Szczególna teoria względności CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA
Transkrypt
Szczególna teoria względności CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA
CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie I (luty, 2013) u Wyprowadzenie transformacji Lorentza u Relatywistyczna transformacja prędkości u Dylatacja czasu u Skrócenie długości u Równoczesność zdarzeń ( X = ct,x,y,z ( X 1 = ct1,x1,y1,z1 ) ) ( X 2 = ct2 ,x2 ,y 2 ,z2 ) Przedział czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami ( X 2 ! X 1 = c(t2 ! t1), x2 ! x1, y 2 ! y1, z2 ! z1 ) Odległość w czasie i przestrzeni pomiędzy zdarzeniami (X 2 ! X 1)2 = c 2 (t2 ! t1)2 ! (x2 ! x1)2 ! (y 2 ! y1)2 ! (z2 ! z1)2 x ' = x ! vt x = x ' + vt ' = x ' + vt y =y y = y' z =z z = z' t' = t t' = t ' ' K x1' = x1 ! vt1; t1' = t1 K’ x2' x1' x2 x1 v x1 = x1' + vt1'; t1' = t1 x2' = x2 ! vt2 ; t2' = t2 x2 = x2' + vt2' ; t2' = t2 Ld = x2 ! x1; Td = t2 ! t1 L'd = x2' ! x1'; Td' = t2' ! t1' L'd = x2' ! x1' = (x2 ! vt2' ) ! (x1 ! vt1') = (x2 ! x1) = Ld t2 = t1 ! Td = 0 ! Td' = 0 ! t2' = t1' Tak więc w fizyce klasycznej: L = Ld ' d T = Td ' d L T= c D = L2 + v 2T 2 D T'=T = ' c D vT L L D vT v x 2 2 2 ! L$ c L + v #" c &% D cD c L2 + v 2T 2 ' c = = = = = T L L L v2 c + v = c 1+ 2 ! c c 2 2 x’ Z doświadczenia więc wynika, że c= cons t (1) Prędkość światła w próżni ma zawsze stałą wartość, która nie zależy od ruchu ani źródła, ani odbiornika światła. (2) W dwóch układach odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym wszystkie prawa przyrody są ściśle takie same i nie ma sposobu wyróżnienia bezwzględnego ruchu jednostajnego. (3) Położenia i prędkości zmieniają się przy przejściu od jednego układu inercjalnego do drugiego zgodnie z transformacją klasyczną. Mamy więc jawną sprzeczność. Nie można pogodzić z sobą (1), (2) i (3). 1) oraz 2) wyklucza transformacje Galileusza, a 3) ja akceptuje T'= D c D = L2 + v 2T '2 D L L T= c L D vT ' vT ' v x’ x W układzie K’ X 1' = (0,0,0,0); X 2' = (c2T ' ,!v2T ' ,0,0) W układzie K X 1 = (0,0,0,0); X 2 = (c2T,0,0,0) L2 (X 2 ! X 1) = c (2T ) = 4c 2 = 4L2 c 2 2 2 2 D2 (X ! X ) = 4c T ! 4v T = 4c 2 ! 4v 2T '2 ) = c ' 2 ' 2 1 2 '2 2 '2 2 = 4(L2 + v 2T '2 ! v 2T '2 ) = 4L2 (X 2 ! X 1) = (X ! X ) 2 ' 2 ' 2 1 Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami jest identyczna w każdym układzie odniesienia D L2 + v 2T '2 T'= = c c T' = L c !v 2 2 = L c 1 1! v c ! = v2 s = 1! 2 " 1 c 2 c T ' = L +v T 2 2 2 '2 T '2 (c 2 ! v 2 ) = L2 = T" 1 " s 2 1 2 1# v c2 =$ 1 T = sT ! T ' ' Jak zmienić transformacje Galileusza aby w każdym układzie odniesienia prędkość światła była taka sama? x = x ! vt ' „Trzeba podejrzewać czas” mówił Einstein. t =t ' Zakładamy więc, że zachodzi: x =! x+" t ' t = # t +$ x ' Gdy x=0 oraz t=0, to także x’=0 oraz t’=0 i postaramy się znaleźć parametry ! , " , # ,$ . Mogą one zależeć jedynie od względnej szybkości dwóch układów odniesienia, v. K K’ v W układzie K początek układu K’ (x’= 0) porusza się z szybkością v: x # x = 0 ! " x + # t = 0 ! = $ = v; czyli ! = "v# t " ' W układzie K’ początek układu K (x = 0) porusza się z szybkością –v: x' " x + # t # !v = ' = = ; czyli ! = "v # t $ t +% x $ !=" Skorzystamy z równości przedziałów czasoprzestrzennych w obydwu układach: (X 2 ! X 1)2 = c 2 (t ! 0)2 ! (x ! 0)2 = c 2t 2 ! x 2 (X 2' ! X 1')2 = c 2 (t ' ! 0)2 ! (x ' ! 