II Prawo Faraday`a

Wykład 15
9.8 Najprostsze obwody elektryczne
A. Dzielnik napięcia.
B. Mostek Wheatstone’a
C. Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej
D. Prosty układ RC
10. Prąd elektryczny w cieczach
10.1 Dysocjacja elektrolityczna
10.2 Prawa elektrolizy Faraday’a
10.3 Teoria przewodnictwa elektrolitycznego
Reinhard Kulessa
1
9.8 Najprostsze obwody elektryczne
W tej części omówimy krótko kilka najprostszych obwodów
elektrycznych.
A. Dzielnik napięcia.
I
R
U
I =
R
U
A
U x = I ⋅ Rx
Rx
Ux = U ⋅
R
Rx
(9.29)
V
Reinhard Kulessa
2
U
I’
W przypadku gdy
obciążymy dzielnik oporem
RA napięcie Ua ulegnie
zmianie na UA’ , przy czym
A
R
U
A'
= I A R 1'
gdzie
R1
IA
R2
UA’
RA
R1' = R1 R A ( R1 + R A )
I = U /( R + R2 )
'
'
1
Napięcie UA’ będzie więc równe:
R1RA
U
U
U A' = I R =
=
R1RA R1 + RA
R2 (R1 + RA )
R2 +
1+
R1 + RA
R1RA
'
'
2
Reinhard Kulessa
3
B. Mostek Wheatstone’a
Mostek Wheatstone’a jest najbardziej znanym układem do
pomiaru oporu elektrycznego.
C
I=0
R0
Rx
G
I1
I2
I2
R1
A
I
R2
I1
B
D
U
Opór mierzony wpinamy pomiędzy punktami C i B. R0 jest
znanym oporem.
Reinhard Kulessa
4
Suwak na oporze AB przesuwamy tak długo, aż w gałęzi CD nie
popłynie prąd. Oznacza to równość potencjałów w punktach C i D.
Rozważając oczko ACD otrzymujemy;
R0 I 1 − R1 I 2 = 0
R0 I 1 = R1 I 2
.
Z kolei rozważając oczko CBD otrzymujemy;
Rx I1 − R2 I 2 = 0
Rx I1 = R2 I 2
.
Dzieląc drugą linijkę tych równań przez siebie, otrzymujemy;
R2
R x = R0
R1
Reinhard Kulessa
(9.29)
5
C. Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej
Metoda ta jest podobna do wyznaczania oporów w oparciu o
mostek Wheatstone’a.
D
Ux – szukana SEM
I02 Ix
Ux Rwx
G Rg
Ix
I02
A
I0
I01
Ix1
Ix2
U0 – znana SEM
I0
R1
R2
C
B
Ix2
U0 Rw0
+
Reinhard Kulessa
6
Zmieniamy ustawienie suwaka na oporze AB tak długo, aż w
galwanometrze przestanie płynąć prąd. Wtedy wiemy, że;
I x = I 02
Prąd w każdej gałęzi jest algebraiczną sumą prądów
pochodzących od każdej siły elektromotorycznej oddzielnie,
przy czym muszą zostać uwzględnione opory wewnętrzne
wszystkich ogniw. Musimy również uwzględnić opór
galwanometru.
Dla prądów związanych z szukaną siłą elektromotoryczną
otrzymamy w oparciu o Prawa Kirchoffa;
I x = I x1 + I x 2
I x ( Rg + Rwx ) + I x1R1 = U x
I x 2 ( R2 + Rw0 ) − I x1R1 = 0
Reinhard Kulessa
.
7
Dla prądów wywołanych przez siłę elektromotoryczną U0
otrzymamy;
I 0 = I 01 + I 02
I 02 ( Rg + Rwx ) − I 01R1 = 0 .
I 0 ( R2 + Rw0 ) + I 01R1 = U0
Z układu podanych równań można znaleźć Ix1 i Ix2 w funkcji
oporów i Ux , oraz I01 i I02 w funkcji tych samych oporów i U0.
Z warunku znikania prądu w galwanometrze
I 02 = I x
otrzymujemy,
Ux =
Rw0
R1
U0
+ R1 + R 2
. (9.30)
Gdy Rw0 << R=R1+R2, metoda ta jest dokładna.
