Wycena egzotycznego instrumentu pochodnego stopy procentowej

Wycena egzotycznego instrumentu pochodnego
stopy procentowej
Trigger Swap
Andrzej Konieczek
BRE Bank
16 maja 2008
Wst˛ep
Trigger Swap – charakterystyka instrumentu
Model Brace-Gatarek-Musiela
˛
Implementacja
Kalibracja
Wyniki
Problemy
Potrzebne umiej˛etności
Wst˛ep
Dlaczego wycena instrumentów pochodnych jest trudnym
problemem?
I
I
I
I
I
I
I
Nie można precyzyjnie określić prawa, które rzadzi
˛ rynkiem –
rynek ulega ciagłej
˛
ewolucji
Mamy do dyspozycji tylko jedna˛ realizacj˛e "doświadczenia"
Ceny instrumentów pochodnych zaburzone sa˛ premia˛ za ryzyko
kredytowe, niepłynność, użyteczność danej transakcji,
podaż/popyt
Zależność cen instrumentów pochodnych od parametrów
nieobserwowalnych i niemożliwych do wyimplikowania
z innych instrumentów
Rynek jest niezupełny
Bazuje na zaawansowanych metodach matematycznych (procesy
stochastyczne, równania różniczkowe, metody numeryczne,
statystyka)
Konieczność doboru metod numerycznych pod katem
˛
efektywnej implementacji
Wst˛ep
I
Wycena za pomoca˛ fundamentów
I
I
I
I
Parametry modelu estymowane na podstawie danych
historycznych i prognoz ekonomicznych/statystycznych
Możliwość realizacji zysków z niedopasowania cen instrumentów
pochodnych i właściwości statystycznych instrumentu
podstawowego – możliwość arbitrażu statystycznego
Wyniki moga˛ si˛e znacznie różnić w zależności od zakresu dat
szeregów czasowych, cz˛estotliwości próbkowania, typu danych
(ceny kupna, sprzedaży, zamkni˛ecia), użytego modelu – ryzyko
arbitrażu natychmiastowego
Wycena wzgl˛edna
I
I
I
Informacja o dynamice instrumentu podstawowego estymowana
jest na podstawie cen innych instrumentów pochodnych
Przy odpowiedniej kalibracji zbliżone ceny w różnych modelach
Wymagana duża płynność podstawowych instrumentów
pochodnych
Trigger Swap – struktura wypłaty
I
W kolejnych okresach odsetkowych strona A płaci stronie B
- do momentu przekroczenia bariery H przez stawk˛e referencyjna˛
LIBOR 6M
odsetki wg stawki referencyjnej LIBOR 6M+1%
- po przekroczeniu bariery H = 6% przez stawk˛e referencyjna˛
odsetki wg stawki stałej 5%
I
W zamian strona B płaci stronie A odsetki wg stawki LIBOR 6M
L+1%
6
?
L
L+1%
L+1%
6
6
?
L
@
I
@
uderzona
?
L
bariera
5%
6
5%
6
?
L
?
L
Trigger Swap – struktura wypłaty
I
W kolejnych okresach odsetkowych strona A płaci stronie B
- do momentu przekroczenia bariery H przez stawk˛e referencyjna˛
LIBOR 6M
odsetki wg stawki referencyjnej LIBOR 6M+1%
- po przekroczeniu bariery H = 6% przez stawk˛e referencyjna˛
odsetki wg stawki stałej 5%
I
W zamian strona B płaci stronie A odsetki wg stawki LIBOR 6M
1%
6
1%
6
5%
6
5%
6
?
L
?
