RÓWNANIE MOMENTÓW PĘDU STRUMIENIA

RÓWNANIE MOMENTÓW PĘDU STRUMIENIA
Przepływ osiowo-symetryczny ustalony to przepływ, w którym parametry nie
zmieniają się wzdłuż okręgów o promieniu r, czyli zależą od promienia r i długości z,
a nie od kąta α
𝑅⃗ = 𝑚̇2 𝑣2 + 𝑝2 𝐴2 𝑥2 − (𝑚̇1 𝑣1 + 𝑝1 𝐴1 𝑥1 ) − 𝐹𝑚
-reakcja kanału na strugę
W perspektywie osiowosymetrycznej z powodu symetrii działają jedynie siły
poosiowe (w kierunku z).
Moment względem osi wirnika od prędkości ma postać 𝑚̇2 𝑟2 𝑣2𝑛 i 𝑚̇1 𝑟1 𝑣1𝑛 .
Napory elementarne od ciśnienia (siły) 𝑝2 𝐴2 i 𝑝1 𝐴1 posiadają kierunek osi „z”.
Momenty ich względem osi „z” są równe 0.
F – siły wypadkowe od ciśnień leżą w osi
(r=0)
Analogicznie można uprościć siły od naprężeń strug 𝜏1 𝑑𝐴1 i 𝜏2 𝑑𝐴2
JB Semestr letni 2013/2014
Ostatnia siła, Fm – siła masowa, jest to moment od masy zawartej w kanale. Ponieważ
masa jest równomiernie rozłożona wokół osi to wypadkowa siły leży na osi, czyli
moment jest równy zero.
Moment od siły R, z jaką kanał oddziaływuje na przepływ wynosi :
𝑀𝑟 = 𝑚̇2 𝑟2 𝑣2𝑛 − 𝑚̇1 𝑟1 𝑣1𝑛 → 𝑚̇(𝑟2 𝑣2𝑛 − 𝑟1 𝑣1𝑛 )
Ponieważ (𝑚̇𝑣 ) × 𝑟⃑ nazywamy momentem pędy strumienia, dlatego związek
nazywamy równaniem momentów pędu strumienia lub rów. momentów ilości ruchu
strumienia
ZASADA PRACY MASZYN PRZEPŁYWOWYCH
Zasada działania maszyn bazuje na zasadzie zachowania energii (I ZT). Jeżeli energia
na wlocie maszyny 𝐸1 jest większa od energii na wylocie z maszyny 𝐸2 , to z maszyny
zostaje wyprowadzona praca, gdy 𝐸1 < 𝐸2 to do maszyny doprowadzamy pracę.
S – nieruchomy stojan
W – obracający się wirnik
Doprowadzając parę do turbiny mamy wysokie ciśnienie 𝑃0 i na stojanie dochodzi do
rozprężenia (P maleje, v rośnie, dzieje się tak dlatego że początek łopatki jest grubszy
od końców 𝐴0 < 𝐴1 ) i ukierunkowania strugi (α1) Dlatego moment pędu strumienia w
przekroju „1” wynosi:
𝑚̇𝑟𝑠𝑟 𝑣1𝑛
Następnie struga wpada na wieniec wirnika i odgina się o (α2) i wylatuje z v2. Moment
pędu strumienia wynosi:
−𝑚̇𝑟𝑠𝑟 𝑣2𝑛
JB Semestr letni 2013/2014
(minus pochodzi od kierunku 𝑣 )
Różnica momentów to:
−𝑚̇𝑟𝑠𝑟 𝑣2𝑛 − 𝑚̇𝑟𝑠𝑟 𝑣1𝑛
czyli moment z jakim para pcha wirnik wynosi:
−𝑀𝑟 = 𝑚̇𝑟𝑠𝑟 𝑣2𝑛 + 𝑚̇𝑟𝑠𝑟 𝑣1𝑛 = 𝑚̇𝑟𝑠𝑟 (𝑣2𝑛 + 𝑣1𝑛 )
Moc turbiny to:
𝑁 = 𝜔(−𝑀𝑟 ) = 𝑚̇𝑟𝑠𝑟 𝜔(𝑣2𝑛 + 𝑣1𝑛 ) = 𝑚̇𝑢(𝑣2𝑛 + 𝑣1𝑛 ) .
POMPA LUB SPRĘŻARKA
Analogiczne działanie towarzyszy pompie.
1. Kanał na wlocie pompy jest większy przekrój A0 niż na wylocie A1 (zamiana
ciśnienia na prędkość) więc rośnie moment.
