Modelowanie matematyczne

Modelowanie matematyczne
|
Rozdział 3
Modelowanie matematyczne
3.1. Założenia
Z uwagi na fakt, że woda chemicznie czysta w przyrodzie nie występuje, przez pojęcie
wody rozumie się mieszaninę wody i obecnych w niej domieszek i zanieczyszczeń
organicznych i nieorganicznych, a usuwane z niej substancje traktowane są jako
zanieczyszczenia (Kowal, Świderska-Bróż 1998).
Jedną z podstawowych wielkości charakteryzujących wodę jest gęstość wody, która
ma największą wartość w temperaturze +3.98°C. Ze wzrostem i spadkiem temperatury
stopniowo zmniejsza się gęstość wody. Jest to bardzo istotna cecha, dzięki której lód jako
lżejszy, w zbiornikach wodnych, głównie głębokich, tworzy się na ich powierzchniach,
a w wodzie pod pokrywą lodową, mogą w okresie zimowym żyć organizmy wodne.
Ze wzrostem temperatury zmniejsza się również lepkość dynamiczna wody.
Do innych anomalii zalicza się:
–
obniżanie się temperatury zamarzania wody przy wzroście ciśnienia,
–
duże wartości napięcia powierzchniowego i ciepła parowania,
–
wzrost objętości wody o około 10% przy zamarzaniu.
Ze względu na małą ściśliwość wody, przy modelowaniu efekt ten może być
pominięty (Walski i in., 2001). Chociaż założenie o nieściśliwości wody jest słuszne w
typowych warunkach występujących podczas eksploatacji SDWP, pewne zjawiska
hydrauliczne są w stanie wytworzyć ciśnienia na tyle wysokie, że ściśliwość wody staje się
ważna. W SDWP, nie wyposażonych w odpowiednie urządzenia zabezpieczające, podczas
działań eksploatacyjnych może wystąpić zjawisko tzw. młotka wodnego wywołane
gwałtownymi zamianami prędkości wody. Przykładowymi przyczynami wystąpienia tego
37
Modelowanie matematyczne
|
zjawiska są: gwałtowne zamknięcie zaworu lub nagle wyłączenia pomp spowodowane
zanikiem zasilania. W niniejszej pracy przyjęto założenie, że SDWP jest wyposażony w
układy zabezpieczające przed rozwinięciem się zjawiska młotka wodnego.
Zakładać będziemy, że przepływy wody w SDWP odbywają się w warunkach
nazywanych przepływami w systemach rurociągów ciśnieniowych. Termin rurociągi
ciśnieniowe oznacza (Mays, 2000) system rurociągów, w którym prawie nigdy nie
występuje otwarte lustro wody. Podanie bardziej ścisłej definicji nie jest możliwe, ponieważ
w systemach ciśnieniowych otwarte lustra wody występują w zbiornikach i rezerwuarach
wody, a także lustra takie mogą pojawić się w rurociągach w krótkotrwałych okresach
czasu, kiedy mają miejsce procesy przejściowe. Cechą charakterystyczną systemów
ciśnieniowych, w odróżnieniu od systemów z otwartym lustrem wody, jest to, że ciśnienie
w obrębie systemu transportu wody jest zwykle istotnie wyższe od ciśnienia
atmosferycznego. Zachowanie tego warunku ma istotne znaczenie dla uniknięcia w tych
systemach zjawisk kawitacji (Walski i in., 2001; Grabarczyk, 1997).
Powszechnie przyjmuje się, że przepływy wody w dobrze zaprojektowanym
i poprawnie eksploatowanym SDWP mają charakter quasi-ustalony (Mays, 2000; Walski
i in., 2001). Biorąc pod uwagę wymienione wyżej założenia o właściwościach wody,
w SDWP można stosować w takich warunkach prawa zachowania w uproszczonych
postaciach. Woda transportowana systemem rurociągów ciśnieniowych podlega trzem
prawom zachowania: ciągłości, energii i momentu.
Systemy dystrybucji wody złożone są z rur, zaworów, zbiorników oraz pomp. Woda
transportowana jest, poprzez rurociągi do odbiorców, grawitacyjnie lub przez zastosowanie
stacji pomp. W procesie modelowania poszczególnych elementów całego systemu konieczne
jest przyjęcie pewnych założeń, umożliwiających dokonanie uproszczeń modelowych
systemu rzeczywistego.
Dla celów sterowania, przy założeniu małych zmian temperatury i ciśnienia
w otoczeniu systemu wodociągowego można przyjąć założenia (Chen, 1997):