L
1%
6
I
@
@
uderzona
bariera
Trigger Swap – własności
I
Wypłata w znacznym stopniu zależy od
I
I
I
prawdopodobieństwa uderzenia w barier˛e
korelacji pomi˛edzy stopa˛ forward LIBOR i stopa˛ forward IRS
⇒ instrument wrażliwy na korelacj˛e stóp forward LIBOR
⇒ model wielofaktorowy
⇒ Monte Carlo
Opcja barierowa, nieciagła
˛ wypłata
⇒ problemy numeryczne przy liczeniu wrażliwości
Model Brace-Gatarek-Musiela
˛
Struktura czasowa 0 = T0 < T1 < · · · < TN+1 , Ti+1 − Ti = δ
1
B(t, Tn )
Ln (t) =
−1
δ B(t, Tn+1 )
n
dLn (t)
ρin (t) σn (t) σi (t) δ Li (t)
= ∑
dt + σn (t) dWtn
Ln (t)
1
+
δ
L
(t)
i
i=η(t)
gdzie
η(t) : Tη(t)−1 ≤ t < Tη(t)
d < W·i , W·j >t = ρij (t) dt
Numeraire (spot LIBOR measure)
η(t)−1
B(t) = B(t, η(t))
∑
i=0
(1 + δ Li (Ti ))
(SDE)
Implementacja
Funkcja chwilowej zmienności (przedziałami stała)
k σ̄
t ≤ Ti
σi (t) = i i−η(t)+1
i = 1, . . . , N
0
t > Ti
Funkcja chwilowej korelacji
ρij (t) = ρij = e−β |Ti −Tj |
β
i, j = 1, . . . , N,
β >0
Implementacja
Dyskretyzacja równania (SDE) – schemat Eulera
0 = t0 < · · · < tK ,
{T0 , . . . , TN+1 } ⊆ {t0 , . . . , tK }
Ŷn (t) = ln(L̂n (t))
1
B(0, Tn )
Ŷn (0) = ln(L̂n (0)),
L̂n (0) =
−1
δ B(0, Tn+1 )
√
1 2
Ŷn (tk+1 ) = Ŷn (tk )+ µ̂n (tk ) − σn (tk ) (tk+1 −tk )+σn (tk ) tk+1 − tk AZk
2
n
µ̂n (t) =
ρin (t) σn (t) σi (t) δ L̂i (t)
1 + δ L̂i (t)
i=η(t)
∑
A : AAT = [ρij ]
β
Zk = [Zk1 , . . . , ZkN ]T ,
Zki ∼ N(0, 1), i.i.d.
Wycena
"
PVt = B(t)E
N+1
∑
k=1
#
XTk Ft
B(Tk ) k−1
XTk = ak Lk−1 (Tk−1 ) + bk δ ∏ 11{Li (Ti )<H}
i=0
Dla m = 1, . . . , M symulujemy trajektorie zgodnie z przyj˛eta˛
dyskretyzacja˛ – indeks (m) oznacza m-ta˛ realizacj˛e procesu
(L̂1 (t), . . . , L̂N (t))
(m)
(m)
L̂0 (T0 ) L̂1 (T0 ) . . .
(m)
L̂1 (T1 ) . . .
..
.
(m)
L̂N (T0 )
(m)
L̂N (T1 )
..
.
(m)
L̂N (TN )
(m)
M N+1 X̂
Tk
ˆ 0 = B̂(0) 1 ∑ ∑
PV
M m=1 k=1 B̂(m) (Tk )
Kalibracja
Założenia kalibracji
I
Instrumenty do kalibracji powinny odzwierciedlać jak najlepiej
ryzyko instrumentu wycenianego
I
Ceny instrumentów wybranych do kalibracji powinny być bliskie
cenom otrzymywanym w modelu
Dynamika instrumentów podstawowych w modelu (w naszym
przypadku stóp forward LIBOR) ma zachować sens
ekonomiczny i statystyczny
I
I
I
I
struktura terminowa zmienności i korelacji ma być zbliżona do
statystycznej
jednorodność w czasie (przyszła zmienność i korelacje
prognozowane przez model maja˛ być zbliżone do dzisiejszych)
Stabilność, ciagłość
˛
– małe zmiany parametrów wejściowych do
kalibracji powinny implikować małe zmiany parametrów modelu
Kalibracja
Cap – seria nast˛epujacych
˛
po sobie capletów
Caplet – opcja waniliowa na stop˛e procentowa˛
Wypłata z capleta :
cn (K, Tn , sn , kn ) = E
(Ln (Tn ) − K)+ δ
w chwili Tn+1
B(0)
(Ln (Tn ) − K)+ δ F0 =
B(Tn+1 )
δ B(0, Tn+1 ) [Ln (t)N(d1 ) − KN(d2 )]
ln(Ln (0)/K) ± 21 v2Tn Tn
√
vTn Tn
s
s
Z
1 Tn 2
1 n−1 2
vTn =
σn (t)dt = kn
∑ σ̄n−i (Ti+1 − Ti )
Tn 0
Tn i=0
d1,2 =
sn = (σ̄1 , . . . , σ̄n )
Kalibracja
Niech vmkt
eda˛ zmiennościami capletów (zmienności implikowane,
Ti b˛
forward-forward volatility) o cenie wykonania Ki i czasie trwania Ti
dla i = 1, . . . , N, do których b˛edziemy kalibrować model.
Etap I
Zakładamy ki = 1, i = 1, . . . , N
s∗N = arg min
σ̄1 ,...,σ̄N
N
∑ w2i
vTi (σ̄1 , . . . , σ̄i ) − vmkt
Ti
2
i=1
s∗N
= (σ̄1∗ , . . . , σ̄N∗ )
s
1 i−1 2
vTi (σ̄1 , . . . , σ̄i ) =
∑ σ̄i−l (Tl+1 − Tl )
Ti l=0
wi – wagi dobierane w zależności od wymagań co do kalibracji
(wi = vega – minimalizacja odległości średniokwadratowej cen
capletów)
Kalibracja
Etap II
Ten etap możemy pominać
˛ jeżeli chcemy uzyskać model jednorodny
w czasie.
