Smok szachy

Szkoła Odkrywców Talentów
Tytuł zajęć: Funkcja liniowa – zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów
Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała
Opis zajęć:
Uczniowie w gimnazjum dobrze poznają własności funkcji. Uczniowie przygotowujący się do konkursu
matematycznego mają wystarczająco dużo wiedzy, aby uzupełnić tabelę, którą prezentuje u dołu strony.
Rysuję tę tabelę na tablicy i proszę uczniów o uzupełnienie drugiego wiersza, wyjaśniam przy tym, że
w kolejnych kolumnach należy uwzględnić różne położenia wykresu w układzie współrzędnych. Na ogół nie
ma kłopotów z wykresami y = ax + b, a ≠ 0, b ≠ 0 , y = ax, a ≠ 0 oraz y = b, b ≠ 0 , ale czwarta
kolumna zostaje nieuzupełniona. Wówczas próbujemy wspólnie zastanowić się o jakie charakterystyczne
położenie wykresu może tu chodzić. Najczęściej uczniowie sami wpadają ma pomysł, że chodzi tu o wykres
pokrywający się z osią OX czyli y = 0 .
Teraz proszę uczniów o napisanie wzorów, z uwzględnieniem wartości współczynników i
uzupełniamy pierwszy wiersz.
Następnie, korzystając głównie z wykresu, wypełniamy kolejne wiersze ( w wierszu 5 i 6 proponuje
drobne rachunki ).
Czasami zdarzają się bardzo pouczające sytuacje, raz na przykład padło pytanie: "Dlaczego nie ma
piątej kolumny na prostą równoległą do osi OY czyli prostą o równaniu x = c ?" Zawsze znajdą się
uczniowie, którzy sami potrafią wyjaśnić, że ta prosta nie jest wykresem funkcji. W ten sposób problem
zostaje rozwiązany a przy tym pojawia się refleksja na temat wzoru funkcji liniowej i równania prostej.
1
wzór funkcji liniowej
2
wykres
3
dziedzina
4
zbiór wartości
5
miejsca zerowe
6
punkty przecięcia z
osiami układu
współrzędnych
7
różnowartościowość
8
monotoniczność
9
parzystość /
nieparzystość
10 najmniejsza i
największa wartość
Opis dokonań uczniów:
Lubię obserwować zdziwienie uczniów, gdy dowiedzą się, że jest funkcja liniowa, która ma
nieskończenie wiele miejsc zerowych lub funkcja parzysta i nieparzysta równocześnie.
Uczniowie wypełniają tabelę bardzo sprawnie, są zainteresowani i aktywni. Zebranie wiadomości w
tabeli ułatwia zapamiętanie tylu informacji i umożliwia porównywanie własności funkcji liniowej w
zależności od wartości współczynników. Zachęcam do przeprowadzenia tej lekcji!
POMYSŁ NA DRUGIE ZAJĘCIA
Dowodzenie nie wprost – zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów
Jak przeprowadzić dowód twierdzenia p ⇒ q ?
[( p ∧ ¬q ) ⇒ ¬p] ⇔ ( p ⇒ q ) . W
za prawdziwe i łączymy je z zaprzeczeniem tezy (¬q ) , które
Jedną z możliwości jest dowód nie wprost, który opiera się na tautologii
dowodzie nie wprost uważamy założenie p
nazywamy hipotezą. Następnie przeprowadzamy rozumowanie, które doprowadza nas do wniosku, że
koniunkcja założenia i hipotezy jest fałszywa lub wynika z niej zdanie fałszywe. Ponieważ założenie było
prawdziwe, rozumowanie poprawne, zatem hipoteza (zaprzeczenie tezy) jest fałszywa, co oznacza, że teza jest
prawdziwa.
Tyle teorii, teraz praktyka!
Zadania
1. Wszystkich pól zwykłej szachownicy nie można obejść skoczkiem zaczynając na polu narożnym, kończąc
na przeciwległym polu narożnym i będąc dokładnie raz na każdym polu.
2. Jeżeli w kwadracie o boku długości 1 wybierzemy 51 punktów, to wśród nich są trzy takie, które należą
do pewnego koła o promieniu
1
.
7
3. Smok ma 2000 głów. Rycerz może ściąć jednym cięciem miecza 33 głowy lub 21 głów, lub 17 głów, lub 1
głowę. Smokowi dorastają wówczas odpowiednio 48, 0, 14 lub 349 głów. Smok zostaje zabity, gdy
wszystkie głowy będą ścięte. Czy rycerz może zabić smoka?
4. Udowodnij, że liczba x = 111
…
…
1000
0 nie jest kwadratem liczby naturalnej.
300
m
5. Udowodnij, że liczba 101010 nie da się przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb
całkowitych.