– stałych wartości ciśnienia i temperatury otocznia systemu (środowiska),
–
nieściśliwości wody,
–
nie występowania w wodzie zanieczyszczeń typu piasek, szlam, itp.,
– stałych wartości gęstości i lepkości wody.
Obliczenia hydrauliczne sieci wodociągowych wykonuje się przy założeniu, że:
– pobory w punktach podłączeń zastępuje się poborami skupionymi w węzłach sieci,
38
Modelowanie matematyczne
|
– dla danego rozbioru wody sieć pracuje w warunkach ustalonych.
Z drugiego warunku wynika, że natężenia przepływów (qi,j) w przewodach oraz
odpowiadające im spadki naporów hydraulicznych spełniają dwa podstawowe prawa.
Pierwsze z nich wyraża warunek ciągłości w węźle, według którego algebraiczna suma
natężeń dopływów i odpływów w węźle jest równa zeru. Dla tego przypadku z rys. 3.1
warunek ciągłości daje się zapisać zależnością (3.1)
pobór wody
dj wymagane
w
j
qi,j
i
Jj
Rys. 3.1. Schemat „j-tego” węzła sieci
∑q
i, j
= dj ,
i∈J j
(3.1)
gdzie:
qi,j – natężenie przepływu w rurze łączącej węzły i oraz j,
dj – zapotrzebowanie w węźle j,
Jj – zbiór indeksów węzłów połączonych rurociągami z węzłem j.
Drugie prawo wyraża warunek równości spadków naporów hydraulicznych ∆hi,j (ciśnień) w
oczkach, tzn. algebraiczna suma spadków naporów przy założonym kierunku przepływu w
każdym oczku Ok jest równa zeru (3.2).
∑ ∆h
i, j
= 0,
gdzie ∆hi , j = hi − h j
i , j∈Ok
gdzie:
(3.2)
hi(j) –napór hydrauliczny w węźle i (j)
Gdy sieć jest zasilana w kilku punktach, z pierwszego prawa wynika, że algebraiczna
suma natężeń dopływów ze wszystkich źródeł zasilania i wszystkich rozbiorów sieci jest
równa zeru. Różnica rzędnych ciśnień dwóch źródeł zasilania jest równa sumie spadków
naporów w przewodach sieci wchodzących w skład dowolnej drogi łączącej te źródła.
Model matematyczny sieci wodociągowej stanowi układ algebraicznych równań
nieliniowych. W skład tych równań wchodzi Nw-1 równań dla węzłów (Nw-liczba węzłów)
Nc równań dla oczek (Nc- liczba oczek). Równania te mogą być uzupełnione równaniami dla
przewodów nie wchodzących w skład pierścieni (sieć rozgałęziona) oraz równaniami
opisującymi charakterystyki urządzeń takich jak pompy i zawory. Jeśli model ma obrazować
39
Modelowanie matematyczne
|
dynamikę systemu, musi również zawierać równania różniczkowe opisujące dynamikę
występujących w sieci zbiorników (Biedugnis, 1994).
3.2. Modele właściwości hydraulicznych elementów SDWP
3.2.1. Rury
Zadaniem rury jest transport medium z jednego węzła sieci do kolejnego (rys. 3.2). Kierunek
przepływu w rurze zachodzi od węzła o wyższym ciśnieniu do węzła o ciśnieniu niższym.
qi,j
hj
hi
Rys. 3.2. Model rury
Na skutek towarzyszących przepływowi tarć i turbulencji występuje spadek ciśnienia.
Spadek ciśnienia na odcinku rurociągu jest związany zależnością funkcyjną z wartością
przepływu występującego w tym rurociągu i daje się przedstawić w postaci (3.3).
Prezentowany model opisuje zarówno straty tarcia jak i straty lokalne (zob. rozdz. 2.1).
∆hi , j = hi − h j = g i , j ( qi , j ) = Ri , j qi , j qi , j
gdzie:
α −1
(3.3)
qi,j - przepływ w rurze łączącej węzły ”i” i ”j”,
Ri,j - oporność hydrauliczna,
α - wykładnik empiryczny.
W literaturze można odnaleźć trzy podstawowe formuły definiujące parametry modelu
opisanego równaniem (3.3) (Rossman i in., 1993):
– formuła Darcy-Weisbach’a,
– formuła Hazen-Williams’a,
– formuła Chezy-Manning’a.
Definicje poszczególnych formuł przedstawia tabela 3.1:
Tabela 3.1. Formuły parametrów Ri,j oraz α
40
Modelowanie matematyczne
|
Hazen-Williams’a
Współczynnik oporności hydraulicznej (Ri,j)
−1.852
−4.87
1.21216 × 1010 C HW
Li , j
,i , j Di , j
Wykładnik (α)
1.852
Darcy-Weisbach’a
8.27 × 10 7 f (C DW ,i , j , Di , j , qi , j ) Di−, 5j Li , j
2
Chezy-Manning’a
2
MN ,i , j
2
Formuła
gdzie:
CHW,i,j
CDW,i,j
f
CMN,i,j