Dobieramy współczynniki ki tak, aby dokładnie dopasować ceny
(zmienności implikowane) capletów
ki =
vmkt
Ti
vTi (σ̄1∗ , . . . , σ̄N∗ )
Kalibracja
Etap III
Estymacja parametru β dla macierzy korelacji może przebiegać na
jeden z dwóch sposobów w zależności od danych wejściowych
a) Wejściowa macierz korelacji
[ρijinput ]
jest macierza˛ korelacji chwilowych (otrzymana˛ np. z estymacji
z szeregu historycznego stóp forward LIBOR)
β ∗ = arg min
β
N
∑
i,j=1
ρij − ρijinput
β
2
Kalibracja
b) Wejściowa macierz korelacji
[ρijinput ]
jest macierza˛ korelacji terminowych
E Li (T̄) − E[Li (T̄)] Lj (T̄) − E[Lj (T̄)
input
ρij = q 2 q 2
E Li (T̄) − E[Li (T̄)]
E Lj (T̄) − E[Lj (T̄)]
T̄ = min{Ti , Tj }
Kalibracja
β ∗ = arg min
β
nR
N
∑
ρ̄ij − ρijinput
β
2
i,j=1
T̄
0 ρij (t)σi (t)σj (t)dt
o
−1
β
r
ρ̄ij ≈ r
=
o
o
nR
nR
T̄ 2
T̄ 2
exp 0 σi (t)dt − 1 exp 0 σj (t)dt − 1
exp
o
n
η(T̄)−1 β
exp ∑k=0 ρij σ̄i−k σ̄j−k (Tk+1 − Tk ) − 1
r
r
n
o
n
o
η(T̄)−1 2
η(T̄)−1 2
(Tk+1 − Tk ) − 1
exp ∑k=0 σ̄i−k (Tk+1 − Tk ) − 1 exp ∑k=0 σ̄j−k
Wyniki
Bład
˛ obliczeń
I
statystyczny
I
I
I
skończona próbka
rz˛edu √1M
q
1
(i) − Ȳ)2
możemy oszacować s.e. = √1M M−1
(Y
∑M
i=1
metody redukcji wariancji
niedoskonałość generatora liczb pseudolosowych
dyskretyzacja procesu
I
I
skończony krok dyskretyzacji
trudny do oszacowania
ekstrapolacja
bład
˛ zaokragleń
˛
numerycznych
trudny do kontrolowania
Hedging
I
w modelu (in-model)
parametr hedgowany jest jednym z parametrów stochastycznych
modelu (np. stopy forward LIBOR)
I
poza modelem (out-of-model)
parametr hedgowany jest jednym z ustalonych parametrów
wejściowych do modelu (np. zmienność, korelacja)
Wrażliwości
∆i =
ˆ 0 (Li (0) + ε) − PV
ˆ 0 (Li (0) − ε)
∂ PV(Li (0)) PV
≈
∂ Li (0)
2ε
Problemy
I
Rozkład lognormalny
I
Problem wielowymiarowy (macierz korelacji niepełnego rz˛edu,
problem źle uwarunkowany)
I
Duża złożoność obliczeniowa
I
Niestabilność kalibracji
I
Niedopasowanie modelu
I
Nadparametryzacja modelu
I
Bład
˛ MC
I
Interpolacja DF
I
Ryzyko operacyjne
Potrzebne umiej˛etności
I
Teoretyczne
I
I
I
I
Ekonomiczne
I
I
I
I
Zrozumienie podstaw teoretycznych matematyki finansowej
Umiej˛etność wyprowadzania formuł, aproksymacji
Metody numeryczne
Zrozumienie zasad działania rynku
Zrozumienie własności wycenianego instrumentu
Zrozumienie własności używanych modeli
Informatyczne/Techniczne
I
I
I
J˛ezyki programowania (C++ najpopularniejszy)
Techniki programowania (wzorce, struktury danych)
Znajomość software’u/hardware’u (Excel, bazy danych,
architektura komputera)
A. Brace, D. Gatarek,
˛
M. Musiela, The Market Model of Interest
Rate Dynamics. Mathematical Finance Vol. 7, No. 2002-01, 1997
D. Brigo, F. Mercurio, Interest Rates Models Theory and
Practice. Springer, 2001
P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering.
Springer, 2004
P. E. Kloeden, E. Platen, Numerical Solution of Stochastic
Differential Equations. Springer, 1992
M. Musiela, M. Rutkowski, Continuous-Time Term Structure
Models: Forward Measure Approach. Finance and Stochastics, 4,
1997