Szczególna teoria względności CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA
Szczególna teoria względności
Spotkanie I (luty, 2013)
u  Wyprowadzenie transformacji Lorentza
u  Relatywistyczna transformacja prędkości
u  Dylatacja czasu
u  Skrócenie długości
u  Równoczesność zdarzeń
(
X = ct,x,y,z
(
X 1 = ct1,x1,y1,z1
)
)
(
X 2 = ct2 ,x2 ,y 2 ,z2
)
Przedział czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami
(
X 2 ! X 1 = c(t2 ! t1), x2 ! x1, y 2 ! y1, z2 ! z1
)
Odległość w czasie i przestrzeni pomiędzy zdarzeniami
(X 2 ! X 1)2 = c 2 (t2 ! t1)2 ! (x2 ! x1)2 ! (y 2 ! y1)2 ! (z2 ! z1)2
x ' = x ! vt
x = x ' + vt ' = x ' + vt
y =y
y = y'
z =z
z = z'
t' = t
t' = t
'
'
K
x1' = x1 ! vt1; t1' = t1
K’
x2'
x1'
x2
x1
v
x1 = x1' + vt1'; t1' = t1
x2' = x2 ! vt2 ; t2' = t2
x2 = x2' + vt2' ; t2' = t2
Ld = x2 ! x1; Td = t2 ! t1
L'd = x2' ! x1'; Td' = t2' ! t1'
L'd = x2' ! x1' = (x2 ! vt2' ) ! (x1 ! vt1') = (x2 ! x1) = Ld
t2 = t1 ! Td = 0 ! Td' = 0 ! t2' = t1'
Tak więc w fizyce klasycznej:
L = Ld
'
d
T = Td
'
d
L
T=
c
D = L2 + v 2T 2
D
T'=T = '
c
D
vT
L
L
D
vT
v
x
2
2
2 ! L$
c
L
+
v
#" c &%
D cD c L2 + v 2T 2
'
c = =
=
=
=
T
L
L
L
v2
c + v = c 1+ 2 ! c
c
2
2
x’
Z doświadczenia więc wynika, że
c=
cons
t
(1) Prędkość światła w próżni ma zawsze stałą wartość,
która nie zależy od ruchu ani źródła, ani odbiornika światła.
(2) W dwóch układach odniesienia poruszających się względem
siebie ruchem jednostajnym wszystkie prawa przyrody są
ściśle takie same i nie ma sposobu wyróżnienia
bezwzględnego ruchu jednostajnego.
(3) Położenia i prędkości zmieniają się
przy przejściu od jednego układu
inercjalnego do drugiego zgodnie z
transformacją klasyczną. Mamy więc
jawną sprzeczność. Nie można
pogodzić z sobą (1), (2) i (3).
1) oraz 2)
wyklucza
transformacje
Galileusza, a 3)
ja akceptuje
T'=
D
c
D = L2 + v 2T '2
D
L
L
T=
c
L
D
vT '
vT '
v
x’
x
W układzie K’
X 1' = (0,0,0,0); X 2' = (c2T ' ,!v2T ' ,0,0)
W układzie K
X 1 = (0,0,0,0); X 2 = (c2T,0,0,0)
L2
(X 2 ! X 1) = c (2T ) = 4c 2 = 4L2
c
2
2
2
2
D2
(X ! X ) = 4c T ! 4v T = 4c 2 ! 4v 2T '2 ) =
c
'
2
' 2
1
2
'2
2
'2
2
= 4(L2 + v 2T '2 ! v 2T '2 ) = 4L2
(X 2 ! X 1) = (X ! X )
2
'
2
' 2
1
Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami jest
identyczna w każdym układzie odniesienia
D
L2 + v 2T '2
T'= =
c
c
T' =
L
c !v
2
2
=
L
c
1
1!
v
c
! =
v2
s = 1! 2 " 1
c
2
c T ' = L +v T
2
2
2
'2
T '2 (c 2 ! v 2 ) = L2
= T"
1
"
s
2
1
2
1#
v
c2
=$ 1
T = sT ! T
'
'
Jak zmienić transformacje Galileusza aby w każdym układzie
odniesienia prędkość światła była taka sama?
x = x ! vt
'
„Trzeba podejrzewać czas”
mówił Einstein.
t =t
'
Zakładamy więc, że zachodzi:
x =! x+" t
'
t = # t +$ x
'
Gdy x=0 oraz t=0, to
także x’=0 oraz t’=0
i postaramy się znaleźć parametry ! , " , # ,$ . Mogą one zależeć
jedynie od względnej szybkości dwóch układów odniesienia, v.