Wskazówki i odpowiedzi
1. Załóżmy, że szachownicę można obejść w podany w zadaniu sposób. Ponieważ w każdym ruchu skoczek
zmienia kolor pola, więc start i meta są na polach o różnych kolorach. Ale dwa przeciwległe pola narożne
mają ten sam kolor. Mamy zatem sprzeczność.
2. Podzielmy dany kwadrat o boku 1 (za pomocą prostych równoległych odpowiednio do boków kwadratu)
na 25 kwadratów o boku
1
. Przypuśćmy, że do każdego "małego" kwadratu należą co najwyżej dwa
5
punkty, ale wówczas do "dużego" kwadratu należałoby co najwyżej 50 punktów. Mamy sprzeczność.
Zatem istnieje taki "mały" kwadrat K, do którego należą trzy spośród 51 punktów. Promień okręgu
1
1
1
<
= . Trzy spośród 51 punktów
50
49 7
1
należące do kwadratu K należą też do pewnego koła o promieniu .
7
3. Niech x − liczba cięć po 33 głowy, y − liczba cięć po 21 głów, z − liczba cięć po 17 głów, t − liczba cięć
po 1 głowie, x, y, z , t ∈ N . Smok zostanie zabity, jeśli istnieją takie x, y, z , t ∈ N , że
(33 − 48)x + (21 − 0) y + (17 − 14)z + (1 − 349)t = 2000
opisanego na kwadracie K ma długość R =
2
2
=
oraz
10
10
− 15 x + 21 y + 3 z − 348t = 2000
3(− 5 x + 7 y + z − 116t ) = 2000 .
Powyższe równanie jest sprzeczne, gdyż lewa strona jest podzielna przez 3, a prawa nie jest. Zatem rycerz
nie może zabić smoka.
4. Suma cyfr liczby x = 111
…
…
1000
0 wynosi 300, a więc liczba x jest podzielna przez 3.
300
m
Przypuśćmy, że istnieje taka liczba naturalna n , że x = n 2 . Wtedy n 2 byłoby podzielne przez 3, a więc
także n byłoby podzielna przez 3, tzn. n = 3k , k ∈ N . Stąd x = 9k 2 . Ta ostatnia równość jest fałszywa,
gdyż 9k 2 jest podzielne przez 9, a x nie jest podzielne przez 9. Zatem liczba x = 111
…
…
1000
0 nie
300
m
jest kwadratem liczby naturalnej.
istnieją liczby całkowite n i k takie, że 101010 = n 2 − k 2 , czyli
101010 = (n − k )(n + k ) .
Jeżeli obydwie liczby n, k są parzyste lub obydwie są nieparzyste, to liczby n − k oraz n + k są
5. Przypuśćmy,
że
parzyste, a więc liczba (n − k )(n + k ) jest podzielna przez 4, a liczba 101010 nie jest podzielna przez
4.
W przypadku gdy jedna z liczb n, k jest parzysta, a druga nieparzysta, to liczby n − k oraz n + k są
nieparzyste, iloczyn (n − k )(n + k ) jest liczbą nieparzystą, a liczba 101010 jest parzysta.
Zatem równość 101010 = n 2 − k 2 jest niemożliwa dla n, k całkowitych.
Bibliografia
1. Aleksander Śnieżek, Paweł Tęcza, Zbiór zadań z algebry dla szkół średnich, Wydawnictwa Szkolne i
Pedagogiczne, Warszawa 1994, str. 8, 10.
2. Czasopismo Matematyka, WSiP, 4'2000, str. 237-238.
3. Roman Leitner, Wojciech Żakowski, Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne, część I,
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1980, str.24, 25.
Pomysł na trzecie zajęcia
Nierówności między średnimi – zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów
Nie od dziś wiadomo, że matematyka (w końcu królowa nauk) rozwija umiejętności kluczowe
w nauczaniu. Opisane przeze mnie zajęcia kształtują u uczniów:
umiejętność rozwiązywania problemów,
łączenie i porządkowanie wiedzy,
umiejętność radzenia sobie z nietypowymi, złożonymi sytuacjami,
umiejętność organizowania i oceniania własnej pracy.
Na początku zajęć zdefiniowałam średnie.
Średnia arytmetyczna liczb a1 , a 2 , a 3 , … , a n jest równa A =
a1 + a 2 + … + a n
.
n
Średnia geometryczna liczb dodatnich a1 , a 2 , a 3 , … , a n jest równa G = n a1 ⋅ a 2 ⋅ … ⋅ a n .