0)2 = c 2t '2 ! x '2 czyli c t !x =c t !x 2 '2 '2 x =! x+" t ! =" t' = # t + $ x ! = "v# ' 2 2 2 x ' = ! x " v! t = ! (x " vt) # ' t = ! t + # x = ! (t + x) ! c 2 (! t + " x)2 # (! x # v ! t)2 = c 2t 2 # x 2 c 2 (! 2t 2 + 2! " t x + " 2 x 2 ) # ! 2 (x 2 # 2 v x t + v 2t 2 ) = c 2t 2 # x 2 c 2 (! 2t 2 + 2! " t x + " 2 x 2 ) # ! 2 (x 2 # 2 v x t + v 2t 2 ) = c 2t 2 # x 2 Aby to równanie było spełnione muszą być spełnione relacje: 1) c 2! 2 " v 2! 2 = c 2 2) 2c 2!# + 2! 2v = 0 Z relacji 1) 2 c !2 = 2 = 2 c "v Ze związku 2) 1 1 #! = $% 2 2 v v 1" 2 1" 2 c c #v v ! = " 2 $ "% 2 c c Relacja 3) jest wtedy spełniona automatycznie. 3) c 2# 2 " ! 2 = "1 x = ! (x " vt) ' x = x ! vt ' y =y ' y =y ' z =z ' z =z ' v t = ! (t " 2 x) c ' t =t ' ! = 1 v2 1" 2 c Transformacje odwrotne otrzymamy zamieniając prędkość v na -v Gdy wzajemna prędkość układów v jest mała w porównaniu z prędkością światła, wtedy transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza: v !0 c ! " 1; v " 0. 2 c Otrzymamy dwóch układów poruszających się wzdłuż osi x: x = γ ( x′ − vt′), y = y′, z = z′, x ′ = γ ( x + vt ), y′ = y , z′ = z, v t = γ ( t′ − 2 x′). c v t ′ = γ ( t + 2 x ). c Hendrik Lorentz (1853 – 1928) ! = 1 v2 1" 2 c Związki te nazywają się transformacją Lorentza, wynikają z nich: q Skrócenie długości, q Wydłużenia czasu, q Względność równoczesności zdarzeń. Dla prędkości wzdłuż osi x: !x u= !t ' !x u' = ' !t !x "v ' !x !x " v!t u "v ' !t u = ' = = = v v !x vu !t !t " 2 !x 1" 2 1" 2 c c !t c u= c +v c +v = =c vc (c + v) / c 1+ 2 c Związek odwrotny: v è - v u' + v u= vu ' 1+ 2 c Widać, że spełniony jest pierwszy postulat Einsteina, prędkość światła jest zawsze równa c Wzory do wyprowadzenie relacji na skrócenie długości i wydłużenie (dylatację) czasu: 1) x ! x = " [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)] ' 2 ' 1 v 2) t ! t = " [t2 ! t1 ! 2 (x2 ! x1)] c ' 2 ' 1 3) x2 ! x1 = " [x ! x + v(t ! t )] ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 v ' ' 4) t2 ! t1 = " [t ! t + 2 (x2 ! x1)] c ' 2 ' 1 Te same relacje w fizyce klasycznej mają zupełnie inną postać: 1) x ! x = [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)] ' 2 ' 1 2) t ! t = [t2 ! t1 ] ' 2 ' 1 3) x2 ! x1 = [x ! x + v(t ! t )] ' 2 ' 1 4) t2 ! t1 = [t ! t ] ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 1) x ! x = " [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)] ' 2 ' 1 v 2) t ! t = " [t2 ! t1 ! 2 (x2 ! x1)] c 3) x2 ! x1 = " [x2' ! x1' + v(t2' ! t1')] ' 2 ' 1 v ' 4) t2 ! t1 = " [t ! t + 2 (x2 ! x1')] c ' 2 ' 1 1) x2' ! x1' = [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)] 2) t ! t = [t2 ! t1 ] ' 2 ' 1 3) x2 ! x1 = [x2' ! x1' + v(t2' ! t1')] 4) t2 ! t1 = [t ! t ] ' 2 ' 1 Nieruchomy zegar w układzie K’ K’ K x’ v Z układu K mierzymy czas upływający w K’ Z relacji 4) gdzie wstawiamy: T = t2 ! t; T = t ! t ; ' ' 2 ' 1 x2' = x1' = x ' Otrzymamy: T = ! T " T ' = sT ! T ' ! = 1 s s !1 Obserwując ruchomy zegar, widzę, że na nim czas płynie wolniej I odwrotnie, z układu K’ obserwuje nieruchomy zegar w układzie K. Zegar spoczywa w układzie K a więc: x2 = x1 = x Muszę skorzystać z relacji 2), otrzymam: T = !T " ' T = sT ! T ' ' I ponownie wniosek jest ten sam, jeżeli względem mnie zegar się porusza to widzę, że czas na nim płynie wolniej K K’ t =t ' 1 ' 1 x ' ' d L t2' = t ' x2' v Z układu K dokonuję pomiaru długości pręta w układzie K’ Ld = x2 ! x1 L'd = x2' ! x1' Korzystamy z relacji 3) gdzie wstawiam: otrzymujemy: Ld = ! L " ' d L = sLd ! Ld ' d