K
K’
v
W układzie K początek układu K’ (x’= 0) porusza się z szybkością v:
x
#
x = 0 ! " x + # t = 0 ! = $ = v; czyli ! = "v#
t
"
'
W układzie K’ początek układu K (x = 0) porusza
się z szybkością –v:
x' " x + # t #
!v = ' =
= ; czyli ! = "v #
t $ t +% x $
!="
Skorzystamy z równości przedziałów czasoprzestrzennych w
obydwu układach:
(X 2 ! X 1)2 = c 2 (t ! 0)2 ! (x ! 0)2 = c 2t 2 ! x 2
(X 2' ! X 1')2 = c 2 (t ' ! 0)2 ! (x ' ! 0)2 = c 2t '2 ! x '2
czyli
c t !x =c t !x
2 '2
'2
x =! x+" t
! ="
t' = # t + $ x
! = "v#
'
2 2
2
x ' = ! x " v! t = ! (x " vt)
#
'
t = ! t + # x = ! (t + x)
!
c 2 (! t + " x)2 # (! x # v ! t)2 = c 2t 2 # x 2
c 2 (! 2t 2 + 2! " t x + " 2 x 2 ) # ! 2 (x 2 # 2 v x t + v 2t 2 ) = c 2t 2 # x 2
c 2 (! 2t 2 + 2! " t x + " 2 x 2 ) # ! 2 (x 2 # 2 v x t + v 2t 2 ) = c 2t 2 # x 2
Aby to równanie było spełnione muszą być spełnione relacje:
1) c 2! 2 " v 2! 2 = c 2
2) 2c 2!# + 2! 2v = 0
Z relacji 1)
2
c
!2 = 2
=
2
c "v
Ze związku 2)
1
1
#! =
$%
2
2
v
v
1" 2
1" 2
c
c
#v
v
! = " 2 $ "% 2
c
c
Relacja 3) jest wtedy spełniona automatycznie.
3) c 2# 2 " ! 2 = "1
x = ! (x " vt)
'
x = x ! vt
'
y =y
'
y =y
'
z =z
'
z =z
'
v
t = ! (t " 2 x)
c
'
t =t
'
! =
1
v2
1" 2
c
Transformacje odwrotne otrzymamy zamieniając prędkość v na -v
Gdy wzajemna prędkość układów v jest mała w porównaniu z prędkością światła,
wtedy transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza:
v
!0
c
! " 1;
v
" 0.
2
c
Otrzymamy dwóch układów poruszających się
wzdłuż osi x:
x = γ ( x′ − vt′),
y = y′,
z = z′,
x ′ = γ ( x + vt ),
y′ = y ,
z′ = z,
v
t = γ ( t′ − 2 x′).
c
v
t ′ = γ ( t + 2 x ).
c
Hendrik Lorentz
(1853 – 1928)
! =
1
v2
1" 2
c
Związki te nazywają się transformacją Lorentza, wynikają z nich:
q  Skrócenie długości,
q  Wydłużenia czasu,
q  Względność równoczesności zdarzeń.