2. Rośnie promień więc rośnie moment.
JB Semestr letni 2013/2014
SILNIK ODRZUTOWY
𝑚̇𝑝𝑜𝑤
𝑚̇𝑝𝑜𝑤 + 𝑚̇𝑝𝑎𝑙 
𝑅 = 𝑚̇1 𝑣1 + 𝑝1 𝐴1 − (𝑚̇2 𝑣2 + 𝑝2 𝐴2 )
Ponieważ λ>>1
𝑚̇1 ≈ 𝑚̇2 ≈ 𝑚̇
R=𝑚̇1 (𝑣1 − 𝑣2 ),
gdy 𝑝1 𝐴1 ≈ 𝑝2 𝐴2
SILNIK RAKIETOWY
JB Semestr letni 2013/2014
R=𝑚2 𝑣2 + 𝑝2 𝐴2
PRZEPŁYW JEDNOWYMIAROWY
Jest to przepływ w kanale gdy przekroje zmieniają się łagodnie, czyli zmiany profilu
są łagodne. Są to przepływy w rurociągu. Średnia prędkość przepływu w rurze wynosi:
𝑎
∬ 𝑣𝑑𝐴 𝑉̇
𝑣𝑠𝑟 = 𝐴
=
𝐴
𝐴
JB Semestr letni 2013/2014
RÓWNANIE BERNOULLIEGO
- związek pomiędzy v(s), p(s), ρ(s)
Niech w przestrzeni kontrolnej panują:
v1=v
𝑣2 = 𝑣 +
𝑑𝑣
p1=p
𝑝2 = 𝑝 +
𝑑𝑝
ρ 1= ρ
ρ2 = ρ +
𝑑ρ
A1=A
𝐴2 = 𝐴 +
𝑑𝐴
𝑑𝑠
𝑑𝑠,
𝑑𝑠
𝑑𝑠,
𝑑𝑠
𝑑𝑠,
zaś pole przekroju wynosi:
JB Semestr letni 2013/2014
𝑑𝑠
𝑑𝑠,
(*)
𝑣+
v
p
𝑝+
ρ+
A
𝐴+
𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑝
𝑑𝑠
𝑑ρ
𝑑𝑠
𝑑𝐴
𝑑𝑠
𝑑𝑠,
𝑑𝑠,
𝑑𝑠,
𝑑𝑠,
Zgodnie z równaniem pędu na elementy płynu działają siły pochodzące od ciśnienia i
naprężeń stycznych (zakładamy zgodnie z równaniem pędu, że oddziaływanie jest
jedynie od powierzchni zamkniętych)
Siła działająca w kierunku 𝑑𝑠 ma postać:
(1) dR = 𝑝
𝑑𝐴
𝑑𝑠
𝑑𝑠-τdv= 𝑝
𝑑𝐴
𝑑𝑠
𝑑𝑠-τLds
obwód pow. A
pow. ścianki
bocznej
Zmiana dR zgodnie z równaniem pędu wytworzona jest z różnic 1-2. Po
wprowadzeniu związków (*) otrzymamy:
(2) dR=𝑚̇ (𝑣 +
𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑠) + (𝜌 +
=𝑚̇
𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝜌
𝑑𝑠
𝑑𝑠 +
𝑑𝑠) (𝐴 +
𝑑
𝑑𝑠
𝑑𝐴
𝑑𝑠
𝑑𝑠) − (𝑚̇𝑣+ 𝜌𝐴) − 𝑑𝐹𝑚−𝑠 =
(𝑑𝐴)𝑑𝑠 − 𝑑𝐹𝑚−𝑠
Gdzie dFm-s jest rzutem siły masowej na kierunek 𝑑𝑠, dla rurociągu poziomego jest to
zero.
Z przyrównania równania (1) i (2) otrzymamy:
𝑝+
𝑑𝐴
𝑑𝑠
-podstawiając 𝑚̇ = 𝜌𝐴𝑣
-dzieląc przez dv=Ads
JB Semestr letni 2013/2014
𝑑𝑠- τLds = 𝑚̇
𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑠 + 𝐴
𝑑𝑝
𝑑𝑠
𝑑𝑠+ 𝑝
𝑑𝐴
𝑑𝑠
𝑑𝑠-dFm-s
𝑑 1 2
1 𝑑𝜌 1 𝑑𝐹𝑚−𝑠
𝜏𝐿
( 𝑣 )+
−
=−
𝑑𝑠 2
𝜌 𝑑𝑠 𝜌 𝑑𝑉
𝜌𝐴
Gdzie:
𝐴
𝐿
a
= 𝑟ℎ − 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑖𝑒ń ℎ𝑦𝑑𝑟𝑎𝑢𝑙𝑖𝑐𝑧𝑛𝑦,
𝑑𝐹𝑚−𝑠
𝑑𝑚
= −𝑔 cos 𝛼, 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑟𝑧𝑢𝑡𝑒𝑚 𝑤𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑎 𝑛𝑎 𝑘𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑒𝑘 𝑠 (𝑑𝑚 = 𝑔𝑑𝑉)
𝑑 1 2
1 𝑑𝜌
𝜏
( 𝑣 )+
+ 𝑔 cos 𝛼 = −
𝑑𝑠 2
𝜌 𝑑𝑠
𝜌𝑟ℎ
/∗ 𝑑𝑠
1
1
𝜏
𝑑 ( 𝑣 2 ) + 𝑑𝑝 + 𝑔𝑑𝑧 = −
𝑑𝑠
2
𝜌
𝜌𝑟ℎ
Całkując od 1-2; mnożąc przez (-1)
2
2
1 2 1 2
1
𝜏
𝑣1 + 𝑣2 + ∫ 𝑑𝑝 + 𝑔(𝑧1 − 𝑧2 ) = ∫
𝑑𝑠 = ℎ1−2
2
2
𝜌
𝜌𝑟ℎ
1
1
Wyraz ℎ1−2 oznacza straty w przepływie, wyznaczenie ich na drodze analitycznej jest
bardzo trudne dlatego w technice straty wyznacza się eksperymentalnie.
