Wykład 4 z Analizy Funkcjonalnej i Topologii Romuald Lenczewski

Wykład 4 z Analizy Funkcjonalnej i Topologii
Romuald Lenczewski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Twierdzenie Baire’a. Przestrzeń metryczna zupełna jest zbiorem drugiej kategorii.
Dowód: Założmy, że przestrzeń metryczna zupełna X jest zbiorem pierwszej kategorii.
Wtedy można przedstawić X w postaci sumy
X=
∞
[
An
n=1
gdzie każdy zbiór An jest nigdziegęsty w X. W szczególności, A1 jest nigdziegęsty w X,
więc nie jest gęsty w X. Tak więc istnieje kula otwarta B(x0 , 1) dla jakiegoś x0 , która
nie jest zawarta w A1 . Ponieważ A1 jest nigdziegesty, więc istnieje punkt x1 ∈ B(x0 , 1),
taki, że x1 ∈
/ A1 (ten zbiór ma puste wnętrze). Z kolei, ponieważ zbiór (X \A1 )∩B(x0 , 1)
jest otwarty, więc istnieje pewna kula otwarta o środku w x1 , która jest w tym zbiorze,
a w niej pewna kula domknięta B(x1 , r1 ). Mamy zatem
B(x1 , r1 ) ⊂ B(x0 , 1) oraz B(x1 , r1 ) ∩ A1 = ∅
Możemy przyjąc, że r1 < 1/2. Podobnie, istnieje punkt x2 ∈ B(x1 , r1 ), taki, że x2 ∈
/ A2 ,
bo ten zbiór ma także puste wnętrze. Ponieważ zbiór (X \ A1 ) ∩ B(x1 , r1 ) jest otwarty,
więc istnieje pewna kula otwarta o środku w x2 , która jest w tym zbiorze, a w niej
pewna kula domknięta B(x2 , r2 ). Mamy zatem
B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) oraz B(x2 , r2 ) ∩ A2 = ∅
i możemy przyjąć, że r2 < 1/3. Kontynuując ten proces, otrzymujemy zstępujący ciąg
kul domkniętych (B(xn , rn )), takich że
B(xn , rn ) ∩ Aj = ∅ dla 1 ≤ j ≤ n
oraz rn → ∞. Z twierdzenia o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych w przestrzeni
zupełnej wiemy, że istnieje punkt x, który należy do wszystkich
S kul, a ponadto, z konstrukcji mamy, że x ∈
/ Aj dla każdego j ≥ 1. Tak więc x ∈
/ ∞
j=1 Aj = X. Sprzeczność.
Tak więc zbiór X musi być zbiorem drugiej kategorii.
Twierdzenie Baire’a ma wiele istotnych zastosowań. Najpierw omówimy Twierdzenie
Banacha-Steinhausa. W skrócie, twierdzenie to mówi, że jeżeli mamy rodzinę operatorów liniowych {Tj : j ∈ J}, gdzie Tj : X → Y , przy czym X jest przestrzenią Banacha, to ograniczoność punktowa tej rodziny operatorów, czyli ograniczoność zbioru
liczb {k Tj (x) k: j ∈ J} dla każdego x oddzielnie implikuje ograniczoność zbioru norm
tej rodziny, czyli zbioru {k Tj k: j ∈ J}. Najpierw udowodnimy pewien lemat, który
nazywamy także Lematem Banacha-Steinhausa, a prosty wniosek z tego Lematu będzie
już właściwym Twierdzeniem Banacha-Steinhausa.
1
Lemat Banacha-Steinhausa. Niech X, Y będą unormowanymi przestrzeniami liniowymi i niech {Tj : j ∈ J} będzie rodziną ograniczonych operatorów liniowych z X w Y .
Wtedy zbiór {x : supj k Tj (x) k< ∞} jest zbiorem pierwszej kategorii lub zbiór norm
{k Tj k: j ∈ J} jest ograniczony.
