Przeksztacenie Abela w mat.ub. na ycie
Transkrypt
Przeksztacenie Abela w mat.ub. na ycie
1. Przekształcenie Abela w matematyce ubezpieczeń na Ŝycie Wyprowadźmy tzw. Przekształcenie Abela ( sumowanie przez części [ang. summation by parts]), które jest stosowane przy wyprowadzaniu niektórych wzorów w matematyce ubezpieczeń na Ŝycie. W większości podręczników, w których znajdują się wzory otrzymane za pomocą Przekształcenia Abela, jest tylko wspomniane, Ŝe wzór został zastosowany. Istotne jest jego poznanie i zrozumienie, aby dowody wzorów nie były problemowe. Wzór na sumowanie przez części moŜna otrzymać w następujący sposób: 1=1 n n ∑ g ( x) f ( x) = ∑ f ( x) g ( x) n x =2 n x =2 n −1 x =1 x =2 x =1 n ∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x) f ( x) = −∑ f ( x + 1) g ( x + 1) + ∑ f ( x + 1) g ( x) n x =1 n n n x =1 x =1 ∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x) f ( x) + g (1) f (1) = f ( x + 1) g ( x + 1) − ∑ f ( x + 1) g ( x + 1) + ∑ f ( x + 1) g ( x) x =1 n ∑ g ( x)∆f ( x) = x =1 x =1 n f ( x + 1) g ( x + 1) − g (1) f (1) − ∑ ∆g ( x) f ( x + 1) x =1 Ostatni wiersz traktowany jest jako wzór na sumowanie przez części. Dojdziemy do tego samego wyniku w inny sposób: n n n ∑ g( x)∆f ( x) = g (1) f (2) − g (1) f (1) + ∑ g( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x) f ( x) = x =1 x =2 x =2 n −1 n = g (1) f (2) − g (1) f (1) + ∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x + 1) f ( x + 1) = x =2 x =1 n n x =1 x =1 n = − g (1)(1) + ∑ g ( x) f ( x + 1) − ∑ g ( x + 1) f ( x + 1) + g ( x + 1) f ( x + 1) = = g ( x + 1) f ( x + 1) − g (1)(1) + ∑ ∆g ( x) f ( x + 1) . x =1 (i) Przykładowe zastosowanie Przekształcenia Abela w wyprowadzaniu wzorów. Udowodnimy wzór na jednorazową składkę netto renty na całe Ŝycie. Mamy : •• ∞ a x = ∑ v k ⋅k p x . k =0 Dowód: Wartość aktualna ciągu wypłat w rencie na całe Ŝycie z góry wynosi: •• Y = 1 + v + v 2 + ... + v k = a k +1 . •• Stosując oznaczenia z Przekształcenia Abela oznaczmy: g ( x) = a k +1 , ∆f ( x)= k p x ⋅ q[x ]+ k = k p x − k +1 p x , f ( x) =− k p x , 1 − v k + 2 1 − v k +1 ∆g ( x) = g ( x + 1) − g ( x) = − = v k +1 . Zgodnie z przekształceniem Abela 1− v 1− v otrzymujemy : ∞ ∞ ∞ •• 1 − v k +1 ∞ ax = ⋅ (− k p x ) 0 + ∑ v k +1 ⋅k +1 p x = 0 + 1 + ∑ v k +1 ⋅k +1 p x = ∑ v k ⋅k p x . 1− v x =0 k =0 k =0