Zakładając, że straty te są równe 0 uzyskamy równanie Bernoulliego:
1 2
𝜌𝑣 + 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
2
1
𝜌 𝑣2
2 1 1
1
+ 𝑝1 + 𝜌1 𝑔𝑧1 = 𝜌2 𝑣22 + 𝑝2 + 𝜌2 𝑔𝑧2 – bilans
2
ZASTOSOWANIE RÓWNANIA BERNOULLIEGO
1. Wypływ ze zbiornika
JB Semestr letni 2013/2014
1
1
𝜌1 𝑣12 + 𝑝1 + 𝜌1 𝑔𝑧1 = 𝜌1 𝑣22 + 𝑝2 + 𝜌1 𝑔𝑧2
2
2
𝐴2
p1=p2, v1= 𝑣2 - z równania ciągłości
𝐴1
czyli
𝑣22 [1 − (
𝐴2 2
) ] = 2𝑔𝐻
𝐴1
𝑣2 = √
gdy
𝐴2
𝐴1
2𝑔𝐻
𝐴
1 − ( 2 )2
𝐴1
<0,1 to
𝑣2 ≈ √2𝑔𝐻
2. Ciśnienie w punkcie stagnacji
v2>v1 to p2<p1
l2>l1 F1>F2
1
2
1
𝜌𝑣02 + 𝑝0 + 𝜌𝑔𝑧0 = 𝜌𝑣12 + 𝑝1 + 𝜌𝑔𝑧1
2
np. skrzydło samolotu lub samochodu
z1=z0, v1=0 (stagnacja)
1
p1 = pst = 𝜌0 𝑣02 + 𝑝0 = 𝑝𝑚𝑎𝑥
2
3. Pomiar ciśnienia całkowitego (rurka Pitota)
JB Semestr letni 2013/2014
1
pc1 = 𝜌𝑣12 + 𝑝1 = pc2 =
2
= pst2 = gh(𝜌𝑐 − 𝜌)
4. Pomiar ciśnienia dynamicznego przy użyciu rurki Prandtla
1
Ciśnienie różnic to pd = pc-pst = 𝜌𝑣22
2
Zastosowanie:
-wyznaczanie profili prędkości
-wyznaczanie 𝑚̇ 𝑖 𝑉̇
5. Przepływ przez kanały rozszerzające się lub zwężające:
JB Semestr letni 2013/2014
Zwężka Venturiego
pc=ph+pd+pst
ph=ρgh
1
pd= 𝜌𝑣 2
2
v𝑚̇1 = 𝑚̇2
1
2
1
1
2
2
𝜌𝑣12 + 𝑝1 = 𝜌𝑣22 + 𝑝2  𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌(𝑣12 − 𝑣22 )
𝐴
z równania ciągłości 𝑣22 = ( 1)2 − 1
𝐴2
JB Semestr letni 2013/2014
m- moduł
m=d2/d1
STRATY PRZEPŁYWU
Wykres Nikuradse:
JB Semestr letni 2013/2014
Współczynnik strat miejscowych dla kolan ZM w zależności od ich geometrii.
Profil rurociągu
z
pc=ph+pd+pst
ρgz
straty
𝜌𝑣 2
2
𝑣 ⤇ 𝑚̇ 1 = 𝑚̇ 2
1. Podzielić rurociąg na odcinki różniące się średnicą.
2. Na każdym wyróżnić odcinki prostoliniowe o stałej średnicy.
3. To, co nie jest prostą rurą stanowi problem w obliczeniach, często straty na
kolankach liczy się wzorem, podanym przez producenta.
JB Semestr letni 2013/2014