Dowód: Załóżmy, że zbiór
A = {x : supj k Tj (x) k< ∞}
jest drugiej kategorii. Definiujemy ciąg jego podzbiorów
An = {x : supj k Tj (x) k≤ n}
dla którego zachodzi oczywista równość
A=
∞
[
An
n=1
Zbiory An są domknięte, ponieważ jeżeli ciąg (xk ) jest zawarty w An oraz xk → x, to
k Tj (x) k=k Tj (x − xk + xk ) k≤k Tj kk x − xk k + k Tj (xk ) k
więc
k Tj (x) k≤ lim k Tj (xk ) k
k→∞
a zatem k Tj (x) k≤ n dla każdego j ∈ J z definicji zbioru An . Tak więc, x ∈ An ,
co oznacza domkniętość. Ponadto, ponieważ A jest zbiorem drugiej kategorii, to dla
jakiegoś n zbiór An zawiera kulę otwartą, czyli
B(x0 , r) = {x ∈ X :k x − x0 k< r} ⊂ An
dla jakiegoś x0 ∈ X oraz r > 0. Niech teraz k x k≤ r. Wtedy x0 ∈∈ B(x0 , r) oraz
x + x0 ∈ B(x0 , r) ⊂ An (kula domknięta jest zawarta w domknięciu zbioru An skoro
kula otwarta jest), więc dla każdego j ∈ J mamy
k Tj (x) k=k Tj (x + x0 ) − Tj (x0 ) k≤k Tj (x + x0 ) k + k Tj (x0 ) k≤ n + n = 2n
Mamy więc następujące szacowanie dla każdego j ∈ J oraz dowolnego już teraz 0 6=
x ∈ X:
!
rx
kxk
rx
kxk
kxk
k Tj (x) k=k Tj
k=
k Tj
k≤
2n.
r
r
kxk
r
kxk
Zatem, dla kazdego j ∈ J mamy k Tj k≤ 2n
, co oznacza, że zbiór norm, o którym mowa
r
w Lemacie, jest ograniczony, co kończy dowód.
Twierdzenie Banacha-Steinhausa. Niech X będzie przestrzenią Banacha, niech Y
będzie unormowaną przestrzenią liniową i niech {Tj : j ∈ J} będzie rodziną ograniczonych operatorów liniowych z X w Y . Jeżeli zbiór {k Tj (x) k: j ∈ J} jest ograniczony dla
każdego x ∈ X, to zbiór norm {k Tj k: j ∈ J} jest ograniczony.
2
Dowód: Z założenia, mamy
X = {x ∈ X : supj k Tj (x) k< ∞}.
Ponieważ X jest przestrzenią Banacha, więc jest zbiorem drugiej kategorii na mocy
twierdzenia Baire’a. Zatem, z Lematu Banacha-Steinhausa, zbiór {k Tj k: j ∈ J} jest
ograniczony.
W tym kontekście omówimy nowy typ zbieżności operatorów liniowych w unormowanych przestrzeniach liniowych, zwany silną zbieżnością. Przypomnijmy, że przestrzeń B(X, Y ) ograniczonych operatorów liniowych z unormowanej przestrzeni liniowej X w unormowaną przestrzeń liniową Y jest przestrzenią unormowaną z naturalną
normą supremum. Oznaczmy przez k T k taką normę operatora T ∈ B(X, Y ). Oczywiście, skoro B(X, Y ) jest przestrzenią unormowaną, możemy mówić o zbieżności ciągu
operatorów w tej normie. Tak więc, jeżeli
lim k Tn − T k= 0
n→∞
to mówimy, że ciąg operatorów Tn jest zbieżny do operatora T w normie operatorowej
(mówi się także, że jest jednostajnie zbieżny). Jest to najsilniejsza zbieżność, jaka
używana jest dla operatorów z B(X, Y ). Okazuje się jednak, że zbieżności słabsze niż
zbieżność w normie operatorowej, np. silna zbieżność i słaba zbieżność, są również
bardzo przydatne.
