Wymagania do testu dyrektorskiego z matematyki dla klas III

Wymagania do testu dyrektorskiego z matematyki dla klas III
( poziom podstawowy)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Własności funkcji kwadratowej.
Równania i nierówności kwadratowe.
Równania wyższych rzędów.
Równania wymierne.
Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny
Trygonometria i planimetria.
Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie. Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt.
Równanie okręgu. poziom rozszerzony
8. Funkcja wykładnicza i logarytmy.
Przykładowe zadania:
Ad.1
1. Wyznacz zbiór wartości oraz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:
f(x) = 6(x – 42)2 – 29
2.Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji: f(x) = 5(x + 24)(x – 36).
3.Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji: f(x) =
1
(x – 1)(x + 3) w
2
przedziale 〈0; 2〉
Ad.2
1. Rozwiąż:
9x 2 − 6 2x + 2 = 0
x2 − 3 = 1,
− 2 x 2 + 2 x − 1 = −5 ,
2.Rozwiąż:
a) (2 + x)2 ≤ 0
b) x 2 + 3 x + 2 ≥ 0
c) 3 x 2 − 2 x + 2 > 0
Ad.3
1.
a)
b)
c)
Rozwiąż:
(4x2 + 9)(x4 + 1)(–x2 + 3x – 10)=0,
9 x 3 − 72 = 0 ,
x3 – x -2x+ 2=0 poziom rozszerzony
3 x 3 − 6 x 2 + x − 2 = 0 poziom rozszerzony
Ad.4
1. Rozwiąż:
2
a) = 1
x
2.
b)
2 x − 10
=2
x2 − 8
c)
x3 - 4x = 0
x2 − x − 2
=0
2x + 2
3. Dwa samochody wyruszyły równocześnie naprzeciw siebie z miast A i B oddalonych o 350km.
Pierwszy samochód jechał z prędkością o 30km/h większą niż drugi. Samochody minęły się, gdy
pierwszy z nich pokonał 3/5 trasy między miastami. Oblicz średnie prędkości obu samochodów.
Ad.5.
1. 1.Ciąg (–2, x, 8) jest arytmetyczny. Wyznacz x.
2. Ciąg geometryczny (an) nie jest monotoniczny. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy 16,
a szósty ma wartość 1024. Oblicz wyraz pierwszy i iloraz tego ciągu.
3. Między liczby 24 i 56 wstaw siedem liczb tak, aby wraz z danymi tworzyły kolejne wyrazy
ciągu arytmetycznego.
4. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.
5. Oblicz sumę 6+11+16+…+101.
Ad.6
1. Definicje funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych; wyznaczanie wartości pozostałych funkcji
trygonometrycznych mając podaną jedną z nich np:
2. Tożsamości trygonometryczne poziom rozszerzony
3. Wiedząc, że sinα = 0,6 i α (0°, 90°), oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta α.
4. Oblicz wartość wyrażenia:
5. Rozwiązywanie zadań z planimetrii z wykorzystaniem trygonometrii np.:
6.
7.
8. Kąty w okręgu:
Ad.7
1. W czworokącie ABCD kąt α = 50 o , a kąt β = 100 o .Znajdź pozostałe kąty wiedząc, że na
czworokącie tym można opisać okrąg. poziom rozszerzony
2. W czworokącie ABCD dane są długości boków: AB=4, BC=3 oraz CD=2. Znajdź długość boku AD
wiedząc, że czworokąt ten jest opisany na okręgu. poziom rozszerzony
3. Znajdź promień okręgu wpisanego w trapez równoramienny o podstawach AB=8 oraz CD=2.
poziom rozszerzony
1.Wyznacz środek i promień okręgu: x2 + y2 + 6x – 4y = 0 poziom rozszerzony
2. Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi OX, którego środek jest w punkcie (2, -3). poziom
rozszerzony
Ad. 8
1. Funkcja wykładnicza
3
2
1
2
2
4
π
1
4
•
Zapisz liczby w kolejności malejącej: 4
•
Do wykresu y= a należy punkt P (− 6,729 ) . Wyznacz a i podaj inny punkt o współrzędnych
całkowitych należący do wykresu tej zależności .
,
8 ,
16
,
10
32 ,
256
x
x
•
1
Wykres funkcji otrzymano w wyniku przekształcenia wykresu funkcji y=   przez
2
przesunięcie o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół. Naszkicuj wykres funkcji, podaj jej
wzór, asymptotę i oblicz miejsce zerowe.
2. Logarytmy np.:
Oblicz a:
• log a 2 2 = 3
• log 3 a = −2
4
•
log125 5 = a
•
a = log 0, 2 0,0016
•
•
a = log 3 10 + 2 log 10 −3
a = log 3 2 + log 3 27 − log 3 6