Di,j
Li,j
4.66 × C
−5.33
i, j
i, j
D
L
- współczynnik Hazen-Williams’a,
- współczynnik Darcy-Weisbach’a,
- współczynnik tarcia (uzależniony od Cdw,i,j, Di,j oraz qi,j),
- współczynnik Manning’a,
- średnica rury [mm],
- długość rury [m].
Formuła Hazen-Williams’a jest rozsądnym kompromisem między dokładnością modelu,
a prostotą jego opisu. Jest ona najczęściej używaną formułą przy modelowaniu sieci
dystrybucji wody. Jak wynika z tabeli 3.1 rezystancja hydrauliczna jest określona
zależnością:
Ri , j =
1.21216 × 1010 Li , j
1.852
4.87
C HW
,i , j Di , j
.
(3.4)
Po uwzględnieniu wartości wykładnika α model (3.3) przyjmuje postać:
∆hi , j = g i , j ( qi , j ) = Ri , j qi , j qi , j
0.852
.
(3.5)
Typowe wartości parametru CHW dla formuły Hazen-Williams’a podaje tabela 3.2.
Podane wartości zostały określone empirycznie dla nowych rur. Związana z ich
dokładnością niepewność modelu rośnie z wiekiem eksploatowanych rurociągów, co
z czasem wymaga przeprowadzenia kalibracji lub estymacji parametrów modelu.
Tabela 3.2. Typowe wartości parametru CHW
Materiał
Żeliwo
Beton
Żelazo galwanizowane
Plastik
Stal
Kamionka
CHW
130-140
120-140
120
140-150
140-150
110
3.2.2. Zawory
Istnieje cała rodzina zaworów, które różnią się zarówno pod względem budowy jak
i realizowanych funkcji. W rozważanych systemach często znajdują zastosowanie zawory:
41
Modelowanie matematyczne
redukcyjne
i
|
odcinające.
Model
zaworu
redukcyjnego
daje
się
przedstawić
w postaci równana (Brdyś i in., 1994):
qi , j = φ i , j ( ∆hi , j ) = Gi , j ∆hi , j ∆hi , j
−0.5
,
(3.6)
gdzie: Gi,j - konduktancja hydrauliczna zaworu, zdefiniowana zależnością:
Gi , j =
gdzie:
2g
Amax,i , j ,
K v ,i , j
(3.7)
g - stała przyspieszenia ziemskiego,
Kv,i,j - współczynnik strat ciśnienia,
Amax,i,j - maksymalna powierzchnia przekroju przepustowego zaworu.
Zależność (3.6) daje się również zapisać:
∆hi , j = Ri , j qi , j qi , j ,
(3.8)
gdzie: Ri,j - rezystancja hydrauliczna zaworu, zdefiniowana zależnością:
Ri , j =
K v ,i , j
(3.9)
2
2 gAmax,
i, j
Często stosowanym zaworem w sieciach wodociągowych jest również zawór odcinający
(rys.3.3) dający się modelować zależnością:
qi , j = Vi , j Gi , j ∆hi , j ∆hi , j
−0.5
,
(3.10)
gdzie: Vi,j - zmienna sterująca, określająca stan zaworu (Vi,j=0 - zawór zamknięty,
Vi,j=1 - zawór całkowicie otwarty),
Gi,j - hydrauliczna konduktancja zaworu w pełni otwartego.
Vi,j
qi,j
hj
hi
Rys. 3.3. Model zaworu odcinającego
3.2.3. Pompy
Pompy są to maszyny służące do podnoszenia cieczy z poziomu niższego na poziom
wyższy lub też do przetłaczania cieczy z obszaru o ciśnieniu niższym do obszaru o ciśnieniu
wyższym. Działanie ich opiera się na wytwarzaniu różnicy ciśnień między tzw. stroną
42
Modelowanie matematyczne
|
ssawną i stroną tłoczną tłoka lub wirnika pompy. W praktyce w SDWP stosowane są dwa
rodzaje pomp:
– pompy stałoprędkościowe (PS),
– pompy zmiennoprędkościowe (PZ).
Pompy PS sterowane są przez ich włączanie i wyłączanie, podczas gdy pompy ZP mogą
dodatkowo być sterowane przez zmianę prędkości obrotowej w ramach zdefiniowanego
zakresu.
Pompy pracujące ze stałą prędkością obrotową. Charakterystyka hydrauliczna pumpy
podającej wodę z węzła ”i” do węzła ”j” jest funkcją nieliniową postaci:
∆hj,i = gs(qi,j),
(3.11)
gdzie spadek ciśnienia ∆hj,i jest zdefiniowany jako:
∆hj,i = hj-hi,
z warunkiem hj ≥ hi.
(3.12)
Nieliniowa funkcja gs(qi,j) może być aproksymowana funkcją kwadratową:
gs (qi,j) = Ai,jqi,j2+ Bi,jqi,j + h0;i,j,
(3.13)
gdzie: współczynniki: Ai,j < 0, Bi,j ≤ 0,
h0;i,j - wysokość podnoszenia pompy dla qi,j równego zero.
Model stacji pomp, wyposażonej w kilka pomp o identycznych charakterystykach,
pracujących równolegle, daje się zapisać w postaci:
∆h j ,i
gdzie:
 q
 A  i, j
= g s ( qi , j , ui , j ) =  i , j  ui , j