Definicja. Ciąg (Tn ) ograniczonych operatorów liniowych z unormowanej przestrzeni
liniowej X w unormowaną przestrzeń liniową Y jest silnie zbieżny jeżeli dla każdego
x ∈ X ciąg elementów przestrzeni Y postaci (Tn (x)) jest zbieżny w Y , tzn. dla każdego
x ∈ X istnieje y ∈ Y , taki że
lim k Tn (x) − y k= 0,
n→∞
co zapisujemy limn→∞ Tn (x) = y. Jeżeli istnieje T ∈ B(X, Y ), taki że Tn (x) jest zbieżny
do T (x) dla każdego x ∈ X, tzn.
lim k Tn (x) − T (x) k= 0,
n→∞
mówimy, że ciąg (Tn ) jest silnie zbieżny do T , co często zapisujemy s − limn→∞ Tn = T
(mówi się także, że ciąg Tn jest zbieżny punktowo do T .)
Uwaga. Łatwo widać, że zbieżność ciągu Tn do T w normie operatorowej implikuje
silną zbieżność do T , ponieważ zachodzi nierówność
k Tn (x) − T (x) k≤k Tn − T kk x k,
ale implikacja w druga stronę nie jest prawdziwa (można skonstruować odpowiednie
przykłady, będzie taki na liście zadań).
3
Wykorzystując Twierdzenie B-S pokażemy, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to
silna zbieżność ciągu operatorów ograniczonych implikuje silną zbiezność do pewnego
operatora ograniczonego T .
Twierdzenie o silnej zbieżności. Niech X będzie przestrzenią Banacha i niech Y
będzie unormowaną przestrzenią liniową. Jeżeli ciąg (Tn ) operatorów liniowych ograniczonych z X w Y jest silnie zbieżny, to istnieje T ∈ B(X, Y ), do którego Tn jest silnie
zbieżny.
Dowód: Dla każdego ustalonego x ∈ X ciąg Tn (x) jest zbieżny w Y z założenia, więc
istnieje y ∈ Y , taki że k Tn (x) − y k→ 0 gdy n → ∞, czyli limn→∞ Tn (x) = y. Zatem,
k Tn (x) k≤k y k +
dla dostatecznie dużego n. Zatem ciąg norm (k Tn (x) k) jest ograniczony (dla ustalonego
x). Z Twierdzenia Banacha-Steinhausa ciąg norm (k Tn k) jest ograniczony, ponieważ
X jest przestrzenią Banacha. Definiujemy operator T naturalnym wzorem
T (x) = lim Tn (x).
n→∞
Liniowość operatora T wynika z liniowości każdego Tn . Wykażmy jego ograniczoność:
k T (x) k=k T (x) − Tn (x) + Tn (x) k≤k T (x) − Tn (x) k + k Tn (x) k
Dla każdego > 0 istnieje n0 , takie że jeżeli n ≥ n0 , to
k T (x) − Tn (x) k< .
Z kolei, z Twierdzenia B-S wynika, że k Tn (x) k≤k Tn kk x k≤ M k x k, więc mamy
k T (x) k< + M k x k
a ponieważ dowolne, to k T (x) k≤ M k x k, więc T jest ograniczony.
Na koniec sformułujemy inne klasyczne twierdzenie analizy funkcjonalnej, będące
zastosowaniem Twierdzenia Baire’a, Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym
(dowód będzie na kolejnym wykładzie). Ważnym założeniem w tym twierdzeniu jest
to, że operator T jest odwzorowaniem na Y . Jeśli T nie jest na Y , a tylko w Y , to
teza nie musi zachodzić, co łatwo widać na prostych przykładach, np. T : R2 → R2 ,
T (x, y) = (x, 0), gdzie obrazem wielu otwartych zbiorów są zbiory, które nie są otwarte.
Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym. Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha i niech T ∈ B(X, Y ) będzie odzoworowaniem na Y . Wtedy T jest odwzorowaniem otwartym, to znaczy, jeżeli U jest otwarty w X, to T (U ) jest otwarty w Y .
4