globalne obliczanie całek po obszarze w purc dla dwuwymiarowych

XLVI Sympozjon „Modelowanie w mechanice”
Eugeniusz ZIENIUK, Krzysztof SZERSZEŃ, Agnieszka BOŁTUĆ, Instytut Informatyki,
Uniwersytet w Białymstoku
GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC
DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH
MODELOWANYCH RÓWNANIEM NAVIERA-LAMEGO I POISSONA
Siły masowe występujące w równaniu przemieszczeniowym Naviera-Lamego dosyć często
są pomijane w praktycznych obliczeniach. Szczególnie jest to zauważalne przy zastosowaniu
MEB. Jest to podyktowane tym, że w MEB nie stosuje się dyskretyzacji obszaru tylko
dyskretyzację jego brzegu. Uwzględnienie jednak sił masowych w MEB pociąga za sobą
konieczność obliczania całek po obszarze. Praktycznie ich obliczenie metodami tradycyjnymi
sprowadza się do podzielenia tego obszaru na tzw. komórki. Podzielenie obszaru na komórki
z technicznego punktu widzenia jest bardzo zbliżone do podzielenia go na tzw. elementy
skończone stosowane w MES. Różnica sprowadza się tylko do innego ich przeznaczenia. W
MES elementy służą do ułatwienia aproksymacji rozwiązań w węzłach należących do
elementów skończonych modelujących w sposób dyskretny rozpatrywany obszar. Natomiast
komórki w MEB służą tylko do ułatwienia obliczania całek po obszarze. Całki te są obliczane
na podstawie zsumowania całek z poszczególnych komórek na które został podzielony
rozpatrywany obszar.
We własnych pracach do rozwiązywania zagadnień brzegowych otrzymano parametryczny
układ równań całkowych (PURC). Główną cechą PURC jest fakt, iż geometria brzegu jest
uwzględniona w jego formalizmie matematycznym. Dlatego też w celu praktycznego
zdefiniowania obszarów zadawane są tylko: punkty narożne w przypadku segmentów
liniowych oraz punkty brzegowe do wykreowania segmentów krzywoliniowych. Liczba tych
punktów jest znacząco mniejsza niż liczba węzłów w przypadku MEB, ponadto
zamodelowany w ten sposób brzeg jest brzegiem ciągłym. Zastosowana metoda do
rozwiązania PURC pozwala na otrzymanie rozwiązań w dowolnym punkcie na brzegu z
wysoką dokładnością. Dotychczas otrzymane PURC dotyczyły równania Laplace’a i
Helmholtza, czyli równań w których nie zachodziła potrzeba całkowania po obszarze.
Ostatnio rozwijany PURC dotyczył równania przemieszczeniowego Naviera-Lamego, ale w
celu pozbycia się całkowania po obszarze pominięte zostały siły masowe.
Celem niniejszego referatu jest zaproponowanie i przetestowanie techniki obliczania całek
powierzchniowych (występujących w PURC), polegającej na obliczaniu tych całek w sposób
globalny, czyli bez dzielenia obszaru na komórki. Technika ta jest testowana głównie na
zagadnieniach modelowanych równaniem Poissona mających rozwiązania dokładne oraz
zagadnieniach modelowanych równaniem Naviera-Lamego. Zaproponowana technika w
odróżnieniu od techniki stosowanej w tradycyjnej MEB charakteryzuje się tym, że nie wymaga
dzielenia obszaru na komórki. W zaproponowanym sposobie obszar jest traktowany globalnie,
jako makroelement (czyli jedna komórka). Tylko w przypadkach bardzo skomplikowanych
obszarów dopuszczalne jest jego podzielenie na niewielką liczbę podobszarów. Sposób ten dla
rozpatrywanych przykładów okazał się bardzo efektywny, ponadto zamieszczone przykłady
numeryczne potwierdzają wysoką dokładność zaproponowanej metody w porównaniu z
rozwiązaniami analitycznymi.
XLVI Sympozjon „Modelowanie w mechanice”
GLOBAL COMPUTATION OF DOMAIN INTEGRALS IN PIES
FOR TWO-DIMENSIONAL BOUNDARY PROBLEMS MODELLED
BY NAVIER-LAME AND POISSON EQUATIONS
Body forces from Navier-Lame equation are frequently omitted in practical computations. It
is noticeable especially in BEM. It comes from the fact that only boundary is discretized. If the
body forces are considered in the BEM, domain integrals have to be computed. In practice, it
leads to division of the domain of the problem into so-called cells. Division of the domain into
cells is similar to division it into so-called finite elements used in the FEM. The difference is
just in their destiny. In the FEM they are used to facilitate solutions approximation in nodes of
finite elements applied for modelling of considered domain in discrete way. Whereas cells in
the BEM are used to facilitate domain integrals computation. They are computed by addition
of integrals from each cell.
In the research carried out by the author a new approach to boundary problems has been
obtained: the parametric integral equation system (PIES). The main feature of the PIES is the
fact, that boundary geometry is taken into account in its mathematical formalism. Therefore,
for practical definition of domains we need only: corner points in the case of linear segments
and boundary points for curvilinear segments. Number of these points is significantly smaller
than number of nodes in the BEM. Moreover, modelled boundary is discrete. Method applied
for PIES solving gives solutions at any point on the boundary with high accuracy. Obtained till
now systems refer to Laplace’s and Helmholtz equations, equations without necessity of
domain integration. Recently developed PIES refers to Navier-Lame equation, but in order to
avoid domain integration body forces were omitted.
The main aim of this paper is to propose and test a technique of domain integral (from the
PIES) computing. It base on computation of these integrals in global way, i.e. without division
of the domain into cells. New technique is mainly tested on problems modeled by Poisson
equation with exact solution and problems modeled by Navier-Lame equation. Proposed
technique, in opposition to the technique used in traditional BEM, is characterized by no
necessity of domain division. In proposed approach the domain is treated globally, as
macroelement (i.e. single cell). Only in very complicated tasks it is possible to divide the
domain into small number of subdomains. Described approach for tested examples was very
effective, included numerical examples confirm high accuracy of proposed method compared
with analytical results.