 0

2

q 
 + Bi , j  i , j  + h0;i , j , dla ui , j ≠ 0

u 

 i, j 
, dla ui , j = 0
(3.14)
ui,j –liczba pomp załączonych.
Efekt wpływu liczby pracujących równolegle pomp na charakterystykę wypadkową stacji
pomp przedstawia rys. 3.4.
43
Modelowanie matematyczne
|
Rys. 3.4. Efekt wpływu liczby pracujących równolegle pomp
na charakterystykę wypadkową stacji pomp
Pompy pracujące ze zmienną prędkością obrotową. Dla pomp o zmiennej prędkości
obrotowej zakres zmian regulacji prędkością obrotową pompy jest ograniczony.
Charakterystyka
grupy
równolegle
połączonych
ze
sobą
pomp o
identycznych
charakterystykach daje się zapisać jako:
∆h j ,i
 q
 A  i, j
= g zm ( qi , j , ui , j , si , j ) =  i , j  ui , j



2

q 
 + Bi , j  i , j  si , j + h0;i , j si2, j , dla ui , j ≠ 0 i si , j ≠ 0

u 
, (3.15)

 i, j 
0
, dla ui , j = 0
gdzie: ui,j –liczba pomp załączonych,
si,j –parametr określający prędkość względną pompy, zdefiniowany wzorem:
si , j =
nch
,
nN
(3.16)
gdzie: nch – prędkość chwilowa pompy,
nN – prędkość nominalna.
Efekt wpływu prędkości obrotowej pompy na kształt jej charakterystyki przedstawia rys. 3.5.
44
Modelowanie matematyczne
|
Rys. 3.5. Efekt wpływu prędkości obrotowej pompy na kształt jej charakterystyki
UWAGI. Należy podkreślić, iż przedstawione charakterystyki (modele) pomp opisują
obiekty, które nie posiadają tzw. klap zwrotnych. Zatem po wyłączeniu danej pompy
ciśnienie na króćcu tłocznym równe jest ciśnieniu na króćcu ssącym. W systemach
rzeczywistych stosuje się konstrukcje pomp zapewniające oddzielenie układu zasilającego
od
strefy
pompowania
mediów
przez
zastosowanie
zaworu
odcinającego.
W takiej sytuacji ciśnienie na króćcu tłocznym, dla pompy wyłączonej, zależy od warunków
hydraulicznych panujących w systemie.
3.2.4. Zbiorniki – elementy dynamiczne systemu
Podstawowym zadaniem zbiorników wodociągowych jest wyrównanie dostawy wody
w czasie zmiennych jej rozbiorów. Zbiorniki magazynują wodę w czasie, gdy rozbiór wody
jest mniejszy niż dostawa, a oddają wówczas, gdy rozbiór jest większy niż dostawa.
45
Modelowanie matematyczne
|
qz,i
Rys. 3.6. Model zbiornika
Zbiorniki cechują się zdolnością magazynowania energii co czyni je elementami
dynamicznymi systemu wodociągowego. Zastosowana przy modelowaniu zbiorników
zasada zachowania masy daje się zapisać zależnością (3.17).
dwz ,i (t )
dt
gdzie:
= ρ ⋅ q z ,i (t ) ,
(3.17)
wz,i – masa wody w zbiorniku „i”,