Reinhard Kulessa
8
Zakładając wypadkowe prądy w poszczególnych gałęziach mamy;
D
I2
Ux Rwx
I2
G Rg
I1
I0
R1
A
I0
U0 – znana SEM
R2
B
C
+ - U0Rw0
Zakładając kierunki prądu takie jak na rysunku, oraz że opór
wewnętrzny galwanometru Rg = 0, możemy napisać
Reinhard Kulessa
9
I 0 = I1 + I 2
− I 0 ( R2 + Rw0 ) − I1R1 = U0
I 2 Rwx − I1R1 = U x
Ustawiając suwak w punkcie D tak, aby przez galwanometr nie
płynął prąd, czyli I2 = 0, mamy
I 0 = I1
U x = − I 1 R1
− U0
I1 =
( R1 + R2 + R w 0 )
R1
U x = U0
+ Rw0
Reinhard R
Kulessa
10
D. Prosty układ RC
+
Jeśli zamykamy obwód kluczem
K, to w chwili t=0 łączymy nie
naładowany kondensator ze
źródłem siły elektromotorycznej
U.
UC
R
+
- U
W oparciu o II Prawo Kirchoffa
mamy;
I
G
U − U C − IR = 0
K
Oznaczając chwilowe natężenie
Prądu w obwodzie I, oraz chwilowe napięcie na okładkach
kondensatora przez UC, otrzymamy:
Reinhard Kulessa
11
dQ
I=
dt
Q
UC =
C
Po podstawieniu do poprzedniego równania otrzymamy:
Q
dQ
U− −R
=0
C
dt
Po przekształceniu i podzieleniu przez R otrzymamy:
dQ
1
U
+
Q− =0
dt RC
R
Rozwiązanie tego równania ma postać:
Q C = CU (1 − e
Reinhard Kulessa
−
1
t
RC
)
12
Ponieważ :
U C = QC / C
,
napięcie na kondensatorze, będzie się więc zmieniało
zgodnie z równaniem:
UC
1
t 
−

= U  1 − e RC  . (9.31)


Iloczyn RC ma wymiar czasu i jest nazwany czasem
relaksacji.
Wstawiając wyrażenie na czasową zależność napięcia na
kondensatorze do naszego wyjściowego równania, otrzymamy
wzór na czasową zależność natężenia prądu ładującego
kondensator.
Reinhard Kulessa
13
U
I =
e
R
−
1
t
RC
Przebieg natężenia prądu
w obwodzie w czasie
ładowania kondensatora.
Przebieg napięcia na
kondensatora w czasie
ładowania.
UC
I
U
U/R
t
t
Reinhard Kulessa
14
10. Prąd elektryczny w cieczach
10.1 Dysocjacja elektrolityczna
Powszechnie znany jest fakt, że wiele czystych cieczy źle
przewodzi prąd elektryczny. Do wody destylowanej np..
wystarczy dodać roztworu NaCl czy H2SO4 , aby stała się ona
dobrym przewodnikiem. Jeśli w takim roztworze umieścimy
elektrody, to będą się na nich wydzielały składniki roztworów.
Takie przewodniki nazywamy elektrolitami. Przepływ prądu w
elektrolicie polega na poruszaniu się jonów pod wpływem
przyłożonego pola elektrycznego.
Rozpad związków chemicznych na cząsteczki składowe pod
wpływem rozpuszczalnika nazywamy dysocjacją
elektrolityczną.
Reinhard Kulessa
15
Najbardziej znane są elektrolity następujących soli:
CuSO
4
→ Cu 2 + + SO 24 -
H 2 SO 4 → 2H
NaCl
+
+ S0 24 -
→ Na + Cl -
Ilościowo rozpad cząsteczek na jony określa współczynnik
dysocjacji elektrolitycznej α. Należy pamiętać, że w roztworze
cząsteczki nie tylko ulegają dysocjacji, lecz również rekombinacji,
tak, że zwykle dochodzi do stanu równowagi.
Jeżeli w jednostce objętości roztworu znajduje się n0 cząsteczek, a
n1 z nich jest zdysocjowanych na jony, to
n1 = α n0
(10.1)
gdzie α jest współczynnikiem dysocjacji.
