y ) : y ∈ B}
y
d (y , A) = min{%(x, y ) : x ∈ A}
x
to odpowiednio odległość punktu x od zbioru B i odległość punktu
y od zbioru A.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Przestrzeń fraktali
Metryka Hausdorffa
d (A, B) = max{d (x, B) : x ∈ A}
x
d (B, A) = max{d (y , A) : y ∈ B}
y
to odległość zbioru A od zbioru B i odległość zbioru B od zbioru A.
Są to na ogół różne odległości. Jeśli A ⊆ B to d (A, B) = 0.
Metryka Hausdorffa definiowana jest nstp. wyrażeniem
h(A, B) = max{d (A, B), d (B, A)}
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Odległości między zbiorami
A
d(A,B)
d(B,A)
B
Rys. 23: Odległości między zbiorami: d(A, B) i d(B, A)
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Spis treści
1
Wstęp
2
Zbiór Cantora
Płatek Kocha
3
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
4
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota
Paproć Barnsleya
Paproć Barnsleya
Rys. 24: Paproć Barnsleya
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wymiar
Wymiar przestrzeni Euklidesowej
W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest
maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany
punkt.
Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-,
płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń trójwymiarowym. W zależności od sposobu
dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich
zgadza się dla przestrzeni euklidesowych. Wymiar przestrzeni liniowej
W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej
przestrzeni.
Wymiar liniowy przestrzeni euklidesowej Rn wynosi n; w przestrzeni dwuwymiarowej do
określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np.
p := (20, 30); w układzie trójwymiarowym – trzy współrzędne, np. p := (20, 30, 45).
Ponieważ przestrzeń R3 dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym
zmysłom, można na co dzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wymiar
Wymiar przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych
W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych zachodzi
naturalne utożsamienie:
Cn = R2·n
Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym n, ma
wymiar rzeczywisty 2 · n. Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń
euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a
płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem
liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona
(czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).
Romuald Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Wymiar
Wymiar przestrzeni Hilberta
Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią
liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej
(zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście
przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie
najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar
liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku
na ogół bez znaczenia.
Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli
najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej
przestrzeni. Na przykład, wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta a jest albo
skończony albo ℵ0 .
Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie
algebry liniowej; gdy jest równy ℵ0 , to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.
a
Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny
podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem). Klasycznym przykładem przestrzeni
ośrodkowej jest zbiór liczb rzeczywistych z metryką euklidesową. Ośrodkiem jest na
przykład zbiór liczb wymiernych. Przykładem przestrzeni nieośrodkowej może być
również prosta rzeczywista, ale z topologią dyskretną, czyli prosta rzeczywista, w
której każdy punkt jest zbiorem
Romualdotwartym.
Kotowski
Wstęp
Fraktale iteracyjne
Koniec? :-(
Koniec wykładu 14
Romuald Kotowski

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 14 [0.3cm] Fraktale

Transkrypt

Podobne dokumenty