qz,i - natężenie dopływu do zbiornika z sieci,
ρ - gęstość wody.
Ponieważ zmiana wysokości lustra wody w zbiorniku daje się zapisać w funkcji zmiany
ilości wody w zbiorniku, co można zapisać:
dwz ,i (t )
dt
=
dψ i ( t )
S i (ψ i (t )) ρ ,
dt
(3.18)
gdzie: ψi - poziom wody w zbiorniku,
Si(ψi) - powierzchnia przekroju zbiornika „i” określona na wysokości ψi.
Stąd podstawiając do (3.17) mamy:
dψ i ( t )
1
=
q z ,i (t ) ,
dt
S i (ψ i (t ))
(3.19)
Napór hydrauliczny zbiornika obliczany jest jako:
46
Modelowanie matematyczne
|
(3.20)
hz ,i (t ) = E z ,i + ψ i (t ) ,
gdzie: Ez,i - wysokość dna zbiornika nad przyjętym poziomem odniesienia.
Przykład. Niech dany jest fragment systemu wodociągowego przedstawiony na rys. 3.7.
System złożony jest z jednego źródła wody oznaczonego indeksem „1”, pompy
stałoobrotowej (p1,2), jednego zbiornika (3), trzech węzłów (2, 4, 5), z czego dwa (4 i 5) to
miejsca w sieci, z których woda pobierana jest przez odbiorców.
h3
3
d4
q2,3
q1,2
q2,4
2
4 h4
h2
1
p1,2
h1
q2,5
q4,5
h5 5
d5
Rys. 3.7. Schemat modelowanej sieci wodociągowej
Założono następujące kierunki przepływów jako dodatnie:
(1,2); (2,3); (2,4); (2,5); (4,5).
Statyczny, hydrauliczny model sieci opisują równania:
q1,2 – q2,3 – q2,4 – q2,5 = 0
q2,4 – q4,5 = d4
q2,5 + q4,5 = d5
(h1 + g1(q1,2) – h2)u1,2 = 0
h2 – g2(q2,3) = h3
h2 – g3(q2,4) – h4 = 0
h2 – g4(q2,5) – h5 = 0
h4 – g5(q4,5) – h5 = 0
g3(q2,4) – g4(q2,5) + g5(q4,5) = 0,
47
Modelowanie matematyczne
|
gdzie:
g1(q1,2) = α1,2q1,22 + h0;1,2
g2(q2,3) = R2,3q2,3|q2,3|0.852
g3(q2,4) = R2,4 q2,4|q2,4|0.852
g4(q2,5) = R2,5 q2,5|q2,5|0.852
g5(q4,5) = R4,5 q4,5|q4,5|0.852
3.3. Modele matematyczne dla celów sterowania
Modele
hydrauliki.
Model
dla
celów
optymalizacji
numerycznej
musi
być
zdyskretyzowany. Modele opisujące hydraulikę, na których oparto się w algorytmach
generujących
sterowania
optymalizujące,
zasadniczo
nie
różnią
się
od
modeli
przedstawionych powyżej. Różnice sprowadzają się jedynie do zastąpienia zmiennych
ciągłych
t,
występujących
w
poszczególnych
zależnościach
ich
dyskretnymi
odpowiednikami k∆th (stałą ∆th w zapisie pomija się, np. qi,j(k∆th) zapiszemy qi,j(k)).
Przykładem jest dyskretny model opisujący jedyny dynamiczny element części
hydraulicznej systemu jakim jest zbiornik. Dyskretyzując równanie (3.19), używając
schematu różnicowego Eulera (Brdyś i Ulanicki, 1994), otrzymamy:
ψ i ( k + 1) = ψ i ( k ) +
1
S i (ψ i (k ))
q z ,i (k ) ∆t h .
(3.21)
48