Dla prędkości wzdłuż osi x:
!x
u=
!t
'
!x
u' = '
!t
!x
"v
'
!x
!x
"
v!t
u "v
'
!t
u = ' =
=
=
v
v !x
vu
!t
!t " 2 !x 1" 2
1" 2
c
c !t
c
u=
c +v
c +v
=
=c
vc (c + v) / c
1+ 2
c
Związek odwrotny:
v è - v
u' + v
u=
vu '
1+ 2
c
Widać, że spełniony jest pierwszy
postulat Einsteina, prędkość światła jest
zawsze równa c
Wzory do wyprowadzenie relacji na skrócenie długości i wydłużenie
(dylatację) czasu:
1) x ! x = " [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)]
'
2
'
1
v
2) t ! t = " [t2 ! t1 ! 2 (x2 ! x1)]
c
'
2
'
1
3) x2 ! x1 = " [x ! x + v(t ! t )]
'
2
'
1
'
2
'
1
v '
'
4) t2 ! t1 = " [t ! t + 2 (x2 ! x1)]
c
'
2
'
1
Te same relacje w fizyce klasycznej mają zupełnie inną postać:
1) x ! x = [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)]
'
2
'
1
2) t ! t = [t2 ! t1 ]
'
2
'
1
3) x2 ! x1 = [x ! x + v(t ! t )]
'
2
'
1
4) t2 ! t1 = [t ! t ]
'
2
'
1
'
2
'
1
1) x ! x = " [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)]
'
2
'
1
v
2) t ! t = " [t2 ! t1 ! 2 (x2 ! x1)]
c
3) x2 ! x1 = " [x2' ! x1' + v(t2' ! t1')]
'
2
'
1
v '
4) t2 ! t1 = " [t ! t + 2 (x2 ! x1')]
c
'
2
'
1
1) x2' ! x1' = [x2 ! x1 ! v(t2 ! t1)]
2) t ! t = [t2 ! t1 ]
'
2
'
1
3) x2 ! x1 = [x2' ! x1' + v(t2' ! t1')]
4) t2 ! t1 = [t ! t ]
'
2
'
1
Nieruchomy zegar w
układzie K’
K’
K
x’
v
Z układu K mierzymy czas upływający w K’
Z relacji 4) gdzie wstawiamy:
T = t2 ! t; T = t ! t ;
'
'
2
'
1
x2' = x1' = x '
Otrzymamy:
T = ! T " T ' = sT ! T
'
! =
1
s
s !1
Obserwując ruchomy
zegar, widzę, że na
nim czas płynie
wolniej
I odwrotnie, z układu K’ obserwuje nieruchomy zegar w
układzie K. Zegar spoczywa w układzie K a więc:
x2 = x1 = x
Muszę skorzystać z relacji 2), otrzymam:
T = !T "
'
T = sT ! T
'
'
I ponownie wniosek jest ten sam, jeżeli względem mnie
zegar się porusza to widzę, że czas na nim płynie wolniej
K
K’
t =t
'
1
'
1
x
'
'
d
L
t2' = t '
x2'
v
Z układu K dokonuję pomiaru długości pręta w układzie K’
Ld = x2 ! x1
L'd = x2' ! x1'
Korzystamy z relacji 3) gdzie wstawiam:
otrzymujemy:
Ld = ! L "
'
d
L = sLd ! Ld
'
d
t2' = t1' = t '
Mierząc z układu K
pręt spoczywający w
K’, widzę że jest on
krótszy
L'd ! Ld
I odwrotnie, z układu K’ dokonujemy pomiaru pręta
spoczywającego w układzie K.
Tym razem musimy w tym samym czasie w układzie K
zmierzyć położenie końców, czyli muszę przyjąć:
t2 = t1 = t
Wtedy musimy wykorzystać równanie 1) i otrzymamy:
L = ! Ld
'
d
!
Ld = sL'd ! L'd
A więc zupełnie symetrycznie otrzymamy, iż pręt mierzony w
układzie ruchomym jest krótszy od pręta spoczywającego
Ld ! L'd
.
K
K’
t =t
'
1
'
'
1
x
t2' = t '
x2'
v
W różnych punktach (x1' ! x2') w układzie K’ w tym samym czasie
t2' = t1' = t ' zachodzą dwa zdarzenia. Te dwa zdarzenia będą
zachodziły w różnym czasie w układzie K.
