Elektronika 22.04.2016 Lista 7. Grupa symetrii i lemat Burnside`a.

Matematyka Dyskretna – Elektronika
22.04.2016
Lista 7. Grupa symetrii i lemat Burnside’a.
(
1. Dane są permutacje π1 =
1 2 3
7 3 2
4
5
5 6
1 9
7 8
4 6
9
8
)
(
oraz π2 =
1
3
2
1
3
2
4
9
5
5
6
7
7
6
8
4
9
8
)
.
a) Przedstaw je w postaci iloczynu cykli rozłącznych.
b) Znajdź ich liczbę inwersji, znak i określ typ parzystości.
c) Oblicz: π1 π2 , π2 π1 , π1 −1 π2 , (π1 π2 )−1 , π2−1 π1−1 .
2. Jaką parzystość i znak ma cykl k-wyrazowy?
3. Nie wypisując w postaci dwuwierszowej, rozłóż na iloczyn cykli rozłącznych następujące iloczyny:
a) (1, 2)(3, 4, 5)(1, 2, 3)(5, 1, 2);
b) (3, 1, 4, 5)(1, 2, 3, 4)(3, 1, 4, 2)(1, 2, 3).
4. (∗) Oblicz średnią liczbę cykli rozłącznych na jakie rozkładają się permutacje z Sn . Wskazówka: zbadaj ile razy
dany cykl pojawia się w rozkładach na cykle rozłączne wszystkich permutacji z Sn lub skorzystaj z rekurencji na
liczby Stirlinga I rodzaju.
5. Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować kwadrat 3 × 3 (czyli złożony z 9 mniejszych kwadratów), za
pomocą 3 kolorów, jeżeli dwa pokolorowania uznajemy za równoważne, gdy jedno z nich można otrzymać z drugiego
przez: a) obrót; b) obrót lub symetrię?
6. Trójkąt równoboczny dzielimy na 6 jednakowych trójkątów, prowadząc w nim trzy środkowe. Na ile sposobów
można pokolorować tych 6 trójkącików za pomocą dwóch kolorów, jeżeli dwa pokolorowania uznajemy za
równoważne, gdy jedno z nich można uzyskać z drugiego przez: a) obrót; b) obrót lub symetrię?
7. Na ile sposobów można pokolorować prostokąt 3 × 2 za pomocą dwóch kolorów, jeżeli dwa pokolorowania uznajemy
za równoważne, gdy jedno z nich można uzyskać z drugiego przez obrót o 180◦ lub symetrię?
8. Ile jest istotnie różnych pokolorowań kwadratu 3 × 3, przy których jest 7 pół czarnych i dwa białe? Narysuj
wszystkie takie pokolorowania i sprawdź wynik korzystając z lematu Burnside’a.
9. Ile jest różnych kolorowań ścian sześcianu sześcioma różnymi kolorami? Korzystając z tego wyniku oraz lematu
Burnside’a, określ liczebność grupy obrotów sześcianu.
10. (∗) Niech p będzie liczbą pierwszą. Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować wierzchołki p-kąta foremnego kolorami ze zbioru {1, 2, . . . , a}, jeżeli dwa kolorowania uznajemy za równoważne, gdy jedno z nich można
uzyskać z drugiego przez obrót? Wywnioskuj stąd Małe Twierdzenie Fermata.