t2' = t1' = t ' Mierząc z układu K pręt spoczywający w K’, widzę że jest on krótszy L'd ! Ld I odwrotnie, z układu K’ dokonujemy pomiaru pręta spoczywającego w układzie K. Tym razem musimy w tym samym czasie w układzie K zmierzyć położenie końców, czyli muszę przyjąć: t2 = t1 = t Wtedy musimy wykorzystać równanie 1) i otrzymamy: L = ! Ld ' d ! Ld = sL'd ! L'd A więc zupełnie symetrycznie otrzymamy, iż pręt mierzony w układzie ruchomym jest krótszy od pręta spoczywającego Ld ! L'd . K K’ t =t ' 1 ' ' 1 x t2' = t ' x2' v W różnych punktach (x1' ! x2') w układzie K’ w tym samym czasie t2' = t1' = t ' zachodzą dwa zdarzenia. Te dwa zdarzenia będą zachodziły w różnym czasie w układzie K. Korzystamy z relacji 4) i mamy v ' t2 ! t1 = " [ 2 (x2 ! x1')] # 0 c I podobnie. W tym samym miejscu w układzie K’ ( x1' = x2' = x ' ) ' ' zachodzą dwa zdarzenia w różnym czasie t1 ! t 2 . Podobnie jak w fizyce klasycznej zdarzenia te, w układzie K, zajdą w różnym miejscu w przestrzeni. Korzystamy z relacji 3) i otrzymamy: x2 ! x1 = " [v(t ! t )] # 0 ' 2 ' 1 Zdarzenia zachodzą więc w różnym miejscu: x2 ! x1 W przypadku klasycznym jest podobnie, tylko czynnik γ =1 Jakie wnioski wynikają z faktu, że przedział czasoprzestrzenny jest identyczny w każdym układzie odniesienia (X 2 ! X 1)2 = c 2 (t2 ! t1)2 ! (x2 ! x1)2 (X 2' ! X 1')2 = c 2 (t2' ! t1')2 ! (x2' ! x1')2 P12 = c 2 (t2' ! t1')2 ! (x2' ! x1')2 = c 2 (t2 ! t1)2 ! (x2 ! x1)2 Możemy rozróżnić trzy przypadki: 1) P12 > 0 2) P12 = 0 3) P12 < 0 Najpierw przypadek 1). Skoro P12 > 0, to zawsze mogę znaleźć taki układ odniesienia, w którym opisywane dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu x2' = x1' = x ' w różnym czasie, wtedy: 1 t ! t = (t2 ! t1) ! 2 (x2 ! x1)2 c ' 2 ' 1 2 Nie istnieje jednak układ, w którym zdarzenia te mogłyby zajść w tym samym czasie, zawsze musi zachodzić: t !t "0 ' 2 ' 1 Tak więc takie zdarzenia, skoro mogą zajść w tym samym miejscy w różnym czasie, to jedno z nich może być skutkiem drugiego, jeżeli: t2' ! t1' > 0 to zdarzenia „2” może być skutkiem zdarzenia „1” Przypadek 2). Teraz zawsze P12=0, a więc w każdym układzie zachodzi: c 2 (t2 ! t1)2 = (x2 ! x1)2 A więc w każdym układzie mamy: x2 ! x1 = c(t2 ! t1) Dowolne dwa zdarzenia, dla których zachodzi P12=0 mogą być połączone sygnałem świetlnym, ten sam foton może być obecny przy obydwu zdarzeniach I wreszcie przypadek 3). Skoro P12 < 0, to zawsze mogę znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym ' ' t = t czasie 2 1 , wtedy: x2' ! x1' = !c 2 (t2 ! t1)2 + (x2 ! x1)2 Jest odległością pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w danym układzie odniesienia w tym samym czasie. W omawianej sytuacji nie ma układu odniesienia, w którym jakiekolwiek dwa zdarzenia mogą zajść w tym samym miejscu w przestrzeni, zawsze bowiem x2' ! x1'. Tak więc w zbiorze zdarzeń P12 < 0 nie ma dwóch, dla których jedno może być skutkiem drugiego. ct P12 = 0 P12 > 0 Teraźniejszość Przyszłość P12 < 0 Teraźniejszość (0,0) P12 < 0 Przeszłość P12 > 0 P12 = 0 x Z podręcznika „Fizyka, spojrzenie na czas, przestrzeń i materię”; PWN, Warszawa 2002. Przedział czasoprzestrzenny 2 2 c (t − t P ) − (x − x P ) = Δ ( x, P); 2 2 Δ >0 Δ2 < 0 Δ ( x, P) Δ2 = 0 2 2 C może wpływać na nas (P) My (P) możemy wpływać na B B A C Δ2 > 0 A nie ma wpływu na nas (P), i my nie mamy wpływu na A Stożek świetlny Geometrię o opisanych własnościach nazywamy geometrią pseudoeuklidesową