Korzystamy z relacji 4) i mamy
v '
t2 ! t1 = " [ 2 (x2 ! x1')] # 0
c
I podobnie. W tym samym miejscu w układzie K’ ( x1' = x2' = x ' )
'
'
zachodzą dwa zdarzenia w różnym czasie t1 ! t 2 .
Podobnie jak w fizyce klasycznej zdarzenia te, w układzie K, zajdą
w różnym miejscu w przestrzeni. Korzystamy z relacji 3) i
otrzymamy:
x2 ! x1 = " [v(t ! t )] # 0
'
2
'
1
Zdarzenia zachodzą więc w różnym miejscu:
x2 ! x1
W przypadku klasycznym jest podobnie, tylko czynnik γ =1
Jakie wnioski wynikają z faktu, że przedział czasoprzestrzenny jest
identyczny w każdym układzie odniesienia
(X 2 ! X 1)2 = c 2 (t2 ! t1)2 ! (x2 ! x1)2
(X 2' ! X 1')2 = c 2 (t2' ! t1')2 ! (x2' ! x1')2
P12 = c 2 (t2' ! t1')2 ! (x2' ! x1')2 = c 2 (t2 ! t1)2 ! (x2 ! x1)2
Możemy rozróżnić trzy przypadki:
1) P12 > 0
2) P12 = 0
3) P12 < 0
Najpierw przypadek 1). Skoro P12 > 0, to zawsze mogę znaleźć
taki układ odniesienia, w którym opisywane dwa zdarzenia
zachodzą w tym samym miejscu x2' = x1' = x ' w różnym czasie,
wtedy:
1
t ! t = (t2 ! t1) ! 2 (x2 ! x1)2
c
'
2
'
1
2
Nie istnieje jednak układ, w którym zdarzenia te mogłyby zajść
w tym samym czasie, zawsze musi zachodzić:
t !t "0
'
2
'
1
Tak więc takie zdarzenia, skoro mogą zajść w tym samym miejscy
w różnym czasie, to jedno z nich może być skutkiem drugiego,
jeżeli:
t2' ! t1' > 0
to zdarzenia „2” może być skutkiem zdarzenia „1”
Przypadek 2). Teraz zawsze P12=0, a więc w każdym układzie
zachodzi:
c 2 (t2 ! t1)2 = (x2 ! x1)2
A więc w każdym układzie mamy:
x2 ! x1 = c(t2 ! t1)
Dowolne dwa zdarzenia, dla których zachodzi P12=0 mogą
być połączone sygnałem świetlnym, ten sam foton może być
obecny przy obydwu zdarzeniach
I wreszcie przypadek 3). Skoro P12 < 0, to zawsze mogę znaleźć taki
układ odniesienia, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym
'
'
t
=
t
czasie 2 1 , wtedy:
x2' ! x1' = !c 2 (t2 ! t1)2 + (x2 ! x1)2
Jest odległością pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w danym
układzie odniesienia w tym samym czasie.
W omawianej sytuacji nie ma układu odniesienia, w którym
jakiekolwiek dwa zdarzenia mogą zajść w tym samym miejscu w
przestrzeni, zawsze bowiem
x2' ! x1'.
Tak więc w zbiorze zdarzeń P12 < 0 nie ma dwóch, dla których jedno
może być skutkiem drugiego.
ct
P12 = 0
P12 > 0
Teraźniejszość
Przyszłość
P12 < 0
Teraźniejszość
(0,0)
P12 < 0
Przeszłość
P12 > 0
P12 = 0
x
Z podręcznika „Fizyka, spojrzenie na czas, przestrzeń i
materię”; PWN, Warszawa 2002.
Przedział czasoprzestrzenny
  2 2
c (t − t P ) − (x − x P ) = Δ ( x, P);
2
2
Δ >0
Δ2 < 0
Δ ( x, P)
Δ2 = 0
2
2
C może wpływać na nas (P)
My (P) możemy wpływać na B
B
A
C
Δ2 > 0
A nie ma wpływu na nas (P), i my nie mamy wpływu na A
Stożek świetlny
Geometrię o opisanych własnościach nazywamy geometrią pseudoeuklidesową