Średnia harmoniczna liczb dwóch liczb dodatnich a i b jest równa H =
harmonicznej jest średnią arytmetyczna dla odwrotności
2ab
. Odwrotność średniej
a+b
1 1
i .
a b
Dla n = 2 uczniowie udowodnili, że A ≥ G ≥ H , co przyszłemu studentowi AGH skojarzyło się
jednoznacznie, a pozostałym uczniom ułatwiło zapamiętanie nierówności. Przedstawiłam uczniom nierówność
Cauchy'ego: jeśli a1 , a 2 , a 3 , … , a n są liczbami rzeczywistymi nieujemnymi, n jest liczbą nie mniejszą niż 2 ,
to prawdziwa jest nierówność Cauchy'ego
a1 + a 2 + … + a n n
≥ a1 ⋅ a 2 ⋅ … ⋅ a n , jako uogólnienie
n
udowodnionej nierówności, a chętnych do zapoznania się z jej dowodem odesłałam do literatury. Przyszedł
czas na wykorzystanie nierówności między średnimi w praktyce.
Zadania
x y z
+ + ≥ 3.
y z x
1 1 1
Dla dowolnych liczb dodatnich x, y , z : ( x + y + z ) + +  ≥ 9 .
x y z
2
2
a
b
c2
Dla dowolnych dodatnich liczb a , b, c :
+
+
≥ 3.
bc ac ab
1
1 
 1
Dla dowolnych liczb dodatnich a , b, c : a 2 + b 2 + c 2 
+
+
 ≥ 9.
 ab bc ac 
cd da ab bc
Dla dowolnych dodatnich liczb a , b, c, d :
+
+
+
≥ 4.
ab bc cd da
Jeżeli a1 , a 2 , …, a n ∈ R+ i a1 ⋅ a 2 ⋅ … ⋅ a n = 1 , to ( 1 + a1 )( 1 + a 2 )… ( 1 + a n ) ≥ 2 n .
1
Jeżeli a, b, c ∈ 0,1 , to abc (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤
.
64
1. Dla dowolnych liczb dodatnich x, y , z :
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Wskazówki i odpowiedzi
Zadanie 1.
(
)
Przyjmij, że a =
x
y
z
a+b+c 3
, b = , c = i zastosuj nierówność
≥ abc .
y
z
x
3
Zadanie 2.
Zauważ, że x + y + z ≥ 3 3 xyz i
1 1 1
1 1 1
+ + ≥ 3 3 ⋅ ⋅ , a następnie pomnóż te nierówności stronami.
x y z
x y z
Zadanie 3.
Niech x =
a2
b2
c2
x+ y+z 3
,y=
,z=
i zastosuj nierówność
≥ xyz .
bc
ac
ab
3
Zadanie 4.
Zauważ, że a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 3 a 2 b 2 c 2 i
1
1
1
1
+ +
≥ 3 3 2 2 2 , a następnie pomnóż te nierówności
ab bc ac
a b c
stronami.
Zadanie 5.
Przyjmij, że x =
cd
da
ab
bc
x+ y+z+v 4
i zastosuj nierówność
,y=
,z=
,v=
≥ xyzv .
ab
bc
cd
da
4
Zadanie 6.
Dla każdego
1≤ i ≤ n
1 + ai ≥ 2 a1 . Pomnóż te n nierówności stronami, otrzymasz
mamy
(1 + a1 )(1 + a 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + a n ) ≥ 2 n ⋅
a1 ⋅ a 2 ⋅ … ⋅ a n .
=1
Zadanie 7.
Zauważ, że:
(1 − a ) + a ≥ (1 − a )a , (1 − b ) + b ≥ (1 − b )b , (1 − c ) + c ≥ (1 − c )c . Pomnóż nierówności
2
2
2
1
stronami, otrzymasz ≥ abc (1 − a )(1 − b )(1 − c ) , a następnie podnieś tę nierówność do kwadratu.
8
Zadania do samodzielnego rozwiązania
8. Wykaż, że dla każdych
a, b, c ∈ R+
( 1 − a )( 1 − b )( 1 − c ) ≥ 8abc .
9. Udowodnij,
że
dla
liczb
takich, że
dodatnich
a + b + c = 1 prawdziwa jest nierówność
( 2a + 1)( 2b + 1)( 2c + 1) ≤ ( a + b + 1)( b + c + 1)( a + c + 1) .
a , b, c
zachodzi
nierówność
10. Niech
a1 , a 2 , a 3 , …, a n
1
1 + a1 + a 2 + … + a n
będą
liczbami
z
przedziału
0, 1 .
Wykaż,
że
wtedy
≥ (1 − a1 )(1 − a 2 )… (1 − a n ) .
Bibliografia
4. Aleksander Śnieżek, Paweł Tęcza, Zbiór zadań z algebry dla szkół średnich, Wydawnictwa Szkolne i
Pedagogiczne, Warszawa 1994, str. 12, 13.
5. Czasopismo Matematyka, WSiP, 1'97 str.41, 3'97 str.177.