Metoda sił - rama przestrzenna 3 - Instytut Konstrukcji Budowlanych

Politechnika Poznańska
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Poznań, dnia 07.03.2004 r.
Ćwiczenie nr 1
Obliczanie ramy przestrzennej metodą sił
Sprawdził:
dr inż. P. Litewka
Wykonał:
Piotr Siniecki
grupa III
2003/2004
Rama przestrzenna
strona 2
Dla ramy przedstawionej na poniższym rysunku należy wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych
wywołanych zadanym obciążeniem.
Należy przyjąć, że rama składa się z prętów stalowych o przekroju kołowym
G = 0,385 E
Is = 2 I
GIs = 0,77
z
y
2
2
4
x
3
3
3 kN/m
2
2
4
10 kN
3
Piotr Siniecki grupa III
3
Rama przestrzenna
strona 3
SSN = 2
Dobieram układ podstawowy oraz zapisuję układ równań kanonicznych
3 kN/m
10 kN
4
x1 = 1
2
2
x2 = 1
3
3
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 1P = 0

δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 2 P = 0
przy obliczaniu δ ik korzystam z następującego wzoru
M iy ⋅ M ky
M iz ⋅ M kz
m ⋅m
dx + ∑ ∫
dx + ∑ ∫ i k dx
1 ⋅ δ ik = ∑ ∫
EI y
EI z
GI s
Piotr Siniecki grupa III
Rama przestrzenna
strona 4
Stan X1 = 1
2
2
4
x1 = 1
3
3
Wykresy momentów zginających [m]
3
2
3
2
4
2
2
2
3
3
3
M1
Piotr Siniecki grupa III
Rama przestrzenna
strona 5
Wykresy momentów skręcających [m]
4
-3
2
2
-3
3
3
m1
4
Stan X2 = 1
2
2
x2 = 1
3
Piotr Siniecki grupa III
3
Rama przestrzenna
strona 6
Wykresy momentów zginających [m]
4
4
2
2
4
4
3
3
M2
Wykresy momentów skręcających [m]
4
4
2
4
4
2
4
3
3
m2
Piotr Siniecki grupa III
Rama przestrzenna
strona 7
Stan P
3 kN/m
2
2
4
10 kN
3
3
Wykresy momentów zginających [kNm]
24
30
20
48
54
2
4
20
6
2
20
3
3
MP
Piotr Siniecki grupa III
Rama przestrzenna
strona 8
Wykresy momentów skręcających [kNm]
-24
-24
-54
4
-48
2
-54
2
-48
3
3
mP
1
2
1
2
1
⋅3⋅3⋅ ⋅3 + ⋅ 2⋅ 2⋅ ⋅ 2 + 2⋅ 4⋅ 2 + 3⋅ 4⋅3 +
(3 ⋅ 2 ⋅ 3) = 87,043
0,77
3
2
3
2
1
1
EIδ 12 = − ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 +
(−3 ⋅ 2 ⋅ 4) = −55,169
2
0,77
1
2
1
2
1
2
1
EIδ 22 = ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 + ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 + ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 +
(4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 ⋅ 4) = 230,234
0,77
3
2
3
2
3
2
1
2
1
EIδ 1P = − ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 20 − 2 ⋅ 4 ⋅ 20 + 3 ⋅ 4 ⋅ 30 +
(3 ⋅ 2 ⋅ 54) = 594,133
0,77
3
2
1
2
1
2
1
3
1
EIδ 2 P = − ⋅ 24 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 − ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 48 − ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ( ⋅ 54 + ⋅ 6) +
3
3
2
3
2
4
3
1
+
(−24 ⋅ 2 ⋅ 4 − 54 ⋅ 2 ⋅ 4 − 48 ⋅ 4 ⋅ 4) = −2463,792
0,77
EIδ 11 =
Piotr Siniecki grupa III
Rama przestrzenna
strona 9
55,169
594,113
87,043
−
+
=0
X
X
1
2
 EI
EI
EI

 − 55,169 X + 230,234 X − 2463,792 = 0
1
2
 EI
EI
EI
X1 = -0,051 kN
X2 = 10,689 kN
3 kN/m
10 kN
4
0,051
2
2
10,689
3
3
Obliczenie momentu maksymalnego
10,689 1,311
=
⇒
x
4−x
x = 3,563
x
4
4-x
1,311
10.689
Piotr Siniecki grupa III
M max (3,563) = 19,042 kNm
Rama przestrzenna
strona 10
Wykresy momentów zginających w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kNm]
18,756
30
19,042
0,153
20,102
5,244
11,091
2
4
20,102
5,847
2
20,102
3
3
Wykresy momentów skręcających w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kNm]
18,756
18,756
-11,091
-5,244
2
4
-11,091
2
-5,224
3
Piotr Siniecki grupa III
3
Rama przestrzenna
strona 11
Wykresy sił normalnych w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kN]
2
4
10,051
2
10,051
3
3
Wykresy sił poprzecznych w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kN]
z
y
x
10
1,311
1,311
0,051
4
10,051
2
10.689
2
1,311
3
Piotr Siniecki grupa III
3
Rama przestrzenna
strona 12
Sprawdzenie kinematyczne nr 1
18,756
30
0,153
3
2
20,102
3
11,091
2
2
2
4
20,102
4
5,244
2
3
2
20,102
2
5,847
3
3
3
momenty zginające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
3
momenty zginające w stanie x1 = 1
[m]
18,756
18,756
-5,244
4
-3
-11,091
-3
2
2
4
-11,091
2
2
-5,224
3
3
momenty skręcające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
1⋅ δ =
błąd
3
3
momenty skręcające w stanie x1 = 1
[m]
 1
2
1
2
11,091 − 5,847 

⋅ − ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 0,153 − ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 20,102 − 2 ⋅ 4 ⋅ 20,102 + 3 ⋅ 4 ⋅ 11,091 −
+
3
2
3
2


 2
1
− 0,027
+
⋅ (3 ⋅ 2 ⋅11,091) =
0,77
EI
1
EI
0,027
⋅100% = 0,02%
160,816
Piotr Siniecki grupa III
Rama przestrzenna
strona 13
Sprawdzenie kinematyczne nr 2
4
18,756
30
0,153
20,102
4
11,091
4
4
5,244
2
2
4
20,102
2
5,847
2
20,102
3
3
3
momenty zginające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
3
momenty zginające w stanie x2 = 1
[m]
4
18,756
18,756
-11,091
4
-5,244
4
2
2
4
4
-11,091
-5,224
3
3
momenty skręcające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
2
2
4
3
3
momenty skręcające w stanie x2 = 1
[m]
1 1
2
2 3 ⋅ 42
1
1
2
1
1
2

⋅  ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅18,756 + ⋅
⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 − ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 5,244 − ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅  ⋅ 11,091 + ⋅ 5,847  +
1⋅ δ =
EI  2
3
3 8
2
2
3
2
3
3

− 0,009
1
+
⋅ (4 ⋅ 2 ⋅ 18,756 − 4 ⋅ 2 ⋅11,091 − 4 ⋅ 4 ⋅ 5,244) =
0,77
EI
błąd
0,009
⋅100% = 0,005%
194,868
Piotr Siniecki grupa III