Reinhard Kulessa
16
Dla czystej wody współczynnik dysocjacji α = 1.7·10-9.
Dla 0.0001 mola/litr roztworu KCl, α = 0.993,
a dla 1 mola/litr KCl, α =0.757.
10.2 Prawa elektrolizy Faraday’a
+ -
kation
-
+
anion
elektrolit
Reinhard Kulessa
17
I Prawo Faraday’a mówi, że masa wydzielającej się substancji
m jest proporcjonalna do przepływającego przez elektrolit
ładunku Q.
m = kQ
(10.2)
m = k I t
Stała k jest równoważnikiem elektrochemicznym, równym
liczbowo masie wydzielonej przy przepływie przez elektrolit
ładunku 1 kulomba w czasie 1 sek. Stała ta ma wymiar [kg/As].
II Prawo Faraday’a mówi, że równoważniki elektrochemiczne
k pierwiastków są proporcjonalne do ich równoważników
chemicznych(obecnie jest to wielkość nielegalna).
1 M
k =
F Wi
Reinhard Kulessa
(10.3)
18
W poprzednim wzorze M jest masą jonu, Wi jest wartościowością
jonu, a F jest stałą Faraday’a (F=96485 C/mol), czyli ładunkiem
mola elektronów.
Łącząc I i II prawo Faraday’a otrzymujemy:
1 M
m=
Q
F Wi
10.3 Teoria przewodnictwa elektrolitycznego
W elektrolicie jony poruszają się pod wpływem dwóch
przyczynków. Pierwszy pochodzi od ukierunkowanego ruchu
związanego z przyłożonym polem elektrycznym, a drugi od
ruchów termicznych.
Reinhard Kulessa
19
Ze względu na to, że jony są znacznie większe od elektronów, nie
możemy zaniedbać oporu ośrodka.
Równanie ruchu jonu dodatniego będzie następujące:
r
r
r
m+ a + = qE − k + v +
gdzie m oznacza masę jonu,
a – przyśpieszenie jonu,
v – prędkość jonu,
k – współczynnik tarcia,
E – natężenie pola elektrycznego.
Dla pewnej prędkości v, qE – k+v+ = 0, więc prędkość jony
przyjmuje stałą wartość.
r
v+
r
q E
=
k+
Reinhard Kulessa
(10.4)
20
v+ ma kierunek wektora natężenia pola elektrycznego.
Analogicznie określamy prędkość jonów ujemnych.
Prąd w elektrolicie jest sumą prądów jonów dodatnich i ujemnych.
Liczba jonów każdego znaku w jednostce objętości jest równa:
n = n 0α
Całkowita gęstość prądu j jest sumą
r r
r
r
r
j = j + + j − = q α n 0 v + + qα n 0 v − =
r
r
= qα n 0 ( v + + v − )
Wyrażenie to możemy również napisać następująco:
r
r
r
j = F ηα ( v + + v − ) .
Reinhard Kulessa
(10.5)
21
W równaniu (10.5) F jest stałą Faraday’a, a η jest tzw. stężeniem
równoważnym , równym ilości gramorównoważników
rozpuszczonej substancji przypadającej na jednostkę objętości
roztworu.
Jeśli przez N’ oznaczymy liczbę cząsteczek w
gramorównoważniku substancji, to stała Faraday’a F=qN’, a
η = n0/N’. Wtedy qn0 = ηF.
Podstawiając do wzoru (10.5) wyrażenie na prędkość jonów
(wzór (10.4)), otrzymamy:
r
q
q r
j = Fηα ( + ) E
k+ k−
Reinhard Kulessa
22
Możemy jeszcze wprowadzić do ostatniego równania wyrażenie
na ruchliwość jonów, µ± = q/k± , otrzymujemy:
r
r
j = Fηα ( µ + + µ − ) E
(10.6)
W oparciu o ostatnie wyrażenie otrzymujemy na wspólczynnik
przewodnictwa elektrolitu wyrażenie:
σ = Fηα ( µ + + µ − )
(10.7)
Odwrotność przewodnictwa właściwego daje nam
wyrażenie na opór właściwy.
Reinhard Kulessa
23