n - AGH
Transkrypt
n - AGH
Wykład IX Całka oznaczona Riemanna Niech f:[a,b] →R I etap: tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału [a,b] -pierwszy podział -drugi podział: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 = 𝑏 2 x2 x1 nty podział: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < . . . . < 𝑥2 = 𝑏 Definicja 9.1 (normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]) Niech n= max (xk+1 - xk) - średnica podziału n (długość najdłuższego przedziału) k{0,…,n-1} Powiemy, że ciąg podziałów n ) nN jest normalny : <=> lim n 0 n II etap f ( k ) Tworzymy sumę: Dla n : w każdym z przedziałów [xk,xk+1], k=0,1,.,(n-1) wybieramy w sposób dowolny punkt pośredni k - możemy utworzyć dla każdego podziału - ciąg sum całkowych III etap Definicja 9.2 (całka Riemanna) Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] i dowolnego wyboru punktów pośrednich k istnieje lim lim n6𝑛 𝑛→∞ n która nie zależy od ciągu podziałów przedziału [a,b] i wyboru punktów pośrednich k (tzn. wartość tej granicy jest zawsze ta sama ) to nazywamy ją całką Riemanna i piszemy : UWAGA: b Jeżeli istnieje f ( x)dx to powiemy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na a przedziale [a,b]. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej a=x0 Jeżeli x[ a ,b ] ξ1 x1 ξ2 ξ3 x2 b=x3 b f(x) 0 i f -całkowalna, to: f ( x)dx D -pole obszaru D, a gdzie D={(x, y) R2 : x [a, b] ^ y [0, f(x)]}, inaczej: D={(x, y) R2: a x b ^ 0 y f(x)} Uwaga! b Jeżeli f(x) 0 w [a, b] ^ f –całkowalna, to f ( x)dx D , gdzie D obszar pomiędzy a wykresem y= f(x) i osią OX w przedziale [a, b] Całka dolna, całka górna n Niech Mk = sup f(x) , x [xk,xk+1] mk = inf f(x) , x [xk,xk+1] k {0,1,…,(n-1)} Niech ( n ) normalny ciąg podziałów przedziału [a,b] Uwaga: Definicja 9.3 (całka górna, dolna) Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] istnieją granice lim sn oraz n lim Sn i nie zależa od normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] to: n Całka dolna Całka górna Twierdzenie 9.1 (o całkowalności) f –całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,b] Dowód: k{0,1,...,( n1)} mk f (k ) Mk | mnożymy xk i sumujemy n 1 n 1 n 1 m x ( )x M x k 0 k n n 0 I= k k 0 k k k 0 k k n n 0 n n 0 I= Twierdzenie 9.2 (o całkowalności) Z: f C[a,b] , [a,b]- domknięty i ograniczony T: f- całkowalna w sensie Riemanna na [a,b] Definicja 9.4 (zbiór miary Riemanna 0) R A - jest miary Riemanna 0 tzn. że zbiór A można pokryć skończoną liczbą przedziałów o łącznej długości nie przekraczającej zadanej liczby Przykład 9.1 >0 x1 x2 4 4 x3 4 A={x1,x2,x3} , x1+ ] => b1-a1= 6 6 4 [a2,b2]=[x2- , x2+ ] => b2-a2= 6 6 4 [a3,b3]=[x3- , x3+ ] => b3-a3= 6 6 4 [a1,b1]=[x1- 3 (b a ) 4 i i 1) Każdy zbiór skończony tzn. Riemanna 0 składający się ze skończonej ilości elementów ma miarę Przykład 9.2 0,5 1 A= nN n 0,001 0,001 0,001 0 Dla n>200 0,001 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 , , n 200 200 200 200 Wniosek ostateczny Każdy zbiór złożony ze skończonej ilości punktów skupienia jest zbiorem długości miary Riemanna 0. Twierdzenie 9.3 Jeżeli {x R : f(x) g(x)} jest miary Riemanna 0 i f - całkowalna na [a,b], to g również- całkowalna na [a,b] i 𝑏 𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Twierdzenie 9.4( własności całki oznaczonej) Z: f - całkowalna na [a,b] , c(a,b) T: Twierdzenie 9.5 (własności całki oznaczonej c.d.) Z: f,g - całkowalne na [a,b] T: 1. – całkowalna na [a,b] b b b a a a f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx f∙g - całkowalne na [a,b] – brak wzoru 2. | f | - całkowalna na [a,b] i | 3. 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥| ≤ 𝑏 𝑎 |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥 b f 0 na [a,b], to 4. f ( x)dx 0 a f g na [a,b], to 5. b b a a f ( x)dx g ( x)dx 1-3 bez dowodu Dowód na pkt. 4 n 1 f 0 na [a,b], to f ( )x k 0 k k n 1 0 lim f (k )xk 0 n 0 k 0 b f ( x)dx 0 a Dowód na pkt.5 f g (g f ) 0 b na [a,b] [ g ( x) f ( x)]dx 0 a b b a a g ( x)dx f ( x)dx 0 tezie Twierdzenie 9.6(I twierdzenie o wartości średniej) Z: f- całkowalna na [a,b] T: b n 1 a n 0 k 0 mdx lim mx n m(b a) k m(k ) m Na podstawie pkt 5 tw. 9.5 m f(x) M na [a,b] to b b b a a a mdx f ( x)dx Mdx b m(b a) f ( x)dx M (b a) a Wartość średnia Z: fC[a,b] f - jest ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b] b T: 1 c[ a ,b ] f ( x)dx f (c) b a a Dowód: fC[a,b] f - osiąga swoje kresy sens geometryczny Zauważmy: Definicja 9.5 (funkcja górnej granicy całkowania) f - całkowalna na [a,b] x[ a ,b ] x ( x) : f (t )dt a 𝜙 𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑔ó𝑟𝑛𝑒𝑗 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑦 𝑐𝑎ł𝑘𝑜𝑤𝑎𝑛𝑖𝑎. Twierdzenie 9.7 (Własności funkcji górnej granicy całkowania) 1) f -całkowalna na [a,b] => - ciągła na [a,b] 2) f –ciągła na [a,b] => różniczkowalna x( a ,b ) '( x) f ( x) Twierdzenie 9.8 (Newtona-Leibniza) Z: f C[ a ,b ] f –ciągła; przedział domknięty i ograniczony F-pierwotna do f na [a,b] b f ( x)dx F (b) F (a) T: a Dowód: Z tw.9.7 => => -pierwotna do f i F – z założenia pierwotna do f => CRx[ a,b]( x) f ( x) C b (a) f ( x)dx 0 a b (b) f ( x)dx => a b f ( x)dx (b) (a) F (b) C ( F (a) C) F (b) F (a) a na [a,b] i Przykład 9.3 3 dx (*) 2 x2 1 -3 -2 zał: x 1 i x -1 -1 1 Funkcja spełnia założenia Newtona-Leibniza, będziemy więc szukali funkcji pierwotnej Obliczenia pomocnicze: dx 1 dx 1 dx ( x 1)( x 1) 2 x 1 2 x 1 1 1 1 x 1 ln x 1 ln x 1 C ln C 2 2 2 x 1 1 A B ( x 1)( x 1) x 1 x 1 1 A 2 1 B 2